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la somme des travaux virtuels des forces directement appliquées, pour un déplacement arbitraire compatible avec les liaisons. Les quantités P„ sont des fonctions de..., p,„ p',, p', pj; dans le cas particulier où les forces ne dépendent que de la position du système, les ne contiennent pasp;,p;, ...,p;,.

A côté de ce premier système qui se meut dans le temps t, considérons un deuxième système dont la configuration dépend de n paramètres , ?!i J» et qui se meut dans le temps sous l’action de forces quelconques. Les équations du mouvement de ce système sont

les quantités dépendant de js, • • •> et de leurs dérivées On devra considérer les deux problèmes de Mécanique comme équivalents, s’il existe une transformation de la forme

transformant le système des équations (2) dans le système (1).

Je démontre (121) que, si l’on n’impose aucune condition aux forces, on peut, d’une infinité de manières, faire correspondre à tout mouvement de l’un des systèmes, sous l’action de forces dépendant des positions et des vitesses, un mouvement analogue de l’autre.

Je particularise ensuite le problème en cherchant si, à tout mouveihent du premier système, sous l’action de forces ne dépendant que de la position du système, on peut faire correspondre un mouvement analogue du second. J’établis que la transformation n’est possible que si certaines relations de condition ont lieu entre les coefficients a;j et bjj des deux formes S et T. De plus, si la transformation existe, elle doit faire correspondre à un mouvement du premier système, quand aucune force n’agit sur lui, un mouvement analogue du deuxième. En un mot, la transformation doit conserver les mouvements géodésiques On se trouve ainsi amené à

une question qui a été étudiée par MM. Beltrami, Lipschitz, Dini, dans leurs travaux sur les formes quadratiques de différentielles, et parM. S. Lie.

Dans des Notes récentes, M. Painlevé (Comptes rendus, 1892) a démontré ce même théorème à côté d’autres propositions qu’il faut rapprocher de plusieurs Notes de M. R. Liouville (Comptes rendus, 1892).

Il est évident que l’on peut toujours, pour un système quelconque, employer la transformation dt = Cdt,, G étant une constante réelle ou purement imaginaire (voyez Stackel, Crelle, t. 107): mais, pour des systèmes spéciaux, il en existe d’autres. Par exemple, pour des points matériels libres, on peut employer une transformation homographique (52) ; pour un point mobile sur une sphère, on peut employer une transformation parpro-

jection centrale sur un plan (H9). Enfin, comme l’a montré M. Dautheville {Comptes rendus et Annales de l’École Normale supérieure, t. VII, 1890) on peut transformer le mouvement d’un point sur une surface à courbure totale constante en un mouvement plan (ce qui correspond à un théorème deM. Beltrami), et, plus généralement, on peut transformer le mouvement d’un point sur une surface en un mouvement d’un point sur une autre surface (non applicable), si la première surface satisfait aux conditions trouvées par M. Dini, pour que les lignes géodésiques se correspondent.

Extension des équations de Lagrange au cas du frottement. — En combinant le principe des vitesses virtuelles et le principe de d’Alembert, Lagrange a réduit à un procédé uniforme la mise on équations de tous les problèmes de Mécanique. Lorsque certains points du système glissent avec frottement sur des surfaces, on peut évidemment employer encore la méthode de Lagrange, mais à condition d’ajouter aux forces directement appliquées les forces de frottement dont les grandeurs sont inconnues, puisqu’elles sont proportionnelles aux réactions normales des surfaces ; il faut ensuite éliminer ces grandeurs inconnues. J’ai modifié ( 109) la méthode de Lagrange de manière à obtenir des équations du mouvement ne contenant ni les forces de liaison, ni les forces de frottement. La méthode que j’emploie consiste à appliquer le principe de d’Alombert, en imprimant au système un déplacement virtuel qui est compatible avec les liaisons sans frottement et dans lequel chaque point frottant se déplace normalement à la réaction totale de la surface sur laquelle il glisse. Cette méthode permet d’appliquer au cas du frottement les équations de Lagrange.

