MÉCANIQUE RATIONNELLE ET MÉCANIQUE CÉLESTE

Intégrales premières de la Dynamique.

58. Théorèmes sur les intégrales premières algébriques par rapport aux vitesses. — Les propositions générales que j’ai obtenues sur les équations différentielles, qu’elles embrassent le domaine complexe ou se restreignent au domaine réel, comportent de très nombreuses applications aux équations de la Mécanique rationnelle. J’indiquerai ici les plus importantes et, tout d’abord, celles qui se rattachent à la recherche des intégrales premières de la Dynamique.

Plusieurs des résultats auxquels je suis parvenu [28,64] sont relatifs aux intégrales premières quelconques. Mais c’est surtout aux intégrales algébriques p ar rapport aux vitesses que je me suis attaché [64, 74].

On sait le rôle que jouent ces intégrales dans une foule de problèmes. Elles ont de plus la propriété bien remarquable de garder leur caractère quand on substitue aux paramètres qui définissent la position du système matériel d’autres paramètres quelconques.

Je me place dans le cas où les liaisons et les forces sont indépendantes des vitesses et du temps. Le mouvement du système matériel est alors défini par un système différentiel

où les II* sont des formes quadratiques en x \,.... x' n . J’admettrai que les II, et les K,- renferment algébriquement les paramètres x, mais il suffit, pour la suite, que ces derniers figurent analytiquement.

Les intégrales premières algébriques par rapport aux vitesses se ramènent aux intégrales rationnelles. Cherchons donc à déterminer les intégrales premières de (i) rationnelles et de degré donné en

Les théorèmes généraux du § 46 montrent aussitôt [64] que ces intégrales (si elles existent) dépendent d’un nombre fini de constantes, et que R ne peut admettre, dans le champ des x, que des singularités polaires en dehors des valeurs des x pour lesquelles les seconds membres de (i) cessent d'être réguliers. Ces valeurs sont données par une certaine relation algébrique connue

Les intégrales R = const. se laissent donc définir par un système différentiel ordinaire à singularités (non polaires) fixes. Quand ces intégrales sont entières en x\ . x' n , ce dernier système est simple¬

ment un système linéaire; mais quand elles sont fractionnaires, le système en question peut, a priori, être de la classe générale ou de la classe singulière; c’est-à-dire que R peut renfermer ses constantes sous forme algébrique ou transcendante. Mais quand t ne figure pas dans l’intégmle, une relation bien remarquable [64,74] existe entre lés intégrales R = const. de (i) et les intégrales du même système sans forces [système (t) où les K, sont nuis]. Une fois calculées, en effet, toutes

les intégrales premières de ta forme R(a(. x'„ ; æ, . x„) = const.

du système sans forces, les intégrales analogues de (t) n'exigent plus que des quadratures, quelles que soient les forces.

En particulier, si les intégrales R = const. du système sans forces renferment algébriquement leurs constantes, il en est de même encore quelles que soient les forces.

59. Cas où les gèodèsiques du système sont algébriques. — Un cas très important est celui où les gèodèsiques du système (trajectoires qui correspondent au mouvement sans forces) sont algébriques; j’ai montré qu’alors les intégrales

R(«'„ .«tifiu ,®»)^?nst.

du système sans forces sont aussi algébriques, et que, par suite, ces intégrales renferment algébriquement leurs constantes quelles que soient les forces; leur détermination dépend d’une équation differentiélle linéaire. Enfin, écrivons l’intégrale R ainsi

où les P„ Qi sont des formes de degré « en x\, .... x'„ ; les égalités P, = o, Q,„ = o (qui, dans tous les cas, sont des équations intégrales du système sans forces) sont ici nécessairement algébriques (') en S .... x„. Ces divers théorèmes, dont les applications sont illimitées (application aux systèmes de points libres, au corps solide fixé par un point, etc.), ne se laissent démontrer qu’à l’aide de considérations fort délicates de la théorie des fonctions.

C’est ici que commence le rôle des équations intégrales. Admettons que, dans le système (i) supposé réel, on ait mis (ce qui est toujours possible) les seconds membres sous forme de fractions rationnelles réelles en (®,, . x n , z), z désignant une certaine irrationnelle'

Pour que le système (i) admette des intégrales fractionnaires R = const. irréductibles à des intégrales entières, il faut que le même système sans forces possède des équations intégrales P = o dont le

premier membre soit homogène et entier en . x' n , rationnel et

réel en œ,, .... cè n , z, et ne devienne pas une intégrale première quand on le multiplie par un facteur convenable X(®,, ...,oc„).

Une étude approfondie [64,74] des équations intégrales (algébriques

en x\, ..., æ' u ) et de leurs singularités dans le champ des æ, . æ n ,

m’a donné (en outre de nombreux résultats utiles dans la théorie des équations différentielles) des règles très simples pour reconnaître, une fois l’irrationnelle a donnée, si un système (i) sans forces possède des équations intégrales de l’espèce P = o.

