ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

L — Généralités.

Dès que les principes du Calcul infinitésimal furent établis, Tanalyste se trouva en face de trois problèmes :

Résolution des équations algébriques;

Intégration des différentielles algébriques ;

Intégration des équations différentielles.

L'bistoire de ces trois problèmes est la même. Après de longs et vains efforts pour les ramener à des problèmes plus simples, les géomètres se sont enfin résignés à les étudier pour eux-mêmes, et ils en ont été récompensés par le . succès.

Longtemps on a pu espérer que Ton pourrait résoudre toutes les équations par radicaux. On y a renoncé, et aujourd'hui les fonctions algébriques nous sont aussi bien connues que les radicaux auxquels on voulait les ramener. De même les intégrales de différentielles algébriques, que l'on a cherché longtemps à ramener aux fonctions logarithmiques ou trigonométriques, s'expriment aujourd'hui à l'aide de transcendantes nouvelles.

Il devait en être à peu près de même des équations différentielles. Le nombre des équations intégrables par quadratures est extrêmement restreint, et tant qu'on ne s'est pas décidé à étudier les propriétés des intégrales en elles-mêmes, tout ce domaine analytique n'a été qu'une vaste terra incognita qui semblait à jamais interdite au géomètre.

C'est Cauchy qui y a pénétré le premier, grâce à l'invention d'une méthode ingénieuse qu'il a appelée calcul des limites. A sa suite, MM. Fuchs, Briot et Bouquet, et M'°** Kowalcvski ont employé avec succès la même méthode.

Ce sont donc les travaux de ces géomètres qui m'ont servi de point de départ.

En présence d'un problème si compliqué, ces divers savants, au lieu d'étudier la manière d'être des intégrales des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles pour toutes les valeurs de la variable, c'est-à-dire dans tout le plan, se sont d'abord occupés de déterminer les propriétés de ces intégrales dans le voisinage d'un point donné. Ils avaient ainsi reconnu que ces propriétés sont très différentes selon qu'il s'agit d'un point ordinaire ou d'un point singulier. Dans le voisinage d'un point ordinaire, l'équation différentielle peut se mettre sous la forme.

et j peut se développer suivant les puissances Ae x — x^.

Dans le voisinage d'un point singulier, l'équation différentielle peut se mettre sous l'une des deux formes

si elle est du premier ordre ou, sous des formes analogues, si elle est d'un ordre supérieur ou aux dérivées partielles. Dans le cas où l'équation différentielle se met sous la forme (2) (ou sous des formes analogues pour le second ordre ou les ordres supérieurs), MM. Briot et Bouquet avaient signalé certaines propriétés des intégrales, et M. Fuchs en avait donné le développement en séries dans le cas particulier des équations linéaires.

J'ai cherché d'abord à étudier l'équation (2), supposée non linéaire, et k trouver le développement en séries de ses intégrales. J'ai reconnu (77) (*) que ces intégrales peuvent se développer suivant les puissances de {x — x^) et de

( ' ) Lc3 chiffres placés entre parenthèses renvoient aux numéros do la Bibliographie.

{x — x^Yj X étant une constante facile à déterminer, ou, dans un cas particulier, suivant les puissances de (a? — j?») et de \o^{x — Xf^). Le résultat peut d'ailleurs s'étendre aux équations d'ordre supérieur.

J'ai voulu ensuite (63) étudier du même point de vue les équations aux dérivées partielles du premier ordre. Cauchy et M™* Kowalevski nous avaient appris comment on peut développer en séries les intégrales de ces équations dans le voisinage d'un point ordinaire. Il restait à étudier ces intégrales dans le voisinage d'un point singulier, comme l'avaient fait MM. Briot et Bouquet pour les équations différentielles. En abordant ce problème, je rencontrai deux sortes de singularités : les premières accidentelles et spéciales à Tintégrale particulière que l'on envisage, les secondes essentielles et provenant de l'équation aux différences partielles elles-mêmes. Dans le premier cas, je vis aisément que les intégrales satisfont à des équations algébriques, dont les coefficients sont holomorphes par rapport aux variables. Dans le second cas, les difficultés à surmonter étaient plus grandes.

J'ai envisagé d'abord l'équation

où les X sont des fonctions holomorphes de ^,, x.^^ . . ., ^,, (quand ces variables sont suffisamment voisines de zéro) et s'annulent avec ces variables.

Pour que cette équation admette une intégrale holomorphe, il faut d'abord que X satisfasse à une certaine équation algébrique de degré n\ mais cette condition n'est pas suffisante; les racines de cette équation doivent de plus être assujetties à une condition spéciale : le polygone convexe qui contient tous les points du plan qui représentent ces racines ne doit pas contenir l'origine. Si cette condition est remplie, il y a toujours une intégrale holomorphe, et il n'y en a pas, en général, dans le cas contraire. Nous verrons plus loin quelles sont les conséquences de ce fait dans la théorie générale des fonctions.

