Voici les principaux résultats de cette théorie

Im familk des courbes d’ordre donné m, qui passent par k points doubles et k' points simples donnés sur une courbe de genre p, à d points

contre, un contact d'ordre r—i, se subdivise en i “e systèmes.

Chaque système compre nd lui-même r’'"* groupes de courbes ; le premier membre de l'équation des courbes d'un mime groupe est un polynôme d’ordre r par rapport aux paramètres demeurés arbitraires.

Les systèmes de points de contact jouissent de propriétés impor-

Toute courbe d’ordre m, menée par les k points doubles, les k' points simples donnés, et par tes points de contact der—i courbes de la famille précédente, coupe en outre la proposée en de nouveaux points qui sont les points de contact d'une autre courbe de la famille; le système et le groupe auxquels appartient cette dernière courbe dé contact restent fixes, quand les systèmes et les groupes auxquels appartiennent les r—i premières restent fixes eux-mêmes.

6. Cette théorie géométrique est liée à l’étude de fonctions uniformes intéressantes qui se rattachent aux Würzelfunctionen des Allemands et aux fonctions à multiplicateurs de M. Appell.

Soit G un groupe fuchsien de la première famille de M. Poincaré, dérivant de ap substitutions et dont le polygone a hp côtés, les côtés opposés étant conjugués; on peut former des fonctions #(z), uniformes, dans l'intérieur du cercle fondamental, satisfaisant aux relations

où ^s, est une quelconque des substitutions fondamentales

du groupe G et où les hj sont des entiers choisis arbitrairement.

Je trouve aussi des fonctions Ao/o/no/yte dans le cercle fondamental, et vérifiant des relations semblables à celles des fonctions thêtafuchsiennes, à un facteur, racine de l’unité, près; et delà se déduisent des propriétés des systèmes et des groupes de courbes de contact, que j’appelle complémentaires.

7. Un cas particulier intéressant est celui où l’equation générale des courbes de contact d’un même groupe ne renferme qu’un paramètre arbitraire qui, d’après la théorie précédente, y figure au degré r; dans ce cas :

Par un point du plan passent r courbes du groupe; leurs points de contact et les points fixes sont sur une courbe de même ordre que j'appelle courbe polaire du point considéré; imersement, ce point est dit pôle de sa courbe polaire. Si la courbe polaire d’un point P passe par un point P', la courbe polaire de P' passe par P.

Lorsque r est impair, toute courbe polaire passe par son pôle.

8. Les applications de ces principes aux courbes des quatrième et cinquième degrés conduisent à des résultats simples; ainsi ;

Courbe du quatrième ordre à un point double ; Il y a s6 systèmes de coniques touchant la courbe en quatre points; l'un d'eux ne contient que des droites doubles, chacun des i5 autres se dicise en deux groupes, de sorte qu'il n’existe, en réalité, que 3o groupes de coniques de contact (').

Les points de contact de deux coniques du même système et du même groupe sont sur une conique; par les points de contact de deux coniques du même système et de groupes différents, on peut mener un faisceau de cubiques, dont le neuvième point fixe est le point double de la courbe.

(») Et non 3i, comme il est dit dans les Leçons sur la GéomêtrieAQ Clebsch. De même,

Ilyaii systèmes de cubiques osculatrices en quatre points à la quartiqàe considérée ; l’un d’eux ne contient que des droites triples, chacun des 8 o autres se divise en 3 groupes.

On peut représenter les systèmes par les symboles {a,b,c,d) et les groupes par les symboles (a); a, b, c, d, a pouvant prendre les valeurs o, i, 2 : c’est le système (o, o, o, 0 ) qui ne contient que des droites.

et groupes respectifs (a, b, c, d), (a); (a', b', c', d'), (a') sont sur une onique sia + a', b -i- b', c + d, d + d', a. + u' sont égaux à 0 ou à 3 ; de même, les douse points de contact de trois cubiques sont sur une cubique si les sommes des quantités a, b, c, d, a correspondantes sont égales à o ou à un multiple de 3.

Courbes du cinquième ordre : Les coniques proprement dites qui touchent en cinq points une courbe du cinquième degré ayant 1,2, 3,4. 5 ou 6 points doubles ordinaires, sont respectivement au nombre de io23, 5io, 252, 121 , 53 er 16 .

9. Un Chapilre du Mémoire est consacré aux courbes hyperelliptiques : une courbe d’ordre n est dite hperelliptique lorsque toute adjointe d’ordre n — 3 qui passe par un de ses points passe aussi par un autre point, et ces deux points sont dits conjugués. Je montre que :

Les droites qui joignent les couples de points conjugués sur une courbe hyperelliptique générale, d’ordre n et de genre p, enveloppent une courbe unicursale de classe n — p — i, d’ordre 2 (n — p — 2), qui touche la proposée en 3 n — 2 /) — 6 points.

Les courbes de genre deux sont hyperelliptiques; j’étudie colles de degrés quatre et cinq, et l’emploi des fonctions thêtafuchsiennes me donne quelques résultats simples; ainsi :

Les coniques qui traversent trois couples de points conjugués, sur une courbe du quatrième ordre à un point double, passent par deux points fixes de cette courbe et forment une famille linéaire deux fois infinie.

10. La théorie des fonctions fuchsiennes m’a égaieraent servi, dans ie Mémoire 2, à étabiir une proposition anaiogue à un théorème énuraératif bien connu de i’arairai de Jonquières :

Parmi les surfaces d'ordre n appartenant à un système linéaire p — i fois infini, le nombre de celles qui ont, en un point, avec une courbe plane ou gauche de degrém et de genre p, un contact d’ordre p — i, est égal à mnp + p(p-z){p~,).

Dans certains cas, que j’indique tous, ce nombre subit une modification ; ainsi : Sur une courbe gauche non sphérique, de degré m et de genre p, le nombre des sommets, cyst-à-dire des points où la sphère oscu-

Postérieurement à mon Mémoire, M. Hurwitz a étabii, à un autre point de vue, un cas particuiier de cette formuie {Math. Annalen, t. XLI).