VI. — Théorie générale des fonctions d'une variable

La théorie des fonctions d'une seule variable complexe a fait dans ces derniers temps des progrès considérables, grâce aux travaux de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler.

Ces fonctions peuvent se répartir en trois classes : i® fonctions uniformes existant dans toute Tétendue du plan ; a^ fonctions uniformes à espaces lacunaires, c'est-à-dire n'existant pas dans toute l'étendue du plan; 3** fonctions non uniformes.

Parmi les fonctions de la première classe, les plus importantes sont les fonctions entières, c'est-à-dire celles qui peuvent se développer suivant les puissances de .r, en séries toujours convergentes. M. Weierstrass a fait voir qu'une pareille fonction peut toujours se décomposer en un produit d'une infinité àe^ facteurs primaires , Un

facteur primaire de genre n est le produit f i— - je'*^'^ P(^) étant un polynôme

entier de degré n. Une fonction de genre n est une fonction entière dont tous les facteurs primaires sont de genre n ou de genre inférieur.

Cette classification des fonctions entières en genres soulève un grand nombre de problèmes intéressants. J'ai voulu contribuer (86) à la solution de ces problèmes en étudiant la manière dont une fonction de genre n se comporte à l'infini et la rapidité avec laquelle décroissent les coefficients de son développement suivant les puissances de x. Je suis arrivé ainsi aux résultats suivants :

1° Si F(a?) est une fonction de genre n et si le module de x croît indéfiniment avec un argument tel que c"'"'^* tende vers o, le produit ?{x)e'^'''^' tend aussi vers o.

2° L'intégrale

représente une fonction entière de--

(38) 3" Si Ap est le coefficient de x^ dans le développement de F(ir), on a

Wvakp'^^s/pl = G (pour/> = oo).

4** Si F(^) est une fonction de genre o, elle est susceptible d'être représentée par la série d'Abel étudiée par M. Halphen dans le tome X du Bulletin de la Société mathématique de France, et cela quelle que soit la constante p.

Malheureusement les réciproques de ces pro{)ositions ne sont pas vraies. Il est aisé de voir la raison pour laquelle il est impossible de trouver un critère infaillible, donnant les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit du genre n. En effet, la classification des fonctions en genres se rattache très étroitement à la théorie de la convergence des séries.

Pour qu'une fonction dont les zéros sont, par ordre de module croissant,

^1» ^î> • • • > ^/>> • • • > soit de genre n, la première condition et la plus importante, c'est que la série

aJ^V a'i^' al"-'

soit convergente. Or il n'y a point de critère de la convergence d'une série pouvant s'appliquer à tous les cas. C'est pour cela qu'il n'y a pas non plus de critère permettant de reconnaître dans tous les cas si une fonction est du genre n.

Outre les fonctions entières, la première classe comprend : i** les fonctions qui ont des pôles; 7? celles qui ont un nombre fini de points singuliers essentiels; 3** celles qui en ont un nombre infini parmi lesquels on peut trouver des points singuliers isolés (j'appelle ainsi les points singuliers autour desquels on peut tracer un cercle assez petit pour ne contenir aucun autre point singulier); 4° celles qui ont une ligne singulière; 5** celles qui, ayant un nombre infini de points singuliers, mais n'ayant pas de lignes singulières, n'ont cependant pas de points singuliers isolés. (Les Allemands disent alors que les points singuliers forment eine perfecte Menge.)}W donné, pour la première fois (*), un exemple de fonctions de cette dernière catégorie; ce sont les fonctions fuchsiennes qui existent dans toute l'étendue du plan. En appliquant un théorème de M. Picard, on peut voir en effet que ces fonctions ne peuvent avoir de points singuliers isolés.

Passons maintenant à la deuxième classe, celle des fonctions à espaces lacu-

( * ) Fonctions fuchsiennes (pa^sim ).

naires signalées pour la première fois par M. Weierslrass. J'ai été conduit par deux voies différentes (99) à m'occuper de ces fonctions. En premier lieu les fonctions fuchsiennes et kleinéennes n'existent en général qu'à l'intérieur d'un cercle ou d'un domaine plus compliqué; elles me fournissaient donc un exemple de fonctions à espaces lacunaires. Les résultats de ma thèse inaugurale me conduisaient également a des fonctions présentant des lacunes. Si l'on veut bien en effet se reporter au paragraphe que j'ai intitulé Généralàés sur les équations différentielles et à l'équation (4) de ce paragraphe, on verra que cette équation (4) n'a d'intégrale holomorphe que si le polygone convexe, qui contient tous les points représentatifs des différentes racines d'une certaine équation algébrique, ne contient pas l'origine. Gela ne pourrait pas arriver, si l'intégrale holomorphe de l'équation (4)» considérée comme fonction des racines de cette équation algébrique, n'était une fonction à espace lacunaire.

