INTRODUCTION

C’est aux équations différentielles analytiques que sont consacrés la plupart de mes travaux. Toutefois, les méthodes que j’ai dû employer, les applications que j’ai tentées m’ont conduit à m’occuper de sujets assez divers : théories des fonctions, des surfaces algébriques, des groupes continus ou discontinus, problème des n corps, etc. Mais si peu apparente que soit leur connexité, ces travaux.ne s’en relient pas moins à la même idée générale, que je voudrais tout d’abord

Après l’invention du Calcul intégral, le problème qui s’imposa aux mathématiciens fut l’intégration des équations différentielles (à une ou plusieurs variables indépendantes). Les premiers efforts eurent pour but de représenter l’intégrale à l’aide des fonctions et symboles élémentaires connus. Quand on eut compris qu’une telle représentation était impossible en général, il fallut bien se résoudre à étudier directement, sur l’équation différentielle elle-même, les propriétés de l’in-

Le développement naturel de cette étude conduisit bientôt les géomètres à embrasser dans leurs recherches les valeurs imaginaires de la

variable aussi bien que les valeurs réelles. La théorie de la série de Taylor, celle des fonctions elliptiques, la vaste doctrine de Cauchy firent éclater la fécondité de cette généralisation. Il apparut que, entre deux vérités du domaine réel, le chemin le plus facile et le plus court passe bien souvent par le domaine complexe.

C’est à cette étude directe d’une équation différentielle quelconque (dans tout le champ réel ou complexe de la variable) que je me suis surtout attaché. J’ai cherché à obtenir sur la nature de l’intégrale, considérée comme fonction de la variable et des constantes, sur ses singularités, sur ses représentations possibles, quelques propositions générales qui fussent d’une application efficace; en particulier, je me suis efforcé de distinguer, parmi les équations différentielles, celles qui comportent, de par la théorie des fonctions, une intégration paria crois nécessaire de préciser le sens de ces derniers termes. Après les recherches si longues et assidues de Legendre sur l’équation différentielle

la découverte qui fit la gloire d'Abel et de Jacobi fut la suivante :

L’intégrale y(x) de (i) (irréductible aux fonctions connues) est représentable par le quotient de deux séries de Mac-Laurin, qui convergent pour toutes les valeurs (réelles ou Complexes) de x ('); les coefficients de ces séries sont calculables par dérivations successives.

L’intégration de l’équation (r) est ainsi parfaite, en ce sens que l’intégrale y(æ) est définie, dans tout son domaine d’existence, par un développement unique qu’on sait former et qui met en évidence ses propriétés.

Toute équation dont l’intégrale comporte une représentation analogue doit être regardée comme intégrée au sens moderne du mot. La détermination de telles équations constitue donc un problème capital qui a été, dans le cours de ce siècle et surtout dans ces vingt dernières années, l’objet de nombreux travaux. Mais toutes les équa-

tions qu'on avait découvertes jusqu’ici par cette voie sont intégrables au sens vulgaire du mot, j’entends réductibles aux quadratures ou aux équations linéaires. Si l’on veut encore, c’est parce qu’on connaît à l’avance la manière dont l’intégrale renferme les constantes qu’on sait élucider la nature de cette intégrale.

Je suis, parvenu à former des types d’équations d’une espèce toute différente (irréductibles aux équations classiques) et qui se laissent intégrer à la façon de l’équation (i).

Ces équations peuvent se ramener aux types canoniques suivants :

y= y + + PH- «v (yy + p)

(<x,|3,y,3 constantes numériques):

La plus simple de ces équations est. l’équation (2); pour p = o, cette équation définit les fonctions elliptiques; si fl et « sont 7^0, il est loisible (sans diminuer la généralité) de supposer a = 6, p = i,X = o. Dans l’équation ainsi réduite

la fonction u(x) vérifie l’équation très simple du troisième ordre

elle est développable en une série de Mac-Laurin qui converge quel qùesoitæ, et les coefficients de cette série se calculent pàr dérivations successives; enfin, y{cc) est représenté par le quotient

Il est impossible de n’être pas frappé de la quasi-identité qui existe entre cette.représentation de^(œ) et la représentation de la fonction elliptique p> de Weierstrass à l’aide de la fonction entière et.

Les intégrales des types (3) et (4) admettent une représentation analogue un peu plus compliquée qu’on trouvera indiquée dans le résumé analytique (§ 42).

