ANALYSIS SITUS - GÉOMÉTRIE - TRAVAUX DIVERS

Analysis Situs.

dent entre eux, ainsi que les points frontières. Cette propriété est capitale pour lathéorie des fonctions implicites, comme l’a très justement montré M. Hadamard.

Dans, une Note des Comptes rendus [57] non encore développée, j’ai indiqué d'autres démonstrations du théorème d’invariance en rapport avec la proposition m de théorème de Jordan.

article très suggestif. Mais le théorème de Jordan paraissait aussi difficile à prouver que les autres; on ne voyait pas, en particulier, comment on pourrait raisonner parrécurrence. C’est pourtant par récurrence que j’ai prouvé le théorème, mais grâce à* une récurrence différente de celle que l’on cherchait et qui n'a été possible pour

à p et g dimensions, p<ft, p + q = n — i. Soient V p ', V ? ' deux variétés voisines de V p , V ? et polyédraies: il pourra arriver que l’on puisse, par déformation continue, réduire V p ' à un point sans traverser Y q ; il se pourra, au contraire, qu'il* faille traverser Y q ' a fois. Si a est impair, nous dirons que V p et Y q sont enlacées.

ne variété V 0 est

rence, on s’élève de p = o à p—ri —i; le théorème de Jordan est précisément équivalent à l’énoncé précédent dans lequel on a fait p = n — i.

Cet énoncé est d’ailleurs intéressant au même titre que.son cas particulier: le théorème de Jordan. Tandis que celui-ci est lié à la notion de période polaire des intégrales étendues à des variétés à n — i dimensions de l'espace à n dimensions, l’énoncé général est lié de la même façon à la notion de période polaire des intégrales multiples d’ordre n — i les plus générales.

Depuis ma Note, le théorème de Jordan a été démontré aussi par M. Brouwer avec ce complément important : il n'y a que deux régions. M. Brouwer a étudié la notion de variétés enlacées que j’ai introduite; M. Antoine a utilisé cette notion> dans sa si remarquable Thèse.

pensé lorsqu’on m'a démontré, pour la première fois, que’les surfaces applicables sur le plan sont toutes des surfaces développables. Le désaccord apparent entre cet

est une surface non analytique et possédant des lignes singulières; dans la recher-

elle m’est revenue à la mémoire quand j’ai lu le Chapitre de la Thèse de M. Baire consacré à la recherche de toutes les solutions de l’équation p=±q. Je me suis mis alors à rechercher toutes les surfaces correspondant point par point à une portion de plan, la correspondance conservant les longueurs pour toutes les courbes, qu’elles soient ou non des surfaces développables. J'ai trouvé des surfaces applica-

certaines sont réglées, d autres ne le sont pas et même ne contiennent aucun segment de droite [42, 8]. L’application conserve aussi les aires.

Soient f(t), g(C)> Kt) trois fonctions à variation bornée dont la variation totale dans (1,, y est égale à 1 1 , — t, |ï quels que soient /, et i,, la transformation

une courbe gauche, qui ont un plan tangent le long de chaque génératrice et qui, pourtant, ne sont pas applicables sur un plan.

demment suggéré par la considération des déformations matérielles; pourtant, dans la plupart des déformations physiques, il y a modification des longueurs; il s’agit alors d’un problème appartenant à la théorie de l’Élasticité. Traitant l'un de ces

plane satisfait approximativement aux équations qui définissent les surfaces analytiques applicables sur le plan, et il se demande si ces surfaces sont nécessairement voisines des développables analytiques. Sans prétendre, par là, répondre à cette question, j’indique qu’en tout cas, le feuillet moyen est voisin d’une surface applicable sur le plan, analytique ou non.

Récemment, M. Gambier s'est inspiré de mes recherches pour étudier certaines surfaces applicables sur le paraloloïde.

Théorème de Cauchy. — La transformation du paragraphe précédent permet de déformer une surface quelconque prise en totalité; au contraire, lorsqu’il s’agit de déformations analytiques, elles ne s’appliquent le plus souvent qu’à une partie de la surface; c’est ainsi qu’on ne peut déformer le plan pris en entier qu’en certains cylindres. M. Weyl, généralisant un résultat relatif à la sphère, a démontré que deux surfaces analytiques convexes fermées, applicables en totalité l’une sur l’autre, sont égales ou symétriques. Cauchy avait prouvé que deux polyèdres convexes fer-

ques. Je rapproche ce:

trouver qui les co

La démonstration de Cauchy présentait une lacune qui n'avait jamais pu être à une question posée par M. Hadamard dans Y Intermédiaire

M. Hadamard a introduit, légèrement modifié, dans la plus récente édition de sa

Géométrie.

Géométrie infinitésimale. — A l’occasion de ma seconde Thèse, j’ai remarqué définissait une transformation de contact de l’espace, et je me suis demandé, inver-

de multiplication des fonctions elliptiques. Tout cela est d'ailleurs la généralisation d’addition des fonctions elliptiques en exprimant que trois points d’une cubique

sont en ligne droite. Dans les raisonnements de Cayley, la cubique qui intervient n’est liée à la question qu’au point de vue analytique: j’ai tenu à avoir une image géométrique nette, et voici l’une des formes auxquelles je suis parvenu : Supposons

suffisantes pour l'équilibre d’un solide, et cela sans faire appel à des axiomes ue celui-ci : On peut appliquer à un corps deux forces égales et de sens con¬

sole centrale comme démonstration én quelque sorte officielle. J’étais alors ninateur d’admission à cette École, chargé précisément de la mécanique. Les

mes d’Arithmétique et d’Algèb.re [79], dans une note présentant cette originalité

grammes de Mathématiques. J’ai publié une étude déjà assez complète des courbes épicycloïdales [80]> courbes trop peu connues à mon avis : je vais plus loin qu’on

tuelles et tangentielles de celles de ces courbes qui sont algébriques. Deux autres articles d’ordre pédagogique sont ceux que j'ai consacrés aux angles polyèdres [81,82] ; j’y insiste sur une propriété d 'analysis situs très importante et trop peu remarquée :

l’espace passant par un point fixe forment une variété unilatère.

Je pourrais encore indiquer, comme ayant un caractère pédagogique, les detix Notes suivantes, dans lesquelles je me proposais de mieux faire comprendre certains résultats. Il y a deux façons d’aborder l’étude des équations de Fredholm ; ou bien