VIII. — Intégrales multiples

La théorie qui a le plus contribué à faciliter l'étude des fonctions d'une variable est certainement celle des intégrales prises entre des limites imaginaires. Elle conduit, comme on le sait, à envisager les périodes de ces intégrales et à distinguer les périodes polaires (correspondant aux résidus) des périodes cycliques. Un des points les plus importants est d'ailleurs l'étude des intégrales abéliennes, c'est-à-dire des intégrales de différentielles algébriques; cette théorie est ordinairement présentée sous une forme géométrique, ce qui a amené à dire, pour abréger, que ces intégrales « appartiennent à une courbe algébrique ».

Quand on passe aux fonctions de deux variables, la notion de ces intégrales et de leurs périodes peut se généraliser à deux points de vue différents: par les intégrales de différentielles totales et parles intégrales doubles. Je ne m'étendrai pas beaucoup sur le premier de ces modes de généralisation. H ne m'appartient pas, en effet : c'est M. Picard qui en a tiré les premiers et les plus beaux résultats. Je n'ai fait qu'appeler l'attention (51), à la suite de la Note de M. Picard, sur quel-

ques points de détail. Ainsi ce géomètre avait démontré qu'une surface algébrique ne possède d'intégrales abéliennes de différentielles totales de première espèce que dans des cas particuliers.

Je veux dire que, si

est l'équation d'une surface algébrique définissant z en fonction de x et de j, il n'y aura pas, en général, de différentielle exacte

OÙ P et Q soient rationnels en œ, y, z, de telle façon que l'intégrale

Pdx-^Qdy

reste toujours finie.

Partant de là, j'ai trouvé les conditions pour qu'une surface du quatrième ordre possède de pareilles intégrales. Il faut et il suffit qu'elle soit une surface réglée ou qu'elle se ramène à une surface de révolution par une transformation linéaire. J'ai indiqué également un certain nombre de cas où il n'y a jamais, et d'autres où il y a toujours des intégrales de première espèce.

J'ai reconnu que le théorème d'Abel s'étendait immédiatement aux intégrales de différentielles totales de première espèce; mais il semblait au premier abord qu'il ne serait plus applicable aux surfaces qui ne possèdent pas de pareilles intégrales, c'est-à-dire la grande majorité des surfaces algébriques.

Il n'en était rien. J'ai démontré (52) le théorème suivant :

Si (j?i, y^, 2,), (o^a, yt, z^), . . . , (xç, j^, z^) sont les q points d'inftersection d'une surface algébrique S et d'une courbe algébrique C ; si (ar, + dx^ ,y^ + dy^, 5, -h rfzi ), . . . sont les q points d'intersection de cette même surface S avec une courbe C infiniment peu différente deC, on aura un certain nombre de relations de la forme

où X,- est une fonction rationnelle de or,-, y^, zi. Ces relations peuvent être regardées comme la généralisation du théorème d'Abel.

Les difficultés qui s'attachent à l'étude des intégrales doubles et multiples étendues à un domaine imaginaire sont d'une nature différente. Il semble que la théorie des intégrales simples prises entre des limites imaginaires serait d'une exposition beaucoup plus laborieuse si l'on n'avait pour s'y guider une représentation géométrique. On perd ce guide quand on passe aux intégrales doubles; il

faudrait alors recourir à la Géométrie à quatre dimensions, ce qui serait une complication plutôt qu'une simplification.

Cet obstacle ne parait pas d'abord très sérieux; cependant il arrêta longtemps les géomètres. M. Picard, à propos des fonctions hyperfucbsiennes, avait traité une question qui présente quelque analogie avec celle qui nous occupe, mais qui n'est pourtant pas la même; les quantités qu'il a ainsi introduites ne peuvent être en aucune façon regardées comme la généralisation des périodes des intégrales simples. Il importe de ne pas les confondre avec les périodes cycliques que ce même savant a étudiées peu de temps après la publication de ma première Note à ce sujet, et qui se rattacbe, au contraire, très directement à la théorie que j'ai cherché à fonder.

Je fus donc le premier à étudier méthodiquement cette importante question dans une Note (59) que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie le 25 janvier 1 886 et dont je suis en train de développer les résultats dans un Mémoire qui est actuellement à moitié terminé.