J’insiste sur le caractère essentiellement nouveau de ces résultats. Depuis la fondation du Calcul intégral, les types (2), (3) et (4) constituent le premier exemple connu d'équations qui se trouvent intégrées à l’aide de la théorie des fonctions sans être réductibles à aucune combinaison d’équations linéaires ou de quadratures.

J’ajoute que la forme précise des types canoniques ( 2 )*$) et (4) ne doit pas faire méconnaître le degré de généralité des équations différentielles qu'intègrent les nouvelles transcendantes. J’en donnerai une idée en disant que parmi les équations

celles qui sont réductibles algébriquement à l’équation ( 2 ) forment une classe aussi étendue que la classe des équations linéaires, non homogènes, du second ordre.

On peut se demander comment un problème qui se trouvait posé en fait depuis les travaux d’Abel et de Jacobi a si longtemps attendu sa solution. La raison en est dans une difficulté d’une nature bien subtile que présente la théorie des équations différentielles : cette difficulté, c’est que chaque intégrale y(x) d’une équation différentielle peut devenir indéterminée pour certaines valeurs de x, variables avec l’intégrale considérée et que rien ne met en évidence sur l’équation. Comment étudier l’intégrale dans le voisinage d’une telle valeur? Comment surtout décider si de telles singularités existent ou non? A ces questions, les doctrines classiques semblaient hors d’état de répondre. Il y avait là un obstacle qu’on pouvait à bon droit juger insurmontable. C’est l’opinion à laquelle aboutissait un des plus illustres géomètres contemporains, un de ceux dont les travaux ont le plus contribué à attirer 1 attention des analystes sur l’importance et la difficulté de ce genre de problèmes. « On a fondé autrefois », écrivait en 1892 M. Émile Picard ('), « les plus grandes espérances sur » l’étude des équations différentielles; on pensait ainsi obtenir de

» nombreuses classes bien définies de transcendantes nouvelles. Il » faut reconnaître que si on laisse de Côté les équations linéaires, ces » espérances ont été jusqu’ici à peu près déçues. » Cet échec, M. Picard l’attribuait avec raison à l’obstacle que je viens de signaler. Un an plus tard, insistant à nouveau sur ces singularités si complexes des équations différentielles, M. Picard ajoutait (’) : « Ces réflexions ne sont » pas, en définitive, très encourageantes; il est peu probable que les » équations d'ordre supérieur [à points critiques fixes ( l )] puissent » conduire à l’étude de transcendantes nouvelles. »

Cet obstacle, qui s’opposaitaux « grandes espérances fondées autrefois sur les équations différentielles », je suis parvenu à le surmonter dans le cours de ces trois dernières années, La méthode que j’ai employée n’est d’ailleurs qu’une application particulière — la plus précise et la plus importante, il est vrai — de mes travaux antérieurs sur les équations différentielles. Je voudrais donner brièvement un aperçu de ces travaux.

Avant de m’attaquer aux équations différentielles, j’ai dû,, au préalable, approfondir la nature des singularités des fonctions analytiques (disposition des points singuliers, mode d’indétermination d’une fonction, uniforme ou non, dans le voisinage d’un point transcendant, etc.). J’ai dû aussi m’occuper de la représentation des fonctions : développement d’une fonction uniforme (à singularités quelconques) dans tout son domaine; développement explicite, sur tout le segment réel où elle est holomorphe, d’une fonction définie par une série entière, etc. Ayant eu à employer, dans l’étude de ce dernier problème, la représentation conforme d’une aire quelconque sur un cercle, j’ai levé toutes les difficultés, si délicates, relatives au contour de l’aire, difficultés que laissaient subsister les beaux travaux de M. Schwarz.

Plus tard, l’étude des équations différentielles à points critiques fixes m’a conduit à perfectionner l’importante théorie des transforma-

tions birationnelles (ou simplement rationnelles ) des courbes et des surfaces algébriques, et à aborder le problème, encore intact, des transformations biuniformes de ces surfaces. J’ai fait' voir notamment que ces transformations conservent les intégrales doubles de première espèce attachées aux surfaces, au lieu qu’elles ne conservent pas, en général, les différentielles totales de première espèce. Ce théorème illustre la différence de nature qui sépare les cycles à une dimension des cycles à deux dimensions attaches a une surface algébrique; il permet d’étudier complètement les correspondances biuniformes entre surfaces de genre p>i.

