XI. — Fonctions hyperfuchsiennes
Les fonctions fucbsiennes sont des fonctions uniformes d'une variable, inaltérées par certaines substitutions linéaires. On est naturellement conduit à se poser le problème suivant : Former des fonctions uniformes de deux variables, qui demeurent inaltérées par certaines substitutions linéaires. C'est, comme on sait, ce que M. Picard a fait avec un plein succès par l'invention des fonctions hyperfuchsiennes.
Le premier problème à résoudre était évidemment de trouver les groupes discontinus contenus dans le groupe linéaire à deux variables. M. Picard est parvenu à en former un grand nombre par des considérations arithmétiques. J'ai moi-même (24) démontré l'existence de deux classes de ces groupes. La première classe comprend les substitutions semblables des formes quadratiques ternaires indéfinies quand les coefficients de ces formes et de ces substitutions sont des entiers
complexes. La seconde classe ne diffère pas essentiellement des groupes fuclisiens.
Si z désigne en effet une variable imaginaire
et si Ton pose
à tout groupe fuchsien appliqué h s et admettant pour cercle fondamental
correspondra un groupe discontinu appliqué aux deux variables x et y. Ce groupe est discontinu lorsque a? et 7 sont imaginaires, ou bien réels, mais de telle façon que
il n*est plus proprement discontinu si x et j" sont réels et si
C'est cette circonstance qui explique ce fait remarquable : qu'il est impossible d'imposer à une forme quadratique binaire indéfinie des conditions de rédifction, telles que chaque classe contienne une réduite unique.
Mais les groupes de cette nature sont beaucoup moins importants que les groupes hyperfuchsiens proprement dits. J'appelle ainsi ceux qui n'altèrent pas l'hypersphère
(Je désigne ici paro^o et jo'^s quantités imaginaires conjuguées de or et de j.)
Cette hypersphëre joue dans cette théorie tout à fait le même rôle que le cercle fondamental dans la théorie des fonctions fuchsiennes.
J'ai voulu contribuer à l'étude de ces groupes et j'ai commencé par m'occuper des substitutions elles-mêmes. J'ai reconnu (44) que la classification en substitutions elliptiques, paraboliques et hyperboliques s'étendait aux substitutions hyperfuchsiennes.
La classification des groupes fuchsiens en familles est également applicable aux groupes hyperfuchsiens. Si nous laissons de côté les familles mixtes, nous distinguerons les groupes de la première famille qui contiennent des substitutions elliptiques, ceux de la deuxième famille qui n'en contiennent pas d'elliptiques, mais en contiennent de paraboliques, ceux de la troisième famille qui n'en admettent que d'hyperboliques.
Tous les groupes antérieurement découverts par M. Picard appartenant à la seconde famille, je signalai alors l'existence de toute une catégorie de groupes de la troisième famille et des fonctions hyperfuchsiennes correspondantes que plusieurs propriétés importantes distinguaient des fonctions déjà connues.
On se trouve ici en présence des mêmes difficultés que dans le problème de la formation des groupes fuchsiens. Il faut d'abord former un groupe tel que la fonction correspondante soit uniforme dans le voisinage de chaque point. Il faut ensuite reconnaître si ce groupe est effectivement discontinu. La première difficulté, bien que très grande, est d'ordre purement algébrique. La seconde exige, pour être résolue, l'emploi de considérations étrangères à l'Algèbre. On peutl'éviter tant que l'on se borne aux groupes de la deuxième et de la troisième famille; il est nécessaire de l'aborder au contraire si l'on veut étudier les groupes de la première famille.
Je l'avais résolue, dans le cas des groupes fuchsiens, par l'emploi de la pseudogéométrie de Lowatschevski; j'avais reconnu en effet que certaines quantités (analogues à ce que Lowatschevski aurait appelé longueur ou $urface) étaient des invariants par rapport aux substitutions d'un groupe fuchsien quelconque. Je me suis donc demandé si les substitutions hyperfuchsiennes admettaient de semblables invariants (45). J'ai reconnu qu'il en était ainsi; par conséquent tout groupe^ tel que la Jonction correspondante soit uniforme dans le voisinage de chaque points sera discontinu.
La recherche des groupes hyperfuchsiens est donc ramenée à un pur problème d'Algèbre; mais ce problème reste extrêmement difficile et il n'a été résolu par ]\L Picard que dans un cas particulier.
