Notice sur les travaux scientifiques

Théorie des déblais et remblais (1) ('). — J’ai entrepris l’étude du problème des déblais et remblais, proposé par Monge en 1781, pour répondre à la question posée par l’Académie, en 1884, comme sujet du prix Bordin. L’Académie a bien voulu accorder le prix à mon Mémoire. Pour exposer la question à résoudre et les résultats obtenus, je ne puis mieux faire que de reproduire les passages du Rapport de M. Darboux relatifs à mon travail :

« Dans la question proposée en 1884, comme sujet du prix Bordin » (Géométrie), l’Académie demandait aux concurrents, soit l’étude géné- » raie du problème des déblais et des remblais, soit la solution dans un » cas simple choisi par l’auteur du Mémoire.

» L’étude de ce beau problème remonte à Monge qui, dans un Mémoire » publié en 1781, où se trouvent développées d’une manière incidente la » théorie des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons » rectilignes, s’était posé la question générale suivante :

» Deux volumes équivalents étant donnés, les décomposer en parcelles » infiniment petites et deux à deux équivalentes, se correspondant suivant » une loi telle que, si l’on multiplie le chemin parcouru par chaque par- » celle, transportée sur celle qui lui correspond, par le volume de cette » parcelle, la somme des produits ainsi obtenus soit un minimum.

» Dans le cas où les volumes peuvent être assimilés à des aires planes » situées dans le même plan, Monge résout complètement le problème » en remarquant que les routes de transport, lorsqu’elles forment un » système continu, doivent détacher dans le déblai et dans le remblai des

» aires égales. Dans le cas où les routes ne peuvent former un système con- » tinu, il présente quelques remarques, complétées depuis par Dupin dans » un Mémoire sur le même sujet, qui fait partie des Applications d’Ana- » lyse, de Géométrie et de Mécanique. Enfin Monge, abordant le cas le plus » difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes, nécessairement

» espérances aussi bien qu’aux vœux de la Commission. C’est un travail de » haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand » succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l’Analyse mo- II derne ; il réalise un progrès considérable dans l’étude de la question mise » au concours. Au début de son Mémoire, l’auteur s’élève de la considéra- 11 tion d’un système de points isolés à celle des masses continues. Il énonce. Il sous le nom de principe de translation, principe de symétrie, etc., un Il certain nombre de propositions élégantes et simples, dont l’application Il rendra certainement de grands services dans la pratique. Nous signale- » rons plus particulièrement deux propositions faisant connaître deux sys- 11 tèmes différents de routes, d’une définition très générale et réalisant, l’un Il et l’autre, le minimum absolu du prix de transport ( * ).

1) Dans la deuxième Partie de son travail, l’auteur du Mémoire n° 5, après Il avoir démontré que les routes forment un système continu ou se décom- 11 posent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des variations Il au problème de Monge, et il établit le théorème fondamental, sans même Il supposer que la densité soit constante à l’intérieur du déblai ou du rem- II blai. Enfin il examine le cas où les routes se partagent en plusieurs sys- 11 tèmes continus et il indique les moyens de déterminer les surfaces sépa- 11 ratrices, c’est-à-dire les surfaces auxquelles viennent aboutir les routes Il appartenant à deux systèmes différents et contigus.

Il Dans le cas des aires planes, nous l’avons déjà rappelé, le problème de Il Monge peut recevoir une solution complète où ne figurent que des qua- 11 dratures. On devait se demander si, dans l’espace, l’équation aux dé- II rivées partielles donnée par Monge n’est pas, elle aussi, intégrable dans Il tous les cas et d’une manière générale. Les résultats obtenus par l’auteur Il du Mémoire donnent une réponse complète à cette question difficile. Il Dans le cas où, par exemple, les volumes se réduisent à des aires planes

situées dans des plans parallèles, l’intégration de l’équation de Monge est ramenée à celle des surfaces minima si les aires ont même densité, et à ceUe des surfaces à courbure constante si les densités sont différentes.

