Sur l’intégration de Téquation A ^ ÿh ~ . .J ■? = o

Ces deuxnotes, auxquelles il faut joindre la première partie d’une troisième (n° ll| ci-après), ont fait connaître une méthode générale, uniformeet simple, pour intégrer une catégorie assez étendue d’équations aux dérivées partielles, où il ne paraît que des dérivées' de deux ordres différents, doubles l’un de l’autre, les dérivées par rapport à certaines variables s’y trouvant justement deux fois plus élevées que celles qui y sont prises par rapport aux autres. Les équations de cette espèce présentent un haut intérêt ; car elles comprennent celles qui expriment le mouvement de la chaleur dans les solides, la transmission des frottements dans les fluides, à partir des parois contre lesquelles glissent leurs molécules, la propagation des ébranlements transversaux le long des barres droites et des plaques planes, les déformations et le transport apparent, à la surface d’une eau profonde, des ondes tant d 'émersion que d 'impulsion, c’est-à-dire des rides mobiles qu’y fait naître soit le brusque enlèvement d’un solide préalablement immergé, soit un coup de vent ou la chute

M. Boussinesq exprime les solutions de ces équations au moyen de certaines intégrales définies, qui contiennent sous le signe/le produit de'deux fonctions arbitraires f, 4 .. et dont il a reconnu la propriété caractéristique,

consistant en ce que ces intégrales transmettent leur propre forme à leur paramètre différentiel duseoond ordre ù 2 , maisavec substitution, à chaqùe fonction arbitraire, de sa dérivée première. Dans le cas où les variables par rapport auxquelles se prennent les dérivées les plus élevées paraissant dans l’équation se réduisent à une seule, s, ces intégrales définies sont de la'forme jTWtffl d * '- leurdérivée Première en s estj^°°/’(f) 1/ (£,) du, comme on le reconnaît immédiatement, et, par suite, leur dérivée seconde en s est Y (^) <**• Les deux fonctions arbitraires f, i|> dépendent

en outre, d’une certaine manière, des autres variables : lorsque ces autres variables se réduisent, comme les premières, à une seule, celle-ci es!, simplement jointe par le signe ■+■ ou le signe — à l’une des deux fractions £ï, sous les signes /'ouf .

Comme il suffit de choisir convenablement l’une des deux fonctions arbitraires pour que l’intégrale, où uùe somme de deux intégrales analogues, vérifie l’équation proposée, l’autre fonction arbitraire reste disponible pour satisfaire aux conditions spéciales, telles que celles d’état initial. Et les solutions formées en ajoutant plusieurs de ces intégrales admettent une variété ou même une surabondance de formes qui se prête à la vérification des relations ■ définies les plus-complexes, avec une facilité dont il n’y a peut-être pas d’autre exemple en Physique mathématique.

Un membre très distingué de l’Académie Royale de Belgique, M. de Tilly, envoyant cette facilité de calcul que présentent, malgré leurs deux fonctions arbitraires, les intégrales définies dont il s’agit, a eu l’idée de les faire servir à l’intégration de certaines équations différentielles, du genre de celle de Riccati, et il y est parvenu très rapidement par un choix convenable des fonctions arbitraires. Mais c’est surtout pour les équations aux dérivées partielles rentrant dans les types désignés que leur emploi est fécond.

115. — Equations différentielles du mouvement des ondes produites à la surface d’un liquide par l'émersion d’un solide.

116. — Sur les ondes que fait naître, dans Veau en repos d’un canal, l’émerston d’un cylindre solide, plongé m travers dans ce canal.