Cette remarque m'a fait découvrir toute une classe de fonctions présentant des lacunes. Voici quel est leur mode de génération. On pose

en supposant que la série ^A^ soit absolument convergente et que les points b^ soient intérieurs à un certain domaine D ou situés sur le contour de ce domaine, et cela de telle façon que, si l'on prend sur ce contour un arc quelconque et aussi petit qu'on voudra, il y ait toujours sur cet arc une infinité de points b„.

La fonction 9(^) est alors une fonction uniforme admettant le domaine D comme espace lacunaire. Comme exemple particulier, j'ai cité ia série

m-h n -hp

OÙ 1/, i^, w sont des constantes données, de module inférieur à i, où a, p, y sont des constantes imaginaires quelconques et où m, n et/' peuvent prendre sous le signe 2 tous les systèmes de valeurs entières et positives.

La fonction (f(oo) a alors pour espace lacunaire le triangle a^y.

Il importe de se rendre compte de la véritable nature de ces fonctions à espaces lacunaires. Il arrive souvent que les développements en séries, à termes rationnels par exemple, sont convergents à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de ce domaine et ne divergent que sur le contour même du domaine. Les deux parties du plan où la série converge sont alors complètement séparées par une ligne le long de laquelle le développement cesse d'être valable. Doit-on cependant consi-

dérer les deux fonctions représentées par le développement à Tintérieur et à l'extérieur du domaine comme le prolongement analytique Tune de l'autre? Plusieurs géomètres étaient autrefois tentés de le croire. M. Weierstrass a montré pour la première fois que leur point de vue était faux, en donnant des exemples de séries qui représentent dans des domaines différents des fonctions manifestement différentes. J'en ai moi-même rencontré un exemple dont je veux ici dire un mot. Certains développements qui représentent à l'intérieur du cercle fondamental une de ces fonctions que j'ai appelées plus haut thêtafuchsiennes représentent o à l'extérieur de ce cercle.

J'ai voulu donner (34) un argument nouveau à l'appui de la manière de voir de M. Weierstrass. Considérons une fonction F(a?) admettant un domaine D comme espace lacunaire, et une autre fonction F, (a?) n'existant au contraire qu'à l'intérieur de ce domaine et admettant par conséquent tout le reste du plan comme espace lacunaire. Divisons le contour du domaine D en deux arcs A et B. J'ai démontré qu'on pouvait trouver deux fonctions uniformes $(a?) et $, (a?) existant dans tout le plan et admettant seulement, la première A, la seconde B comme ligne singulière; et cela de telle sorte que

*-h^i = F à Texlérieur de D, ^ -h *i = Fi à Tintérieur de D.

Si la fonction F avait un prolongement analytique naturel à l'intérieur de D, ce prolongement devrait être F, ; mais nous avons choisi cette fonction F, d'une manière tout à fait arbitraire, en l'assujettissant seulement à n'exister qu'à l'intérieur de D. 11 est donc dénué de sens de parler du prolongement naturel d'une fonction à l'intérieur d'un de ses espaces lacunaires. J'avais en même temps ramené l'étude des fonctions à espaces lacunaires à celle des transcendantes uniformes à ligne singulière essentielle.

La théorie des fonctions non uniformes est loin d'être aussi avancée que celle des fonctions uniformes. Quoiqu'on connaisse assez bien la manière d'être de ces fonctions dans lei'oisinage d'un point donnée quoique l'introduction des surfaces de Riemann ait jeté beaucoup de lumière sur les parties encore obscures de leur théorie, il y a encore bien des progrès à faire avant de connaître leurs principales propriétés. J'étais donc animé du désir de ramener leur étude à celle des transcendantes uniformes. La théorie des fonctions fuchsiennes me rapprochait déjà du but; j'avais démontré, en effet, que si /(or, j) == o est l'équation d'une courbe algébrique quelconque, on peut choisir un paramètre :; de telle façon que x et y soient des fonctions uniformes de ce paramètre. J'avais ainsi

résolu le problème pour les plus simples des fonctions non uniformes, c'està-dire pour les fonctions algébriques.