» Ces exemples sont précieux, parce Iqu’ils prouvent que l’on doit renoncer à intégrer dans tous les cas l’équation du second ordre de Monge ; mais aussi parce qu’ils ont permis à l’auteur de signaler avec netteté les difficultés nouvelles et sérieuses que l’on rencontrera, même après avoir intégré cette équation.

» Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des surfaces minima. Si l’on considère toutes les surfaces formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations apprend que la surface d’aire minimum aura, en chaque point, ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L’équation aux dérivées partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est assujettie, de passer par la courbe, ne permet pas de déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. 11 existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe; mais ces surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la condition, supposée cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires qu’en employant des considérations tout à fait indépendantes de la méthode des variations, puisque la condition à laquelle il s’agit de satisfaire est supposée remplie au moment même où commence l’application de cotte méthode. Le problème auquel on est ainsi conduit arrête aujourd’hui encore les efforts des géomètres et n’a pu être résolu que dans quelques cas particuliers.

» La solution du problème de Monge présente des difficultés analogues et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d’une variable, qui entrent dans les équations du système des routes, doivent être déterminées par la condition que les routes forment un système continu, permettant de transporter dans l’ensemble du remblai la totalité des parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente a priorij que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai, ne fait connaître qu’une de ces deux fonctions et il n’existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution complète de la question proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup de lumière sur cette discussion délicate.

verture du pli cacheté qui accompagne le Mémoire inscrit sous le n» 2. M. le Président a proclamé le nom de M. A. de Saint-Gebmaik. »

Parmi les questions que j’ai traitées à titre d’exemples dans le Mémoire sur lequel on vient de lire un rapport si favorable, se trouvent les suivantes qui me paraissent mériter quelque attention. En supposant que le déblai et le remblai sont des aires homogènes équivalentes situées dans deux plans rectangulaires, on trouve que les routes servant au transport sont normales à une surface satisfaisant à une équation aux dérivées partielles qui so transforme en elle-même par la transformation remarquable que M. Bonnet a indiquée à la page 486 du tome XLII des Comptes rendus. En supposant ensuite que le déblai et le remblai sont des aires homogènes équivalentes situées sur la surface d’une sphère, je démontre que les routes servant au transport sont normales à une surface possédant cette propriété que ; la projection du centre de la sphère sur chaque normale se trouve au milieu des deux centres de courbure principaux. L’emploi du système de coordonnées tangentielles dû à M. Bonnet me permet d’intégrer l’équation aux dérivées partielles du deuxième ordre définissant ces surfaces; je suis revenu depuis (78) sur l’étude dé ces surfaces, en donnant sous une forme simple les expressions des coordonnées d’un de leurs points

en fonction de deux paramètres et en indiquant les équations différentielles des lignes de courbure et des lignes asymptotiques, dont les premières peuvent être intégrées dans une infinité de cas comprenant une infinité de surfaces algébriques. J’ai montré en outre que ces surfaces se rattachent d’une façon simple aux surfaces minima et aux surfaces étudiées par M. Bonnet (Comptes rendus, t. XLII, p. 486); on a par exemple la construction suivante ; Étant donnée une surface S de M. Bonnet, on mène en un point M de cette surface le plan tangent V et la normale MN jusqu’au plan xOy. le plan II parallèle à'P et situé à une distance de l’origine égale à la normale MN enveloppe une de nos surfaces. Cette correspondance entre nos surfaces et celles de M. Bonnet montre que ;

De tout système de routes servant à déblayer une aire plane homogène sur une aire équivalente située dans un plan parallèle, on peut déduire un système de routes servant à déblayer une aire sphérique homogène

Les routes servant au premier déblai seront normales à une surface de M. Bonnet, les routes servant au second déblai normales à une de nos surfaces. M. Goursat (') a étudié depuis une classe étendue de surfaces comprenant les précédentes comme cas particulier.

