THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS

Singularités des fonctions analytiques.

1. J’ai approfondi la nature des diverses singularités que peut présenter, dans son domaine d’existenqe, une fonction analytique uniforme

Certains esprits seraient enclins à penser que ce sont là des généralités inutiles et qu’il suffit de se limiter aux singularités les plus simples. Une telle restriction est évidemment légitimé quand on étudie la théorie des fonctions en soi; c’est ainsi qu’on a le droit de choisir, comme sujet de recherches, la classe des fonctions uniformes qui n’ont que des points singuliers isolés. Mais, quand on considère les fonctions engendrées par un procédé analytique déterminé (comme une intégrale définie, une équation différentielle, etc.), on ignore à l’avance les modes de singularités qu’introduit cette génération, et les exemples les plus naturels font apparaître des complications bien imprévues. Sous peine de commettre de graves erreurs, il faut donc se mettre en garde contre les différentes circonstances qui sont susceptibles de se produire.

2. Singularités des fonctions uniformes. — C’est aux fonctions uniformes {') que je me suis attaché tout d’abord [3, 63] {-). Les

points singuliers d’une telle fonction jouissent de la propriété que leur ensemble renferme ses points-limites. Inversement, quand un ensemble E de points satisfait à cette condition, il existe une infinité de fonctions uniformes dont les points singuliers constituent l’ensemble E. Il suit de là que cet ensemble peut affecter les dispositions les plus variées, comprendre des espaces lacunaires, des lignes singulières (pourvues ou non de tangentes), etc. C’est pourquoi j’ai dû commencer par préciser

M’appuyant sur les travaux de M. G. Cantor, j’appelle avec lui ensemble continu de points tout ensemble parfait bien enchaîné, et je définis une ligne comme un ensemble continu de points du plan qui necomprend aucune aire('). Cette définition, comme il résulte aisément de la théorie de M. Cantor, est bien adéquate à la notion ordinaire de ligne. Quand l’ensemble continu comprend des aires, il est dit superficiel. Les points-frontières d’un ensemble superficiel forment un ensemble composé de lignes (dont certaines peuvent se réduire à un point) et qui renferme ses points-limites.

J’ai été amené aussi à distinguer les ensembles parfaits de points qui ne comprennent pas d’ensemble continu, en trois catégories, de la manière suivante :

Supposons, comme il nous est loisible de le faire, tous les points de l’ensemble à distance finie. L’ensemble étant partout discontinu, on peut enfermer les points de l’ensemble dans un nombre fini d’aires a,, .... <t p , toutes extérieures les unes aux autres et intérieures chacune à un cercle de rayon e choisi d’avance aussi petit qu’on veut. Représentons par L s la longueur totale des périmètres des aires a. Trois cas se présentent :

i° L s tend vers zéro avec e (si l’on choisit convenablement les aires a) ;

2° Le premier cas n’est pas réalisé, mais L e reste du moins inférieur à une certaine limite quand e tend vers zéro (les aires « étant convenablement choisies);

3° L s croît indéfiniment avec - > de quelque manière qu’on choisisse

Je conviens de dire qu’un ensemble parfait discontinu de points est ponctuel dans Je premier cas, semi-linéaire dans le second, semi-superficiel dans le troisième.

3. Appliquons cette terminologie à l’étude d’une fonction uniforme f{x ) dans le voisinage d’un point singulier non polaire x = a. Les principaux résultats que j’ai obtenus se résument ainsi .s

Si le point singulier a est isolé ou limite de points singuliers isolés, l’indétermination de la fonction est, comme on sait, complète dans le voisinage d ei = a; d’une façon précise, en vertu d’un théorème de M. Picard, y{x) acquiert une infinité de fois toutes les valeurs sauf deux ou plus.

Ce cas écarté, l’ensemble E des points singuliers voisins de a est nécessairement parfait, mais deux cas sont possibles :

Premier cas. — L’ensemble.E est discontinu;

Second cas. — L’ensemble E comprend des lignes, c’est-à-dire que le point a fait partie d’une ligne singulière ou encore est un point-limite de lignes singulières (qui tendent à se réduire à ce point).

Dans le premier cas, si l’ensemble discontinu E est ponctuel, j’ai montré très simplement que l’indétermination de y(oc) pour x — a est complète. Si l’ensemble E est semi-linéaire et surtout s’il est semisuperficiel, l’étude de l’indétermination de /(æ) exige des méthodes plus délicates.

