I. — Hydrodynamique

I. — Théorie des phénomènes constatés par les expériences de M. Poiseuille.

3. — Essai théorique sur la loi de M. Graharn relative à la diffusion

Ces mémoires ou articles ont pour objet l'étude des écoulements fluides, soit le long des tubes fins, soit à travers des milieux poreux, tels que les sables, lorsque ces mouvements se font, on assez lentement, ou contre des parois assez polies, pour que la vitesse varie graduellement d’un point aux points voisins et d’un instant aux suivants. Il s’agit donc de cas où il ne se produit pas, dumoins en quantité influente, de ces brusques tourbillonnements, inévitables dans les écoulements à travers de grandes sections, qui rendent les glissements et les frottements mutuels des couches fluides énormément différents de ce qu’ils seraient si le mouvement vrai de chaque particule se réduisait à la translation générale ou moyenne de cette particule.

Le principe fondamental de l’hydrodynamique consiste ù admettre que tout élément de volume d’un fluide, dès que ses déformations d’ensemble cessent de se produire ou dès que son'mouvement visible s’arrête, reprend très vite la constitution symétrique interne qui y annule les frottements intérieurs , c’est-à-dire les composantes tangenticllcs des pressions. Ces composantes dépendent donc, à chaque instant, de l’état dynamique actuel de l’élément fluide, ou, en d’autres termes, des vitesses relatives des molécules qui le composent, mais non des états dynamiques antérieurs, dont les effets, aussi antérieurs, se sont effacés successivement et même presque instantanément. Comme les vitesses relatives, dans les mouvements considérés ici, sont fort petites entre particules contiguës, il est naturel de supposer que les frottements leur sont proportionnels. M. Boussinesq déduit de ce principe, et de l’isotropie évidente

du fluide, c’est-à-dire de la parité de sa constitution dans tons les sens dès qu’on le suppose à l’état de repos, les formules des frottements intérieurs bien connues depuis Navier, et démontrées de diverses manières dans les cours de mécanique appliquée. Mais, de plus que Navier, il observe que le frottement, pour même vitesse relative, ou du moins pour des vitesses relatives comparables , a autant d’intensité près d’une paroi mouillée, entre la gaine fluide immobilisée par l’adhésion à la paroi et une couche contiguë intérieure, qu’entre deux couches fluides quelconques ; vu que cette force n’est due, dans les deux cas, qu’à des glissements pareils de couches sensiblement analogues. En d’autres termes, tandis que Navier supposait la vitesse, près des parois, brusquement variable de la valeur zéro qu’elle a sur la couche immobilisée à une valeur finie du même ordre que la vitesse moyenne d’écoulement, M. Boussinesq montre qu’elle doit y varier graduellement comme à l’intérieur. En conséquence, il suppose nulle la vitesse contre la paroi mouillée, dans les mouvements fluides qui sont réguliers, ou non affectés de tourbillons.

Muni de ces équations, il en déduit les lois générales de l’écoulement, soit uniforme, soit même graduellement varié, c’est-à-dire se faisant par filets peu inclinés les uns sur les autres et très peu courbes. Le calcul prouve que, dans tous ces cas, la pente motrice , ou hauteur de charge dépensée par unité du chemin parcouru, égale le produit du coefficient e de frottement intérieur par l’inverse de l’aire de la section normale fluide, par la vitesse moyenne et par un certain nombre , qui est constant pour toutes les sections d’une même forme donnée. Ce nombre, ainsi que le mode de répartition des vitesses entre les divers filets fluides, s’obtiennent d’ailleurs, par l’intégration, pour une infinité de formes de la section, notamment pour toutes les sections elliptiques et rectangulaires, pour celles qui sont triangulaires équilatérales , etc. M. Émile Mathieu avait, du reste, trouvé avant l’auteur (Comptes-Rendus, 10 août 1863, t. LVII, p. 320) ce mode de répartition pour le plus simple des cas considérés, qui est celui du mouvement uniforme d’un liquide à travers des sections elliptiques. Mais M. Boussinesq, qui ignorait ces recherches de M. E. Mathieu, a, de plus, justifié théoriquement l’hypothèse d’une vitesse insensible contre les parois mouillées, et découvert, soit les lois générales du mouvement uniforme, convenant à toute espèce de section, soit le procédé d’intégration qui rend attaquable le problème des écoulements graduellement

La relation établie entre la pente motrice, l’aire des sections, leur forme •et la vitesse moyenne, donne d’abord, et immédiatement, les lois expérimen-

taies, bien connues, du docteur Poiseuille sur l’écoulement permanent de l’eau le long de tubes capillaires. Le débit, par unité de temps, y est en raison directe delà pente et du carré de l’aire ,des sections. M. Boussinesq obtient de plus les lois générales de l’état variable qui précède l’établissement de cet état permanent, en supposant du moins que les filets fluides y soient rectilignes et parallèles. D’après l'une de ces lois, le volume total de liquide, qui, durant la période d’établissement du régime (et dans l’hypothèsè que le fluide remplissant le tube ait été d’abord en repos), coule en moins que si l’état permanent avait existé dès le début, est proportionnel au produit de la pente motrice parle cube des sections. , '