Involutions d’ordre supérieur. — Les beaux travaux de Chasles, concernant les courbes et les surfaces du second ordre, sont basés en grande partie sur la notion d’involution et d’homographie entre deux éléments géométriques dépendant rationnellement d’un paramètre (points sur une droite, sur une conique, etc., droites passant par un point, tangentes à une conique, ...).

L’involution de Chasles est définie analytiquement par une relation de la

AX,X,-i-B(X,-i-X,)-l-C = o,

entre les deux valeurs et X. du paramètre variable qui correspondent aux deux éléments géométriques considérés. Je me suis proposé d’étudier les propriétés des courbes unicursales, planes ou gauches, de degrés supérieurs, en prenant pour point de départ la notion d’involution d’ordre supérieur entre trois ou plusieurs éléments géométriques dépendant ration-

nellement d’un paramètre (points sur une courbe unicursale, tangentes, plans osculateurs à une courbe unicursale, etc.). En premier lieu, (2) et (67), j’ai étudié le cas le plus simple, en prenant une involution du troisième ordre définie par une relation de la forme

AX,X,X,-i-Mi-I-X,X,) +X,)-i-D =o, qui est l’extension naturelle de la relation de Chasles rappelée ci-dessus ; de même que, dans l’involution de Chasles, il y a deux éléments doubles, il y a, dans l’involution du troisième ordre, trois éléments triples obtenus en supposant les valeurs de X,, X 3 égales entre elles. L’emploi de cette relation involutive permet de traiter, avec une grande facilité, la théorie des cubiques gauches, dont l’analogie avec les coniques se trouve ainsi mise en évidence à un nouveau point de vue. On a, par exemple, les théorèmes suivants ; Une droite qui tourne autour d’un point fixe détermine sur une conique des groupes de deux points en involution ; les points doubles sont les points de contact des tangentes issues du point. De même ; Un plan qui tourne autour d’un point fixe détermine sur une cubique gauche des groupes de trois points en involution ; les points triples sont les points de contact des plans osculateurs issus du point. Les réciproques sont vraies. Une propriété intéressante de l’involution du troisième ordre est que les éléments triples sont trois éléments homologues de l’involution : c’est de ce fait simple que résultent immédiatement plusieurs théorèmes importants dont le type est ce théorème bien connu ; Les points d’inflexion d’une cubique plane unicursale sont en ligne droite. D’une façon générale, toutes les involutions d’ordre impair ( 2 n - 1 - 1 ) possèdent la même propriété que l’involution du troisième ordre : les éléments (an -t- i)-tuples forment un groupe d’éléments homologues; de là ce théorème général (94) :

Soit une courbe unicursale fixe et un faisceau de courbes algébriques tel qu’une des courbes du faisceau soit déterminée par 2 n points et coupe la courbe unicursale en 2 « -f -1 points variables; il existe an + i courbes du faisceau, osculatrices à la proposée, et les an + t points d’osculation sont sur une coui-be du faisceau.

Ce théorème s’étend à des courbes unicursales gauches, coupées par des faisceaux de surfaces algébriques.

Une notion qui ne se présente pas dans l’involution de Chasles et qui joue un rôle important dans les involutions d’ordre supérieur est celle des groupes ÿéléments singuliers. Si l’involution est d’ordre n, il existe des

systèmes de valeurs de (n — i) des éléments tels que le est indelcrminé; ces systèmes de valeurs forment les groupes d’éléments singuliers; ils sont définis par deux relations involutives simultanées. Par exemple, pour l’involution du troisième ordre, il existe deux éléments singuliers qui sont imaginaires, quand les trois éléments triples sont réels, et réels, quand deux des éléments triples sont imaginaires.

Après avoir appliqué l’involution du troisième ordre à l’étude des cubiques gauches, j’ai étudié les courbes gauches unicursales du quatrième ordre en prenant comme point de départ une relation involutive entre quatre éléments, relation qui me conduit à la classification et aux principales propriétés de ces courbes (3).

