IX. — Supplément

103. — Sur une raison générale, propre à justifier synthétiquement l’emploi des Hivers développements de fonctions arbitraires usités en Physique mathé-

(Comptes-rendus, 1 mars 1881 ; t. XCII, p. 118; et Joura.l de Mathémaüques d« 1881 , p. 156, à la fia du

Cet article est relatif aux développements en série que l’on emploie constamment dans la Physique mathématique, pour décomposer en termes d’une certaine forme les .fonctions arbitraires exprimant l’état initial des corps. L’auteur établit la légitimité de ces développements, en montrant : 1° d’une part, que leur forme résulte de ce que les équations aux dérivées partielles des problèmes considérés sont l’équivalent d’une infinité d’équations différentielles simultanées, linéaires et à coefficients constants ; 2° d’autre part, que leur convergence est due à la graduelle variation de l’état physique, toujours supposée, en vertu de laquelle cet état est, à chaque instant, sensiblement le même pour un nombre très grand de. molécules voisines, n’occupant qu’une portion imperceptible de l’espace; ce qui annihile, dans la série, l’influence dés termes très éloignés ou exprimant des états rapidement variables d’une molécule aux molécules contiguës.

104. — Égalité des abaissements moyens que produisent, chacune, aux points où est déposée l’autre, deux charges égales, arbitrairement distribuées, le long de deux circonférences concentriques, sur un sol horizontal, ou sur wne plaque circulaire horizontale ayant même centre que ces circonférences et appuyée ou encastrée sur tout son contour.

Cette loi de réciprocité, découverte par l’auteur, établit un rapprochement curieux entre un sol élastique de dimensions indéfinies et une plaque mince limitée en tous sens. Il en résulte, par exemple, qu’étant donnée une plaqua circulaire horizontale, appuyée ou encastrée sur tout son contour, un poids isolé quelconque, déposé sur cette plaque à une certaine distance du centre,.

produit, en ce centre, le même abaissement (ou la même flèche) qu’il produirait à l’endroit où il se trou ve, si on l’en ôtait pour le déposer au centre.

105. — Equilibre d’élasticité d'un solide limité par un plan.

L’auteur montre que les intégrales des équations indéfinies de l’équilibre d’élasticité, qu’il avait données dans son article du 20 mai 1878(n° 31 ci-dessus, pages 36 et 37), et qui lui avaient permis d’exprimer très simplement l’équilibré d’un solide sollicité à sa surface par des actions normales, conduisent, d’une manière presque aussi simple, à la solution du cas plus général où ces actions sont obliques. Il suffit, pour cela, d’y employer, au lieu du potentiel logarithmique à trois variables, dont il a été parlé ci-dessus (p. 37), un autre potentiel, ayant le précédent pour sa dérivée par rapport à la coordonnée z normale à la surface. M. Boussinesq avait considéré le premier cet autre poten- ; tiel, dans une note de l’édition française delà Théorie de l'Élasticité de Clebsch, par MM. de St-Venant et Flamant (premier fascicule, publié en 1881, p. 401); mais c’est M. Yalentino Cerruti, professeur de mécanique rationnelle à l’Université de Rome, qui, dans un mémoire imprimé en 1882 parmi ceux de l’Académie dei Lincei, a reconnu qu’il s’introduisait naturellement dans les formules de l’équilibre d’un corps limité par un plan et y supportant des pressions obliques. La méthode employée par le savant auteur italien pour traiter ce problème, et qu’il présente comme une application d’un procédé plus général d’intégration dû à M. Betti, est, d’ailleurs, beaucoup plus compliquée que celle dont il est question dans l’article analysé ici.

106. — Comment se transmet,- dans un solide élastique isotrope en équilibre, la pression exercée sur une très petite partie de sa surface. .

107. — Sûr la transmission d'unepression oblique, de la surface à l’intérieur, dans un solide isotrope et homogène en équilibre.

Parmi les problèmes qu’on peut se poser touchant la manière dont les ac- • tions exercées à la surface des solides se transmettent dans leur intérieur, à

l’état d’équilibre, un. des plus naturels, et même le premier qui se présente à l’esprit, est celni des pressions qu’on fait naître dans un oorps, lorsqu’on le touche en un de ses points, tandis que des parties de sa surface ou de sa masse suffisamment éloignées sont maintenues fixes. Telle est la question résolue dans ces deux notes, dont la première concerne le cas où la pression exercée est normale et, la seconde, celui où elle est quelconque.