L’auteur déduit des expériences de Poiseuille la valeur numérique, pour l’eau, du coefficient edes frottements intérieurs, et il reconnaît que cette valeur, d’ailleurs confirmée par certaines observations de Darcy sur des écoulements assez lents le long de tuyaux polis de quelques centimètres de diamètre, est sans comparaison plus faible què celles qui conviennent pour les écoulements tumultueux observés dans les canaux et les tuyaux d’un certain calibre. Il explique cette différence, si considérable, des frottements dans les deux cas, en remarquant que, bien avant qu’aient pu naître, à l’intérieur de ces canaux et tuyaux, les énormes vitesses qui s’y réaliseraient dans l'hypothèse de la continuité parfaite des mouvements, les ballottements inévitables à l’intérieur de grandes sections, se combinant avec l’effet de la translation générale du fluide pour produire dés chocs obliques contre les parois, y font naître des tourbillonnements' étendus et des frottements bien plus considérables ; d’où suit un régime tout différent de celui qui s’établit dans les mouvements appelés ici réguliers ou bien continus (voir, ci-après, les N os 12, 13,14, p. 16).

La même relation générale entre les pentes, les vitesses moyennes, la forme et l’aire des sections, régit aussi les mouvements lents des eaux d’infiltration du sol à travers les tubes irréguliers que forment les interstices des grains de sable composant les terrains perméables. L’auteur en déduit que, pour des couches de terrain d’un degré moyen donné de compacité et de finesse remplissant un tuyau ou un canal, la vitesse moyenne est simplement proportionnelle à la pente motrice. Dupuit avait déjà édifié, sur cette loi fondamentale, la théorie du régime permanent de ces eaux d’infiltration. Mais il restait à étudier leurs régimes non permanents : c’est ce qu’a fait M. Boussinesq. Il a reconnu, par exemple, que les crues ou gonflements des eaux souterraines, coulant sur un sous-sol imperméable,

se propagent en général avec une petite vitesse, sensiblement constante, proportionnelle à la pente du sous-sol, et que plusieurs gonflements, produits à la fois en divers points, ou successivement en un même endroit, se fondent peu à peu en un seul, d’après une loi qui est analogue à la manière dont s’effacent des inégalités de température existant initialement en différentes parties d’une longue barre.

Enfin , la même relation, propre aux écoulements bien continus et graduellement variés, entre la vitesse moyenne, la pente motrice eu chaque point, etc., s’applique aux gaz, pour des variations étendues de la pression et de la densité. L’auteur, observant que ces corps se dilatent d'après la loi' de Mariotte, ou conservent sensiblement la température ambiante, lorsqu’ils ne cessent pas d’ètre en contact avec des parois solides, en déduit les lois, découvertes par Graham, de leur transpiration le long • des tubes de petit diamètre. Il explique aussi, en partant d’hypothèses naturelles et très simples, la diffusion des gaz observée par le même Graham, M. Exner, etc., consistant dans leur passage à travers un corps à pores imperceptibles.

Passant à des mouvements permanents plus compliqués que ceux qui se font par filets presque rectilignes, M. Boussinesq a étudié l’écoulement, supposé encore bien continu, ■ d’un liquide dans un tube à axe courbe , en supposant que cet écoulement se soit réglé de manière à présenter les mêmes circonstances dans toutes les sections normales à l’axe , et en admettant d’ailleurs, pour rendre les intégrations possibles, que ces sections soient des rectangles ayant leur base (horizontale) parallèle au plan de l’axe et beaucoup plus.petite ou beaucoup plus grande que leur hauteur (verticale). C’est la première fois, et jusqu’ici la seule, où l’analyse ait été appliquée à des questions de cet ordre. L’auteur trouve que, pour les sections d’une grande hauteur relative, les filets fluides sont sensiblement circulaires et conaxiques. Au contraire, pour les sections beaucoup plus larges que hautes, ce sont des sortes d’hélices irrégulières, disposées symétriquement, les unes, d’un côté du plan horizontal mené suivant l’axe circulaire du tube, les autres de l’autre côté. En effet, les particules fluides, voisines de ce plan moyen et animées des vitesses les plus grandes , sont jetées par la force centrifuge vers le bord extérieur ou concave, jusqu’à ce que, s’étant en même temps suffisamment écartées de ce même plan de l’axe et ayant perdu une certaine partie de leur vitesse, elles reviennent peu à peu vers le bord intérieur ou couvexe , en continuant d’ailleurs à s’éloigner du plan horizontal moyen pour ne s’en

rapprocher que tout près du bord convexe et recommencer un trajet pareil. M. Boussinesq a pu calculer, dans l’hypothèse de la parfaite continuité des vitesses, les circonstances qui se présentent aux divers points de l’intérieur des sections, le débit total de fluide, la perte de charge due à la courbure

4. — Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de transla¬

tion , se propageant dans un canal rectangulaire.

(Comptes-Kendus, 19 juin 1811, t. LXXII, p. 155.)

5. — Théorie générale des mouvements gui sont propagés le long d’un canal

rectangulaire horizontal , et dont l'amplitude est sensiblement la même de la surface au fond. ,

■6. — Théorie des ondes et des remous gui se propagent le long d’un canal rectangulaire horizontal , et dont Vamplitude est sensiblement pareille de la surface au fond.