Ces méthodes peuvent être appliquées à l’étude de toutes les courbes

dépendent rati ressant de rem

gentes d’une cubique gauche font partie d’un complexe de droites du premier ordre. Il y avait alors deux problèmes à résoudre : 1° Une cubique gauche étant donnée, trouver les éléments du mouvement hélicoïdal ou du complexe correspondant; 2° Un complexe de droites du premier ordre étant donné, trouver les cubiques gauches dont les tangentes appartiennent au complexe. Je résous ces deux problèmes en donnant, pour le second, le théorème suivant, qui a été étendu par M. Picard (') aux courbes unicursales d’ordre supérieur : La condition nécessaire et suffisante, pour qu’une courbe unicursale du troisième ordre, située dans un plan, puisse être considérée comme la projection sur ce plan d’une cubique gauche ayant son axe perpendiculaire au plan, est que la courbe ait ses trois points d’inflexion à l’infini.

Passant ensuite aux courbes gauches unicursales du quatrième ordre, je donne (96) les conditions nécessaires et suffisantes pour que les tangentes à l’une de ces courbes appartiennent à un complexe de droites du premier ordre dont je forme l’équation; il existe alors un deuxième complexe qui a des relations simples avec le premier et avec la courbe. Pour obtenir les conditions cherchées, je me sers de ce théorème général (95) que, pour toutes les courbes dont les tangentes font partie d’un complexe du premier ordre, le déterminant bien connu qui, par son évanouissement, donne les points où le plan osculateur est stationnaire, est un carré parfait. Ainsi, dans le cas actuel, il faut que l’équation du quatrième degré donnant ces points soit un carré parfait. Ces conditions nécessaires sont suffisantes,, comme il résulte de l’étude des propriétés des courbes pour lesquelles elles sont satisfaites. Alors les quatre points de la courbe, où le plan osculateur est stationnaire, sont confondus deux à deux avec des points simples en chacun desquels la tangente a trois points communs avec la courbe.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. - INVARIANTS.

Équations différentielles linéaires à une variable indépendante. - Les analogies entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques ont été depuis longtemps signalées. Ainsi Lagrange a démontré que, si l’on connaît une intégrale particulière d’une équation différentielle linéaire, on peut abaisser d’une unité l’ordre de cette équation, de même que l’on peut diminuer d’une unité le degré d’une équation algébrique dont on connaît une racine. La théorie du plus grand commun diviseur de deux polynômes et celle de l’élimination ont conduit MM. Libri, Liouville, Brassinne à des théories analogues sur les équations différentielles linéaires ; et ces questions ont été reprises et complétées par MM. Thomé et Frobenius {Journal de Crelle, t. 74 et suivants); M. Frobenius a introduit la notion de l’irréductibilité des équations différentielles linéaires {Journal de Crelle, t. 76) et a démontré, à ce sujet, plusieurs théorèmes importants suggérés, sans doute, par les théorèmes analogues de la théorie des équations algébriques. La décomposition des polynômes en facteurs a été l’origine de la théorie de la décomposition du premier membre d’une équation différentielle linéaire en facteurs premiers symboliques (Floquet, Annales de l’École Normale supérieure, année 1879; Supplément). Le Mémoire fondamental de M. Fuchs {Journal de Crelle, t. 66), qui depuis a été exposé et complété par M. Tannery {Annales de l’École Normale supérieure, année 1874) et qui a pour objet l’étude des fonctions définies par une équation différentielle linéaire, présente plus d’une analogie avec le Mémoire célèbre de Puiseux Sur les fonctions algébriques {Journal de Mathématiques, t. XV); et cette analogie a été poussée à un point inattendu dans un Mémoire de M. Fuchs {Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. XC, p. 678 et 735; Journal de Crelle, t. 89) Sur une classe de fonctions de plusieurs variables tirées de l’inoersion des intégrales des solutions des équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions rationnelles. Enfin, dans un autre ordre d’idées, la théorie des invariants des formes algébriques a été étendue aux équations différen-

lielles linéaires, dans deux Notes présentées par Laguerre à l’Académie (Compte$ rendus de l’Académie des Sciences, t. LXXXVIII, p. ii6 et 224), dans une Communication de M. Brioschi à la Société mathématique de France {Bulletin, t. VII) et dans le Mémoire couronné d’Halphen Sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables {Journal des Savants étrangers, t. XXVIII, n” I ).