Le premier point était d'imaginer un mode de représentation géométrique sans employer l'espace à quatre dimensions. On peut y arriver par diverses méthodes que je n'exposerai pas ici et dont j'ai fait tour à tour usage. Il faut ensuite donner une définition des intégrales doubles prises dans un domaine imaginaire. Grâce aux modes de représentation dont je viens de parler, on peut donner cette définition sans qu'il subsiste aucune équivoque. Il faut ensuite démontrer le théorème fondamental, analogue à celui de Gauchy, et d'après lequel une intégrale double prise le long d'un contour fermé est nulle en général. Cette démonstration ne présente aucune difficulté. On peut trouver sous une forme simple les conditions d'intégrabilité de différentielles doubles

Kdydz -H Bdxdz -hCdxdy -h . . . ,

, qu'il faut d'abord définir sans ambiguïté. Ces conditions présentent presque la même forme que celles qui expriment l'intégrabilité d'une différentielle ordinaire. Seulement certains signes qui sont tous positifs pour les intégrales d'ordre pair^ et, en particulier, pour les intégrales doubles, sont, au contraire, alternativement positifs et négatifs quand il s'agit d'intégrales d'ordre impair et en particulier d'intégrales simples. Ces conditions une fois trouvées, le théorème fondamental s'ensuit immédialement.

Il admet cependant des exceptions, comme la proposition correspondante de la théorie de Gauchy, et ce sont ces exceptions qui sont l'origine des périodes des intégrales doubles. Ces périodes se distinguent, comme dans le cas d'une seule variable, en périodes cycliques et en périodes polaires. Je me suis occupé, en

particulier, des périodes polaires ou, si Ton veut, des résidus des intégrales doubles. M. Picard a étudié ensuite les périodes cycliques.

J'ai envisagé l'intégrale d'une fonction rationnelle que j'ai écrite sous la forme suivante

fi,x,y)dxdy

en décomposant le dénominateur en facteurs irréductibles, et j'ai reconnu que cette intégrale présente trois sortes de périodes :

I" Celles de la première sorte sont égales à 2iu multiplié par l'une des périodes de première espèce de l'intégrale abélienne

(rapportée à la courbe algébrique ^^ = o)-

2"^ Celles de la seconde sorte se rapportent aux divers points d'intersection des deux courbes (p = ^ = o et sont égales à

A(a?, j) étant le déterminant de 9 et de ^ par rapport à j? et àj; et a?© et jo étant les coordonnées du point d'intersection.

3^ Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles de ces deux courbes et ont une expression analogue.

Mais la théorie serait incomplète si l'on se bornait à ces trois sortes de périodes. Il peut arriver que la fonction sous le signe intégral devienne infinie en divers points du contour d'intégration sans que l'intégrale elle-même cesse d'être finie. Cette circonstance ne pouvait pas se produire dans le cas des intégrales simples, lorsque la fonction à intégrer était rationnelle; il n'en est plus de même ici. D'un autre côté, on ne saurait exclure de parti pris les intégrales de cette sorte; car, autant qu'on en peut juger aujourd'hui, elles doivent jouer un rôle important dans les applications.

Or les intégrales de cette nouvelle sorte ont un caractère bien différent de celui des intégrales à périodes. Celles-ci, en effet, ou bien restent constantes quand on fait varier le chemin d'intégration d'une manière continue, ou bien s'accroissent par sauts brusques; celles-là, au contraire, varient d'une façon continue comme le chemin d'intégration lui-même. C'est là la principale différence entre la théorie nouvelle et celle de Cauchy.

Ces résultats s'appliquent, mutatis mutandis, aux transcendantes et, en particulier, aux fonctions uniformes.

Cette théorie nouvelle sera-t-elle aussi féconde que l'ont été les découvertes de Cauchyî Elle est encore trop jeune pour qu'on puisse se prononcer sur ce point. Certainement quelques-uns des résultats qu'on peut obtenir ainsi, et par une généralisation immédiate des méthodes de Cauchy, auraient pu être atteints plus aisément par d'autres voies. Mais on peut espérer qu'il n'en sera pas toujours de même, et déjà je suis sur la voie de propositions réellement nouvelles sur la théorie des fonctions- abéliennes.

Après cette revue des travaux que j'ai consacrés à la théorie générale des fonctions, je suis naturellement amené à passer à l'étude de diverses fonctions particulières. J'ai déjà parlé plus haut des fonctions fuchsiennes. Il me reste à résumer mes recherches sur les fonctions elliptiques, sur les fonctions abéliennes et sur les fonctions hyperfuchsiennes.