Appliquées au mouvement d’un système quelconque de points libres soumis à des forces qui dépendent rationnellement (ou même sont fonctions uniformes ) des coordonnées, ces règles montrent que

toute intégrale première du mouvement rationnelle par rapport aux vitesses est une combinaison d’intégrales entières.

Le mouvement d’un solide fixé par un point prête à une conclusion analogue. D’une manière générale, dans la plupart des problèmes naturels où les géodésiques sont algébriques, le grand intérêt de la méthode est de ramener la recherche des intégrales premières rationnelles par rapport aux vitesses à celle des intégrales entières.

Appliquées au problème des n corps, les mêmes considérations montrent [74] que (en dehors des combinaisons des intégrales classiques') il n existe aucune intégrale première algébrique par rapport aux vitesses, du moment que trois au moins des masses ne sont pas nulles. M. Bruns avait démontré tout différemment un théorème analogue, mais plus restreint, en supposant les intégrales algébriques à la fois par rapport aux vitesses et aux coordonnées.

Les résultats que j’ai obtenus sur les équations intégrales établissent même que le problème des n corps (où trois au moins des masses ne sont pas nulles)ne comporte aucune équation intégrale algébrique par rapport aux vitesses et analytiques en x,, ..., x n , t (en dehors de celles qui sont conséquences des intégrales classiques).

11 suit de là que les conditions pour qu’il y ait choc entre deux des ' corps au bout d’un temps fini ne sauraient être algébriques (comme cerT tains astronomes étaient enclins à le penser). Elles ne sauraient même se traduire par des relations algébriques relativement aux vitesses et transcendantes relativement aux coordonnées.

Il est intéressant de noter le rôle décisif que jo.ue la théorie des fonctions dans des problèmes qui ne semblaient relever que de calculs inextricables.

60. Intégrales premières uniformes par rapport aux vitesses. — J’ai étudié aussi [64] les intégrales premières qui sont, non plus rationnelles, mais uniformes par rapport aux vitesses. Les théorèmes généraux du §47 conduisent aisément à la conclusion suivante :

Ne donnons aux quantités *[, a^.tque des valeurs réelles, et admettons qu’une intégrale première p(x\ . x„,x . l) = const. soit

une fonction uniforme des x dans le champ réel, et dépende analytiquement des Xr, t. Les singularités critiques de p (dans le champ réel)

coïncident nécessairement avec les valeurs x . x„, pour lesquelles

le système (i) cesse d’être régulier. Quand, dans l’espace®,, .. , ®„, ces points exceptionnels forment un ensemble à (n —j ) dimensions (y> 2 ), l'intégrale p est nécessairement uniforme dans tout le champ réel

Cette dernière remarque s’applique en particulier au problème des n corps. Elle entraîne [74, 94] cette conclusion qui généralise un résultat bien connu de M. Poincaré :

Toute intégrale première du problème, uniforme- par rapport aux vitesses, est me conséquence des intégrales classiques.

Toutefois, cette proposition n’est établie (contrairement à ce qui se passait pour le théorème de M. Bruns) que si on laisse les masses arbitraires : il n’est pas certain qu’elle ne puisse être en défaut pour des valeurs particulières des masses.

Intégration quantitative des équations dé la Dynamique.

61. Equations dont l intégrale generale est uniforme. — Il est clair qu’on peut appliquer aux équations de la Dynamique les méthodes d’intégration que j’ai développées pour un système différentiel quelconque)

Tout d’abord, on peut étudier [90,98] les cas où l’intégrale générale d’un système ( 1 ) est uniforme. C’est ainsi que la méthode que j’ai employée pour former les équations du second ordre à points critiques fixes permet de résoudre de la manière la plus naturelle et la plus simple le problème de M'“ Kowaleski, en lui donnant même un énoncé plus général :

Déterminer tous les cas où le mouvement d’un solide pesant fixé par un point est défini par des fonctions uniformes de t(‘).

Cette généralisation ne conduit d’ailleurs à aucun cas nouveau.

Mais les problèmes qu’on réussira à intégrer ainsi seront forcément exceptionnels. Au contraire, l’intégration quantitative restreinte au

champ réel pourra s’effectuer [60,61,63] pour des classes très étendues de problèmes. J’en indiquerai quelques-unes.

62. Intégration quantitative et singularités dans le champ réel. — Je considère un système matériel S soumis à des liaisons et à des forces qui sont indépendantes des vitesses et du temps. Le mouvement de ce système est défini par les équations (i), où je ne suppose plus les seconds membres analytiques en x,, Ces équa¬

tions sont dites régulières pour a;, = a, ,x n = a n quand les seconds

membres sontdes fonctions de x,, ...,x„ à'dérivées premières continues

dans le voisinage de (a,. a„). Une position du système S est dite

régulière si, moyennant un choix convenable.des paramètres x, les équations du mouvement sont régulières pour les valeurs des x qui correspondent à cette position.