J'étais donc (84) naturellement porté k me demander si cette propriété est par" ticulière aux fonctions algébriques, ou si l'on peut l'étendre à une fonction non uniforme quelconque. J'ai pu répondre à cette question et démontrer le théorème très général suivant :

Soit y une fonction analytique quelconque de a?, non uniforme. On peut toujours trouver une variable z, telle que x et y soient fonctions uniformes de z.

Mon point de départ a été la démonstration du principe de Dirichlet donnée par M. Schwarz. Mais ce principe n'aurait pu à lui seul me permettre de triompher des difficultés qui provenaient de la grande généralité du théorème à démontrer. Il faut d'abord définir la surface de Riemann à une infinité de feuillets dont je cherche à faire, sur une partie du plan, la représentation conforme. Je choisis cette surface de façon qu'elle soit simplement connexe, que tous les points singuliers restent en dehors de la surface proprement dite et se trouvent pour ainsi dire sur sa frontière, et enfin de façon que la fonction y ne puisse prendre deux valeurs différentes en Un même point de la surface.

Je découpe une portion finie R de cette surface, et j'en fais sur un cercle la représentation conforme, ce que le théorème de M. Schwarz me permet de faire. Cette représentation se fait à l'aide d'une certaine fonction analytique u. Faisons ensuite croître indéfiniment la région R; nous aurons la représentation conforme d'une portion de plus en plus étendue de notre surface de Riemann. Il me faut alors faire voir que la fonction analytique u dont je parlais plus haut tend vers une limite finie et déterminée. Quand cela est fait, les premières difficultés seules sont vaincues. En efTet, il reste à démontrer que la limite de la fonction u est elle-même une fonction analytique. Pour cela, il faut que la fonction analytique £/ tende uniformément vers sa limite (gleichmàssig), ce que je suis parvenu à démontrer.

Ainsi, l'étude des Jonctions non uniformes est ramenée, dans tous les cas possibles, à l'étude bien plus facile des fonctions uniformes.

Je rattacherai à ces recherches, relatives aux fonctions d'une variable, les travaux que j'ai consacrés à l'étude des séries de polynômes (32, 82). Et en effet, il y a un fait qui joue un rôle très important dans la théorie des fonctions : c'est que les régions où une fonction quelconque peut être représentée par une série de puissances sont limitées par des cercles. On peut donc supposer qu'on pourra tirer un profit analogue de la connaissance des régions où conviennent des développements d'autre forme.

J'ai cherché, en particulier, les conditions de convergence des séries dont le ^ienie (emie est un coefficient constant multiplié par un polynôme entier Pn(^) de degré n, en supposant qu'il y ait entre un certain nombre de polynômes Pq consécutifs une relation de récurrence. Les séries ordonnées suivant les polynômes de Legendre n'en sont évidemment que des cas particuliers. J'ai trouvé que les régions où ces séries convergent sont limitées par certaines courbes de cons^ergence et ysi\ déterminé ces courbes en remarquant que la série

considérée comme fonction de s, satisfait à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des polynômes entiers en z et en a:.

VU. — Théorie générale des fonctions de deux variables.

Il semble d'abord que, pour étudier les fonctions de deux variables, il suffit d'appliquer, sans y rien changer, les principes qui ont servi à établir les propriétés des fonctions d'une seule variable. Il n'en est rien; il y a entre les deux théories des différences essentielles et l'on ne saurait passer de l'une à l'autre par une simple généralisation.

Cette différence apparaît dès que l'on considère les polynômes entiers qui sont décomposables en facteurs s'il n'y a qu'une variable et ne le sont plus dans le cas contrairia. Je laisserai de côté pour le moment les difficultés que l'on a éprouvées en voulant généraliser la théorie des résidus de Cauchy, car j'y veux consacrer le paragraphe suivant. J'insisterai seulement sur un exemple qui met bien en évidence les différences dont je viens de parler : c'est Tétude des fonctions méromorphes dans tout le plan, c'est-à-dire des transcendantes qui ne présentent à distance finie d'autres singularités que des infinis.