Il y est démontré que Vaction extérieure donnée se transmet à Vintérieur, sur les couches matérielles parallèles à la surface et de plus en plus profondes, sous la forme de pressions obliques, dirigées exactemeutà l’opposé du point delà surface où s’exerce la force extérieure } et égales, pour l’unité d'aire, au produit du facteur constant par la composante de celte force suivant leur propre sens, par V inverse du carré de la distance r à son point d’application et par le rapport de la profondeur s de la couche à la même distante r. On voit par là que la transmission des pressions, d’une couche à l’autre, se fait de la même manière dans tous les solides isotropes.

L’auteur étudie aussi la forme que prend la surface du corps dans le voisinage du point touché.

108. — Comment se répartit, entre les divers points de sa petite base d'appui, le poids d'un corps dur, à surface polie et convexe, posé sur un sol horizontal élastique.

Le mode de répartition dont il s’agit doit se déterminer par la condition que le sol prenne, sur toute l’étendue de sa petite surface de contact avec le corps, la forme même de la base d’appui du corps dur, comme on a vu plus haut (p. 39). L’auteur montre que cette condition se trouve satisfaite quand la surface de contact est une certaine ellipse, ayant ses axes dirigés suivant les deux plans normaux principaux du corps relatifs à son point le plus bas, et quand les pressions par unité d’aire y sont partout proportionnelles aux ordonnées d’un demi-ellipsoïde à axe vertical décrit sur l’ellipse en question comme base. Le demi-petit axe b et le demi-grand axe a de l’ellipse sont liés au poids P du corps, et aux deux rayons principaux de courbure correspondants R' et R de sa base d’appui, par deux équations transcendantes ( où entrent des intégrales elliptiques), desquelles il résulte que la forme de

l’ellipse dépend uniquement du rapport des deux rayons de courbure R', R, et que ses dimensions 2 a, 2i', pour,une valeur donnée de ce rapport, sont proportionnelles à la racine cubique du produit du poids P du corps par l’un des deux rayons R ou R'. On a, du reste, sensiblement, tant que le rapport ■5- dépasse 0,1 ou même seulement 0,05,

formules d’où l’on déduit que, le grand rayon de courbure, R, restant constant, la base d’appui * ab est d’autant moindre, et les pressions qu’elle supporte par unité d’aire d’autant plus fortes, que l’autre rayon de courbure, R', devient plus petit.

Entre autres lois intéressantes, l’abaissement m éprouvé par le point du sol situé au centre de l’ellipse est la somme des deux qui s’observent, respectivement, à une extrémité du grand axe et à une du petit axe.

109. — Sur un potentiel il quatre variables, qui rend presque intuitives l’intégration de l’équation du son et la démonstration de la formule de Poisson, concernant le potentiel inverse à trois variables.

Le potentiel dont il s’agit (potentiel sphérique) s’obtient, pour une certaine masse répandue dans l’espace, en prenant le potentiel ordinaire, au point quelconque (x, y, z), non pas de toute cette masse , mais d’une de ses couches sphériques, d’une épaisseur infiniment petite constante dr, découpées autour de ce point comme centre. Il dépend donc, non seulement, comme les autres potentiels, des trois coordonnées x, y, z du point considéré, mais aussi du rayon r de la sphère ; et il jouit de la propriété fondamentale d’avoir son paramètre différentiel du second ordre c’est-d-dire la somme de' ses trois dérivées secondes par rapport aux coordonnées respectives du centre de la sphère, égal à sa quatrième dérivée seconde directe, prise par rapport au. rayon r. Cette propriété, exprimée parla formule

où y désigne le potentiel sphérique rapporté à l’unité d’épaisseur de la couche (c’est-à-dire divisé par dr), constitue une relation analogue à l’équation dite du son. Aussi peut-on intégrer intuitivement l’équation du son, au moyen d’un potentiel sphérique ajouté à la dérivée d’un autre potentiel sphérique par rapport au rayon r : ce qui donne une forme concrète, immédiatement saisissable, aux intégrales célèbres obtenues par Poisson, mais dont on ne possédait encore que des démonstrations compliquées.