Ceci posé, admettons que toutes les positions possibles de S soient régulières et que les forces qui s'exercent sur chaque point restent ( 1 ) en valeur absolue (pour toute position de S) inférieures à AK (MK 2 désignant le moment d’inertie du système par rapport à l’origine et A une certaine constante); le mouvement est régulier, quel que soit t, et les fonctions xft), x',(t) comportent les diverses représentations indiquées au § 55. C’est là une classe étendue de problèmes qui comprend, en particulier, le problème du corps pesant fixé par un point, dont M. Picard avait déjà effectué l’intégration quantitative.

Supposons encore qu’ il riexiste pas de position singulière du système et que, de plus, les forces dérivent d'un potentiel U(a>,. . )

ayant une détermination unique pour toute position de S ; si (quelle que soit la position de S) ~ reste (•) en module inférieur à une quantité A, le mouvement est régulier quel que soit t.

Ces deux classes de problèmes, intégrables quantitativement dans le domaine réel, se mettent en évidence de la façon la plus élémentaire. Il est clair, d’ailleurs, que les considérations du §54 permettent d’en découvrir beaucoup d’autres moins apparentes. Mais une foule

de problèmes remarquables, le problème des n corps par exemple, ■ ne rentrent pas dans une telle catégorie : pour ces problèmes, le mouvement peut cesser d’être régulier à un certain instant t,. 11 importe donc de prévoir avec une extrême précision les diverses circonstances qui sont susceptibles d'interrompre le cours normal du mouvement. Quand t tend vers l’instant t,, trois hypothèses sont possibles a

i» S tend vers une position régulière, mais les x\ ne tendent pas vers des limites finies;

2 ° S tend vers une position singulière ou certains de ses points s’éloignent indéfiniment;

. 3° Les points de S ne tendent vers aucune position limite, ni vers

J'ai montré [48] (et c’est là un point important ) que la première hypo^ thèse est à rejeter. Mais les deux autres, et notamment la troisième qui semble si paradoxale, sont réalisables. Imaginons, par exemple, un

système de n points libres (M,.M„)qui s’attirent suivant certaines

lois satisfaisant au principe de l’action et de la réaction, et telles que la force d’attraction entre deux points devienne (comme pour la loi de Newton) infinie à distanee nulle et nulle à distance infinie; on peut choisir les lois d’attraction de façon que, t tendant vers/,, les n points restent à distance finie et rie tendent vers aucune position limite; si, à chaque instant t , p(t) désigne la plus petite des distances mutuelles des n points, p(t) tend bien zéro avec t — t,, mais il n’en faut pas conclure que deux au moins des points viennent se choquer en un point de l’espace; ce qui arrivera, c’est que, pour t très voisin de l,\ deux des points, soient M, et M,, seront très voisins, puis s’écarteront à distance finie tandis que deux autres points seront devenus très voisins, et ainsi de suite un nombre indéfini de fois. .

63. En signalant pour la première fois l’existence de singularités essentielles dans les questions de Mécanique, j'écrivais :

« On serait, il est vrai, porté à croire que de telles singularités ne » sauraient se présenter dans les problèmes naturels, puisqu’un sys-

» terne matériel occupe toujours, à un instant déterminé, une position » déterminée. L’argument ne serait fondé que si les formules de la » Dynamique correspondaient rigoureusement à la réalité. A ce compte,

» deux points matériels s’attirant suivant les lois de Newton ne » devraient jamais se rencontrer, parce que la vitesse d’un élément » de matière ne saurait devenir infinie. Dans ce dernier cas, le para- » doxe se lève aussitôt quand on remarque que deux éléments maté- » riels, ayant toujours des dimensions finies, se choqueront avant que » leurs vitesses soient infinies; mais leurs vitesses au moment du » choc seront d’autant plus grandes que leurs dimensions seront plus » petites. C’est une explication du même genre qui rend compte de » la singularité que je signale; si, pour t = t,, les fonctions x t (t) qui » définissent la position de S deviennent indéterminées, c’est que S,

» avant l’instant t,, passe par un état où les hypothèses et lois de » forces, qui ont permis de'mettre le problème en équations, cessent » d’être suffisamment exactes; mais S n’atteint cet état qu’après une » période d’ affolement d’autant plus accentuée que ces hypothèses et » lois sont plus voisines de la réalité.

» Il y a donc le plus grand intérêt à savoir reconnaître, sur un sys- » tème d’équations de Lagrange donné, si les singularités de cette » nature existent ou non. Quand on montre qu’elles existent, on met » en évidence la particularité la plus remarquable du mouvement; » quand on montre qu’elles n’existent pas, on est certain de pouvoir » suivre indéfiniment le mouvement de S, au moins tant que S ne » passera pas par une position singulière. »

J’ai donné un certain ; nombre de théorèmes très précis sur les singularités t —t, de cette nature, sur le mode d’indétermination des fonctions x t {t) dans le voisinage d’une telle valeur t,. J’ai appliqué [61, 63] notamment ces résultats au problème des n corps.