On sait que M. Weierstrass a démontré que, si une fonction d'une seule variable est méromorphe dans tout le plan, elle peut être regardée comme le quotient de deux fonctions entières. Pour arriver à ce résultat, le célèbre géomètre de Berlin construit une fonction entière qui s'annule pour tous les infinis de la fonction méromorphe donnée. Le produit des deux fonctions, ne devenant plus infini, est une fonction entière. Pour construire la transcendante en question, il faut considérer séparément les différents infinis de la fonction méromorphe donnée.

La méthode de M. Weierstrass parait donc, au premier abord, ne pas pouvoir s'étendre aux fonctions de deux variables, dont les infinis sont non plus des

points isolés, mais des multiplicités continues, et ne peuvent par conséquent être envisagés séparément. Aussi les géomètres qui tentaient de généraliser le théorème de M. Weierstrass ont-ils été longtemps arrêtés (31, 66).

J'eus ridée de tourner la difficulté en généralisant la notion de fonction de deux variables. Soit en effet V -h AV une fonction des variables imaginaires x -\- iy et it. La partie réelle V satisfera à l'équation

Mais cette condition n'est pas suffisante pour que Y soit la partie réelle d'une fonction de nos deux variables. 11 faut en outre que V satisfasse aux relations

Envisageons maintenant toutes les fonctions V qui satisfont à l'équation (i) sans être assujetties à satisfaire aux équations (2). On pourra alors construire une fonction qui remplira cette unique condition (i) et qui de plus admettra une partie seulement des infinis de la fonction méromorphe donnée sans en admettre d'autres. Gela était impossible au contraire quand cette fonction restait assujettie aux conditions (a).

Pouvant alors considérer séparément les infinis de notre fonction méromorphe, nous n'avons plus qu'à appliquer la méthode même de M. Weierstrass pour construire une fonction e^ qui s'annule pour tous les infinis de la fonction méromorphe donnée et telle que V satisfasse à l'équation (i). On peut même en trouver une infinité. Soient en effet V© Tune d'elles et G une fonction entière, c'est-à-dire toujours finie» de or, y, js, ^ satisfaisant à l'équation AG = o; toutes les fonctions Vg-hG rempliront, comme la fonction V© elle-même, les conditions énoncées plus haut. Il reste à faire voir que, parmi ces fonctions, Yo + G, il y en a une qui peut être regardée comme la partie réelle d'une fonction de a? 4- /j et de z + 1/, ce qui veut dire que l'on peut disposer de la fonction entière G, de telle façon que

c^ÇYo-hG) g^(YoH-G) ^(Yo-4>G) r/'ÇYo-^G) ^^ dx^ dj* dxdz dydt

C'est ce que j'ai fait, démontrant ainsi le théorème suivant :

Si une fonction de deux variables imaginaires est partout méromorphe, elle sera le quotient de deux fonctions entières.

En ce qui concerne [les fonctions non uniformes, j'ai contribué à l'étude de

leurs propriétés dans le voisinage d'un point donné, par les lenimes que j*ai démontrés au début de ma thèse inaugurale. Supposons qu'une équation

F(2, ^1, ^„ . . .,^rt) =o,

définissant z comme fonction implicite de ^i, 0^2, ; . ., Xj^^ soit satisfaite pour le système de valeurs

et que nous étudiions la fonction dans un domaine voisin de ce système de valeurs. Je suppose de plus que dans ce domaine la fonction F soit holomorphe.

On sait depuis longtemps que, si ^ n'est pas nul, z est fonction holomorphe de â?|« x^^ . ..,x„. J'ai cherché ce qui se passe lorsque ^ est nul en même temps

que ^> ^> •••> jt^zt» mais que la m**™*^ dérivée ^-^ n est pas nulle. J ai démontré que dans ce cas z satisfait à une équation algébrique de la forme

5"» 4- B,„, s"*-* 4- B;„-.,5"»-« -h . . . -+- Bt5 -h Bo= o,

dont les coefficients A sont des fonctions holomorphes des x. J'ai obtenu ensuite un résultat analogue pour le cas où l'on a p fonctions implicites de n variables définies par/? équations simultanées.