117. — Sur Us ondes produites par l'émersion d'un solide à la surface d’une eau tranquille,quand il y a lieu de tenir compte des deux coordonnées hori-

Ces trois articles ont jtour objet l’application de la méthode d’intégration dont il vient d’être parlé au problème des ondes liquides d’émersion et d’impulsion, l’un des plus épineux de la Physique mathématique qu’aient abordés les géomètres. Il a exercé, dans le premier quart de ce siècle, le génie mathématique de Poisson et de Cauchy, qui ont su y suppléer, par leur puissance d’intuition analytique, à la complication et, parfois, au peu de rigueur de leurs méthodes, soit qu’ils y employassent les imaginaires dans des transformations où elles paraissent ne fournir qu’une analogie ou une induction capables de guider l’esprit, sans l’éclairer, soit qu’ils y eussent recours à des développements en sérié d’une convergence peu sûre. M. Boussinesq a retrouvé leurs formules sans recourir a aucun de ces moyens et presque sans calculs. Puis il a pu donner des énoncés relativement très simples des lois des ondes en question, lesquelles sont uniformément accélérées, en les comparant aux ondes périodiques, douées d’une propagation uniforme, dont se compose une houle régulière (p. 10 ci-dessus), ondes que Poisson et Cauchy ne connaissaient . pas, et en regardant chaque groupe d’un certain nombre de rides d’émersion ou d’impulsion consécutives comme formant une houle qui se déformerait peu à peu par l’allongement et l’aplatissement graduels de ses vagues.

118. — Résistance d’une barre prismatique et homogène , de longueur supposée infinie, au choc transversal et au choc longitudinal.

(Comptes-Rendus, 10 avril 1882 i t. XCIV, p. 1044.)

.119.— Sur le choc d’une plaque élastique plane, supposée indéfinie en longueur et en largeur, par un solide qui vient la heurter perpendiculairement en un de ses points et qui lui reste uni.

L’auteur y applique sa méthode d’intégration au problème des mouvements que prennent, dans leurs diverses parties, une barre élastique droite et une

plaque élastique plane, heurtées perpendiculairement, en un de leurs points, par un solide possédant une vitesse donnée. 11 démontre, par exemple, que la dilatation dangereuse (ou dilatation de la fibre la plus étendue), produite dans la barre dès l’instant du cboo et à l’endroit heurté, vaut le rapport de la vitesse donnée du corps heurtant à celle de propagation dès sons longitudinaux le long de la barre, multiplié par un nombre ne dépendant que delà forme de la section, nombre toujours supérieur à 1 et égal à 2 quand la barre - est ronde, à V3 quand elle est rectangulaire et heurtée perpendiculairement à une de ses faces, etc. Dans le cas de la plaque, la différence des deux dilatations principales de la face rendue convexe, sur le contour de la petite partie heurtée et à l’instant du choc, égale de même le rapport de la vitesse donnée du corps heurtant à la vitesse, de propagation des sons longitudinaux dans la . plaque, multiplié par le nombre constant

On déduit aisément de ces deux lois que, si la vitesse du corps heurtant dépasse une certaine fraction de la vitesse de propagation des sons longitudinaux le long de la barre ou de. la plaque, l’effet du choc sera de rompre nettement la partie heurtée, avant que le mouvement se;soit propagé dans les autres parties; et, cela, quelque faibles que soientla masse et la consistance du corps heurtant, supposées toutefois suffisantes pour que sa vitesse s’imprime, à la partie directement touchée. On en déduit aussi, entre autres résultats . intéressants, que la vitesse d’un choc transversal juste capable de rompre de cette manière une barre est'plus petite que celle d’un choo longitudinal, produisant le même effet par extension, dans le rapport de 1 à 2 si la barre est ronde, de 1 à V 3 si elle est rectangulaire et heurtée normalement à une dq

L’auteur démontre encore que, dans le cas de la plaque indéfinie, le déplacement du point heurté tend, quand il h y a pas rupture, vers .une certaine limite, et que, une fois ce point sensiblement parvenu dans sa nouvelle situation de repos, les anneaux concentriques environnants, dont se compose la plaque, viennent se ranger autour de lui, sur un même plan parallèle à leur plan primitif, au bout de temps proportionnels aux carrés de leurs rayons.

