INTÉGRATION ET DÉRIVATION

Intégration des fonctions continues.

L’intégrale définie. — Lorsqu'on ouvre tin traité d’analyse, on est frappé de la place qu’y occupent les définitions des diverses intégrales de fonctions continues que l’on considère : intégrale simple, intégrale curviligne, intégrale double, intégrale de surface, intégrale multiple, intégrale étendue à une variété. Pourtant,! il s'agit bien d’une notion unique, car, dans les applications, dans le calcul de la masse ou des coordonnées du centre de gravité d’un corps, par exemple, on ne distingue pas, ou

d’un fil, et l’on n’étudie pas séparément les fils rectilignes et les fils curvilignes, les

is. Dans ces applications, il y a toujours un support

pour les points de ce corps, une fonction de point /(P), et l’intégrale s'obtient comme la limite de valeurs approchées calculées par le procédé classique suivant : on partage le.corps en petits corps partiels, dans chacun d’eux, on choisit un point; ainsi, on choisira le point P, dans le corps dont m, est la mesure (longueur, aire ou volume); la valeur approchée de l’intégrale est ? t ). Il y a donc bien une définition

commune à toutes les intégrales; pourquoi ne la pose-t-on pas une fois pour toutes?

• où il s’agit d’une intégrale simple. L’exposition classique est en parfait accord avec cette tendance à tout construire, logiquement à partir de l’idée de nombre, qui remonte à Descartes; en se servant de coordonnées, Descartes ramenait en effet toute géométrie à la géométrie delà droite, c’est-à-dire à la notion de nombre. Sans renoncer à ce souci logique, on pourrait faire, sans emploi d’intégrales, une étude des divers nombres m it parallèle à celle que l'on fait, grâce à la définition des incommensura-

simplicité au début du calcul intégral.

Dans le cas d’une intégrale simple, la valeur approchée s'écrit :

étant l'abscisse du point P, de l'intervalle.a;,) dont la mesure est m t = — x t .

Dans cette expression, la variable æaun triple rôle : i° Les valeurs x = ^ servent à

domaines partiels.. Lorsqu’il s’agit des autres catégories d’intégrales, les variables ne jouent plus que le premier de,ces trois rôles. Cette remarque va nous conduire à la notion d’intégrale indéfinie.

Pour une fonction de plusieurs variables, f(x,y) par exemple, on ne considère généralement pas d’intégrale indéfinie bien que l'on appelle quelquefois de ce nom(‘) la fonction :

(I) F(X. Y) = '£/}&>> rï&edy + =■(*) ’+ i(Y).

dont lés propriétés principales sont résumées par les formules :

Malgré la première de ces propriétés, cette fonction apparaît comme relativement peu liée à l’intégrale définie; son véritable rôle, qui est relatif à la propriété (3), se

du type hyperbolique. Dans ses rapports avec l’intégrale définie, l'intégrale.indéfiniè F(X) d’une fonction f(x),

F(X) = fff(x)ix+C,

îr rôle principal de faire connaître l’intégrale définie de f(x) pour n’importe

£ j\x)dx^.V(b)-i\a).

F(X) apparaît en quelque sorte comme un répertoire dans lequel on peut lire immèdialemenl n’importe laquelle des intégrales définies de j(x). Une fonction de deux variables ne peut être le répertoire analogue pour la fonction f(x, y), puisque les variables ne peuvent jouer le rôle du 2 0 : elles ne peuvent déterminer un domaine. Mais la forme du répertoire importe peu, c’est la conception de ce répertoire qui est tout; nous appellerons donc intégrale indéfinie de f(x, y) la correspondance entre un domaine D et l’intégrale définie de f(x, y) dans D. C'est la fonction de domaine $(D).

est définie ou indéfinie, suivant qu elle est étendue à un domaine défini ou indéfini.