Du tautochronisme dans un système matériel. — Le tautochronisme dans le mouvement d’un point a été l’objet de nombreuses recherches; il ne semble pas que l’on se soit occupé du tautochronisme des systèmes. J’ai traité cette question (HO) en posant le problème comme il suit : Imaginons un système à liaisons indépendantes du temps, possédant k degrés de liberté, sollicité par des forces connues ne dépendant que de la configuration du système; quelles nouvelles liaisons, au nombre dek—i, faut-il imposer au système pour que le système à liaisons complètes ainsi obtenu soit tautochrone, dest-à-dire mette le même temps à revenir à une position déterminée, quelle que soit la position initiale dans laquelle on l’abandonne à lui-même sans vitesse?

Je montre que la résolution du problème dépend de l’intégration de deux

C lOI )

équations simultanées; si donc k est supérieur à 2 , il y a indétermination : la question comporte une infinité de solutions. Pour déterminer le problème, on peut s’imposer (A: — 2 ) conditions nouvelles, par exemple, assujettir le système final à liaisons complètes, à posséder la propriété du tautochronisme, non seulement à l’égard des forces données, mais encore à l’égard de (Ar — 2 ) autres systèmes de forces. Ainsi, pour un point matériel libre, on obtient un problème déterminé en cherchant sur quelle courbe il faut le faire glisser, pour qu’il y ait tautochronisme à la fois pour la pesanteur et pour une attraction issue d’un point fixe et fonction de la distance.

Propriétés d'une position d’équilibre d’un système. — Lorsqu’un système dont les liaisons sont indépendantes du temps est sollicité par des forces dérivant d’une fonction de forces U, la recherche des positions d’équilibre du système se trouve ramenée à la recherche des maxima et minima de cette fonction U regardée comme fonction des paramètres indépendants qui servent à définir la configuration géométrique du système.

En partant de cette propriété bien connue qui est une conséquence immédiate du principe des vitesses virtuelles, on peut, même pour un système sollicité par des forces ne dérivant pas d’une fonction de forces, assigner une infinité de fonctions devenant maxima ou minima dans une position d’équilibre donnée du système. On obtient ainsi (116) des théorèmes donnant des propriétés de la position d’équilibre considérée mais ne permettant pas, en général, de trouver cette position, car l’énoncé de ces propriétés suppose connue la position d’équilibre. Je rattache à ce point de vue des théorèmes de Lagrange (principe de Torricelli) et de Mobius (principe du minimum de la somme des carrés des distances).

Questions diverses. — Je cite sommairement deux articles de Mécanique, l’un (122) donnant une forme générale de la fonction des forces pour laquelle on peut intégrer les équations du mouvement d’un point dans l’espace en coordonnées elliptiques; l’autre (123) montrant que, grâce à une proposition de MM. Tait et Thomson, on peut étendre aux courbes brachistochrones la théorie des développées, des lignes de courbure, etc., en remplaçant partout les arcs de courbes par le temps que met le mobile à les parcourir sans frottement, la constante des forces vives étant nulle.

Je termine cette analyse des Mémoires de Mécanique en restituant à Clebsch un théorème sur l’équilibre des fils (76), que je croyais avoir découvert et qui se trouve inséré au tome 57 du Journal de Crelle, p. 94 •

il J

Théorie de la chaleur. — Mon étude sur l’équation différentielle ^ ^ = O (113) a été entreprise principalement pour répondre à la

question suivante, qui m’a été posée par M. Boussinesq, sur la théorie de la chaleur. On considère un conducteur indéfini dans lequel la température u est supposée dépendre uniquement de l’ahscisse x. Cette température u étant donnée arbitrairement en fonction àax,u= /(x), à l’instant initial t = o, les formules de Fourier déterminent la température à un instant postérieur quelconque (t > o). Mais on demande : i° si l’état initial donné pour u, u—f{x), provient lui-même cHun état antérieur (<<o); 2 " lorsque cet état antérieur existe, s'il est unique et comment on peut romer. Voici la réponse à ces deux questions ; l’état antérieur n’existe toujours; quand il existe, il est unique et peut être déterminé dans des très généraux. On reconnaît que l’état antérieur existe en s’assurant de la convergence de certaines séries. On peut indiquer, à ce sujet, une condition analytique curieuse ; pour que l’état antérieur existe, il est nécessaire (mais non suffisant) que la fonction donnée f{x) soit une fonction transcendante entière de x, c’est-à-dire une fonction développable en série procédant suivant les puissances entières positives de x, convergente, quel que soit X. Le fait que cette condition n’est pas suffisante résulte d’un exemple que j’indique pour le cas de l’armille, d’après Fourier.

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