Les lois précédentes, établies pour des barres infiniment longues ou pour dés plaques indéfinies en longueur et en largeur, s’étendent d’ailleurs, évidemment, aux barres et aux plaques de dimensions limitées , pourvu qu’ou ne les applique qu’à la période de début du choc, c’est-à-dire au temps durant lequel l’ébranlement n’a pas encore atteint en quantité appréciable les extré-

mités du corps élastique < étaient à l’infini.

s passe comme si ces extrémités

120. — Méthode générale d’intégration, pour une classe importante d'équations aux dérivées partielles-, et principales applications physiques de cette méthode.

Ce travail étendu contient le développement des idées résumées dans les sept articles précédents, avec la solution d’autres questions de nature analogue, relatives à la théorie de la chaleur, au choc longitudinal d’une barre de.longueur finie, libre ou fixée à un bout et heurtée à'l’autre, etc.il va paraître à la suite du mémoire intitulé « Application des potentiels â l'équilibre et au mouvement des solides élastiques t>, qui s’imprime en ce moment dans le Recueil de 1er Société des sciences de Lille.

121. — Contribution à la discussion provoquée, au sein de la Société des ingénieurs civils de Londres , par les observations de M. Baler sur la pression latérale des terres.

(Proceedings of the Institution of Çivil Engineers, vol, LXV ; 1881.) '

' Cet article a été composé à la demande du savant secrétaire de la Société des Ingénieurs civils dé Londres, M. James Forrest, qui a eu recours à l’auteur pour expliquer le fait, paradoxal en apparence, de murs en bois soutenant effectivement des sables, dans des conditions où la théorie, classique en Angleterre, de l’illustre et regretté Macquorn-Rankine indiquait que leur épaisseur était très insuffisante pour cela. M. Boussinesq y montre qu’il avait résolu implicitement cette difficulté bien avant que l’expérience l’eùt mise eh vue ; car il résulte de son article du 4 avril 1870 (p. 43 ci-dessus) que, lorsqu’on tient compte, non seulement du frottement intérieur des terres, mais aussi de leur frottement contre le mur (ce que Rankine avait négligé de faire), l’épaisseur minimum cherchée, dans les cas, étudiés par M. Baker, de murs verticaux soutenant des terre-pleins horizontaux, reste conforme à ce qu’indiquent les observations. Cette épaisseur n’a jamais besoin de dépasser le tiers environ de la hauteur, le mur fût-il d’une matière infiniment légère, tandis que la théorie de Rankine fait croître, dans ce cas, l’épaisseur du mur jusqu’à

122. — Note sur la détermination de Vépaisseur minimum que doit avoir un mur vertical, d’une hauteur et d'une densité données, pour contenir m massif terreux, sans cohésion, dont la surface supérieure est horizontale.

L’auteur montre comment l’équilibre limite d’un tel massif homogène, qui échappe à nos méthodes d’intégration, se trouve compris entre ceux, facile-' ment calculables, de deux certains massifs légèrement hétérogènes, de même forme et prosque de même nature que le proposé, mais dontl’un résiste moins et, l’autre, plus que lui, à l’éboulement: ce qui donne deux limites, la première, supérieure, la deuxième, inférieure, de l’épaisseurminimum cherchée du mur. En prenant la moyenne, on obtient une valeur approchée de cette épaisseur ; elle l’est, dans les cas les plus défavorables, à moins d’un quatorzième près, c’est-à-dire bien assez pour les besoins de la pratique.

123. — Sur les intégrales asymptotes des équations différentielles.

(Comptes-Rendus, 80 janvîer 1882 ; t. XCIV, p. 208.)

