XII. — Algèbre

C'est par un problème d'Arithmétique que j'ai été conduit à «l'occuper d'Algèbre. La théorie des formes arithmétiques et des substitutions linéaires à coefficients entiers appliqués à ces formes est en effet intimement liée à l'étude algébrique de ces mêmes formes et des substitutions linéaires à coefficients quelconques qu'elles peuvent subir.

C'est ainsi que j'ai été amené, a deux reprises différentes, à rechercher quelles sont les formes algébriques qui ne sont pas altérées par une substitution linéaire donnée et quels sont les groupes continus formés par ces substitutions. Après avoir classé (3, 79) les substitutions linéaires en quatre catégories jouissant de propriétés différentes, j'ai cherché quelles étaient les formes cubiques ternaires et quaternaires qui sont reproduites par une substitution linéaire donnée et par xxn faisceau de substitutions, c'est-à-dire par un groupe de substitutions permutables deux à deux. J'ai résolu également le problème inverse, c'est-à-dire que j'ai déterminé les substitutions qui reproduisent une forme cubique ternaire donnée, ce qui m'était nécessaire pour le but arithmétique que j'avais en vue.

Il restait à trouver les formes cubiques quaternaires qui ne sont pas altérées par diverses substitutions linéaires non permutables entre elles. J'y suis arrivé par une méthode qui est fondée sur l'emploi des « crochets de Jacobi » et dont M. Sophus Lie a fait usage dans des problèmes analogues. La méthode n'était d'ailleurs pas restreinte aux formes cubiques quaternaires et permettait de trouver quelles sont les surfaces qui ne sont pas altérées par deux transformations homologiques non permutables.

Depuis, j'ai étendu ces résultats (38) au cas général de la façon suivante.

Ayant indiqué la manière de former les groupes continus contenus dans le

groupe linéaire à n variables, j'ai étudié les formes homogènes par rapport à ces

variables qui ne sont pas altérées par les substitutions d'un de ces groupes et j'ai

reconnu que ces formes satisfont à un certain nombre d'équations aux dérivées partielles formant un « système complet ». Les plus simples des groupes continus en question jouissent de quelques propriétés que je vais énoncer succinctement. Si Ton forme le déterminant des coefficients d'une substitution linéaire à n variables, qu'on ajoute + S à chacun des termes de la diagonale principale, et qu'on égale à o le déterminant ainsi obtenu, on a une certaine équation en S de degré n.

Un groupe continu contient toujours une infinité de faisceaux; on démontre que, s'il y a dans le groupe une substitution admettant une certaine équation en S, il y aura dans tous lesfqisceaux du groupe une substitution admettant cette même équation en S.

Parmi les groupes continus dont je viens de parler, les plus intéressants sont ceux qui donnent naissance à un système de nombres complexes à multiplication non commutative (comme sont, par exemple, les quaternions). J'ai démontré que toutes les équations en S des substitutions de ces groupes ont des racines multiples.

Je suis revenu depuis sur ces groupes particuliers (48). Les recherches de M. Sylvester sur les matrices avaient de nouveau attiré l'attention des savants sur les nombres complexes. On pouvait se demander s'il en existait d'autres que ces matrices et leurs combinaisons. J'ai montré qu'il y en avait encore d'autres classes parmi lesquelles j'ai signalé une classe de « ternions ».

Je rattacherai à ces études algébriques une Note (41) où j'énonce un résultat analogue à un important théorème de M. Laguerre. Soit une équation algébrique ayant p racines positives; j'ai démontré qu'on pouvait toujours en multiplier le premier membre par un polynôme choisi de telle sorte que le produit n'ait que /? variations. Parmi tous les polynômes qui satisfont à cette condition, il y en a évidemment un dont le degré est minimum; mais je n'ai pu le trouver que dans des cas particuliers.

un. — Algèbre de l'infini.

J'ai été conduit par diverses considérations à une généralisation de la théorie des déterminants et des procédés par lesquels on résout n équations linéaires à n inconnues.

Dans certaines questions d'Analyse on est conduit à envisager un système de relations que l'on peut regarder comme une infinité d'équations linéaires à une infinité d'inconnues.

Soit un système de nombres donnés formant un tableau infini à double entrée.