4. Dans le second cas, j’ai précisé par des exemples les circonstances très diverses qui se présentent; la fonction peut être déterminée (ainsi que ses premières dérivées ou toutes ses dérivées); elle peut être indéterminée soit complètement, soit incomplètement. J’ai été conduit ainsi à introduire [63, 97] la notion nouvelle de domaine d'indétermination d’une fonction y = f (x) en un point singulier x = a.

Voici la définition que j’ai donnée de ce domaine, définition qui convient aussi bien aux fonctions non uniformes :

Soit l un chemin quelconque aboutissant (') au point a et sur lequel y(x) est holomorphe. Traçons,’ de a comme contre, un cercle y de

(') Le chemin t peut avoir une longueur infinie et admettre lo point a comme point

rayon e, prenons un point ;r 0 sur la partie de l attenante à a et intérieure à y, et faisons variera: arbitrairement dansy à partir du pointa?», en évitant toute singularité de y(x). Les positions correspondantes de y(x) épuisent un certain domaine D e ; d’une façon précise, je représente par D e l’ensemble de ces positions et de leurs points-limites. Quand s tend vers zéro, D, tend vers un certain ensemble continu d’un seul tenant D qui peut se réduire à un point (notamment au point à l’infini). Si D se réduit à un point, la fonctionna:) considérée est déterminée; sinon la fonction est indéterminée et c’est D que j’appelle domaine d'indétermination dey(x)pourx = a. L’indétermination est complète quand D embrasse tout le plan (ainsi qu’il arrive toujours si le point singulier aest isolé). L’indétermination est incomplète dans le cas contraire; j’ai donné des exemples de fonctions uniformes douées de points singuliers pour lesquels D se réduit à une aire finie ou à une ligne.

5. Théorèmes sur les lignes singulières. — Quand une fonction uniforme y(æ) est déterminée en tous les points d’une ligne singulière, j’ai établi [3] sur sa continuité le longde.cette ligne et sur la continuité de ses dérivées, certaines propositions assez délicates et fort utiles. J’en ai déduit un critérium pour reconnaître si une fonction uniforme, définie d’un certain côté d’une coupure, est prolongéable ou non au delà de cette coupure, et j’ai appliqué ce critérium à des classes étendues de fonctions, notamment aux fonctions représentées par des intégrales définies. J’ai mis en évidence certaines particularités remarquables telles que l’existence d’expressions analytiques qui n’ontdans tout le plan, comme singularité, qu’une coupure ouverte et qui sont prolongeables d’un côté de cette coupure et non de l’autre.

Mais le théorème auquel j’attache le plus d’importance est le suivant [3] :

Deux fonctions définies d’un même côté d'une ligne L et qui coïncident sur une portion de celle ligne, si petite quelle soit, coïncident identique-

Quand les deux fonctions sont holomorplies sur L, c’est là un théorème classique qui joue un rôle fondamental dans la théorie des fonctions. L’extension (qui n’allait pas sans difficultés) de ce théorème

au cas où les deux fonctions admettent L comme ligne singulière, m’était indispensable pour les problèmes que j’avais en vue. Mon but était en effet, une fois constituée une théorie générale des fonctions uniformes, de découvrir dans l’immense famille de ces transcendantes celles qui comportent une définition naturelle (définition par les relations implicites, ou par les équations différentielles algébriques, etc.), le voulais notamment, parmi ces divers modes de génération, déterminer les plus simples qui puissent donner naissance à des fonctions uniformes affectées de coupures essentielles.

6. Voici les conclusions les plus caractéristiques auxquelles je suis parvenu [3] dans cette voie :

Représentons par F (oc, y) une fonction analytique des deux variables x, y, qui reste méromorphe quand as .et y varient, x dans un certain domaine D etydans tout son plan, et considérons l’équation différentielle

toute intégrale y (x) de (i) qui dans D est uniforme ou n' acquiert qu'un nombre fini de branches ne peut admettre dans ce domaine, comme points singuliers non algébriques, que certains points fixes. Ces points coïncident nécessairement avec les points x = a (du domaine D) où F {x,y) est infini quel que soitj.