M. Boussinesq traite, dans cet article, de certaines solutions que peut admettre uue équation différentielle, et qui tiennent le milieu entre les intégrales ordinaires et les solutions singulières. 11 les avait signalées en 1877 et 1878 (dans les mémoires n°‘ 36 et 97 ci-dessus, p. 79) à l’attention des géomètres ; et l’un des plus jeunes, déjà éminent, M. Poincaré, en a, depuis, donné de nouveaux exemples. Ce sont des intégrales telles, que, à partir d’un point quelconque de leur cours, elles se trouvent aussi voisines qu’on veut d’autres intégrales, après en avoir différé notablement avant ce point : elles constituent donc, comme les solutions singulières, des lieux où se réunissent les autres intégrales ; mais leur jonction avec celles-ci ne se fait qu’asymptotiquement ou ne se complète qu’à l’infini, ce qui, au point de vue concret, signifie qu’elle s’opère trop graduellement pour qu’on puisse en fixer l’instant précis.

L’auteur montre que, généralement, ces intégrales asymptotes s’obtiennent, comme les solutions singulières, en égalant à l’infini les facteurs d’intégrabilité; et il prouve que les équations linéaires n’admettent pas plus d’intégrale6 asymptotes distinctes que de solutions singulières.

124. — Quelques considérations à l'appui d’un article du 29 mars 1880!'!, sur l’impossibilité d'admettre, en général, une fonction des vitesses, daqs toute question d’hydraulique où les frottements ont un rôle notable.

(Comptes-Rendus , 20 avril 1880; t XC , p. 961.)

L’auteur y démontre, par exemple, que, dans un fluide naturel-sortant de l’état de repos, les trois expressions, d’abord nulles, a = ,

•p = , y = ~jy ~ JH ’ où u > v ’ m dési guent les composantes de la vitesse

au point (x, y, z) , naissent par l’action des frottements d’une manière tellement graduelle, que Routes leurs- dérivées successives sont continues et, par conséquent, initialement égales à zéro. Ainsi, ces quantités a, fi. y commencent par varier avec une lenteur infiniment plus grande qu’on ne peut l’exprimer au. moyen des fonctions simples de l’analyse, et, en particulier, elles échappent à tout développement, par la série de Mac-Laurin, suivant

les puissances du petit temps t écoulé, de même que la fonction e <*, signalée à ce point de vue par Cauchy.

On conçoit donc que la démonstration de Lagrange pour prouver que les différences a, |3, y restent nulles, démonstration reposant sur l’hypothèse de l’applicabilité de la série de Mac-Laurin, puisse être en défaut, et qu’elle le soit en effet dans le cas général des fluides à frottements.

125. — liquations différentielles des petits mouvements d’un liquide pesant, quand ils sont principalement horizontaux, que les frottements s’y trouvent peu sensibles, et que le liquide est contenu soit dans un bassin à fond presque horizontal, soit dans un tuyau ou un canal de peu de pente longitudinale, la surface supérieure, soumise à des pressions légèrement variables, n'ayant aussi que des pentes faibles.

Ce travail paraîtra prochainement no. Journal de mathématiquespures et appliquées. Lébut en est d’établir, de la manière à la fois la plus générale et la plus simple, les équations aux dérivées partielles qui régissent la profondeur d’eau

et la vitesse moyenne, dans cette classe importante de phénomènes ondulatoires, à mouvements presque horizontaux, dont font partie l’onde solitaire des canaux découverts et les seiches des laes. Les équations qui les régissent s’y trouvent démontrées, non-seulement, comme dans les Mémoires des n os 6 et 7 (p. 6), pour le cas d’intumescences propagées au sein d’une eau en repos, mais pour celui où elles le sont dans un courant, à filets inégalement rapides, possédant déjà des vitesses comparables à celles que l'ont naître les ondes. Il y est prouvé que, si l’on rapporte le fluide à des axes animés de la vitesse moyenne du courant, les intumescences se propagent relativement à ces axes, et se tranforment, comme elles le feraient dans une eau en repos, même à une deuxième approximation, où on ne néglige plus les vitesses individuelles des filets fluides devant la vitesse de propagation, ni la hauteur des ondes comparée à la profondeur totale du liquide. Ces résultats du calcul sont bien confirmés par l’observation ; car celle-ci moiltre que les cours d’eau torrentueux ou approchant de l’ètre, c’est-à-dire ceux dont la vitesse est comparable à la vitesse même avec laquelle y progressent les longues ondes, sont les seuls où ces ondes se comportent autrement que dans les canaux à eau stagnante, pour obéir aux lois, également démontrables par la théorie, dont il a été question plus haut (p. 21).