. 64. Application au problème des n corps. — Pour ce problème, on sait depuis longtemps (et il est bien aisé de démontrer) que le mouvement reste régulier tant que la plus petite (à l’instant t) des distances mutuelles % des astres du système, soit p(t), ne s’annule pas; on connaît, par suite, une infinité de développements des x,(t) qui convergent dans tout l’intervalle de temps où l’on a p(()> o. On ad-

mettait, comme corollaire évident, que le mouvement reste régulier tant que deux au moins des corps ne se choquent pas, c’est-à-dire n’arrivent pas à un instantf, au même point déterminé de l’espace. Cette conclusion n’est pas légitime; il est possible, a priori, que, t tendant vers t„ le système ne tende vers aucune position limite et que p (t) tende vers zéro sans qu’aucune des distances r,j de deux des astres tende constamment vers zéro avec (t — t,).

Pour le cas de trois corps, j’ai fait voir que cette singularité ne saurait se produire; mais, pour le cas de n corps, j’ai dû laisser la question en suspens ('). Tout ce que j’ai pu établir, c’est que, si une telle singularité * = /, existe, elle provient des croisements de v des astres entre eux (v>/j), croisements de plus en plus fréquents quand t tend vers t , et de plus en plus semblables à des chocs. Ces pseudo-chocs ont déjà été signalés par M. Poincaré comme pouvant engendrer (pour n>3) des solutions périodiques d’une nature particulière.

11 suit de là que la détermination précise des conditions du choc équivaudrait à l’intégration effective du problème des trois corps, mais non du problème des n corps ( 2 ). J’ai commencé, comme je l’ai dit, l’étude de ces conditions; la première question qui se posait était de savoir si ces conditions ne sont pas algébriques; elles sont malheureusement transcendantes (»otV§ 59); quant à leur détermination approchée, si je possède une méthode applicable au cas où deux seulement des corps se choquent, je n’ai obtenu jusqu'ici aucun résultat sur le cas où trois corps se choquent à la fois. 11 y a là un sujet de recherches bien important et bien difficile : l’intégration quantitative parfaite du problème des trois corps ne peut faire aucun progrès tant qu’on n’aura pas élucidé les conditions du choc simultané des trois

(>; D’après un théorème général que j’ai établi (g S8), la question se ramène à l'étude, dans le champ réel, des intégrales xA>) d’un certain système différentiel algébrique S, intégrales définies par des conditions initiales j-f, .., y% qui donnent aux coefficients différentiels la forme 2} mais ce système 2 est fori compliqué.

(») De nouveaux efforts seraient du moins nécessaires pour établir cette équivalence,

io;i -

A défaut d’intégration quantitative parfaite, j’ai appliqué du moins au problème des n corps l’intégration imparfaite que j’ai indiquée (§ 57) pour un système différentiel quelconque. Je suis parvenu ainsi, comme je l’ai dit dans l’Introduction, à résoudre ce problème :

Les conditions initiales du système étant données (avec une erreur moindre que t), calculer, au bout du temps T, la position des astres avec une approximation e, ou bien décider si, dans l'intervalle, la distance de deux au moins de ces astres est devenue p fois moindre que leur distance actuelle.

La méthode de Cauchy-Lipchitz suffit théoriquement à traiter la question ^si grands qu’on se donne T, p et Mais, dans chaque intervalle partiel, on peut remplacer les opérations de Cauchy par les développements classiques en séries trigonométriques de la Mécanique céleste; il faut seulement prendre ces intervalles partiels assez petits pour que les séries trigonométriques soient convergentes et qu’on connaisse une limite supérieure de leur reste : les derniers travaux de M. Poincaré permettent de tenir compte de ces conditions avec une précision parfaite. On arriverait ainsi à rendre les calculs vraiment praticables, même en embrassant une très longue période de temps.

Étude qualitative du mouvement.

65. Classification des trajectoires réelles. — J’ai étudié aussi lé mouvement d’un système matériel au point de vue que M. Poincaré appelle qualitatif (périodicité du mouvement, stabilité ou instabilité de l’équilibre, etc.).

J’ai développé, tout d’abord [43, 48], une classification des trajectoires réelles d’un système matériel S soumis à des liaisons et à des forces qui ne dépendent ni des vitesses ni du temps.

Je considère les n paramètres (x,, ».., xf) qui définissent la position de S comme les coordonnées d'un point de l’espace à n dimensions; toute trajectoire réelle du système est représentée par une courbe de cet espace. Ces courbes dépendent de (m .— i) constantes, à moins que toutes les forces ne soient nulles : auquel cas les trajec-

toires (géodèsique.s du système) ne dépendent que de (în - 2) cons-

' L’étude des trajectoires réelles d’un système conduit naturellement à associer aux mouvements vrais du système les mouvements conjugués, qu’on obtient en changeant le sens de toutes les forces : analytiquement, les mouvements conjugués se déduisent des mouvements vrais en remplaçant t par il.

