THÉORIE DES FONCTIONS

gente dans plusieurs aires séparées, et représentant une fonction /,(*) dans une des aires, une autre fonction/,(») dans une autre des aires, et ainsi de suite, de sorte que, dans chacune des aires, la série représente une fonction différente. On peut faire (81), sur les développements de ce genre, cette remarque que, si les cercles limitant l’aire S n’ont aucun point commun, le développement en série, par notre méthode, n’est possible que d’une manière; c’est ce qui arrive dans les théorèmes de Cauchy et Laurent; si, au contraire, deux ou plusieurs de ces cercles se coupent ou seulement se touchent, le développement est possible d’une infinité de manières. Par exemple, si le cercle de centre a, a un point commun avec un autre

liers essentiels. L’élément analytique à l’aide duquel nous exprimons ces fonctions est Vintégrale ahéüenne normale de seconde espèce attachée à la courbe F(x,/) = o. Cette intégrale est, comme l’on sait, une fonction du point analytique {x, y) finie partout, excepté en un point æ = 5, y = V] où elle devient infinie du premier ordre avec un résidu égal à l’unité ; je la désigne par Z($, y,), en mettant ainsi en évidence le point (Ç, »]) où elle devient infinie. Cette fonction Z(?, y)) est une fonction rationnelle du paramètre {l, yj) ayant pour pôles les points critiques et les points {x, y) et (x„ y.), ces derniers avec des résidus i et -t-i, comme il résulte du théorème sur l’échange du paramètre et de l’argument dans les intégrales

des m déterminations de la fonction au voisinage du point oo, ces deux sommes sont égales.

Passant ensuite à l’étude des fonctions qui ont une infinité de points singuliers, je démontre à leur égard un théorème qui est la généralisation de celui de M. Mittag-Leffler et qui permet de former une fonction uniforme du point analytique (x, y) n’ayant d’autre point singulier essentiel que le point {a, b) et admettant, pour pâles, les points («,, h),

avec des parties principales données d’avance, le point (a,, éy) étant assujetti à tendre vers (a, b) quand v croit indéfiniment. Comme je l’ai appris depuis par M. Mittag-Leffler, ce théorème avait été trouvé, mais non publié, par M. Weierstrass, avec qui je suis très honoré de m’être rencontré sur ce point. J’étends, de même, aux fonctions d’un point analytique, la méthode de décomposition en facteurs primaires que M. Weierstrass a indiquée pour former une fonction uniforme avec des zéros donnés, et je suis conduit à l’expression générale d’une fonction d’un point analytique admettant un seul point singulier essentiel et des zéros en nombre infini se rapprochant indéfiniment de ce point essentiel. Ces théorèmes généraux sur les fonctions uniformes d’un point analytique (æ, y) conduisent, dans le cas particulier où le genre p est égal à l’unité, à des théorèmes sur les fonctions uniformes doublement périodiques. On peut alors exprimer x et y par des fonctions elliptiques d’un paramètre u, de sorte que toute fonction uniforme du point (x, y) devienne fonction uniforme de u, et réciproquement. On arrive ainsi à étendre les théorèmes de MM. Weierstrass et Mittag-Leffler aux fonctions doublement périodiques à points singuliers essentiels dont MM. Hcrmite (’) et Picard (“) ont donné des expressions générales.

La formule célèbre connue sous le nom à'inlégrale de Cauchy peut, de la façon suivante (.84), être étendue aux fonctions d’un point analy-

Traçons sur l’un des feuillets d’une surface de Riemann une courbe fermée C qui ne comprend dans son intérieur aucun point de ramification de la surface; soient f{x, y) une fonction du point analytique (x, y) uniforme et régulière sur toute la portion de la surface de Riemann extérieure à C, et (x,y), (x„y„) deux points de celte portion de surface, on a

f(x, y) =/(x., y,) + »i)/(S, dS,

l’intégrale étant prise le long de la courbe C.

On déduit de cette formule des développements en série pour les fonc-

lions d’un point (x, y) holomorphes dans une aire limitée par des arcs de cercles, analogues à ceux que j’ai donnés pour les fonctions uniformes d’une variable (32). Lorsque le pnre p est égal à i, on obtient une formule intéressante relative aux fonctions doublement périodiques.