Considérant ensuite les équations

je reconnus que les intégrales générales de ce système sont de la forme

■.' «v- • • • If >

où les T sont des fonctions holomorphes par rapport aux a;, où les X sont les

racines de Téquation algébrique dont nous venons de parler et les K des constantes d'intégration.

Cela n'est vrai d'ailleurs que si les X satisfont à la condition énoncée plus haut, et, dans ce cas, il est possible de trouver le développement des diverses intégrales particulières de l'équation (4).

Tout ce que je viens de dire ne s'applique qu'aux points singuliers les plus simples, analogues à celui de l'équation (2). Pour les singularités d'ordre plus élevé, telles que celle que présente l'équation (3), on ne sait presque rien. Ces singularités d'ordre supérieur se présentent en particulier dans l'étude des équations linéaires, dont les intégrales sont dites alors irrégulières; mais, même dans ce cas spécial, nous ne savons à leur sujet que fort peu de chose.

M. Thomé» qui lésa étudiés, a montré que les équations sont alors satisfaites formellement par des séries de la forme suivante

?x étant un polynôme entier en a? et ?(--) étant une série ordonnée suivant les

puissances décroissantes de x. (Je suppose ici, pour fixer les idées, qu'on a rejeté le point singulier à l'infini.) Mais, pour que ces séries représentassent les intégrales cherchées, il faudrait qu'elles fussent convergentes, ce qui n'a lieu que dans des cas très particuliers. J'eus l'idée d'appliquer k ces intégrales irrégulières la transformation de Laplace (102, 82 et 72), et j'obtins ainsi sous une forme nouvelle et simple la condition de convergence de ces séries; mais le cas de la convergence n'était qu'exceptionnel, et il semblait que, dans le cas général, on ne put rien tirer des développements de M. Thomé. Il n'en était rien. On connaît depuis longtemps une série, celle de Stirling, qui, bien que divergente, peut être légitimement employée pour représenter la fonction

car, si x est très grand, l'erreur commise sur cette fonction en s'arrêtant dans la série à un terme de rang convenable est extrêmement petite. J'ai montré que les séries de M. Thomé jouissent de la même propriété. Alors même qu'elles sont divergentes, elles représentent les intégrales des équations proposées de la même

manière que la série de Stirling représente la fonction p » J'ai trouvé en

outre, en passant, un certain nombre de propriétés des équations linéaires, entre autres celle-ci :

Si une équation linéaire d'ordre n a pour coefficients des polynômes entiers d'ordre m{m<^n), elle admettra n — m intégrales holomorphès dans tout le plan.

Mais l'étude des intégrales des équations différentielles dans le voisinage d*un point donné, quelle que soit son utilité au point de vue du calcul numérique, no saurait être regardée que comme un premier pas. Ces développements, qui ne sont valables que dans un domaine très limité, ne nous apprennent pas, au sujet de ces équations, ce que nous apprennent les fonctions au sujet des intégrales des différentielles algébriques : ils ne peuvent pas être considérés comme une véritable intégration.

Il faut donc les prendre comme point de départ dans une étude plus approfondie des intégrales des équations différentielles où l'on se proposera de sortir des domaines limités, où l'on s'était systématiquement cantonné, pour suivre les intégrales dans toute l'étendue du plan.

Mais cette étude peut être faite à deux points de vue différents :

1® On peut se proposer d'exprimer les intégrales à l'aide de développements toujours valables et non plus limités «i un domaine particulier. On est conduit ainsi à introduire dans la Science de nouvelles transcendantes; mais cette introduction est nécessaire, car les fonctions anciennement connues ne permettent d'intégrer qu'un très petit nombre d'équations différentielles.

2** Mais ce mode d'intégration, qui nous fait comiaitre les propriétés des équations au point de vue de la théorie des fonctions, ne saurait suffire à lui seul si l'on veut appliquer les équations différentielles, par exemple, à dos questions de Mécanique ou de Physique. Nos développements ne nous apprendraient pas, à moins d'un travail considérable, si par exemple la fonction va constamment en croissant, ou si elle oscille entre certaines limites, si elle peut croître au delà de toute limite. En d'autres termes, si l'on considère la fonction comme définissant une courbe plane, on ne saurait pas quelle est la forme générale do cette courbe. Dans certaines applications, toutes ces questions ont autant d'importance que le calcul numérique, et il y avait là un nouveau problème à résoudre.

Dans les paragraphes qui vont suivre, je vais exposer les efforts que j'ai faits pour trouver la solution de ces deux problèmes.