Ces études préliminaires m’étaient indispensables pour approfondir, dans le sens que je voulais, la théorie analytique des équations différentielles. Je poursuivais, en effet, un but bien déterminé : tandis que les doctrines classiques ne définissent l’intégrale que dans le voisinage des conditions initiales, je me proposais, en partant de ces conditions initiales, de poursuivre l’étude de l’intégrale dans tout le champ complexe de la variable.

Comme type des résultats généraux auxquels je suis parvenu je

Les intégrales y(x) d'une équation différentielle du premier ordre, algébrique en/,y, x, ne peuvent admettre comme points singuliers transcendants que certains points fixes qui se déterminent algébriquement sur

Dès que l’ordre différentiel dépasse l’unité, le théorème précédent est en défaut : une intégrale y(x) d’une équation du second ordre peut, je l’ai dit, devenir indéterminée pour des valeurs de x variables avec l’intégrale considérée. Les exemples où apparaissent ces singularités sont si simples qu’il ne semblait pas douteux qu’une équation prise au hasard en fût affectée. J’ai montré qu’il n’en était rien. Pour que de telles singularités existent, il faut que certaines conditions exceptionnelles soient remplies. De là, une division des équations du second ordre (ou d’ordre supérieur) en deux classes : une classe générale qui partage avec les équations du premier ordre certaines propriétés fondamentales et une classe singulière dont l’intégrale pré sente des complications d’une nature toute différente. C’est au sujet

de ces résultats que M. Picard voulait bien écrire La grande

» importance de la Note de M. Painlevé n’échappera à aucun analyste.

» Sans avoir approfondi la question, je présumais que les équations » différentielles algébriques du second ordre avaient, en général, des » points singuliers essentiels mobiles: cette présomption n’était pas » juste. On vient de voir dans l’article de M. Painlevé qu’il y a seule- » ment une classe singulière d’équations pouvant avoir des singula- » rités essentielles mobiles. A la vérité, cette classe comprend toutes » les équations qui ont fait l’objet de mes recherches, c’est-à-dire les » équations dont l’intégrale, d’après ma terminologie, est à apparence » uniforme. J’espère que les recherches ultérieures de M. Painlevé » apporteront bientôt quelque lumière surla classe singulière d’équa- » tions différentielles, si importante pour la définition de transcen- » dantes nouvelles. »

C’est justement en élucidant à fond la théorie des équations singulières du second ordre que je suis parvenu aux transcendâmes méromorphes essentiellement nouvelles, définies par les équations (a), (3) et (4) citées plus haut.

Mais les propositions générales dont je viens de parler comportent bien d’autres applications; je me bornerai à en indiquer deux, particulièrement précises.

i° J’ai résolu le problème suivant ( s ) : ''

Reconnaître si /’ intégrale y (x) d’une équation donnée F i , y> x) = o,

(non donné) débranchés (ou plus généralement à un nombre fini de branches permutables autour des points critiques mobiles).

Quand x ne figure pas dans l’équation, le problème coïncide soit avec le célèbre problème d’Abel (recherche des cas où une différentielle algébrique s’intégre par un seul logarithme), soi t avec le problème delà réduction des intégrales abéliennes de première espèce aux intégrales elliptiques. On sait quelles difficultés arithmétiques soûl évent ces deux

rendus, t. CXVI, p. 56g; mars 1893.

ire consacré à co problème a été cou : Sciences mathématiques, 1890).

problèmes dans les cas-très particuliers où on les a résolus. Il y avait lieu de penser que ces difficultés seraient plus profondes encore quand x figure dans F. Il n’en est rien; la question posée se traite algébriquement sauf pour des équations exceptionnelles qui s’intégrent par quadratures; pour ces équations, le problème est ramené explicitement au cas où x ne figure pas.

, 2° J’ai démontré le célèbre théorème de Weierstras's sur les fonctions de n variables qui admettent un théorème d’addition. Ce théorème, dont l’importance est considérable (dans l’étude des fonctions abéliennes, des surfaces algébriques, des équations différentielles, etc.) a été pris souvent comme point de départ par les élèves de Weierstrass, mais la démonstration de l’illustre géomètre allemand n’a jamais été ni publiée ni enseignée. Je suis parvenu à établir en toute rigueur cette proposition fondamentale, non sans rencontrer de très profondes difficultés.

