X. — Fonctions à quatre paires de périodes

-111. Je traite, dans la Note 71, le problème suivant :

Ecciste-t~il des fonctwm unifonms, F(m, p), ayant pour paires de périodes (i,o), (o, i), {g, h), {h!, g), h' étant différent de h; en second lieu, si h = h, est-il nécessaire que h\ — g, g, soit négatif, g„h„g\ désignant les parties imaginaires de g, h, g' ?

H2. Si h'^h, il résulte d’un théorème célèbre de MM. Poincaré et Picard que l’on pourra, par une transformation convenable, ramener le Tableau des périodes à (t,o), (o, i), (G, H), (H',G'), où cette fois H' = H, et, par suite, exprimer F(«, c) par un quotient de fonctions thêta. Mais la transformation employée n’est généralement pas du premier ordre, c’est-à-dire que les périodes du second Tableau n’entraînent pas celles du premier; l’existence et la forme précise des fonctions F(«, v), admettant les périodes du premier Tableau, ne découlent donc pas immédiatement du théorème qui vient d’être rappelé.

M. Appell a montré que g, h, h', g sont liés par une relation de la

(0 A^-)-B/i-HB'A'-i-Câ''-t-D(M'-ÿ^') + E = o,

où les A, B, ..., E sont des entiers sans diviseur commun. Je montre que toute transformation, conduisant des périodes g, h, h', g' à des périodes équivalentes, ne change pas la valeur absolue de la quantité .4C-t-DE — BB'; si A est cette valeur absolue, on peut ramener les périodes à des périodes équivalentes G, H, H' G', liées par la relation H'=AH.

On en conclut, à l’aide de la transformation U = Au', V = v', que toute fonction uniforme de U, V aux périodes (i,o), (o, i), (G, H), (AH, G'), est exprimable par un quotient de fonctions uniformes 0(u', v'), qui sont des fonctions thêta, d’ordre iA, aux périodes (i, o), {o, i), ^iG,H^, (H, G'), mais non des fonctions thêta quelconques.

car elles doivent vérifier la relation

Ces fonctions thêta s’obtiennent aisément; et l’on a ainsi la solution complète du premier problème posé. On reconnaît que les fonctions F(k, c), aux périodes (i.o), (o, i), (^, A), (A', liées par la relation (i), n’existentque si la quantité

( AC -H DE - BB') ( A, a; - g, s\ ),

où .désignent les parties imaginaires de est négative.

113. Pour qu’il existe des fonctions 4>(«, v) admettant les périodes (i,o), (o, i), (g-, A), (A, g'), lorsque A; — gig\ est positif, je trouve qu’il est nécessaire et suffisant que g, A, g' vérifient une relation singulière d’invariant positif

Aÿ-t-B A-t-Cs-'+ D ( A> - + E = O.

Si la forme x‘‘ ■+■ Bæy ■+■ (AC ■+■ DE)y“ peut représenter le nombre — 1 , propriété qui ne dépend que de l’invariant, le système initial de périodes sera éguwalenc à un système analogue, pour lequel A; — g,g\ sera négatif; les fonctions abéliennes correspondantes sont alors des fonctions singulières d’invariant convenable, sans particularités spé-

Si la forme ci-dessus ne peut représenter — i, les fonctions abéliennes correspondantes s’expriment par des quotients de fonctions thêta, mais de fonctions thêta non générales, comme au n" 112. Les surfaces hyperelliptiques dérivées de ces fonctions abéliennes ne correspondent, point par couple, à aucune courbe de genre deux ; à un couple sur la courbe répond bien un point de la surface, mais à un point de la surface répond toujours plus d’un couple sur la courbe. Ces remarques s’appliquent aux fonctions du numéro précédent.