Addition au mémoire précédent

Ces diverses recherches concernent la classe la plus simple des mouvements que présentent les liquides pesants, contenus dans des bassins découverts à fond horizontal ou peu incliné. Le type en est fourni par le gonflement, ou onde positive , qui se forme à l’entrée d’un canal de grande longueur et à section rectangulaire contenant une eau en repos, quand on y fait tomber brusquement du dehors un volume modéré de liquide. A partir de l’entrée , ce gonflement, appelé onde solitaire, se propage indéfiniment le long du canal, en prenant bientôt une forme parfaitement déterminée, qui est celle d’un simple bourrelet allongé dont les deux moitiés d’avant et d’arrière sont symétriques l’une de l’autre, et qui persiste tant que les parties du canal envahies par l’onde sont de largeur et de profondeur

constantes, en ne s’abaissant, sous l’influence des frottements , qu’avec une grande lenteur ou après de longs trajets. La vitesse apparente de transport de ce bourrelet égale , à chaque instant, la vitesse effective qu'acquerrait, en chnte libre, un corps tombant d'une hauteur égale à la demi-distance qu’il y a du sommet de l'onde au fond du canal. Mais la même classe de mouvements comprend bien d’autres phénomènes, d’apparence un peu moins régulière. Ce sont : 1" la propagation des ondes négatives, dépressions obtenues, à l'entrée du même canal, par un enlèvement brusque de liquide, c’est-à-dire par un abaissement et non plus un rehaussement du niveau; 2° la marche et la forme des tètes des remous indéfinis, positifs ou négatifs , gonflements ou dépressions que produit une introduction ou un enlèvement continus de liquide à l’entrée ; 3° la progression de tout système indéfini de vagues, très longues par rapport à la profondeur d’eau, pourvu que le mouvement qu’elles apportent à chaque molécule soit de sens alternativement contraires et peu ou point translatoire ; 4° les oscillations d’ensemble de la masse fluide contenue dans un bassin beaucoup plus étendu que profond [seiches des lacs); etc. Le caractère commun de tous cès phénomènes consiste en ce que la composante verticale des mouvements y est, à une première approximation,, négligeable devant leur composante horizontale ; circonstance d’où il résulte que la pression varie presque hydrostatiquement, aux divers points d’une même verticale, et que les accélérations dans les sens horizontaux, provenant principalement de la pente.de la surface, sont presque les mêmes en ces points, ainsi, par suite, que les composantes horizontales de vitesses engendrées-dans des temps assgz courts pour ne pas donner trop de prise à l’influence des frottements du fond ou des bords.

On ne connaissait théoriquement, sur tous oes phénomènes, que la loi simple et de première approximation de Lagrange, d ! après laquelle la vitesse de propagation, le long d’un canal, des ondes considérées, devait différer peu de la vitesse acquise en chute libre par un mobile tombant d’une hauteur égale à la demi-profondeur primitive du liquide. Lagrange avait même obtenu cette loi dans l’hypothèse d’une profondeur infiniment petite, sans dégager d’une manière nette le sens concret d’une telle expression. Divers efforts, tentés notamment par MM. Earnshaw et Stokes, pour expliquer l’onde solitaire, avaient entièrement échoué. Or, M. Boussinesq, après avoir fixé le véritable caractère, qu’on vient d’énoncer, des phénomènes dont il s’agit j a pu, non-seulement rendre compte de la formation et de la régularisation rapide de cette onde, donner sa vitesse exacte de

propagation et Vèqmtion de sa coupe longitudinale (courbe dont l’ordonnée, abaissée sur son asymptote, est proportionnelle au produit des deux parties en lesquelles elle divise l’aire totale comprise entre cette asymptote et la courbe), ainsi que déterminer les trajectoires paraboliques (à axe vertical dirigé vers le bas ) qu’y décrivent .les molécules Jiquides ;

Profil d’une onde solitaire dont la hauteur h est le tiers de la profondeur primitive H de l’eau.