Toutefois, c’est la détermination explicite des équations différentielles à intégrale méromorphe ou (plus généralement) à points critiques fixes qui constitue, je le répète, l’application la plus remarquable des généralités précédentes. Les équations à points critiques fixes, par l’intermédiaire desquelles il faut passer pour atteindre les équations dont l’intégrale est méromorphe ou uniforme, présentent par ellesmêmes un intérêt considérable. Elles constituent la généralisation naturelle des équations linéaires et partagent avec ces équations toutes les propriétés qui résultent de la fixité des points singuliers. J’ai pu former explicitement toutes les équations du second ordre et du premier degré dont les points critiques sont fixes, équations qui comprennent notamment les trois types irréductibles (2), (3) et (4). La méthode s’étend d’elle-même aux équations (algébriques) du second ordre non résolues en y". Enfin, sur les équations du troisième ordre à points critiques fixes, dont l’étude est beaucoup plus difficile, j’ai obtenu récemment des résultats d’une très grande précision. Le problème de la détermination des équations différentielles à points critiques fixes (d’ordre supérieur à l’unité), qui semblait récemment encore inabordable, se trouve donc résolu aujourd’hui dans le cas du second ordre

et assez avancé dans le cas du troisième pour qu’on puisse en croire la solution prochaine.

Mais ce n’est pas seulement comme types nouveaux d’équations intégrables ou comme sources de transcendantes nouvelles que les équations à points critiques fixes s’imposent à l’attention des géomètres. Elles se présentent d’elles-mêmes, et d’une façon bien inattendue, dans les théories les plus diverses. C’est ainsi qu’elles se relient étroitement, comme je l’ai montré, à la théorie des groupes continus finis. Le rôle qu’elles jouent dans la recherche des intégrales premières des systèmes différentiels est plus important encore. Je me bornerai à le faire ressortir sur les équations de la Dynamique.

« Dans un problème de Mécanique à n paramètres x,, ..., x n (où ni les forces, ni les liaisons ne dépendent des vitesses), les intégrales premières rationnelles ou uniformes par rapport aux vitesses ne peuvent

admettre (dans le champ des x . . t ) de points critiques en

dehors des valeurs (connues) des x,, ..., x„, t, pour lesquelles lès équations du mouvement cessent d’être régulières. »

J-a détermination de ces intégrales premières dépend, par suite, d’équations différentielles à points critiques fixes.

Appliquée au problème des n corps, cette proposition m’a permis d’étendre les théorèmes bien connus de M. Bruns et de M. Poincaré, et de montrer qu’il ne saurait exister (en dehors des intégrales classiques) d'intégrale première algébrique ou uniforme par rapport aux vitesses (les coordonnées figurant d’une façon quelconque); j’ai pu établir par la même'voie que les conditions du choc (contrairement aux présomptions de certains astronomes) sont transcendantes, et même transcendantes par rapport aux vitesses : j’entends par là que les conditions pour que deux au moins des n corps se choquent au bout d’un temps fini ne peuvent se traduire par des relations où les vitesses figurent algébriquement.

L’Académie a couronné (Prix Bordin, r8g4) un Mémoire qui renfermait ces résultats et sur lequel le rapport (•) de la Commission s’exprimait en ces termes :

oincaré, Picard, Appell.

« Dans la première Partie, sont développés des théorèmes d’un caractère très général offrant un grand intérêt analytique; ils sont relatifs aux intégrales premières d’un système d’équations de Lagrange.... Il est bien remarquable de voir intervenir ici tout naturellement une classe d’équations différentielles (les équations à points critiques fixes) qui a déjà fait l’objet de divers travaux, mais qui ne s’était présentée encore dans aucune application.... La Commission a été particulièrement frappée de l’originalité de cette première Partie, où l’auteur étudie de la manière la plus heureuse les équations de la Dynamique en se plaçant au point de vue de la théorie des fonctions. Elle est unanime à accorder le Prix Bordin au Mémoire inscrit sous le n° 3.