126. — Notes et rechercheè pour l’édition française des leçons sur l’élasticité de Clebsch, publiée par MU. de Saint-Venant et Flamant.

Il s’agit de deux notes et de diverses études faites à la demande de M. de Saint-Venant. Les deux notes contiennent une exposition résumée des Applications des potentiels à l’équilibre des corps élastiques, dont il a été question plus haut (p. 37 à 41 et 86 à 87). Les éludes, dont M. de Saint- Venant a utilisé les résultats dans la rédaction de ses propres notes, concernent :

1° Les déformations exactement calculables que comportent des plaques épaisses, fléchies pareillement tout autour d’un axe ou symétriquement par rapport à des plans parallèles ;

2» Le partage du mouvement et de la force vive qui se fait, dans les corps libres ou pivotants que d’autres viennent heurter, entre les translations pu

rotations d’ensemble ultérieures et les vibrations, de diverses périodes, produites parle choc;

3" L’intégration en série de l’équation anierentielle du quatrième ordre qui se présente dans le problème des vibrations transversales d’une barre droite non-prismatique, de largeur constante, mais d'une épaisseur variable suivant la forme parabolique d’égale résistance qu’on donne au balancier des machines à vapeur ;

4“ Le mouvement et les conditions de résistance d’une barre prismatique de longueur finie, libre ou fixée à un bout, et heurtée à l’autre, dans le sens de sa longueur, par un corps massif. Ce problème, bien que régi par l’équation aux dérivées partielles des cordes vibrantes et résoluble, par conséquent, sous forme finie, au moyen des intégrales de d’Alembert, présentait une certaine difficulté dans la détermination des fonctions arbitraires, qui y dépend d’une équation aux différences mêlées. Aussi, Navier avait-il préféré ne pas s’y servir des intégrales de d’Alembert, et s’était-il contenté d’une solution en série dont un calcul suffisamment exact est à peu près irréalisable. Au contraire, la solution sous forme finie permet de se rendre compte dé toutes les circonstances du choc. Voici, par exemple, (ce qui importe le plus dans la pratique) l’expression de la déformation maxima ou dangereuse!). V désignant la vitesse donnée du corps heurtant, Q le poids de ce corps, P celui delà barre et u la vitesse de propagation du son le long de cette barre, on a :

1° Pour le cas de la barre libre;

2° Pour le cas de la barre dont le bout non heurté est fixe,

■ Et, dans le même second cas, - désignant le temps employé par le son à parcourir la barre d’un bout à l’autre, le cboc se termine (ou le corps heurtant se sépare de la barre) au bout d’un temps compris entre 2 t et.ér, quand le rapport ^-n’atteint pas 1,73; entre 4 t et 6t, quand cë rapport dépasse 1,73 et est moindre que 4,15 : entre 6t et 8t, quand il tombe entre 4,15 et 7,35 ; etc.

127. — Leçons d’analyse infinitésimale professées à llnstitut industriel du Kord.

: Ce cours élémentaire, à l’usage des élèves de l’Institut industriel de Lille* se distingue de la plupart des'traités de ^calcul différentiel et intégral par son but, qui est l’application de l’analyse mathématique aux choses concrètes, et par la prédominance des considérations intuitives sur les calculs. L’auteur s’est efforcé d’y mettre àla portée de tous les esprits, sans rien sacrifier de la rigueur, toutes les parties usuelles de l’analyse, y compris les intégrales définies, les équations différentielles et aux dérivées partielles, le calcul des variations, théories indispensables dans les applications physiques et même industrielles.