EXPOSÉ SUCCINCT DES PRINCIPAL! RÉSLLTATS

Mes travaux mathématiques ont eu jusqu'ici quatre objets principaux :

1° Étude des équations différentielles;

2** Théorie générale des fonctions;

3** Algèbre et Arithmétique;

4^ Mécanique céleste.

Toutefois, je n'ai pas poursuivi ces quatre buts indépendamment l'un de l'autre et sans profiter de l'appui mutuel que se prêtent ces théories, en apparence si différentes.

Ainsi, mes recherches sur les fonctions, que j'ai Si\)pélécs /uchsiennes, se rattachent a la fois à l'étude des équations différentielles, puisqu'elles me permettent d'intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, et a la théorie générale des fonctions, puisque ces transcendantes présentent des particularités remarquables, qui sont de nature à jeter quelque lumière sur la manière d'être des fonctions analytiques.

Ce n'est pas tout; il y a une théorie qui m'a été également utile dans toutes mes recherches : c'est celle des groupes formés par des substitutions linéaires. Ces substitutions jouent en effet, à la fois, un rôle prépondérant dans l'étude des équations linéaires et dans celle des formes arithmétiques. C'est à cette circonstance que l'on doit attribuer les rapprochements, souvent inattendus, que je signalerai plus loin, entre la théorie des nombres et celle des fonctions fuchsiennes, théories qui ne semblent pourtant, au premier abord, avoir aucun point de contact.

Quels que soient cependant ces liens plus ou moins intimes entre des ordres d'idées qui paraissent fort différents, je crois pouvoir, pour exposer avec ordre les résultats de mes travaux, adopter la classification que j'ai esquissée plus haut.

Voici maintenant quels sont dans ces quatre domaines les principaux résultats

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que j*ai obtenus, en laissant de côté un grand nombre de résultats secondaires, qui trouveront leur place dans le Résumé analytique.

J'ai intégré les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques par le moyen de transcendantes nouvelles, tout à fait analogues aux fonctions elliptiques et que j'ai appelées fiichsiennes. Quant aux intégrales des équations non linéaires, j'en ai donné divers développements en séries; l'un d'entre eux permet le calcul numérique de l'intégrale pour toutes les valeurs réelles de la variable. J'ai déterminé enfin, dans un très grand nombre de cas, la forme des courbes définies par les équations différentielles.

Dans mes travaux sur la théorie générale des fonctions, je citerai un théorème qui permet de ramener les fonctions non uniformes aux fonctions uniformes. J'ai étendu aux fonctions de deux variables un certain nombre de propositions importantes qui n'étaient démontrées que pour les fonctions d'une seule variable, entre autres le théorème fondamental de M. Weierstrass et la théorie des résidus deCauchy. Je me suis occupé en particulier des transcendantes abéliennes, auxquelles j'ai étendu un certain nombre de propriétés des fonctions elliptiques. J'ai ramené la théorie de la réduction des intégrales abéliennes, dont les beaux travaux de M. Picard avaient montré l'importance, à quelques théorèmes généraux très simples.

En Algèbre, j'ai étudié en détail les propriétés des substitutions linéaires et j'ai abordé le premier la question de la résolution d'un nombre infini d'équations linéaires dépendant d'un nombre infini de variabjcs. En Arithmétique, je me suis occupé des formes quadratiques et cubiques, et j'ai introduit une notion nouvelle, celle des invariants arithmétiques.

En Mécanique céleste, j'ai étudié certaines solutions particulières remarquables du problème des trois corps. Dans un autre ordre d'idées, j'ai recherché quelles sont les figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation. Aux deux formes ellipsoïdales depuis longtemps connues, j'en ai ajouté une infinité d'autres, dont une est en équilibre stable.