mais il a, de plus, retrouvé par la même analyse ; déduite presque immédiatement et rationnellement des équations classiques de l’hydrodynamique , les détails les plus minutieux que présente la propagation, bien moins simple des ondes négatives , des longues intumescences limitées , des remous indéfinis , etc. Il donne, par exemple , une explication complète de la formation de l’onde initiale ou tête d’un remous, observée par M. Bazin, sorte de saillie qui marche en avant des longues intumescences, et il a trouvé, par le calcul, à cette tête, une hauteur conforme à ce que les expériences ont appris. L’auteur' montre également, . sur l’exemple de longues ondes de petite courbure, comment, dans les canaux à section non-rectangulaire, les variations de la largeur à fleur d’eau influent sur les vitesses de propagation, etc. Après avoir évalué l’énergie d’un système quelconque d’ondes, c’est-à-dire le travail total qu’il faudrait dépenser pour les faire naître, et qui égale le produit du poids de l’unité de volume fluide par l’aire de la surface libre agitée et par la valeur moyenne du carré de sa dénivellation, il a pu aussi, sans introduire aucune nouvelle hypothèse, trouver de quelle manière elles se transforment le long d’un canal de largeur et de profondeur graduellement variables ; comment, en particulier, la hauteur d’une onde solitaire et l’inverse de son volume croissent dans les parties rétrécies ou à fond exhaussé, diminuent au contraire dans les parties où la largeur et la profondeur vont en augmentant : ce qui explique les mascarets.

Enfin, admettant la continuité parfaite des mouvements, même au fond du canal, M. Boussinesq étudie encore l’influence des frottements sur ces ondes, influence qui, négligeable pendant un temps restreint ou sur les phénomènes de• propagation produits entre deux sections peu distantes, n’en a pas moins pour effet de transformer et d'user à la longue le mouvement. Cette action des frottements, dans les ondes dont il s’agit, s’exerce surtout prés des . parois, là -où il y a des glissements considérables entre les couches fluides comprises depuis celle qui est immobilisée par adhésion contre la paroi jusqu’à une autre peu distante, qui possède le mouvement même (ou complet) des molécules intérieures. La vitesse y varie, d’une couche à l’autre, comme font les températures aux divers points de l’épaisseur d’un mur dont une face est à température constante et l’autre à une température variable donnée. Il en résulte des pertes compliquées d’énergie, changeantes, d’une onde à l’autre , avec leur forme et leurs dimensions dont dépend la suite des vitesses produites à l’intérieur d’une section déterminée du canal. Toutefois, des lois simples, concernant l’extinction graduelle des vagues, se dégagent, quand il est question soit d’une onde solitaire, soit d’un système d’ondes périodiques avec mouvements sensiblement pendulaires; et ces dernières lois s’étendent aisément, tant aux oscillations de l’eau dans un siphon renversé, qu’aux ondes qui se propagent le long d’un tuyau en caoutohouc plein de liquide, ondes intéressantes, observées et utilisées par M. Marejr, puis étudiées par M. Resal qui en a donné la théorie mathématique. Leur grosseur, et l’amplitude des mouvements longitudinaux qu’elles apportent, se réduisent à une fraction donnée de leurs valeurs initiales, après des trajets ou au bout de temps proportionnels à la racine carrée de la longueur d’onde. L’analyse de M. Boussinesq fournit tous ces résultats.

8. — Théorie de la houle et du clapotis. — Sur Vaction du frottement intérieur des fluides dans le phénomène des ondes.