Si f(x,y) est une densité, $(D) est la masse du domaine D; si/(æ, y)est une vitesse normale, <I>(D) est le débit à travers la surface D; si /( x, y) est une pression eh un point, <I>(D) est la pression totale sur D; <I>(D) peut être aussi une quantité de chaleur, une charge électrique, etc... On voit, par ces exemples, que les fonctions de

même que les fonctions de point, lesquelles ne servent le plus souvent qu'à étalonner des qualités. Initialement, en effet, une densité, une vitesse, une pression en un point étalonnent des qualités, des états, comme une température ou une densité électrique; elles permettent de distinguer des corps plus ou moins denses, des écoulements plus ou moins rapides, etc... Il arrive fréquemment, il est vrai, que l'on puisse préciser assez l’étalonnage primitif pour arriver à défini? ce qu’on appelle une grandeur dérivée ; mais, lorsqu’on y arrive, c’est toujours par l’intermédiaire d’üne fonction de domaine. Le plus souvent même par l’intermédiaire de la fonction de domaine <I>(D) qui est l’intégrale indéfinie de la fonction de point/(P) considérée; dans ce cas,

calculer la

limite /(P), pour |x tendant vers zéro.

pourra être considérée comme fournissant, par l’intermédiaire de/, la représentation de la fonction <1>, dans la mesure où elle est possible en l’absence de tout algorithme propre à la représentation des domaines; il faut remarquer de plus, que l’opération de dérivation à laquelle on semblait devoir renoncer, -se trouvera étendue à tout ce que j’ai appelé ici des grandeurs physiques. Ces conclusions seront précisées plus

Pour le cas des fonctions continues, la nouvelle conception de l’intégrale indéfinie peut être commode; on ne saurait pourtant en attendre rien de vraiment neuf. En fait, sans prononcer les mots « fonctions de domaine », on a toujours parlé de ces

coexistantes ce que j'appelle des fonctions d’un même domaine, «Ï>(D) et 'P(D); la considération de la limite du rapport quand D tend vers zéro, lui permet de définir la dérivée d’une grandeur par rapport à l’autre. Cette définition est bien en accord avec celle posée plus haut; mais elle est plus générale puisque je n’ai considéré que le cas où la fonction 'P(D) est la mesure de. D.

L’opération inverse de la dérivation cousidérée par Cauchy est plus générale que l’intégration étudiée jusqu’ici ; c’est l'intégration au sens de Stielljès.

J /(æ)d[a(à!)] = liœ [«(*)+,)

la nouvelle intégration; 1 ■ l'intégrale de Slieltjès ne diffère de celle de J f(x) dx qo des mesures m, = -- x t des intervalles partiels par le

nombres m\ = a(œ^ l ) — a(œ,);

Des trois rôles joués par la variable cc dans les intégrales simples, elle continue à remplir les deux premiers, mais le procédé de mesure des intervalles doit être modifié de façon à donner, au lieu de la longueur m it une nouvelle valeur m',.

qui jouit de l’additivité complète, m\ èst une fonction de domaine possédant nécessairement l’additivité restreinte ; mais, pour que la limite qui définit l'intégrale existe, quelle que soit f(x) continue, il faut que m\ possède l’additivité complète, ce qui exige que la fonction «(cc) soit à variation bornée. C’est dans ce cas que l’on s’eSt toujours placé jusqu’ici. En considérant m\ comme une fonction de domaine complètement additive, on voit clairement ce que c’est qu’une intégrale : intégrer une fonction de point /(P) par rapport à une fonction de domaine complètement addi-

tive m' ;, c’est chercher la limite des sommes JJ m '</(?<)• Cette intégrale est dite de Slieltjès, sauf si m', est la mesure ordinaire, auquel cas il s’agit d’une intégrale ordi-

La notion d’intégrale de Stieltjès s’étend alors d’elle-même aux fonctions continues de plusieurs variables; cette extension a été faite tout d’abord par M. Fréchet, grâce à un procédé différent que celui que je viens d’indiquer ; MM. Radon et de la Vallée Poussin ont au contraire employé ce procédé. On voit que l’intégrale de Stieltjès comprend comme cas particuliers non seulement les intégrales ordinaires, mais aussi les intégrales curvilignes et de surface

z)dx, ff & J(x,y,z)dxdy,

pour lesquelles m\ égale d’une part x^ — x,, d’autre part J* J^dxdy. Cette notion, étudiée au début des cours de calcul intégral, apporterait une grande simplification dans l’exposition.