Le même théorème s’applique aux fonctions implicites y(.æ) définies par la relation

Plus généralement, le théorème subsiste si, pour x arbitrairement choisi dans D, Y(x, y) est une fonction de y à n branches et n’admet, dans tout le plan des y, qu’un nombre fini de points singuliers transcendants y = g(x) (points dont les affixes dépendent analytiquement de x). Il suffit même que ces points singuliers y= g(x) forment, pour x donné, un ensemble dénombrable. Les points transcendants de l’intégrale y(x) dans D coïncident alors nécessairement avec les points x = a qui sont singularités (polaires ou non) de F(æ, y) quel quosoit^.

Une conséquence de ces théorèmes, c’est que l’intégrale générale

y(cc) d'une équation ( I) ne peut être une fonction uniforme {ou à q branches) sans queV(x, y) soit algébrique en y.

Supposons maintenant que (pour x pris arbitrairement dans D) les singularités y = g(x) de la fonction uniforme (ou à n branches) F(<r, y) forment un ensemble non dénombrable mais qui ne comprend pas de ligne : une intégrale y{x) de (i), uniforme (ou à q branches) dans D, ne peut être affectée de lignes singulières.

Ces théorèmes sont en défaut quand F(as,7) est une fonction à une infinité de déterminations, lors même que toutes les singularités de F (as, y) sont algébriques.

Dans le cas du second ordre, en me restreignant aux équations différentielles algébriques, j’ai établi [36, 37, 63] que, si l’intégrale générale est uniforme (ou a ses points critiques fixes), cette intégrale est nécessairement dépourvue de lignes singulières. Les équations du troisième ordre sont les premières qui puissent conduire (et qui conduisent en effet) à des fonctions uniformes affectées de

J’ai faitvoir enfin [63] que ces fonctions uniformes bien connues, qui restent continues ainsi que toutes leurs dérivées sur une ligne singulière, ne sauraient vérifier aucune équation différentielle algébrique.

Par la suite, j’ai poussé heaucoup plus loin l’étude des équations différentielles algébriques en employant d’autres méthodes; mais c’est celle-là qui m’a guidé.

7. Singularités des fonctions analytiques non uniformes. — J’ai divisé [3,63,97] les points singuliers (non algébriques) d’une fonction multiforme y(x) en points essentiels et points transcendants ordinaires, suivant que la fonction est ou non indéterminée au point singulier.

Une difficulté se présente ici, que l’on ne rencontrait pas dans l’étude des fonctions uniformes : dans le voisinage du point singulier (qui peut être point-limite de points critiques), il importe de préciser la ou les branches de la fonction y(x) que l’on considère. On y parvient grâce à la notion du domaine d’indétermination que j’ai introduite plus haut (§4),

Soient/ un chemin quelconque aboutissant au pointa et y(x) une branche de fonction holomorphe sur l, mais qui admet le point a

comme point singulier. Le domaine d’indétermination, pour® = a, de cette fonction y(x) est un ensemble continu bien défini D, qui.peut se réduire à un point (notamment au point y — co). Si D se réduit à un point, la branche de fonction y(x) a une valeur déterminée pour x = a\ le point singulier est un point transcendant ordinaire dej(*). Dans le cas contraire, oc = a est un point essentiel.

Ce que je viens de dire n’implique aucune restriction quant aux singularités de y(x) : le point a peut appartenir à une coupure ou être point-limite d’autres singularités. Mais je me suis attaché spécialement au cas où ce point a est un point singulier isolé de la branche de fonction, y(x). Quand la fonction y(oc) n’a qu’un nombre fini de branches qui se permutent autour du point a, ce point singulier (non algébrique) dey(æ) est nécessairement tin point essentiel dans le voisinage duquel y (x) atteint une infinité de fois toutes les valeurs, sauf deux ou plus. Mais quand une infinité de valeurs Aey(x) se permutent autour du pointa, le pointa peut être point transcendant ordinaire ^Exemples : y— logæ, y= ou point essentiel JgUpans ce

dernier cas, l’indétermination peut être complète (Exemple : y = x‘) ou incomplète [Exemple : y = (logæ)‘; le domaine d’indétermination pour x = o est une couronne circulaire].