1. — Evaluation de l’énergie employée à produire un ou plusieurs systèmes d'ondes liquides périodiques et du travail des résistances passives qui

Les phénomènes étudiés dans cés mémoires se distinguent des précédents, m ce que Us composantes verticales des mouvements y sont comparables à leurs composantes horizontales. Ils en diffèrent aussi, en ce qu’ils consistent tous en des déplacements restreints des particules fluides de part et d’autre de certaines situations moyennes fixes, ou en ce qu’ils ne comprennent aucune onde de translation , c’est-à-dire produisant un transport effectif de fluide, comme fait, par exemple, une onde limitée, positive ou négative. Les plus simples, dont se composent tous les autres, consistent, à une première approximation, en des oscillations rectilignes pendulaires et synchrones, de directions différentes ou même opposées pour les diverses molécules, produisant sur place des élévations et des abaissements alternatifs de la surface libre : ce sont des clapotis. La superposition de deux clapotis cylindriques égaux, mais dont l’un est en retard sur l’autre d’un quart d’oscillation complète et a ses nœuds en coïncidence avec les ventres de l’autre, donne naissance, comme M. Boussinesq l’a reconnu, à une houle , système d 'ondes cornantes où les molécules décrivent d’un mouvement continu des orbites elliptiques, dans des plans verticaux tous parallèles, et où la surface libre, de forme trochoïdale, progresse horizontalement dans le sens de ces plans avec une vitesse de propagation constante.

Laplace et Poisson avaient, depuis longtemps déjà, exprimé analytiquement les plus simples des clapotis, et Gerstner, MM. Kèlland , Stokes, (auteurs dont M. Boussinesq ignorait' lés travaux lorsqu’il composa ses premiers mémoires sur les ondes) avaientaussi obtenu les lois les plus générales d’une houle simple : mais, à part Gerstner , qui s’est occupé seulement d’une houle à la surface d’une eau dont la profondeur puisse être supposée infinie , tous ces géomètres s’étaient bornés à une première approximation, c’esGà-dire avaient négligé les carrés et les produits des excursions (supposées purement périodiques) des molécules. M. Boussinesq a démontré de plus qu’eux cette loi, que pour une houle ou un clapotis simples, les trois composantes du déplacement moléculaire ou celles de la vitesse égalent, même à une deuxième approximation, les trois dérivées respectives d’un certain potentiel <f par rapport à trois coordonnées prises pour variables indépendantes, pourvu que ces coordonnées soient, par exemple, celles de la situation moyenne des molécules , ou encore leurs coordonnées primitives de repos, mais non les coordonnées actuelles (comme l’avait supposé M. Stokes). Grâce à l’existence de ce potentiel, il a pu donner une deuxième approximation des lois d’une houle simple et d’un clapotis cylindrique, reconnaître, à ce degré d’approximation,

que , pour une longueur d’onde donnée , la durée de la période d’un clapotis ou la vitesse de propagation d’une houle ne dépendent pas de la hauteur des ondes; que , dans un clapotis formé au sein d’une eau assez profonde pour que les mouvements -, au fond, restent insensibles, les trajectoires des molécules sont des arcs de parabole à axe vertical, légèrement concaves vers en haut ; que la surface y prend à chaque instant la même forme trochoïdale que dans unie houle de même longueur d’onde, etc.

Il prouve également que, dans toute houle (même quand les mouvements sont très sensibles au fond, cas non-considéré par Gerstner), la situation moyenne d’une molécule est, au-dessus de sa situation de repos, à une hauteur dont le produit par la longueur d’onde vaut l’aire de l’orbite que décrit la molécule, et il trouve aussi que cette aire, pour les molécules de la surface, égale le rapport de l’énergie d’une vague (par unité de largeur) au produit de la densité du fluide et du carré de la vitesse de propagation des vagues. Il démontre encore :

1° Que les lois de Gerstner, sur une houle assez courte pour que les mouvements au fond soient insensibles, s’étendent au cas d’un fluide composé de couches superposées inégalement denses et même compressibles, comme est l’atmosphère ;

2“ Que, dans un liquide homogène, éprouvant une agitation décomposable en clapotis quelconques, la fonction des deux coordonnées horizontales qui exprime à un moment donné l’ordonnée verticale de la surface libre, et la dérivée, au même instant, de cette fonction par rapport au temps, suffisent pour définir ou déterminer la suite des états de la masse fluide entière, pourvu que toutes les parois limitant le liquide soient fixes et que la pression reste constante à la surface ;