Mais il restait une partie des plus importantes de la théorie des équations algébriques qui n’avait pas encore son analogue dans la théorie des équations différentielles linéaires : je veux dire la partie qui traite des fonctions symétriques des racines d’une équation et de la transformation des équations. C’est ce nouveau Chapitre de la théorie des équations différentielles linéaires que je me suis proposé d’étudier.

J’ai eu d’abord à m’occuper de chercher quelles sont les fonctions des intégrales d’une équation différentielle linéaire qui sont analogues aux fonctions symétriques des racines d’une équation algébrique. Soient y,,..., y„ les éléments d’un système fondamental d’intégrales d’une équation différentielle linéaire d’ordre n; les fonctions, analogues aux fonctions symétriques, sont des fonctions algébriques entières de y,, y,, ..., et de leurs dérivées qui se reproduisent, multipliées par un facteur constant différent de zéro, quand on remplace y,, ys, .. •, y» P®'’ Iss éléments z,, Zj, ..., z„ d’un autre système fondamental. Je forme l’expression générale de ces fonctions et je démontre le théorème fondamental (20) analogue au théorème sur les fonctions symétriques i

Soient

uneéquation dfférentiellelinéairesanssecondmembre, ety,,y„, ...,y„ un système fondamental d’intégrales; toute fonction algébrique entière dey„yi, ynet des dérivées de ces fonctions qui se reproduit multipliée par un facteur constant différent de zéro, quand on remplace y,, yj, ..., y„ par les éléments d’un autre système fondamental d’intégrales, est égale à une fonction algébrique entière des coefficients de l’équation différentielle et de leurs dérivées, multipliée par une puissance de e-fA^.

Je donne de ce théorème différentes applications, parmi lesquelles je citerai ; I» une méthode d’élimination de la fonction, entre deux équations différentielles linéaires, semblable à l’élimination algébrique par les fonc-

lions symétriques (69); 2° une méthode générale de formation de certains invariants et semi-invariants des équations différentielles linéaires, à savoir ceux qu’il faut égaler à zéro pour exprimer qu’il y a, entre les éléments d’un système fondamental, une relation algébrique à coefficients constants (20); 3» une méthode générale pour la transformation des équations différentielles linéaires (21); 4» l’intégration de certaines équations linéaires entre les intégrales desquelles il existe une relation algébrique (69).

Équations spéciales. — Comme application des formules de transformation, je considère une classe d’équations différentielles linéaires, à coefficients doublement périodiques, dont on peut toujours trouver l’intégrale générale (26); ces équations sont supposées linéaires et homogènes par rapport à une fonction/ et à ses dérivées, et leurs coefficients sont supposés remplir les conditions suivantes. Ce sont des fonctions elliptiques d’une variable æ, telles que l’intégrale générale soit régulière et que les racines des équations fondamentales déterminantes, relatives à chaque pôle des coefficients, soient des nombres commensurables ayant des différences entières ; enfin l’intégrale générale ne doit pas contenir de logarithmes dans le voisinage de ces pôles, ce dont on peut toujours s’assurer par les méthodes de M. Fuchs. Dans ces conditions la fonction

où N désigne un entier positif convenablement choisi, est une fonction uniforme de X, sans points singuliers essentiels, satisfaisant à une équation différentielle linéaire que l’on sait former et dont les coefficients sont doublement périodiques. On pourra donc, d’après un théorème de M. Picard, exprimer la fonction z à l’aide des fonctions 0 et H de Jacobi, et en conclure l’expression / de l’intégrale générale de l’équation proposée. J’applique cette méthode à un cas particnlier de l’équation de Lamé qui avait déjà, à mon insn, été traité d’une autre façon par M. Brioschi.