Théorème de M. Mittag-Leffler. — Les applications du théorème de M. Mittag-Leffler à des fonctions connues sont encore peu nombreuses. Dans celles que M. Weierstrass a indiquées pour les fonctions elliptiques, le polynôme retranché de la partie principale est du premier degré. M. Hermite, dans une Lettre à M. Mittag-Leffler insérée au tome 92, page i45 du Journal de. Crelle, a donné des exemples obtenus par des combinaisons de fonctions eulériennes, dans lesquels il faut retrancher des fractions simples un polynôme de degré limité mais quelconque. Enfin, dans son Cours à la Faculté des Sciences, M. Hermite a considéré d’autres combinaisons de fonctions eulériennes pour lesquelles le degré du polynôme à retrancher de chaque fraction simple est proportionnel au rang de cette fraction dans la série et, par suite, croit au delà de toute limite. J’indique une nouvelle application du même théorème, dans laquelle les degrés des polynômes que l’on retranche de la partie principale croissent indéfiniment; cette application est relative aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce, obtenues, comme l’on sait; en divisant un produit de fonctions 0 par un autre produit de même forme; je m’attache surtout au cas où il y a plus de 0 au numérateur qu’au dénominateur ; car, dans le cas inverse, la série des fractions simples converge d’elle-même. Cette application du théorème de M. Mittag-Leffler permet de retrouver la formule de décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce, en éléments simples, que j’avais obten^ antérieurement (71).

Fonctions de plusieurs variables. - Potentiel. — Les- théorèmes de MM. Weierstrass et Mittag-Leffler se rapportent à des fonctions analytiques d’une variable indépendante. Une question qui se présente tout d’abord est de voir s’il existe, pour les fonctions analytiques de plusieurs variables, des propositions du même genre. C’est ce que j’ai fait (56), pour une classe particulière de fonctions de deux variables indépendantes, en appliquant ensuite les théorèmes généraux ainsi obtenus à la formation de certaines fonctions simplement périodiques de deux variables.

Mes principales recherches sur les fonctions de plusieurs variables ont porté, non plus sur la théorie des fonctions de variables imaginaires, mais

sur la théorie du potentiel (57), c’est-à-dire des fonctions de trois variables réelles x, y, z vérifiant, là où elles existent, l’équation aux dérivées partielles „ d’F d‘F d>F

En convenant de considérer x, y, z comme les coordonnées d’un point M par rapport à trois axes rectangulaires, une fonction F(æ, y, z) vérifiant l’équation AF = o pourra être définie dans tout l’espace ou seulement dans une portion de l’espace, en exceptant certains points, ou certaines lignes ou certaines surfaces. La théorie de ces fonctions se rapproche tout naturellement de celle des fonctions d’une variable imaginaire u = x + iy, si l’on se rappelle que la partie réelle d’une fonction analytique de u vérifie une équation aux dérivées partielles analogue, mais à deux termes seulement. MM. Thomson et Tait ont montré qu’il existe une suite de fonctions V,(æ,y, z) définies pour toutes les valeurs entières positives ou négatives de l’indice v, homogènes et du degré v en x, y, z. Ces fonctions jouent, dans la présente théorie, le même rôle que la partie réelle de l’expression (a + bi)(x +yiy dans la théorie des fonctions d’une variable imaginaire. Par exemple, une fonction F(æ, y, z) vérifiant l’équation du potentiel uniforme, finie et continue dans l’intérieur d’une sphère ayant pour centre l’origine, y est développable en une série procédant suivant les fonctions V, à indices positifs ; une fonction F(x, y, z) uniforme, finie et continue entre deux sphères ayant pour centre commun l’origine, est développable dans cet espace en une double série procédant suivant les fonctions V, à indices positifs et négatifs ; théorèmes tout semblables à ceux de Cauchy et de Laurent pour les fonctions d’une variable imaginaire. Je montre, en général, qu’il existe des développements en série, propres à représenter une fonction F uniforme et admettant des dérivées en tous les points d’un volume limité par des portions de surfaces sphériques, développements qui présentent les mêmes particularités que ceux que j’ai donnés (32), pour des fonctions analytiques d’une variable, holomorphes dans une aire limitée par des arcs de cercle. Je déduis ces propositions du théorème de Green.