Quand on ne regarde pas comme distincts deux mouvements qui se déduisent l’un de l’autre en augmentant t d’une constante, toute trajectoire réelle de S ne comporte que deux mouvements (vrais ou conjugués) qui se déduisent l’un de l’autre quand on change t en — t. Il en est autrement, toutefois, si la trajectoire coïncide avec une gèodèsique du système : elle comporte alors une infinité de mouvements (tant vrais que conjugués) qui dépendent d’une constante arbilraire. Ces trajectoires, que j’appelle remarquables, dépendent au plus de (n — 1) constantes.

Une trajectoire réelle estparcourue en général toutentière, soit dans un mouvement vrai, soit dans un mouvement conjugué. 11 existe, toutefois, un faisceau (à n constantes) de trajectoires que j’appelle mixtes, qui sont en partie vraies et en partie conjuguées; les points de séparation sont des points (tarrêt du mouvement: quand le système atteint un de ces points sur la trajectoire considérée, il rétrograde. Deux points d’arrêt consécutifs sur la même trajectoire (pourvu qu’aucun ne soit position d’équilibre) donnent naissance à un mouvement périodique oscillatoire.

Quand les trajectoires remarquables dépendent de leur nombre maximum (n— 1) de constantes, elles se confondent avec la famille des trajectoires mixtes, pour lesquelles le nombre des constantes s’abaisse ainsi d’une unité. Les conditions pour qu’on se trouve dans ce cas intéressant sont très simples : si, par exemple, S se réduit à un point libre, il faut que les lignes d’action des forces (qui, en général, forment un complexe) forment seulement une congruence.

Par un point donné quelconque (x, .... x n ), ou M, correspondant

à une position régulière qui. n’est pas une position d’équ ilibre, passènt une infinité (à un paramètre) de trajectoires tangentes à une direction arbitrairement choisie;, quand le paramètre dont elles dépendent (valeur absolue de la force vive au point considéré de la trajectoire) croît indéfiniment, la trajectoire tend vers une géodésique. Dans un certain domaine entourant le point considéré, toutes ces trajectoires sont régulières et parcourues d’un mouvement régulier (vrai ou conjugué).

fl en est tout autrement quand la position régulière M est position d’équilibre. Par M il peut passer (en outre du faisceau régulier des trajectoires) d’autres trajectoires que j’appelle singulières, qui peuvent admettre le point comme point asymptote, avoir une longueur infinie, etc.; ces trajectoires, qui sont isolées ou dépendent de constantes, ne sont parcourues, en un temps fini, ni dans le mouvement vrai, ni dans le mouvement conjugué. Deux circonstances se présentent : ou bien le système tend vers M sur la trajectoire quand t (ou quand il) croit indéfiniment ( trajectoire asymptotique)-, ou bien, la trajectoire renferme une infinité de points d’arrêt qui tendent versM, et sedëcompose en une infinité d'arcs de plus en plus petits qui correspondent à des mouvements périodiques oscillatoires alternativement mais et conjugués.

J’ai donné divers exemples de ces singularités, dont la dernière surtout est remarquable.

66. Élude des positions d’équilibre. — D’après cela, l’étude du mouvement d'un système dans le voisinage d’une position régulière M ne présente de difficulté que si M est position d’équilibre. Il restait à discuter les apparences du mouvement dans le voisinage d’une telle position (').

Stabilité de l’équilibre. — En premier lieu, j'ai discuté [68] la stabilité de l’équilibre. On sait que cette difficile question a fait l’objet des travauxde MM. Poincaré, Liapounoff, Kneser et Hadamard. Pour indiquer brièvement les compléments que j’ai apportés aux résultats de ces auteurs, je me limiterai au cas de n = a, c’est-à-dire au mouvement d’un point sur une surface.

p. désigne un paramètre) Ont évidemment pourp^êoun point variable et voisin de l’origine qui, pour p = o, vient se confondre avec l’origine: Or ce postulat qui semble intuitif n’est pas nécessairement exact, comme le montre l’exemple

J’ai levé l’objection et donné à la discussion une forme extrêmement simple et d’une application facile [66] ; j’ai mis ainsi en évidence l'existence d’une infinité de petits mouvements périodiques dans le voisinage d’une position ordinaire d’équilibre, où la fonction de forces n'est pas minima. La méthode n’est en défaut que dans des cas exceptionnels. La période ta de ces petits mouvements tend vers une certaine limite Q quand l’amplitude du mouvement tend vers zéro, soit ta = 0 -+- s, et lè signe de e est le même pour tous les petits mouvements; c’est le signe d’une certaine constante numérique facile à calculer sur les équations différentielles; w = Qdans des cas particuliers.