Ces dernières singularités (points essentiels d'indétermination incomplète) sont extrêmement remarquables, en ce sens qu’elles entraînent pour la fonction multiforme inverse x(ÿ) l’existence de lignes singulières plus ou moins compliquées. Parmi les modes de génération des transcendantes, j’ai cherché quels étaient les plus naturels qui pouvaient donner naissance à une telle singularité. J’ai obtenu, notamment, sur les équations différentielles algébriques le théorème suivant :

Quand l’équation est du premier ordre, aucune intégrale ne peut présenter de points d'indétermination incomplète. Quand l’équation est du second ordre, il peut exister de tels points singuliers, mais ces points sont

des points fixes en nombre fini el leurs affixes se calculent algébriquement sur l'équation différentielle. Quand [équation est du troisième ordre, ces pomis peuvent varier avec les constantes et être en nombre infini pour chaque intégrale.

Il èst facile, d'ailleurs, de former des exemples très simples d’équations du second ordre et du troisième ordre qui donnent lieu aux particularités indiquées.

Le théorème précédent jouait un rôle fondamental dans la première méthode qui m’a permis de déterminer les équations du second ordre à points critiques fixes (voir le § 40). Ce n’est que plus tard que j’ai trouvé un mode d’exposition plus élémentaire, mais moins suggestif.

8. J’ai discuté les divers modes de branchement d’une fonction multiforme. J’ai donné des exemples de fonctions multiformes qui n’admettent comme singularités que des coupures et aucun point critique proprement dit. J’ai signalé aussi des fonctions multiformes dont toutes les branches (sauf une seule) présentent une même ligne singulière fermée, en sorte que la même fonction analytique n’a qu’une détermination dans une partie du plan et en admet deux ou une infinité dans le reste du plan. Toutes ces particularités interviennent dans la théorie des équations différentielles.

J’ai insisté enfin sur la disposition dos singularités d'une fonction multiforme. Quand la fonction a une infinité de branches, l’ensemble des points singuliers ne renferme pas, en général, ses points-limites : c’est ainsi qu’il existe des fonctions multiformes dont les points singuliers (tous algébriques) épuisent les points du plan de coordonnées rationnelles. Il en va tout autrement quand la fonction n’a qu’un nombre fini de branches; l’ensemble des singularités renferme ses points-limites, et j’ai étendu aux points singuliers d’une telle fonction toutes les propriétés énoncées pour les fonctions uniformes. J'ai établi notamment ce théorème qui m’a été très utile dans l’étude des équations différentielles ;

Soit y (x) une transcendante à n déterminations. Si la fonction inverse x (y) ne possède, dans tout son domaine d'existence, qu’un nombre fini de déterminations, l’ensemble des points singuliers de y(x) est composé de lignes ou d'ensembles parfaits semi-superficiels.

Représentation des fonctions analytiques.

9. Représentation d’une fonction uniforme à singularités quelconques. — M. Runge a établi, au sujet de la représentation des fonctions uniformes, deux théorèmes fondamentaux :

« Théorème I. — Toute fonction (ou expression) analytique uni- » formera:) est représentable par une série de fractions rationnelles » 2R„(æ). La série converge uniformément dans tout le domaine à » l'intérieur (et sur le contour) duquel j(æ) est holomorphe. »

« Théorème II. — Si les points singuliers de y(æ) forment un » ensemble continu, d’un seul tenant, comprenant le point oc = *>, il » est loisible, dans le théorème I, de remplacer les fractions ration- » nelles R„ par des polynômes (>|; ;

J’ai donné [3, 70, 71] de ces deux théorèmes de M. Runge une démonstration intuitive qui tient en quelques lignes. Je les ai complétés par plusieurs propositions qui réunissent, en quelque sorte, les résultats deM. Runge et les résultats classiques de Weierstrass et de M. Mittag- LefUer. Je citerai seulement les deux suivantes :

i° Désignons par a un quelconque des points singuliers isolés de y{oc) eb par b un quelconque de scs points singuliers non isolés. La fonction (ou expression) y(cc) est représentable par une série 2x«( œ )’ 0 “ Xn( x ) admet comme pôles ou points essentiels un nombre fini de points a et b, ces derniers étant tous des pôles, et chaque point a ne figurant que dans un seul terme

a 0 Soient lî l’ensemble des points singuliers de y (oc), et «l’ensemble obtenu en remplaçant chaque ensemble continu compris dans E par un de ses points arbitrairement choisi. La fonction y(æ) est représentable par une série X [o — a") % L),)]» ’ où a • b désignent deux points de e (variables avec n) et P„ un polynôme.

