CALCUL DES VARIATIONS

détermine l’aire que pour les domaines quarrables. C’est donc bien pour ces seuls

domaines que l'on peut parler d’aires. Il est certain dès lors que, pour que notre définition de l’àire d'une surface soit acceptable, il faudra nous restreindre à des cas où la frontiêrô remplira une certaine condition comme dans le cas du plan. J’ai montré [8] que si deux surfaces S, et S, sont quarrables, c’est-à-dire ont des aires finies, et si leurs frontières se raccordent suivant un arc a ( 8, la surface § = S„ + S t . a bien pour aire la somme des aires de S, et de S,, lorsque l’arc a ( 8 peut être enfermé dans des surfaces polyédrales fermées d’aires aussi petites qu’on leveiit. Je dis, dans ce cas, que a£ est quarrable.

C'est seulement pour les surfaces limitées par des courbes quarrables que j’étudie le problème des aires. De cette manière, l’aire vérifie bien la condition d’addivité;

Le minimum des intégrales J' J' fda. — Il serait presque inutile de savoir

décomposées en morceaux par des courbes quarrables. J’ai montré qu’une surface quarrable peut toujours être décomposée en morceaux aussi petits que l’on veut par

sion approchée pour l’aire d’une surface? Un contour C étant donné, considérons des calottes polyédrales simplement connexes dont les frontières tendent vers C, la plus petite limite vers laquelle tendront les aires de telles calottes sera dite aire

est une valeur approchée de l’aire de S.

Il y a donc entière analogie entre le cas des courbes et celui des surfaces. L’étude de cette analogie m’a conduit à me demander s’il n’existait pas une surface qui soit, pour un contour C. l'analogue de ce qu’est la corde AB pour ses extrémités A et B; en d’autres termes, s’il n’existe pas une calotte de surface simplement connexe limitée à G et dont l'aire soit l’aire minima de G. ( nom de problème de Plateau, du moins quand on analytique, ce qui entraîne, comme l’on sait, qu’elle soit une surface minima. Je ne me suis nullement occupé de l'analyticité de la surface solution.

Mes premières recherches [43] sur ce sujet ont été faites indépendamment de celles de M. Hilbert sur ce qu’on appelle maintenant la inélhode directe du calcul des variations; j’ignorais avoir été précédé par M. Hilbert, de même que ce géomètre ignorait qu'il avait été précédé par Arzelà. C’est sans doute parce que j’avais pensé

<ï*(S t ), *(%), .Lorsqu’il cri est ainsi, j’ai dit, par extension d’une dénomina-

iriférieurement. Dès les premiers temps de la méthode directe, j’ai montré.[45, 8] l’importance de cette notion. J’ai prouvé que la définition des longueurs et des aires entraîne la semi-continuité inférieure des intégrales jfds , J'J'fda, intégrales

nimum pour ces intégrales, lorsque / reste constamment supérieur à un nombre pace ou d'une surface) joignant deux points donnés, soit à toutes les surfaces limi-

Je ne puis passer à une autre question sans rappeler au préalable que des travaux de M. S. Bernstein ont fait faire récemment des progrès essentiels au problème de Plateau, considéré comme problème de détermination d’une solution d’une équation

Le Problème de Dirichlet.

ment lié au problème d.e Riemann, consistant à trouver le minimum de l’intégrale

ou de l’intégrale

Considérons le domaine formé par les points M pour lesquels on a OM-^i et V-^a. La frontière de ce domaine ne contient qu’un vrai point singulier, l’origine; elle contient bien la ligne singulière OM= i, V = a, mais une petite modification du domaine la ferait disparaître. De sorte que notre domaine D est tout à fait com-

Calcul de la solution du problème de Dirichlet. — Toute démonstration d’existence fournit, théoriquement, un procédé de calcul; d’autre part, tout procédé de calcul devient, pratiquement, illusoire dès que les données ne sont plus très particulières; pourtant il y a lieu de mettre à part les procédés qui donnent des développements en série de la solution.

dérivées, réciproquement /(P) est harmonique. Bien des Mathématiciens, des Mathéau théorème de Gauss toute sa valeur de propriété caractéristique des fonctions-

J’ai apporté ma contribution à ce genre de recherches, indirectement; en me servant uniquement de l’égalité de Gauss pour le calcul d'une solution du problème de Dirichiet,je montrais que cette égalité, avec l’interprétation que je lui donnais, était caractéristique des fonctions harmoniques. Mes raisonnements supposent la possibilité du problème de Dirichlet antérieurement démontrée; j’ai attiré l’attention [29, 38] sur l’intérêt qu’il y aurait à prou ver directement le théorème de Gauss : lescalculs que je vais indiquer fourniraient alors, en même temps, la plus simple despreuves de l’existence de la solution du problème de Dirichlet.

Soient D un domaine donné, P un point de ce domaine, K(P, M) une fonction

quand PM surpasse la plus courte distance de P à la frontière de D, et dont l’intégrale, étendue à D, égale i. Alors le théorème de Gauss appliqué à toute fonction harmonique dans D, donne

A p) = J' M)/(M)rfM.

On peut rattacher cette méthode aux remarques suivantes : Dans le cas des in« giaie’s simples, il suffit souvent qu’une suite soit minimisante pour que les élémenl de cette suite aient au moins un élément limite, c’est, par exemple, ce qui se pass dans le problème des géodésiques; il n’en est plus en général ainsi s’il s’agit d’un intégrale double et a fortiori triple, puisqu’alors le problème peut être impossible on a vu cela à l’occasion des problèmes de Plateau et de Dirichlet. Il faut, aupart

limite, lorsque le problème est possible : par exemple, nous avons remplacé la première suite par une suite de fonctions monotones dans le problème de Dirichlet plan. M. Zaremba a utilisé de la même manière le passage d’une fonction à sa première itérée: cette opération a comme effet de niveler en quelque sorte les aspérités locales, et c’est pourquoi M. Boussinesq a aussi employé parfois le même procédé.

L’opération à faire subir aux fonctions des suites minimisantes doit être telle qu’elle laisserait invariable la fonction solution ; si, dé plus, la fonction solution est la seule qu’elle laisse invariable, il y aura des chances pour que la répétition de cette opération, à partir d’une fonctiomquelconque satisfaisant aux conditions aux limites du problème étudié, conduise à la solution du problème. C’est pourquoi l’itération par les formules de la moyenne était tout indiquée. Une autre opération indiquée pour le problème de Dirichlet consiste, le domaine D étant la somme de domaine D i( à modifier la fonction / successivement dans les divers D,, une infinité de fois, de

cette opération réussit; c’est la méthode alternée de Schwarz ou la méthode du balayage de Poincaré, suivant les cas.

Questions géométriques et analytiques.

m de l’écart entre les tangentes correspondantes. C

convexes, pour que le problème se formule ainsi : /(#) étant la fonction qui définit V, quelle doit être /(cp) pour que sa meilleure approximation possible, au sens de Tchebycheff, par une suite de Courier d’ordre un, soit aussi grande que possible?. Cette question est du type de celles qu'il faudrait résoudre si l’on voulait, dans les questions