Prenant ensuite une fonction F(x,y, z) finie, continue et uniforme dans tout l’espace, sauf en certains points singuliers, je m’occupe d’abord de classer ces points en pôles et points singuliers essentiels; ce qui se fait aisément à l’aide des fonctions V,; puis je définis le résidu de la fonction en un pôle ou en un point essentiel isolé. Les points singuliers étant ainsi classés, j’indique l’expression la plus générale d’une fonction n’ayant que

des pôles : une fonction de cette nature doit être regardée comme analogue à la partie réelle d’une fonction rationnelle d’une variable imaginaire; elle est égale à une somme de fonctions de la forme V^(æ — a,y—b,z = c)k indices positifs ou négatifs. En supposant ensuite une fonction qui possède un nombre fini de points singuliers, parmi lesquels des points singuliers essentiels, je donne l’expression générale de cette fonction sous forme d’une somme de fonctions n’ayant chacune qu’un point singulier. Je démontre enfin, pour les fonctions vérifiant l’équation du potentiel AF = o, un théorème analogue à celui de Cauchy sur la somme des résidus relatifs aux pôles situés dans un contour, et un théorème analogue à celui de Mittag- Leffler fournissant l’expression d’une fonction F(x,y, z) ayant, pour pôles, un nombre infini de points donnés, avec des parties principales assignées ii l’avance.

Pour appliquer ces théorèmes généraux à des exemples intéressants par eux-mêmes, j’ai fait une étude générale des fonctions F(æ, y, z) vérifiant l’équation du potentiel et admettant trois groupes de périodes (a, b, c), {a', b', c'), {a", b", c"); j’entends par là que ces fonctions F(æ, y, «éprennent aux points

les mêmes valeurs qu’au point (æ, y, «). On peut représenter cette propriété par une image géométrique fort simple. Considérons les trois segments de droites partant de l’origine O, pour aboutir aux trois points

parallélépipède; sur les faces de ce parallélépipède, plaçons des parallélépipèdes égaux et orientés de la même façon; puis, faisons la même opération pour les nouveaux parallélépipèdes et ainsi de suite, indéfiniment, de manière à remplir tout l’espace d’un réseau de parallélépipèdes égaux et orientés de la même façon, se touchant par leurs faces égales. La fonction F(æ, y, «) possède cette propriété, qu’elle reprend les mêmes valeurs aux points placés de la même façon dans tous ces parallélépipèdes : ainsi, si elle prend une certaine valeur au centre du premier, elle reprendra la même aux centres de tous les autres. Il suffira, d’après cela, de connaître la fonction F(a;, y, z), dans un de ces parallélépipèdes que nous appelons parallélépipède élémentaire, pour la connaître dans tout l’espace. On voit que ces fonctions F(æ,y, z) sont semblables à la partie réelle d’une fonction doublement périodique d’une variable imaginaire u = x-t- iy, qui reprend les mêmes valeurs aux points d’un plan placés de la même façon dans un

-voir leurs expressions analytiques. Pour cela, je commence par construire, à l’aide d’une série, une fonction Z(æ, /, z) vérifiant l’équation du potentiel et présentant la plus grande analogie avec la fonction Z(«) = à l’aide de laquelle on peut, comme l’a montré M. Hermite, représenter toutes les fonctions elliptiques. La fonction Z(œ, y, z) nous permettra, de même, de représenter toutes les fonctions F(x,y, z) ayant dans un parallélépipède un nombre fini de points singuliers : elle est essentiellemeut définie par la condition d’avoir, pour pôles du premier degré avec le résidu + 1, tous les sommets du réseau des parallélépipèdes. Par l’application du théorème analogue à celui de Mittag-Leffler, que j ’ai donné pour les fonctions vérifiant l’équation du potentiel, j’arrive à écrire cette fonction Z{x,y,z) sous forme d’une série qui converge absolument, c’est-à-dire indépendamment de l’ordre dans lequel on prend ses termes. Cette fonction n’admet pas les groupes de périodes {a, b, c), (o', b', c'), {a", b", c"), pas plus que la fonction Z («) n’admet les deux périodes des fonctions elliptiques : elle vérifie des équations de la forme suivante

Z(»-1-C1, y + b, z + c)-Z(,x,y, 2) = Aæ -l-B/H-Cü-l-E, ....