3" Que , dans une houle assez haute, propagée au sein d’une eau d’une certaine profondeur, l’influence des frottements sur les formes des trajectoires, devenue sensible , consiste, d'une part, à rendre l’axe horizontal des orbites moins rapidement décroissant de la surface au fond et, d’autre part, à augmenter le rapport des axes verticaux de toutes ces orbites à leurs axes horizontaux, qui peuvent ainsi, près de la surface, cesser d’ètre les plus grands ;

4° Que, dans les cas ordinaires où les frottements n’ont guère pour effet que d’user à la longue les vagues sans modifier leurs lois, chaque houle ou clapotis décroît peu à peu comme s’il était seul, et d’autant plus vite que sa longueur d’onde est plus courte ;

5° Que, notamment, dans une eau profonde, des houles ou clapotis de même hauteur initiale et d’ahord superposés deviennent insensibles uu bout de temps proportionnels aux carrés de leurs longueurs d’onde, en sorte que Us plus longues vagues ne tardent guère à persister seules ou à se dégager des autres. Elles s’en dégageraient moins vite dans une eau dont la profondeur ne serait cfu’une petite fraction des longueurs d'onde, vu que des décroissements relatifs donnés se produiraient alors au bout de temps proportionnels à la racine carrée seulement de ces longueurs ; etc.

M. Stokes, ën 1851, s’était occupé déjà de l’extinction graduelle des houles propagées en eau profonde. Mais l’illustre correspondant de l’Académie des sciences a trouvé un coefficient d’extinction double du vrai, parce qu’il à négligé de compter dans l’énergie totale d’une houle son énergie potentielle, travail que produirait la pesanteur si lé fluide des convexités venait à remplir les creux, et qui égale justement la demi-force vive, ou énergie actuelle , la seule que M. Stokes ait évaluée (1).

Enfin, M. Boussinesq a résolu rationnellement,' de même que pour l’onda solitaire, l’intéressant problème de la transformation qu’éprouve une houle simple, de période donnée, quand elle se propage le long d’un canal dont la largeur et la profondeur varient. Il a , pour cela, appliqué le principe du travail , pendant un instant infiniment petit, à la masse fluide que comprennent , au commencement de cet instant, deux sections normales, séparées par un certain nombre entier d’ondes, et sur lesquelles le niveau fluide soit à fort peu près le niveau primitif d’équilibre. Mais, vu que ces sections doivent être supposéesparticiper au mouvement apparent des ondes, il ajoute à la variation trouvée de l’énergie totale ce qui provient du fluide ainsi gagné ou perdu, d’un instant à l’autre, par la masse comprise entre les deux plans ; et, en intégrant pour toute la durée d’une période, il obtient la différence d’énergie de deux vagues contiguës aux deux sections, ainsi, par suite, que les changements de hauteur et de forme éprouvés par l’une d’elles durant sa propagation jusqu’à la place qü’occupe l’autre. Quand on fait abstraction des frottements, cette énergie est constante pour chaque vague entière (et le pro-

rticulièrement in

d’une pr

de chaque vague varie d’après une loi fort simple dans les autres cas. Mais l’extinction graduelle due aux frottements se calcule également sans grandes complications, quand on fait l'hypothèse, ici très admissible, delà continuité parfaite dés vitesses d’un point aux points voisins, même près du fond et des bords.