J'ai appliqué cette discussion au mouvement d’un solide pesant fixé par un quelconque de ses points. Ce système comporte une infinité de mouvements périodiques réels(')dépendant d edeux paramètres arbitraires. Toutefoisces mouvements ne sont pas des mouvements périodiques proprement dits : au bout du temps oi, les conditions du solide sont redevenues les mêmes, à cela près qu’il a tourné d’un angle a autour de la verticale. Pour que ce mouvement soit strictement périodique, il faut que a soit commensurable avec st. La discussion n’est en défaut que si l’on a

in

Z, y), Ç désignant les coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes principaux d’inertie, et A, B, C les moments principaux d’inertie (A>B2C).

68. Petits mouvements périodiques à très longue période. - La mé-

thode de M. Poincaré pour déterminer les petits'mouvements périodiques suppose essentiellement que la période a du mouvement reste finie quand son amplitude tend vers zéro; elle s’appuie, en effet, sur le développement des intégrales suivant les puissances d’un paramètre infiniment petit p.; pour < A (A désignant une quantité donnée), les développements convergent dès que p est suffisamment petit; mais quand co.croit indéfiniment, on ne sait plus rien (si petit qu’on prenne p) sur la convergence des développements.

Or quand la fonction de forces U commence (dans le voisinage de la position d’équilibre x, = x.= ... = x„== o) par des termes de degré supérieur au second, il n’existe plus de petits mouvements périodiques de période finie, tandis que des exemples à un paramètre mettent en évidence de petites oscillations périodiques dont la période croît indéfiniment quand l'amplitude tend vers zéro.

De telles solutions périodiques existent-elles, en général? Si qui, comment les mettre en évidence? C’étaient là des questions qui semblaient exiger des méthodes tout à fait nouvelles.

Je suis parvenu cependant[67] à les résoudre à l’aide d’un artifice très simple; j’ai montré notamment que, si la fonction de forces

mence par des termes de degré supérieur au second, il existe dans lé voisinage de la position d'équilibre une infinité de petits mouvementé périodiques réels et distincts (dépendant d’un paramétre ); mais la période

Il est bien évident, d’ailleurs, que tous les résultats obtenus à propos des équations de la Dynamique ont leurs analogues pour des systèmes différentiels quelconques. Mais les problèmes dont je viens de parler prennent un sens plus intuitif et une forme plus brève quand on les énonce en Mécanique.

Transformation des équations de la Dynamique.

69. Énoncé du problème et théorèmes principaux. — Tous les géomètres connaissent les beaux travaux de M. Dini sur la représentation géodésique des surfaces. Ce problème comporte en Mécanique une généralisation naturelle [25, 27, 30, 31, 32, 4L], Appelons famille

tous les systèmes de cette catégorie. La règle est bien simple : On considère deux correspondants de M. Darboux, tek que leurs géodësiques admettent respectivement une intégrale, du deuxième degré ,- et l’on, remplace chacun de ces systèmes par un quelconque de ses correspondants de la première catégorie; les correspondants ainsi obtenus épuisent les correspondants de ta troisième catégorie.

70. Questions connexes. — J’étais dès lors en état de traiter les diverses questions qui se rattachent à l’existence des correspondants. Une des plus intéressantes que J’aie résolues [33, 41, 47] s’énonce

La surface S et les forces Q étant données, peut-on les remplacer par des forces Q, telles que la nouvelle famille de trajectoires soit une transformée ponctuelle de la première ?

Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que le système Qj admette un correspondant , Q,^ tel que</s ! etds‘ soient deux ds 2 applicables. En particulier, j’ai montré que la transformation n’est conforme que si les deux systèmes de Lagrange sont des correspondants

Deux cas généraux sont à considérer dans ce problème, suivant que la transformation de passage entre les deux familles de trajectoires conserve ou non les géodésiques.

Quand les géodésiques admettent une transformation ponctuelle en elles-mêmes, soit (v), à tout système de forces Q on peut faire correspondre des forces Q, telles que les nouvelles trajectoires sè déduisent des premières par la transformation (c). C’est ainsi que les géodésiques du plan (les droites) se conservant dans la transformation homographique, à toute loi de forces dans le mouvement plan on peut en substituer une autre (dépendant de huit constantes) telle que les nouvelles trajectoires soient des transformées homographiques des premières.

On voit comment mes recherches se rattachent à Y homographie en Mécanique que M. Appell a si heureusement introduite dans la théorie des forces centrales (')• ™

J’ai donné des exemples étendus de correspondants des divërses espèces, ainsi que dégroupés de transformations des trajectoires, etc., mais sans les épuiser tous. J'ai toutefois déterminé explicitement 1.33, 47] tous les systèmes Q jo paramètres, dont les trajectoires admettent une transformation continue conforme.

Dans 1 étude de la représentation géodésique des ds 2 quelconques , je me suis trouvé en contact avec M. Liouville sur plusieurs points où nous conduisaient des méthodes toutes différentes. Depuis lors, M. Levi-Civita a achevé, par une méthode très élégante, d’élucider complètement cette question.

