I. — Courbes de genre quelconque

1. M. Poincaré, dans un Travail célèbre, a établi qu’on peut exprimer les coordonnées d’un point d’une courbe algébrique en fonction fuchsienne d’un paramètre; c’est ce résultat capital qui m’a servi de point de départ, pour l’étude géométrique des courbes planes, dans le Mémoire 1.

En introduisant, au lieu des cooordonnées cartésiennes, les coordonnées homogènes, je montre que, pour une courbe plane,-»,, æj, », sont proportionnels à trois fonctions thêtafuchsiennes holomorphes, mais, dès ce début, se présente une différence importante avec les cas classiques des courbes de genre zéro ou un. En effet, pour une courbe, soit unicursale, soit elliptique, de degré n, les coordonnées »,

sont proportionnelles, soit à trois polynômes d'ordre n, soit à trois fonctions thêta d’ordre n, d’une même variable; pour une courbe de degrénet de genre p, supérieur à l’unité, le résultat est moins simple.

2. Soient 2(p. —1)(/> — i) et 2 (a(/i — i) les deux multiples consécutifs de 2(p — i) qui comprennent n, de sorte que

sil’ona a(p-i){p-')<'* = 2p(p-")i

2p(.p-i)-nip, ■

les coordonnées d’un point de la courbe seront proportionnelles' st

trois fonctions thêtafuchsiennes Iiolotnorplies d’ordre fr, et l’on ne pourra jamais, pour cette représentation, employer des fonctions d’ordre inférieur. Si,iiu contraire, on a

les fonctions thêtafuchsiennes de la représentation seront, en général, d’ordre pi + i, mais pourront être d’ordre p.

On voit ainsi que, dans Ce second cas, il existe deux espèces de courbes de degré n et de genre p, distinguées par leur mode de représentation thêtafuchsienne; j’ai cherché à les caractériser géométriquement, et j’ai aussi reconnu l’existence de deux espèces analogues dans le premier cas. Voici le résultat, si l’on désigné, pour abréger, par groupe Y tout groupe de 2(p — i) points simples suivant lequel une courbe de degré n et de genre p est coupée par une courbe adjointe de degré n — 3.

Premier cas : 2 |j,(p — i) — nïya. — Sur ufie courbe de première espèce, p. groupes y quelconques sont traversés par une courbe adjointe d'ordre n — 2 , qui coupe en outre la proposée en des points fixes; sur une courbe de deuxième espèce, pi goupes y ne peuvent jamais être sur une adjointe d’ordre n — 2 .

Second cas ; 2 p.(^ - i) - n -fp. - En toute hypothèse, p, groupes y quelconques sont traversés par une adjointe d’ordre n — 2 ‘.ses autres, points simples d’intersection avec la proposée sont toujours sur une adjointe d’ordre n — 3, dans le cas d’une courbe de première espèce, et n’y sont jamais dans le cas d’une courbe de deuxième espèce.

3. Grâce aux fonctions thêtafuchsiennes, on peut retrouver, au point de vue transcendant, les théorèmes de MM. Nôther et Brill, relatifs à la Géométrie sur une courbe, et en démontrer de nouveaux; il suffira, pour le faire comprendre, d’indiquer les deux propositions suivantes qui établissent la liaison entre les fonctions thêtafuchsiennes et les courbes adjointes.

Soit S la courbe de degré n et de genre p pour laquelle les coordonnées homogènes d’un point sont proportionnelles à trois fonctions

ihêtafuclisiennes d’ordre m, qui ont i zéros communs a,, a.

1 ° Les arguments fuchstens des points non singuliers où S est coupée par une adjointe de degré n-t- q — 'i annulent une fonction ihêlafuchsienne holomorphe d’ordre mq -i-i, dont les autres zéros sont a .. «i, chacun au degré q de multiplicité, et réciproquement.

2 ° Soit une courbe de degré « + j — 3 adjointe à % et traversant un groupe Y ; les arguments fuchsiens des autres points non singuliers où elle coupe S annulent une fonction thêlafuchsienne holomorphe d'ordre mq, dont les autres zéros sont chacun au degré q, et récipro¬

quement.

Des théorèmes analogues s’appliquent ai - admettrait des adjointes de degré n — 4-

is où la courbe proposée

• 4. Le Mémoire 1 traite ensuite de l’intersection de la courbe fondamentale avec une courbe non adjointe, et aborde, comme conséquence, le problème des courbes de contact, c’est-à-dire des courbes qui ont, avec la proposée, un contact d’ordre donné en tous leurs points de rencontre avec elle.

Ce problème a été traité par Clebscli dans le cas des courbes adjointes; le théorème d’Abel et les éléments de la Théorie de l’inversion de Riemann permettent de le résoudre aisément. Pour les courbes non adjointes, il faut introduire en outre des intégrales abéliennes de troisième espèce; la question se rattache alors au problème de l’inversion étendu et n’avait pas encore de solution géométrique générale.

L’emploi des fonctions fuchsiennes m’a permis de combler cette lacune sans recourir aux intégrales de troisième espèce, dans le cas où la courbe proposée n’a comme singularités que des points doubles; j’envisage d’ailleurs la question de l’intersection d’une courbe algébrique fixe et d’une courbe variable à un autre point de vue que Clebsch.

L’illustre géomètre se préoccupait spécialement des relations qui lient les coordonnées des points communs; j’examine, au contraire, celles qui lient les paramètres dont dépend la courbe sécante, supposée

soumise à cerlaines conditions d’intersection; je peux ainsi, dans le cas particulier des courbes de contact, donner non seulement les propriétés des systèmes de points de contact, mais indiquer la forme de l’équation générale des courbes tangentes et en déduire des propriétés de ces courbes elles-mêmes.