Jusqu'ici nous avons embrassé tout le champ (réel ou imaginaire) de la variable. Quand on se restreint au domaine réel, les résultats généraux que j’ai obtenus contribuent efficacement à l’étude quantitative de l’intégrale. La remarque suivante suffit à le faire comprendre : Admettons qu’on ait démontré que les intégrales d’un système différentiel réel ne présentent, dans le champ réel de la variable, d’autres singularités que des pôles; l 'intégration quantitative du système est dès lors achevée, en ce sens qu’il est. possible de représenter l’intégrale (définie par des conditions initiales réelles) à l’aide de séries qui convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Or les méthodes que j’ai développées donnent préc isément le moyen de reconnaître si les intégrales d’un système différentiel présentent ou non des singularités non polaires. C’est ainsi que j’ai pu signaler des classes très étendues d’équations différentielles (et notamment de problèmes de la Dynamique) qui comportent dans le champ réel une véritable intégration quantitative. La plupart de ces résultats se laissent d’ailleurs étendre, par la méthode tout élémentaire de Cauchy-Lipchitz, aux systèmes différentiels non analytiques. C’est cependant par l’étude approfondie des intégrales analytiques dans le domaine complexe que j’ai été mis en garde contre certaines singularités qui persistent dans le domaine réel et qui semblent avoir échappé à l’attention des géomètres. Il y a là une difficulté assez subtile sur laquelle je voudrais insister en prenant comme exemple, pour plus de clarté, le problème des n corps.

Représentons par p(<) la plus petite (à l’instant t) des distances mutuelles des n corps. Le mouvement du système reste régulier et se laisse définir à l’aide de séries convergentes tant quep(t) ne s’annule pas. Les géomètres étaient unanimes à en conclure que le mouvement reste régulier tant que deux des astres ne se choquent pas, c’est-à-dire tant que deux (au moins) des points du système ne viennent pas coïncider en un certain point de l’espace. Cette conclusion n’est pas légitime, du moins sans une discussion préalable; elle serait sûrement vraie si (quand t tend vers un certain instant t,) les astres tendaient nécessairement vers des positions déterminées; mais rien ne prouve qu’il en soit ainsi; on peut choisir des lois d’attraction entre quatre points matériels, par exemple, telles que, t tendant vers t„ les quatre points restent à une distance finie sans tendre vers aucune position limite; p (t) tend vers zéro avec ( t — t ( ) sans que la distance de deux points particuliers tende constamment vers zéro. Qu’une telle hypothèse soit inadmissible, c’est ce qui n’est nullement évident a priori, et je ne suis arrivé à le démontrer què dans le cas de trois corps.

Le problème des trois corps (mais non celui des n corps) serait donc résolu au point de vue quantitatif, si l’on connaissait avec précision les conditions initiales qui correspondent à un choc. J’ai dit plus haut que ces conditions n’étaient pas susceptibles, majheureusement, d’une définition algébrique; le seul but qu’on puisse se proposer, c’est donc de les calculer avec une approximation indéfinie. J’ai commencé, il y a quatre ans, l’étude de ces conditions; mais, entraîné presque aussitôt par d’autres recherches, je n’ai eu le temps ni de l’achever, ni d’en publier les premiers résultats. Je voudrais, du moins, faire connaître en deux mots le point où je l’ai laissée : le cas où deux des corps seulement se choquent est à peu près élucidé, grâce à cette, remarque bien simple que l’action du troisième corps devient négligeable dès que les deux corps sont très voisins, mais je n’ai rien pu obtenir encore sur le cas où les trois corps (supposés de masse finie) se choquent à la fois.

Pour n quelconque, j’ai donné du moins du problème quantitatif la solution imparfaite suivante : « Les conditions initiales du système étant données, on peut calculer, au bout du temps T, la position des astres avec une approximation t, ou bien décide? si la distance de deux

au moins de ces astres est devenue, dans cet intervalle, p fois moindre que leur distance actuelle ^T, i, p sont donnés d’avance aussi grands

La méthode de Cauehy-Lipchitz suffit à traiter la question avec un nombre fini d’opérations (nombre qu’on peut limiter à l’avance, une fois T, e,p choisis). En combinant cette méthode avec les méthodes classiques de l’Astronomie, on rendrait les calculs réalisables.

Dans le domaine de recherches ouvert par M. Poincaré sur les propriétés qualitatives des intégrales, j’ai trouvé aussi quelques résultats nouveaux. J’ai discuté notamment les trajectoires d’un système matériel dans le voisinage d’une position d’équilibre. J’ai démontré X’instabilitéde l’équilibre dans des cas étendus qui échappaient aux méthodes de MM. Liapounoff, Kneser, Hadamard. J’ai établi très simplement l’existence (dans le voisinage d’une position d’équilibre ordinaire) des petits mouvements périodiques, étudiés par M. Poincaré; comme application, j’ai fait voir qu’un corps solide pesant, fixé par un quelconque de ses points, comporte une infinité (à deux paramètres) de mouvements périodiques.