Si générale qu’elle soit, la notion d’intégrale de Stieltjès peut être généralisée encore; MM. Hellingèr et Radon ont étudié des modes d'intégration qui rentrent dans celui, que je crois aussi général que possible, qui serait défini par la considération des sommes de la forme

Smo... •m,.)•

les P,, Q i . étant des points pris dans un des domaines partiels D,, m n m '.,.

étant les valeurs, pour D, de fonctions de domaine données ; pour que la limite existe,

gène et de degré un par rapport à l’ensemble des m„ m',, m\ . Ces intégrales

J s/tte’ + df + dz\ J J~\/(dxdyy + ( dydz )■ + ( dzdx )*

rentrent dans la forme précédente avec trois fonctions de domaine m, m', m".

Intégration définie des fonctions discontinues.

Intégrale définie. — Dès les premiers temps du calcul infinitésimal, on s’était aperçu que les procédés de calcul, exacts ou approchés, d’une intégrale conservaient

qui concerné l’intégration des fonctions discontinues, on s’est borné à préciser les remarques qui s’étaient ainsi offertes d’clles-mêmes. Riemann présente encore ses recherches comme une simple mise au poiut de ce qui est connu. Au reste, l’attention était beaucoup plus attirée vers la considération des fonctions qui ne cessaient d'être continues seulement en devenant infinies que vers la considération des fonctions discontinues bornées qui sont bien plus maniables; c’est seulement pour les fonctions non bornées que l’on s’ingéniait à trouver des procédés d’intégration; je çiterai, entre bien d’autres, les travaux de Jordan et de M. de la Vallée Poussin.

Soit/(æ) une fonction bornée, formons pour elle la quanti té ^/(!;,) (x i+l — a?,)=S. Si, dans chaque intervalle x i+i — x if f(x) prend des valeurs peu différentes les unes des autres, S variera peu quand on fera varier Ç, où quand on subdivisera les intervalles Xi+ t — £c t ; c’est sur cette remarque qu’est basée la démonstration très simple de la convergence de S vers une limite, quand / est continue. Cette démonstration

>n puisse arriver à n’avoir que peu de ces intervalles dans les- ’ n’a qu’un point de discontinuité,

continuité.

La théorie de l’intégration au sens de Riemann n’est que le développement de cette observation. Or, que l’on considère les fonctions dérivées quelconques, les

réduit sur le cercle de convergence la partie réelle d’une fonction analytique, etc., on obtient des fonctions qui ne sont pas nécessairement intégrables au sens de

lement n’est justiciable du procédé de Riemann; c’est pourquoi ce procédé, qui a eu un rôle philosophique considérable, n’a eu cependant aucune utilisation mathéma-

Que le procédé considéré, c’est-à-dire le procédé d’intégration des fonctions conti-

pratiquement utile, cela provient de ce qu’il fait essentiellement appel à la propriété de continuité. Si f(x) est continue, il est bien certain que, si Ç, doit varier dans un très petit intervalle (x lf /(§,) variera peu, puisque c’est là la définition même

S = /n(Ë|)' dont on démontrera qu’elle tend vc

nement classique [48, 8, 85].

nous avons là un procédé d’intégration, applicable au sieurs variables, d<

sait des seules fonctions continues. L’idée de ce procédé ne s’est pas présentée tout d’abord à mon esprit aussi nettement que je viens de le formuler; mais j’y ai bien été conduit par les simples remarques précédentes, associées à d’autres que j’ai précisées en donnant à la définition de l’intégrale deux autres formes. Lorsque f(x) est une fonction continue, si l’on joint chaque point de coordonnées x,y==f(x) à sa

les uns, P, sont au-dessus de Ox; les autres, N, sont au-dessous. m(P) et m(N) dési-

Si/(a;) n’est plus continue, P et N sont des ensembles, et, par l’emploi des mesures de ces ensembles, on peut définir l’intégrale précisément par l’égalité (6) ; cette défitoïtion concorde avec la précédente [8]. La seconde définition exige plus d’explica-

