INTRODUCTION

Avant d’aborder l’examen détaillé de mes travaux, qui se rattachent presque tous à la théorie des fonctions de variables réelles, je veux, dans cette introduction, rappeler le prodigieux essor pris par cette théorie durant ces trente dernières années, malgré les préventions qui s’élevaient contre elle; car je crois bien que mon principal titre est d’avoir été l’un de ceux qui, en diminuant singulièrement ces préven-

ressources puissantes pour le progrès des parties même les plus classiques des mathématiques pouvaient être obtenues par l’examen patient et prolongé des propriétés des fonctions de variables réelles.

les Comptes Rendus de l’Académie ; M. Picard dut défendre ma Note. On sait combien, cependant, Hermite était bienveillant et.prodigue d’éloges, mais c’était à peu près l’époque où il écrivait à Stieltjès : « Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n’ont pas de dérivées », et il aurait voulu

« Cela ne peut vous intéresser, il s'agit de fonctions ayant une dérivée », et un» plan tangent ».

Darboux avait consacré son Mémoire de 1875 à l’intégration et aux fonctions-

doute qu’il m’ait jamais pardonné entièrement ma Note sur les surfaces applicables; pendant longtemps, il ne s’intéressa guère à mes Mémoires sur l’intégration qui, en un certain sens, prolongeaient cependant le sien. On raconte qu’en 1875, Darboux fut quelque peu blâmé de s’être laissé aller à étudier de pareilles questions; soit à cause de ces remontrances, soit plutôt à cause de la beauté et de l’importance desproblèmes qu’il a ensuite abordés, Darboux ne fit pas d’autre incursion dans le domaine des fonctions non analytiques. Les résultats si nombreux et si élégants

donné l’étude des fonctions générales de variables réelles, ensuite à considérer que ceux qui s’appesantissaient dans cette étude perdaient leur temps au lieu de le consacrer à des recherches utiles.

Bien que, d’un certain point de vue théorique, toute recherche consciencieusesoit utile, l’histoire des Sciences nous montre que de nombreuses études 11e le furent pas pratiquement, parce qu’elles ne vinrent pas à leur heure. On s’accordait généralèment à trouver prématurée l’étude des fonctions de variables réelles.

crois, le premier à penser que mes travaux auraient une utilité en quelque sorte

de me décider à présenter, comme thèse de Doctorat, le Mémoire où j’ai abordépresque toutes les recherches que j’ai développées par la suite. Je sentis bien, dès le début, que de telles études étaient utiles; je n’aurais su dire dans quelle mesureèlles l’étaient. Un peu plus tard, en 1903, j’insistais sur la nécessité de ces études

jour, laissait percer quelque inquiétude au sujet des exagérations possibles de la tendance que je représentais.

Plus tard encore, en 1909, pour ceux qui continuaient à contester l'utilité de mes travaux, M. Painlevé, à l’occasion d'une importante communication de.M. Denjoy, écrivait dans les Comptes Rendus : « Il convient de signaler le rôle joué dans ce résultat, par l’extension, due à M. Lebesgue, de l’intégrale définie. Grâce à cette Opération, que nombre de géomètres trouvaient artificielle et trop abstraite, une question naturelle, une question fondamentale, qui restait indécise à l’entrée de la théorie des fonctions uniformes, est aujourd’hui tranchée. »

dues que je les ai retrouvées presque chez tous — chez ceux qui avaient fait do

Lipschitz ou par celle des approximations successives de M. Picard; dans la plupart des solutions du problème de Dirichlet et des problèmes analogues; dans la résolution des équations intégrales. Parfois, certaines des données ou des solutions pouvaient être ou même étaient nécessairement des fonctions discontinues; il en est

une question étudiée par M. Borel, la solution est bien continue, mais elle est nécessairement non analytique. Ou se familiarisait ainsi avec cette idée qu’une discon-

D’autre part, des recherches comme celles de Poincaré sur la forme des intégrales réelles des équations différentielles, ou celles de M. Hadamard sur les géodésiques, montraient quelles conséquences lointaines et importantes pouvaient résulter du fait qu’une fonction réelle possède ou non une certaine propriété. On apprenait ainsi lentement à regarder ces fonctions - réelles, à discerner qu’à leur sujet, tout

devaient être posées. La méthode directe du calcul des variations, à laquelle resteront attachés les noms d’Arzelà et de M. Hilbert, l’étude des développements déduits de l’équation de Fredholm allaient poser nombre de ces problèmes.

On sô trouvait d’ailleurs, et depuis peu de temps, en possession d’un outil indispensable : la théorie des ensembles de points. Dès le début de cette théorie, Cantor, du Bois-Reymond, par exemple, en firent des applications aux fonctions réelles. C’est cependant surtout dans l’étude des fonctions de variable complexe qu’on l’avait utilisée; les auteurs à citer seraient nombreux depuis M. Mittag-Leffler jusqu’à Poincaré, jusqu’à MM. Borel, Goursât, Painlevé, par exemple.

la suite, appliqués à la théorie des fonctions de variables réelles. C’est pourquoi, avant d'avoir rien publié sur les fonctions de variable réelle, M. Borel avait déjà rendu les services les plus éminents à la théorie de ces fonctions en introduisant des notions, comme celle de mesure, dont le rôle a été capital et surtout en inaugurant certains modes de raisonnements, par exemple en nous apprenant qu’on peut souvent utiliser un ensemble dénombrable exactement comme s’il ne contenait qu’un nombre fini d'objets [6].

En osant incorporer certaines parties de la théorie des ensembles dans son cours

mait qu’elle est une branche utile des mathématiques. Il faisait plus que l’a il le prouvait par ses recherches sur la mesure des aires et des ensembles, su

nométriques, sur Yanalysis situs; ont si bien préparé certains travaux, les m

té mathématique à la

Malgré la grande généralité de l’opération de l’intégration, on peut définir pour elle une opération inverse, ce qui pourtant n’avait pas été fait pour le cas plus simple de l’intégration au sens de Riemann. Pour les fonctions d’une variable, cette

de la convergènce de certaines expressions, comme la formule de Poisson, au voisinage d’une ligne singulière ou sur Cette ligne, etc., par M mi Grâce Chisholm Young, par MM. Caratheodory, Denjoy, Fatou, Fejér, Fischer, Fréchet, Fubini, Haar, Ilahn,