Mais je veux.surtout signaler les petits mouvements périodiques des systèmes dont la période est très longue quand leur amplitude est très petite. La méthode de M. Poincaré suppose essentiellement que la période des oscillations considérées reste inférieure à une limite donnée quand leur amplitude tend vers zéro. Or, dès que la fonction des forces (développée dans le voisinage de la position d’équilibre) commence par des termes de degré supérieur au second, de tels petits mouvements n’existent plus, au lieu que des exemples très simples (à un paramètre) mettent en évidence des oscillations dont la période croit indéfiniment quand l’amplitude tend vers zéro. L’étude de tels mouvements semblait exiger une méthode entièrement nouvelle. J’ai pu cependant, à l’aide d’un artifice assez simple, établir l’existence de petits mouvements périodiques à très longue période, dans le cas général où, la position d’équilibre étant stable, la fonction des forces commence par des termes de degré supérieur au second.

Je dirai quelques mots, en terminant, de deux ordres de travaux

qui ne se rattachent d’aucune manière aux précédents et auxquels j’ai été conduit par mon enseignement. Les premiers sont relatifs à la transformation des équations de la Dynamique, les seconds à la Mécanique analytique du frottement.

Transformation des équations de la Dynamique. — Le problème, tel que je le pose, généralise à la fois le problème de la représentation géodésique des surfaces et les élégantes recherches de M. Appell sur l'homographie en Mécanique.

Considérons une surface S et un point M mobile sans frottement sur S sous l’action d’une force quelconque F qui ne dépend que de la position de M. Appelons famille de trajectoires la famille de courbes à trois paramètres décrites par M. Étant données deux familles de trajectoires, tracées, l’une sur une surface S, l'autre sur une surface S,, existe-t-il entre S et S, une correspondance ponctuelle qui transforme l'une dans l'autre les deux familles de trajectoires?

Cette question comprend évidemment l’étude des familles de trajectoires qui admettent une transformation ponctuelle (et notamment une transformation continue) en elles-mêmes. Si on laisse de côté le cas banal où la correspondance réalise l’application de S sur S, ou sur une homothétique de S,, la question se relie intimement à l’existence d'intégrales quadratiques des géodésiques de S. J’en ai donné, ainsi que des questions connexes, une solution explicite et complète, en dépit des intégrations qui semblaient s’introduire. J’ai étendu le problème et une grande partie des résultats aux ds- à n dimensions ('), c’est-à-dire aux problèmes de Dynamique an paramètres.

Mécanique analytique du frottement. J'ai cherché à développer pour les systèmes doués de frottement une doctrine analogue à la Mécanique analytique des systèmes sans frottement. Cette extension semble devoir présenter un intérêt véritable quand on passe de la Mécanique rationnelle à la Mécanique physique et à la Thermodynamique. J’ai donné une définition générale des forces de frottement, des forces de liaison, de la loi rationnelle de frottement (propre à un système), loi

distincte de la loi empirique de frottement, mais qui s’en déduit. Cette étude m’a conduit à une conclusion inattendue : c’est que les lois classiques du frottement de glissement sont logiquement absurdes dés que le coefficient de frottement devient un peu considérable (tout en restant inférieur aux valeurs qu’on lui attribue d'après l’expérience). La vraie raison de la contradiction c’est que la rugosité des surfaces en contact n’altère pas seulement la composante tangentielle, mais aussi la composante normale de la réaction.

Admettons, par exemple, comme postulat, que, dans le frottement de deux solides l’un sur l’autre, la composante tangentielle T de la réaction soit une fonction de la composante normale N, soit T = F(N), la fonction F ne dépendant que de la nature superficielle des deux éléments en contact et de leur vitesse relative. Pour qu’une telle loi ne conduise pas à des contradictions, il faut que tende vers zéro

J’ai indiqué quelques cas particuliers très simples où les lois ordinaires du frottement ne sauraient se vérifier. Il serait facile et intéressant de réaliser ces expériences.

Telles sont, dans leurs grandes lignes, les quelques idées générales qui ont inspiré mes recherches. On trouvera, dans les pages qui suivent, une analyse détaillée des résultats auxquels je suis parvenu et dont je n’ai pu qu’indiquer, dans cette Introduction, les plus carac-