J’ajoute que cette étude des systèmes , q) correspondants m’a amené à donner une forme extrêmement simple aux conditions nécessaires et suffisantes pour .qu’une famille de courbes coïncide avec les trajectoires d’un système. La méthode que j'emploie s’applique d’ailleurs aussi bien aux équations du calcul des variations ; elle met en évidence leurs invariants absolus et leurs propriétés caractéristiques.

Mécanique analytique du frottement.

72, La Mécanique analytique proprement dite ne s’occupe que des systèmes dénués de frottement. L’étude d’un grand nombre de systèmes particuliers avait montré, vers la fin du siècle dernier, qu’on peut admettre dans bien des cas, sans erreur sensible, que les réactions du système ont un travail nul dans tout déplacement infinitésimal virtuel (compatible avec les liaisons) : on adopta cette propriété comme une définition de l’absence de frottement, et l’on constitua la Mécanique des systèmes matériels, dont les réactions satisfont à cette restriction.

En réalité, cette restriction n’est jamais qu’imparfaitement remplie. Quand elle s’écarte trop de la réalité, on la corrige en complétant les réactions par des forces retardatrices qu’on appelle forces de frottement.

Les lois auxquelles obéissent ces forces de frottement sont des lois empiriques encore mal étudiées. Mais, telles qu’elles sont, ne présentent-elles pas dès maintenant assez de caractères généraux com-

muns pour permettre de constituer une Mécanique analytique des systèmes doués de frottement, analogue à la Mécanique classique? L’entreprise ne m’a pas semblé impossible et je l’ai tentée [43, 49, 50, 52]. L’intérêt d’une telle entreprise n’est pas seulement de donner plus d’unité et de beauté à une doctrine didactique; il est plus profond. Dans la Mécanique des systèmes continus (hydrodynamique, élasticité, etc.), en Thermodynamique, en Thermochimie, on admet comme postulat fondamental un principe analogue au principe des vitesses virtuelles (tel qu’on l’énonce pour les systèmes dénués de frottement). Ge principe n’est jamais exactement vérifié ; pour le corriger, on doit, là aussi, introduire certaines forces retardatrices dont la nature est encore bien obscure. Une Mécanique plus rationnelle et plus parfaite du frottement serait, dans ces difficiles recherches, un guide précieux.

73. Discussion des lois empiriques du frottement. — En étudiant les lois empiriques du frottement, mon attention a été frappée par un fait qui, certes, n’est pas difficile à apercevoir, mais dont on ne semble pas avoir remarqué les conséquences. Imaginons, pour fixer les idées, un corps rond, pesant, qui glisse avec frottement sur un plan horizontal; le fait que je veux signaler, c’est que le frottement ne modifie pas seulement la composante langenlielle de la réaction, mais aussi la composante normale; si le corps est placé dans des conditions initiales déterminées, la réaction normale est différente, suivant qu’il est, par exemple, huilé ou non.

Ne semble-t-il pas, dès lors, plus rationnel d'appeler force de frottement la véritable force due au frottement, c’est-à-dire la différence géométrique entre la réaction réelle et la force de liaison, réaction qui s’exercerait dans les mêmes conditions entre les deux corps supposés parfaitement polis? De même, à la loi empirique du frottement qui fait connaître la réaction totale en fonction de sa composante normale, ne convient-il pas de substituer la loi rationnelle de frottement qui fait connaître la réaction totale en fonction de la force de liaison?

Cette conception trouve une confirmation singulièrement forte dans les difficultés que soulève l’application de la loi empirique du frottement. Sans doute, la loi rationnelle et la loi empirique du frottement

- us -

se déduisent l’une de l’autre d’une façon tout élémentaire; mais, tandis que la seconde se déduit de la première sans la moindre difficulté, les calculs algébriques qui déterminent la loi rationnelle en partant de la loi empirique peuvent aboutir à une impossibilité ou à une ambiguïté. Quand cette singularité se présente, c’est que la loi empirique est logiquement inadmissible ou laisse le choix entre deux mouvements possibles.

On serait, il est vrai, tenté de croire que seuls des systèmes très exceptionnels peuvent prêter à de telles difficultés. C’est tout le contraire qui est vrai, au moins dès que le coefficient empirique de frottement/est suffisamment grand.

Considérons, par exemple, deux disques situés dans un même plan, dont l’un est fixe et dont l’autre glisse avec frottement sur le premier. (Dans la réalité, les deux disques seront deux cylindres glissant l’un sur l’autre.) Si l’on appelle GA, GB, les distances du centre de gravité G du disque mobile à la normale et à la tangente commune aux deux disques, et K le rayon de gyration du disque autour de G, la composante normale de la réaction est donnée par l’égalité

n= P «la =

K ! -h GA ! — s/GA.GB ' h

où P est indépendant de/. Si donc le disque mobile n’est pas un segment de droite ou un cercle dont le centre coïncide avec G, N dépend de f (.',). La loi empirique du frottement de glissement conduit à une impossibilité dès que f dépasse

Une conclusion analogue s’applique à deux solides quelconques qui glissent l’un sur l’autre.