Quand la fonction y(oo) est holomorphe ou méromorphe dans une

(>) En particulier, toute fonction holomorphe dans une aire fermée est développable dans cotte aire en sério de polynômes. De même, .la foncüon est développable en

aire | contour simple, j ai indiqué une représentation de la fonction qui met en évidence ses zéros et ses pôles; cette représentation est tout à fait analogue à la décomposition en produit (ou en quotient) d’une fonction entière (ou méromorphe) dans tout le plan.

:10. Représentation dune branche holomorphe de fonction. — Quand l’aire considérée A est convexe, ces représentations deviennent particulièrement élégantes et simples. Soit x 0 un point intérieur à A : Toute fonction f(x) holomorphe dans A est développable en une série de volynomes SP„(x), où P„ est linéaire et homogène enf(x t ),f'(x 0 ) .

En appliquant ce théorème à une suite d’aires convexes qui s’aplatissent indéfiniment sur l’axe réel, je suis parvenu [72, 84, 85] (') il une proposition qui ne concerne que les valeurs réelles de x, mais dont on conçoit aussitôt l’importance dans la théorie des équations différentielles. Cette proposition s’énonce ainsi :

On peut former (et d’une infinité de manières) une suite à double entrée de polynômes, à coefficients numériques, soit la suite

(2) (ii.,.,n,.,), ..., (n„,„n»,,n„.n„,„).

telle que la série

(3) 2py( , 4=(n)S[/(o)n„,;+/Co)n„„ + /'(o)n„, 1+ .../i»)(p)n„,„]

converge et représente f(x) sur tout k segment de l’axe positif réel compris entre l’origine et le premier point singulier a ( d’affixe réel et positif) def(x).

La série (3) converge uniformément, ainsi que toutes les séries dérivées terme à terme, surtout segment ob (b positif et <a). La (onction f(x) désigne une fonction quelconque, holomorphe pour

La série (3) diverge, en général, en dehors de Taxe positif réel.

Si au lieu de cet axe on considère u.ne demi-droite issue de l’origine et d’argument a, il suffit de changer x en pour être en état d’appliquer le théorème : mais le développement ainsi obtenu dépend de « et ne converge que sur la direction «.

Depuis lors, M. Mittag-Leffler est arrivé à un résultat extrêmement remarquable : il â formé des séries de polynômes composés linéairement, comme les précédents, avec /(o),/'(o), /"(o), ... et qui convergent sur chaque demi-droite issue de l’originejusqu’au premier point singulier de f(x ). Le domaine ainsi défini j^qui comprend le cercle de convergence de la série de Mac-Laurin /(o) + jf'(o) + ... j est dit étoile de convergence de la série.

Il semble, à première vue, en comparant les domaines de convergence, qu’il doive exister une différence essentielle entre les développements (3) et ceux de M. Mittag-Leffler. Il n’en est rien : pour passer des séries (3) à celles de M. Mittag-Leffler, il suffit dans (3~) de faire x = i et de remplacer chaque / !i) (o) par æ'ffiHo). '

La démonstration du théorème de M. Mittag-Leffler à laquelle on parvient ainsi, met en évidence une foule de généralisations de ce théorème, et permet notamment [85] de passer sans difficulté du cas d’une variable au cas de p variables (').

Fonctions de plusieurs variables. — Considérons, pour fixer les idées, une fonction/de trois variables x,y,z ; les développements que nous introduisons sont des séries de polynômes SP„(ai, y, s), dont chaque terme P„ est une combinaison linéaire et homogène (à coefficients numériques) de/,, {xWttyf ,+■ */.,), , (®/, + //, + z /tett/<i>

/y • • ■ désignent les valeurs de /, fi, ... pour x =y = z = b.

La fonction / étant une fonction quelconque bolomorphe pour x — y — z = o, la série SP „(x,y, z) converge dans une étoile qui se définit géométriquement dans l’espace à six dimensions, exactement comme.pour les fonctions d’une variable. Bornons-nous, pour plus de clarté, aux valeurs réelles de x, y, z : la série SP „(x,y,z) converge, dans l’espace réel oxyz, sur toute demi-droite issue de l’origine jusqu’au premier point singulier de /(æ, y, z). L’étoile réelle de convergence est ainsi définie.