les lettres A, B, C, E désignant des constantes qui dépendent des neuf quantités a, b, c; a', b', c'; a", b", c"; ces constantes sont liées par des relations que l’on établit a priori, et qui permettent de les calculer dans certains cas, autrement "que par des séries, par exemple dans le cas où les parallélépipèdes élémentaires sont des cubes (41). La fonction Z(x,y, z) une fois construite, on a très simplement l’expression d’une fonction F n’ayant que des pôles, par une somme composée de fonctions Z et de leurs dérivées. Je donne ensuite l’expression d'une fonction F avec un nombre fini de points singuliers parmi lesquels il y a des points essentiels, puis j’étends à ces fonctions b certains résultats que j’avais démontrés auparavant (31) pour les fonctions doublement périodiques. Lorsque l’on fait croître indé-

finiment une ou deux dimensions des parallélépipèdes élémentaires, on obtient des fonctions n’ayant que deux ou un groupe de périodes : parmi ces dernières se trouTe une fonction qui a été employée par M. Chervet pour exprimer le potentiel d’une masse liquide limitée par deux plans parallèles, et traversée par un flux permanent d’électricité. J’ai donné depuis d’autres applications de la fonction ï{x,y, z) à des questions de Physique mathématique du même genre (58 ) : ces applications se trouvent analysées plus loin.

Dans la théorie des fonctions simplement et doublement périodiques d’une variable, les expressions de ces fonctions par des séries simples de sinus et de cosinus sont de la plus haute importance, principalement pour les applications. Je me suis proposé de développer, de la même façon, les fonctions F(æ, y, z) vérifiant l’équation AF = o et admettant un, deux ou trois groupes de périodes. La possibilité de ces développements est certaine d’après le théorème de Fourier. De même que, dans la théorie des fonctions d’une variable imaginaire, les fonctions périodiques les plus simples, après les fonctions périodiques holomorphes, sont celles qui admettent une infinité de pôles distribués régulièrement dans le plan comme cotK ou sn«; dans la théorie des fonctions de trois variables x,y, z vérifiant l’équation AF = o, les fonctions périodiques les plus simples, après les fonctions périodiques régulières en tous les points à distance finie, sont celles qui admettent une infinité de pôles distribués régulièrement dans l’espace, le mot pôle étant employé ici dans le sens que nous lui avons donné précédemment. Ces fonctions périodiques se présentent dans la résolution de différentes questions de Physique mathématique, ainsi qu’il résulte d’une remarque de Riemann ( ' ), de plusieurs Notes présentées à l’Académie des Sciences par MM. Boussinesq (’’), de Saint-Venant et Flamant (“), et Chervet ('>). Les développements en séries trigonometriques que j’ai trouvés se.prêtent facilement au calcul numérique; ils présentent une analogie intéressante avec ceux des fonctions simplement et doublement périodiques d’une variable complexe. Les fonctions dont je donne le développement sont les suivantes :

i" D’abord une fonction s, ayant pour pôles les points de l’axe Ox

les coefficients de ce développement s’obtiennent, sous forme finie, par l’application des théorèmes générauxrelatifs aux fonctions F vérifiant l’équation AF = o. Ce développement, qui se rapproche d’une façon intéressante de celui de log9(æ-t-yi) 6(æ - yi), s’appliquera, par exemple, à l’expression de la fonction de Green pour l’intérieur d’un parallélépipède rectangle, telle qu’elle a été donnée par Riemann.

Potentiels multiformes. — Les fonctions précédentes sont des fonctions uniformes de trois variables réelles x,y,z vérifiant l’équation aux dérivées partielles du potentiel. A la suite d’une conversation dans laquelle le savant professeur M. Klein, de l’Université de Giittingen, m’avait parlé de l’intention qu’il avait d’étudier les potentiels non uniformes, analogues aux parties réelles des fonctions algébriques d’une variable complexe, je lui communiquai (93) l’exemple suivant d’une fonction de ce genre. La partie réelle de

OÙ X, y, Z, a, b, c, a', b', c' sont réels, est une fonction W (x, y, z) vérifiant l’équation du potentiel AW = o et admettant, pour ligne singulière, un cercle; lorsque la variable {x, y, z) partant d’un point (»„, y,, 3„) décrit une courbe fermée C revenant en ce point, la fonction W (x, y, z) suivie par continuité reprend ou non sa valeur initiale, suivant que la courbe C passe un nombre pair ou impair de fois dans le cercle. On a bien là une propriété analogue à celle de la fonction algébrique \/« — a, d’une variable complexe u, relativement aux chemins entourant le point critique a.