On dit souvent que les définitions sont libres. Certes, ticien ne consentirait à appeler intégrale un nombre ne propriétés particulièrement importantes et simples de

miner l’intégrale, donner une définition descriptive de l'intégrale. 11 reste ensuite à l’utiliser pour obtenir un procédé de calcul, une définition constructive de l’intégrale. J’ai employé cette méthode non seulement pour l'intégrale, mais pour la mesure des ensembles et dans bien d'autres circonstances; elle m'a été suggérée par la lecture

supérieure qu’il a publiée en collaboration avec M. Borel, d’après des leçons de J. Tannery. Je tiens il dire ici toute l’influence que les idées de M. Drach ont eu sur les miennes. Postérieurement aux recherches de M. Drach, M. Hilbert a utilisé les définitions descriptives dans ses études sur les fondements de la géométrie.

Voici la définition descriptive que j’ai donnée [85] : l'intégrale d'une fonction bornée f(x), définie dans un intervalle fini (a, b), est un nombre fini f f(x)dx,

jouissant des propriétés suivantes :

£'/(ùs)dx=s £*’f(,x + h)dx-,

£ f(x)dx + £f(x)dx + £ f(x)dx = o;

3* Quels que soient f(x) et <f(x), on a :

£[/(*)+ tp(ar)]rfæ oa £ f(x)dx + £f(x)dx\ ii- Si ton a />o et'6>a, on a :

£Six)dx > o;

, £txd =.;

6° Si f„(x) tend en croissant vers f(x), l’intégrale de f n (x) tend vers celle de f(x).

Tandis que les deux définitions précédentes montraient que la nouvelle notion d’intégrale est naturelle, celle-ci montre qu’elle est nécessaire et non arbitraire. Des

l'additivité complète.

La théorie actuelle de la mesure des ensembles a pour base la définition descriptive posée par M. Borel. Cela suffit pour que M. Borel soit le fondateur incontestable de cette théorie. Je l’ai rappelé autrefois [23], je l’ai redit récemment [6] en même temps que je précisais quel avait été mon rôle dans l’édification de la théorie complète; rôle qui m’a valu l’honneur de voir mon nom associé à celui deM. Borel dans

i et prenons l’infinité des nombres y, itif, négatif ou nul; formons

Il est immédiat que si, pour un choix de e, de y 0 et des cette série est abso-

déterminée quand t tend vers zéro. Cette limite est appelée l’intégrale dé f(x) qui est dite sommable.

»ns sommables non bornées ne comprend pas tous les procédés d’intégration de

Dérivation. Intégration indéfinie des fonctions discontinues.

' La recherche des fonctions primitives. — La dérivée f(x) d’une fonction con-

elle résout le problème de la recherche des fonctions primitives pour tontes les fonc-, tions dérivées bornées. Bien que ce résultat dépasse extraordinairement, je puis le , dire, ce qui avait été trouvé auparavant, il est obtenu plus simplement, d’un trait de plume, grâce au pouvoir simplificateur du théorème fondamental sur l’intégra-

Après avoir obtenu ce résultat [46, 8], j’ai prouvé [8] que l’égalité précédente était Comme, d’après un théorème de M. Baire, dans tout intervalle il en existe un

ains cours, la notion d’intégrale définie ne sert qu’à >] ; revenant sur la question [22J, j’ai simplifié encore; 1

Intégrale de Stieltjès. — Cette intégrale a

moyen de transformer une intégrale de Stieltjès J' fÇœ)d[<x(oc)] en une intégrale de fonction sommable. Le procédé est des plus simples; il repose sur l’idée utilisée dans le paragraphe précédent : une transformation ponctuelle convenable permet de simplifier la nature des fonctions à variation bornée et, par exemple, de les transformer en fonctions à nombre dérivés bornés, donc presque partout dérivables. Ici, par exemple, supposant oç(cc) continue, j’exprime x et a(a?) en fonction de l’arc s de la courbe rectifiable y = *(x) comme je l’ai toujours fait dans la considération des courbes rectifiables [85], et ceci donne