Le théorème de M. Picard auquel nous venons de faire allusion consiste en ce que, si l’intégrale générale d’une équation linéaire à coefficients doublement périodiques est uniforme et n’a pas de points singuliers essentiels, elle peut être exprimée à l’aide de fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Supposons que, dans une de ces équations de M. Picard, on remplace la variable indépendante par l’intégrale elliptique de première espèce correspondante; on formera une équation, à coefficients algébriques, dont l’intégrale générale n’aura d’autres points singuliers que des pôles et des

autres points critiques que des pôles ou des points critiques algé- , à savoir les points critiques de la fonction algébrique y de œ; j« , de plus, que ces coefficients remplissent des conditions telles qut tion éprouvée par l’intégrale générale, quand le point analytiqui larcourt deux cycles successifs, soit indépendante de l’ordre de sucde ces cycles. Sous ces conditions, l’équation a, pour intégrale par- ;, une exponentielle dont l’exposant est composé linéairement avec ■grales abéliennes de première et troisième espèce, attachées à h dgébrique F(æ,y) = o. Cette intégrale particulière étant détermitégration de l’équation linéaire se ramènera à celle d’une équatior

tion algébrique, F(æ, y) = o, étant donnée, former, parmi les équations différentielles linéaires d’ordre n à coefficients rationnels en a; et y, les équations les plus générales de première, les plus générales de seconde et troisième.espèce avec des points singuliers donnés.

Parmi les équations linéaires à coefficients algébriques, j’ai étudié encore (70) des équations différentielles linéaires binômes de la forme

où <(i(æ, y) est une fonction rationnelle de æ et y, la variable y étant liée à X par une équation algébrique de genre p. J’indique le moyen de reconnaître si une de ces équations admet pour intégrale particulière une exponentielle dont l’exposant est une intégrale abélienne, et de trouver cette intégrale si elle existe. En appliquant la méthode générale aux cas de p = o ou P = I, j’arrive ainsi à intégrer une classe nouvelle d’équations linéaires à coefficients rationnels ou doublement périodiques, dans des cas où l’intégrale générale peut n’être pas uniforme et admettre des points singuliers essentiels. La méthode que j’emploie est basée sur les formules de décomposition en éléments simples, d’après la formule de M. Hermite et la formule générale de Riemann-Roch.

Les équations différentielles linéaires, à coefficients simplement ou doublement périodiques, sont caractérisées par ce fait qu’elles ne changent pas de forme, quand on augmente la variable indépendante d’une ou de deux périodes. On peut concevoir des équations différentielles linéaires possédant une propriété du même genre, mais beaucoup plus générale, et indiquer une propriété curieuse d’une de leurs intégrales (27).

Soit une équation différentielle linéaire d’ordre n définissant y en fonction de æ; je suppose qu’en changeant la fonction et la variable indépendante, c’est-à-dire en posant x = ^{t), y = z^{l), on puisse déterminer les deux fonctions cp et j;, de telle façon que l’équation entre z et f prenne la forme primitive dans laquelle y serait remplacé par z, et x par t. Il existe alors toujours une intégrale particulière y = F(a:), de l’équation proposée, qui vérifie la relation

F[<f(a:)] = At(a:)F(a;),

existent toujours, et 1’ dans son Mémoire sur

. Dans le cas où n=2, ces deux fonctions <p et i|/ on obtient des résultats déjà signalés par Kummer la fonction F(a, p, y, x) et étendus depuis par divers

géomètres, entre autres par M. Brioschi. J’indique, comme exemple, uue équation binôme du second ordre ayant pour coefficient une fonction thêtafuchsiennc de M. Poincaré.