(59) Je désignerai le terme général de ce tableau par la notation

anp{n,p=:i, a, . . .,00).

Le problème à résoudre consiste à déterminer une infinité de nombres

^1} *^ii • • • » «^n» • • • 1

de telle façon que les séries

S/»= 2 «/ip^n(^ = '>2, ...,00)

soient absolument convergentes et aient pour somme o. Ces équations linéaires, que Ton peut écrire

se rencontrent en particulier dans les circonstances suivantes :

i*" Quand on cherche le quotient de deux séries trigonométriques;

2** Quand, ayant à intégrer une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des séries trigonométriques, on cherche à y satisfaire par une autre série trigonométrique.

Ce dernier problème se rencontre souvent en Mécanique céleste.

Jusqu'à ces derniers temps, on ne s'était pas préoccupé de savoir à quelles conditions les règles ordinaires du calcul pouvaient être appliquées à de semblables équations. Cependant deux savants, ayant rencontré ce même problème dans deux ordres de recherches très différents, n'ont pas hésité à employer les règles de l'Algèbre ordinaire.

L'un d'eux est M. Appell, qui est arrivé à des équations de la forme qi'e nous étudions en cherchant à développer les fonctions elliptiques en séries trigonométriques. Les traitant d'après les règles du fini, il est parvenu à des formules qui concordent avec les résultats bien connus où conduisent les autres méthodes.

D'un autre côté, M. Hill, en voulant déterminer le mouvement du périgée de la Lune, a appliqué aussi au problème qui nous occupe les procédés ordinaires de l'Algèbre. Cependant, le nombre auquel il arrive diffère très peu du nombre observé, et la faible divergence qui subsiste provient simplement de l'inclinaison de l'orbite que M. Hill avait négligée.

La hardiesse de M. Appell et celle de M. Hill avaient donc été également heureuses; mais elles n'étaient justifiées que par le succès. Néanmoins ce succès lui-même devait faire désirer une étude rationnelle de la question.

C'est cette étude que j'ai entreprise dans deux courtes Notes insérées au Bulletin de la Société mathématique de France (88, 90). Je suis parvenu à démontrer rigoureusement que les équations considérées par MM. Appel 1 et Hill admettent effectivement les solutions trouvées par ces auteurs. Mais elles en admettent en même temps une infinité d'autres; elles ne suffisent donc pas pour déterminer les inconnues. M. Âppell, de même que M. Hill, cherchait à calculer les coefficients d'une série. Or ces coefficients ne devaient pas seulement satisfaire aux équations envisagées, ils devaient encore être tels que la série fût convergente. Or, parmi les solutions en nombre infini qui admettent ces équations, il se trouve qu'une seule remplit cette seconde condition, et c'est précisément celle des auteurs que je viens de citer.

C'est cette circonstance qui explique le succès obtenu par ces deux savants géomètres; leur méthode est maintenant à l'abri de toute objection; mais il est aisé de voir que les considérations qu'ils ont invoquées ne suffisaient pas pour la justifier.

Je vais maintenant parler des procédés qui m'ont fait parvenir à ces résultats. J'ai commencé par m'occuper du cas particulier où

et j'ai reconnu que la solution du problème dépendait de la décomposition de la fonction méromorphe

en fractions simples, en appelant /(z) la fonction entière transcendante qui admet pour zéros les nombres a^.

J'ai reconnu également qu'on peut faire usage de considérations analogues dans le cas général.

Enfin, j'ai rencontré un fait réellement inattendu et tout à fait particulier à cette théorie. Les égalités à traiter

qui sont en nombre infini, peuvent être remplacées par une infinité d'inégalités. Il suflit, en effet, pour que les nombres x,^ satisfassent à ces équations, que certaines séries qui en dépendent soient absolument convergentes.

Dans l'étude de cette question, on est naturellement conduit à considérer des déterminants d'ordre infini. A cet effets on écrira le tableau à double entrée des quantités a^^^, on formera un déterminant avec les n premières lignes et les

n premières colonnes de ce tableau» et Ton fera croître ainsi n indéfiniment. Il convient de supposer

anii= I.

On doitalorase demandera quelle condition un pareil déterminant converge. J'ai trouvé pour ces déterminants une règle de convergence qui présente la plus grande analogie avec la règle relative aux produits infinis.