Ces développements sont appelés à jouer un rôle important dans la

(*) L’étude des développements des fonctions de plusieurs variables m’a amené à préciser un point important de la théorie des séries entières : j’ai défini le domaine exact de convergence d’une série de Mac-Laurin (à ^ variables) quand on groupe ensemble dans la série les termes de môme degré.

théorie des équations aux dérivées partielles. Supposons que l’équation soit linéaire et homogène par rapport aux dérivées partielles d’un certain ordre et que ses coefficients soient des constantes (ou des formes homogènes et de même degré des variables). Appliquons les développements précédents à une intégrale analytique d’une telle équation : ces développements 2P„ sont dérivables terme à terme indéfiniment et, d’après sa composition même, chaque terme P„ vérifie l’équation aux dérivées partielles.

Par exemple, toute fonction harmonique \(x,y,z), régulière à l’origine, est développable en une série de polynômes harmoniques qui converge dans l 'étoile où la fonction V reste régulière.

11. Développement des fonctions réelles non analytiques. — Je me suis occupé aussi [73] du développement des fonctions réelles (non analytiques). Soit f(x,y,z) une telle fonction : j’ai montré qu’on peut former des séries de polynômes 2P„(æ,/,a) qui jouissent des propriétés suivantes :

i° La série converge uniformément et représente f(x,y, z) dans tout domaine (àtrois dimensions) où f(x,y, z) est continue;

2° Les séries déduites de la première en la dérivant terme à terme jouissent de la même propriété relativement aux dérivées correspondantes d e f(x,y,z).

Si notamment/est continue dans un volume D, ainsi que toutes ses dérivées (surface-limite comprise), la série converge uniformément dans D ainsi que toutes les séries dérivées.

Considérons, d’après cela, une fonction (ou expression) analytique uniforme qui dépend de deux (ou de plusieurs) variables complexes. Soit

(x = x,+ ix„y=y t + iy 1 ).

En appliquant le théorème précédent à chaque fonction/,,/,, on voit qu’on peut représenter (dans tout son domaine) la fonction uniforme f(x,y) par une série de polynômes

mais la combinaison P„ + fQ„ h’est pas un polynôme en æ, y. Les déri-

vées f x , f' y} ... seront représentées par les séries Si paradoxal qu’il paraisse, ce mode de développement est le seul qu’on connaisse encore pour représenter les fonctions analytiques uniformes de plusieurs variables à singularités quelconques.

12. Représentation conforme. — Dans l’étude du développement d’une fonction à l’intérieur d’une aire convexe, j’ai eu recours à la fonction de Green, autrement dit à la fonction qui effectue la représentation conforme de l’aire convexe sur un cercle. Comme je devais employer cette fonction jusque sur Xoconlouràe l’aire, il m’a fallu compléter [3,19] les beaux Mémoires de M. Schwarz sur un point particuliérement délicat. Quand le contour de l’aire à représenter n’est pas analytique, les démonstrations de M. Schwarz offrent, en effet, une lacune : elles établissent bien qu’il y a une correspondance univoque entre les points intérieurs des deux aires, mais cette correspondance s’étend-elle aux points des contours eux-mêmes? C’est ce qui n’est nullement évident et ce que supposent cependant toutes les applications classiques de la représentation conforme. Sous la seule condition que le contour admette une tangente continue (sauf peut-être en un nombre fini de points anguleux), j’ai fait voir que les deux contours se correspondent bien point par point, et que la correspondance reste conforme sur le contour, sauf aux points anguleux où les angles sont réduits dans le rapport - (« angle des deux tangentes).

Plus généralement, soit oc (s),: y {*) les coordonnées d’un point du contour, dont l’arc est s. Si, le long de l’élément AB du contour, ce (s) et y (s) ont des dérivées continues d’ordre q, la fonction X = <f (æ), qui effectue la représentation, est continue ainsi que ses (q — î) premières dérivées sur AB.

Ces propositions sont utiles dans la théorie des équations aux dérivées partielles, lorsque les conditions aux limites sont des valeurs données sur un contour fermé (par exemple dans le problème de Dirichlet où l’on se donne ^0 • Elles s’appliquent notamment aux contours analytiques qui ne sont pas réguliers en chaque point; par exemple, aux contours formés de plusieurs arcs analytiques distincts.

Je me suis occupé aussi [12] de la représentation conforme dans l’espace à trois dimensions. J’ai montré (en me servant des paramètres d’Olinde Rodrigue) que certaines propriétés très simples suffisent chacune à caractériser ]'inversion parmi toutes les transformations ponctuelles : ces propriétés sont relatives à la conservation des angles (théorème classique), à la transformation du problème de Dirichlet, à la conservation des systèmes triples orthogonaux, etc.