Équations linéaires aux dérivées partielles. — A propos do la théorie des fonctions hypergéométriques de doux variables (61), j’ai montré que l’on pouvait démontrer, pour certains systèmes d’équations linéaires simultanées aux dérivées partielles, des théorèmes semblables à ceux de M. Fuchs pour les équations différentielles linéaires à une variable indépendante. Cette similitude nous a conduits, M. Picard et moi (24), à étendre, à des équations linéaires simultanées aux dérivées partielles, le théorème de M. Picard relatif aux équations différentielles à coefficients doublement périodiques. Nous considérons dlabord deux équations simultanées du second ordre

admettant quatre intégrales communes linéairement indépendantes e t ayan t

traires. Parmi ce genre d’équations, j’ai eu à étudier quelques équations linéaires du second ordre dans mon Mémoire sur les déblais et remblais (1), une équation linéaire du second ordre possédant des propriétés intéressantes

dans mes recherches sur les fonctions hypergéométriques de deux variables (61); enfin, à la suite d’une Note de M. Darboux ('), je me suis occupé (84) de l’équation

qui a été traitée par Laplace et dont un cas particulier (^' = P) s’était déjà présenté dans les recherches d’Euler relatives à la propagation du son. C’est également à ce cas particulier que se rapportent les résultats intéressants que M. Darboux a indiqués et que je me suis proposé d’étendre à l’équation générale E(P, P'). Après avoir établi le théorème suivant :

Si l’on a obtenu une solution quelconquedfix,y)del’équation'E,{f^,^'), on pourra en déduire la solution plus générale

(.ax + è) -? (aj + yY

a, b, c, d désignant des constantes quelconques,

j’indique des solutions particulières de l’équation exprimées par des séries hypergéométriques, la solution entière la plus générale et enfin nne forme particulièrement simple de l’intégrale générale pour le cas où p et p' sont deux nombres entiers de même signe. Poisson a donné, dans le cas où p et P' sont égaux, une forme de l’intégrale générale qui contient deux fonctions arbitraires sons des signes d’intégration définie; j’ai étendu cette formule de Poisson au cas où p et p' sont quelconques ; M. Darboux a démontré que l’on a bien ainsi l’intégrale générale. J’ajoute, en terminant cette analyse, que M. Darboux a jugé ces résultats dignes de figurer dans ses Leçons sur la théorie générale des surfaces {a” Mol., Chap. Ill et IV). L’équation E(p, P') a été signalée par M. Lie comme le type des équations

linéaires du second ordre admettant trois transformations infinitésimales; M. Lie ne s’est, d’ailleurs, pas occupé de l’intégration de l’équation.

Équations différentielles non linéaires. — Parmi les équations différentielles non linéaires, j’ai étudié une classe étendue d’équations réductibles aux équations linéaires (51). Ce sont les équations différentielles qui sont algébriques par rapport à la fonction inconnue y et à ses dérivées y, y, ..., y"’, qui contiennent d’ailleurs la variable indépendante x d’une façon quelconque et dont l’intégrale générale s’obtient, en prenant l’intégrale générale d’une équation linéaire d’ordre (n -i- i), et en établissant une relation algébrique entre les constantes arbitraires qui figurent dans cette dernière intégrale. J’indique le moyen de reconnaître si une équation différentielle donnée possède cette propriété et de l’intégrer dans le cas de l’affirmative. Voici comment :

Pour qu’une équation différentielle

Hy,y,/ .r'"',;r) = o

algébrique entière et irréductible par rapport à une fonction y de x et à ses dérivées admette une intégrale de la forme

ro Jî, • • •, r«+i désigne, pendantes et C,, C^, ..., C, algébrique entière, il faut telle que l’expression

nt (n -H i) fonctions de x linéairement indé- (n -H i) constantes liées par une relation et il suffit qu’il existe une fonction X de x

se décompose en deux facteurs dont l’un soit linéaire et homogène en

Ce dernier facteur, égalé à zéro, donnera une équation différentielle linéaire ayant pour intégrale générale C,y,-i-C^y^-h'. ■ ■-h C„,.,y„,.,-,