Il suffit d’ailleurs d’intégrer, depuis r = un infiniment petit s jusqu’à r— cq, l’expression (y dr), ou ^ dr, pour avoir, comme valeur du paramètre du potentiel ordinaire /y dr, l’expression — prise à la limite r=e, éXpression qu’un calcul immédiat donne alors et qui égale le produit de — 4 « par la densité p au point (x, y, z). Ainsi se trouve démontrée fort simplement la formule de Poisson sur le potentiel ordinaire.

110 .— les déplacements qu'entraînent de petites dilatations ou condensations quelconques, dans tout milieu homogène et isotrope indéfini, sont calculables à la manière d'une attraction nerctomenne.

Cet article contient l’application du procédé d’intégration par des potentiels sphériques, qui vient d’ètra indiqué , aux équations des petits mouvements d’un milieu élastique isotrope, solide ou fluide, indéfini en tons sens, et dont les diverses molécules ont initialement subi des déplacements donnés ou reçu des vitesses connues. L’auteur y démontre, en particulier, que de petites dilatations ou raréfactions quelconques de la matière, produites en certains endroits d’un tel milieu, entraînent, vers ces endroits, des déplacements régis par la loi newtonienne, chaque vide élémentaire attirant, en quelque sorte, proportionnellement à sa capacité et en raison inverse du carré de la distance, les particules ambiantes, et ces appels partiels vers les divers vides élémentaires se composant géométriquement , à la manière ordinaire, pour donner le vrai déplacement de chaque particule consécutif aux dilatations ou aux condensations produites. Cette loi constitue une extension d’une autre, trouvée par M. Boussinesq en 1870 (p. 14 ci-dessus),au sujet des mouvements que prend le liquide contenu dans un vase, vers un orifice de

forme quelconque qu’on vient à y ouvrir au centre d’une paroi plane : car il avait démontré que tout se passe alors comme si chaque partie infiniment petite de l’orifice imprimait aux molécules fluides intérieures des vitesses dirigées vers cetie partie et constamment proportionnelles tant à son débit actuel qu’à l’inverse du carré de sa distance actuelle aux molécules considérées, la vitesse effective de celles-ci se formant d’ailleurs par la superposition ou la composition géométrique de tous les appels partiels, ainsi obtenus , vers les diverses régions de l’orifice.

111. — Définition naturelle, des paramètres différentiels des fonctions et notamment de celui'du second ordre A 2 .

Cette note est relative aux paramètres différentiels des fonctions, d’un emploi si général en Physique mathématique. L’auteur y donne leur définition la plus naturelle, qui paraissait avoir échappé jusque alors aux géomètres, par suite peut-être de son extrême simplicité. Cette définition consiste à dire que le paramètre différentiel d’un certain ordre pair d’une fonction de point est, à un facteur numérique près, la moyenne des valeurs que prend, en un point donné, la dérivée du même ordre de la fonction, le long de toutes les droites qui s’y croisant ; et, comme cette définition, si on l’étendait aux paramètres d’ordre impair, les ferait identiquement nuis, on peut prendre pour ceux-ci, sauf encore un facteur numérique, la quantité positive dont le carré égale la valeur moyenne du carré de la dérivée de l’ordre impair considéré, évaluée également, au ppint donné, suivant toutes les directions.

Non seulement cette définition conduit, pour les deux paramètres du premier et du second ordre, à leurs expressions reçues, mais elle montre de plus que celui du second ordre mesure l’accroissement moyen qu’éprouve la fonction autour du point considéré, quand on s’en éloigne à une distance infiniment petite ; ce qui fait de ce paramètre différentiel la dérivée la plus naturelle possible d’une fonction de point et explique son rôle immense en Physique mathématique.

L’emploi d’un potentiel sphérique donne aisément une expression générale et simple des paramètres différentiels d'ordre pair, expression prouvant qu’ils résultent tous d’applications répétées de celui du second ordre.

112. — Mémoire sur le potentiel sphérique, ou potentiel à quatre variables, et

sur ses applications à la dynamique des corps élastiques.

Ce mémoire contient le développement des idées résumées dans les trois notes précédentes. Il paraîtra à la suite de celui qui concerne VApplication des potentiels à l'équilibre d'élasticité (N° 40 ci-dessus) et qui, n’ayant pu, à cause de son étendue, être inséré au Journal de Mathématiques , s’imprime en ce moment dans le Recueil de la Société des sciences de Lille.

113. — Intégration de certaines équations aux dérivées partielles, par le moyen

d’intégrales définies contenant sms le signe f le''produit de deux fonctions . arbitraires.