M. Airy, dont le mémoire de 1845 sur les Marées et vagues a été traduit parM. Paul Guieysse dans le Journal de Mathématiques de 1875, avait déjà cherché comment se transforme une houle le long d’un canal de largeur et de profondeur variables. Mais il ne l’avait fait qu’au moyen d’une hypothèse, consistant à introduire certaines forces horizontales fictives , supposées appliquées du dehors aux diverses molécules fluides, et dont il dispose de manière à conserver aux expressions des déplacements les formes les plus simples. Aussi, quoiqu’il, corrige autant que possible l’inexactitude de cette hypothèse en supposant nulle la'Valeur moyenne des forces fictives dans toute l’étendue de chaque section, ses résultats généraux , d’ailleurs fort compliqués , sont-ils tout différents de ceux que donne l’application pure et simple du principe des forces vives. Il n’y a accord que dans les deux cas particuliers d’une houle à très longues vagues et d’une profondeur constante, pour lesquels les forces fictives se trouvent, sur chaque section, ne pas différer (du moins sensiblement) de leur moyenne nulle.

10. — Essai sur la théorie de l'écoulement d'un, liquide par un orifice en

mince paroi.

L’hydrodynamique rationnelle n’avait donné jusqu’à ce jour, touchant l’écoulement des fluides par des orifices percés dans de minces parois planes, que la loi de Torricelli ou de Daniel Bernoulli, relative à la vitesse qui se produit, un peu en dehors de l’orifice, à travers la section dite contractée.- Elle était restée absolument muette sur la grandeur du débit et sur les autres circonstances de l’écoulement. M. Boussinesq, observant que le frottement n’a dans ces phénomènes qu’une influence négligeable (puisqu’il n’y réduit pas sensiblement la vitesse), forme aisément leurs équations différentielles, tant pour l’intérieur du réservoir que pour les divers points de la veine, et, sans-les intégrer, il peut en déduire un certain nombre de lois

importantes. Par exemple, quand les dimensions de la masse fluide contenue dans le réservoir sont notablement plus grandes que celles de l’orifice, les formes des filets fluides et de la veine, ainsi que le coefficient dit de contraction ou de dépense, deviennent indépendants tant de'la charge que de la grandeur absolue de l’orifice. S’il s’agit, en particulier, de divers gaz qui s’écoulent dans le vide sans gain ni perte de chaleur, et dont les deux capacités calorifiques aient entre elles un même rapport constant, leurs vitesses d’écoulement sont indépendantes de la pression ou hauteur de charge et en raison inverse de la racine carrée de leurs densités spéci-

II démontre ensuite que, dans l’hypothèse d’un orifice dont les dimensions sont petites par rapport à celles de la masse fluide que. contient le réservoir, il suffirait de connaître le débit effectif fourni par les diverses parties de l’orifice, pour en déduire toutes les vitesses produites dans le fluide intérieur au réservoir. Tl prouve , en effet, que la vitesse animant chaque particule de ce fluide intérieur est représentée, en grandeur et en direction, par l'attraction nentonienne qu'y exercerait, sur l'unité de masse, une couche fictive de matière, recouvrant tout l'orifice et répartie entre les diverses régions de ce dernier comme l'est le délit lui-même. De cette loi, et du fait que la vitesse est partout finie, M. Boussinesq déduit que le débit par unité d’aire, en chaque point de l’orifice , est une fonction qui s’annule sur le contour de ce dernier. Des considérations plausibles lui montrent qu’elle s’annule également au centre de l’orifice, à cause des réactions centrifuges développées par les filets qui, venus dés bords, se ' recourbent à la sortie. .En joignant ces deux relations à celle qui exprime que la vitesse sur le contour de l’orifice égale, d’après le principe dé D. Bernoulli, la racine carrée du produit de 2 g par la hauteur de charge, il à trois conditions auxquelles doit satisfaire le mode de répartition du débit entre les divers éléments de l’orifice, et il lui suffit d’attribuer à ce mode de répartition les expressions analytiques les plus simples qui les vérifient, pour arriver, dans les deux cas principaux d’un orifice rectangulaire allongé et d’un orifice circulaire , à deux coefficients de contraction ou de débit, 0,628 et 0,657 , bien d’accord avec celui 0,62, de l’expérience, vu que les frottements doivent les réduire un peu, surtout le second. L’auteur peut traiter encore des cas, où l’orifice est multiple, d’autres où il est voisin de parois normales à son plan ; etc.