e facteur, qui est égal à pourri

donner des intégrales singu-

classe générale d’équ

qui se présente

pendante x. Au point de vue de la théorie des invariants, ces équations se divisent en trois classes, suivant la façon dont la dérivée y" figure dans l’équation. Dans la première classe se trouvent les équations pour lesquelles a, et J, sont nuis; dans la deuxième, celles pour lesquelles a, est nul, è, étant dilférent de zéro ; dans la troisième se trouvent les équations dans lesquelles est différent de zéro. Cette classification se trouve justifiée par ce fait que le changement de fonction et de variable transforme une équation d’une classe en une autre de la même classe. Après avoir montré que les équations de la première classe peuvent toujours être transformées en équations linéaires du second ordre, j’indique (66), pour les équations des deux autres classes, un moyen simple de former tous leurs invariants; pour cela je réduis ces équations à une forme canonique contenant, pour la seconde classe, deux invariants absolus, et pour la troisième trois. Tous les autres invariants sont alors des fonctions rationnelles de ces invariants absolus et de leurs dérivées successives par rapport à la variable canonique. Comme application, j’indique les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une de ces équations soit réductible à une autre de même forme à coefficients constants et pour qu elle admette un facteur intégrant ; ces conditions s’obtiennent en égalant certains invariants à zéro. Dans les équations de la troisième classe, j’étudie en détail celles dont l’intégrale générale est un trinôme homogène du second degré par rapport aux deux constantes arbitraires. On reconnaît qu’une équation possède cette propriété en vérifiant que deux invariants sont nuis; l’intégration est alors facile; à côté de l’intégrale générale, l’équation admet, dans ce cas, deux intégrales singulières.

Parmi les équations différentielles homogènes d’un ordre et d’un degré quelconques, les plus simples sont les équations à coefficients constants. Ainsi qu’on le fait pour les équations linéaires et homogènes, on peut en trouver des solutions ayant la forme spéciale Ce™, C désignant une constante arbitraire et r une constante racine d’une équation algébrique. Dans le cas des équations linéaires, les solutions ainsi obtenues sont toutes particulières : on peut se demander s’il en est encore ainsi lorsque l’équation différentielle homogène n’est plus linéaire. Je donne (77) la solution de cette question pour les équations différentielles homogènes du second ordre de degré arbitraire. Certaines de ces intégrales peuvent être particulières, d’autres singulières : j’indique un moyen simple de les distinguer les unes des autres. Il peut arriver que, dans des cas limites, toutes les intégrales de la forme Ce™ soient particulières ou toutes singulières. Je traite, en particulier, à titre d’exemple, le cas d’une équation homogène

façon, à exprimer les conditions nécessaires et suffisantes que doivent remplir ces coefficients pour que l’équation soit réductible à certaines formes intégrables.

Équations différentielles intégrables à l’aide des fonctions 0 de plusieurs variables. - Le théorème de Riemann, donnant les zéros des fonctions 0 de plusieurs variables, permet de former des équations différentielles algé-

briques intégrables à l’aide de ces fonctions (19). Prenons, pour simplifier, le cas d’une fonction y) de deux variables x et y, formée avec les périodes normales des deux intégrales ultra-elliptiques normales de première espèce

f(u) désignant un polynôme du cinquième degré

Puis, considérons l’équation

A et B étant des constantes arbitraires. Cette équation définit y en fonction de æ; si l’on veut employer un langage géométrique, on peut dire que cette équation définit, par rapport à deux axes rectangulaires xOy, une infinité de courbes qui ne font que se transporter parallèlement à elles-mêmes quand les constantes A et B varient. On formera l’équation différentielle du second ordre de toutes ces courbes, en éliminant A et B entre l’équation ci-dessus et ses deux premières dérivées. L’équation différentielle ainsi formée est algébrique; la voici :

(dxd^y-dyd^x) («?'- p«')’

= sKidy — i'dx) (X, dy — i*, dx) (X, dy— \ktdx). . .{Xidy — \i-.dx) ,

X, = afc,-pa„ |ri = a'è,.-P'a,.

Géométriquement, cette équation est ce qu’on appelle quelquefois l’équation intrinsèque àe la courbe, donnant le rayon de courbure en fonction de l’angle de la tangente avec une direction fixe.

Cette proposition peut s’étendre à des fonctions 0 d’un nombre quelconque de variables.