Comme exemple précis, prenons une tige métallique AB dont une extrémité glisse avec frottement sur une horizontale Ox du plan vertical xOy. Soient l la longueur totale de la barre, m sa masse, mk'son moment d’inertie par rapport au centre de gravité G, a l’angle

^compris entre o et Ÿj que fait!» l 'g e avec la verticale dans la position initiale où on l’abandonne; je suppose enfin la tige animée (à l’instant initial) d’une vitesse de translation horizontale, dirigée en sens inverse de la projection de AB sur Oæ. Aucun mouvement possible ne satisfait à la loi empirique de frottement dès que/est plus grand que p s T n ^ s *^ - En prenant a petit, et en choisissant une tige dont l’extrémité B soit très lourde par rapport au reste de la tige, on peut rendre cette limite de / inférieure, par exemple, à

Autre exemple : Un cylindre de révolution glisse avec frottement sur un plan incliné. Soient l sa longueur, r son rayon de base, k son rayon de gyration autour de son axe, i l’inclinaison du plan. Le cylindre étant animé d’un mouvement initial de translation parallèle à une ligne déplus grande pente du plan, aucun mouvement n’est com- . patible'avec la loi de frottement dès que f dépasse la quantité j + —■ En construisant le cylindre avec deux cylindres concentriques, le Cylindre intérieur beaucoup plus lourd que le cylindre extérieur, on peut rendre cette limite inférieure aux valeurs ordinaires de /.

74. Voilà donc des expériences réalisables où les lois classiques du frottement ne sauraient se vérifier.

On a admisjusqu’ici que la composante tangentielle U, de la réaction est une fonction de la composante normale N, soit R, = ç (N), fonction qui ne dépend que de la nature des éléments matériels en contact et de leurs vitesses relatives. Si cette hypothèse doit subsister, pour que la loi empirique de frottement R, = o(N) échappe aux contradictions que je viens de signaler, il faut qu'elle satisfasse à’ une restriction : ^ doit tendre vers zéro pour N très grand.

Mais convient-il de conserver cette hypothèse ? On en peut douter, si l’on remarque que les systèmes rudimentaires qu’on a soumis au contrôle de l’expérience rentrent précisément dans la classe exceptionnelle pour laquelle la réaction normale ne dépend pas du frottement; pour ces systèmes, la loi empirique et la loi rationnelle de frottement se confondent. Supposons pour un instant que la loi exacte du

frottement de glissement soit la proportionnalité de la réaction langentielle à la force de liaison (et non à la composante normale) : cette loi serait parfaitement d’accord avec les expériences connues. Il est donc indispensable d’effectuer de nouvelles expériences sur des systèmes de l’espèce générale, j'entends pour lesquels la réaction normale dépend sensiblement du frottement. La loi ordinaire du frottement devra sûrement être modifiée. Il conviendra de voir si une relation très simple n’existe pas entre la réaction et la force de liaison. Lors même qu’une telle relation ne serait pas susceptible d’un énoncé aussi général que la loi vulgaire de frottement, il serait sans doute possible de classer les liaisons entre solides en un nombre fini- de types qui comporteraient chacun une loi rationnelle de frottement très précise.

' Ce sont là des questions que l’expérience peut seule trancher. Mais, quelle que soit la loi empirique de frottement à laquelle on aboutisse, une chose est certaine : c’est que si cette loi est exacte pour un système, j’entends sensiblement conforme à la réalité, elle permet, par un calcul tout élémentaire, de former la loi rationnelle de frottement, sans difficulté et sans ambiguïté. Nous pouvons donc toujours admettre que la loi rationnelle de frottement est connue.

Dès lors, on peut constituer, pour les solides doués de frottement, une Mécanique entièrement analogue à la Mécanique classique des solides. On sait que, si un ensemble de solides est assujetti à un groupe de liaisons simples dont chacune est sans frottement, le système ainsi constitué est sans frottement, et l’on peut calculer son mouvement, connaissant les forces données. Cette proposition subsiste si chaque liaison simple donne lieu à un frottement dont on connaît la loi rationnelle : on peutencore calculer le mouvement du système assujetti à toutes les liaisons et soumis à des forces données. Il y a lieu toutefois de noter ici une différence : quand il n’y a pas frottement, le théorème énoncé suppose seulement que les liaisons combinées sont compatibles géométriquement et mécaniquement; quand il y a frottement, il fau t encore qu'elles ne soient pas surabondantes. Par exemple, On sait calculer le mouvement d’un solide qui repose par trois points sur un plan, connaissant le coefficient de frottement attaché à chacun des trois points; il n’en est plus de même si le corps repose sur quatre pieds; il faut alors recourir à la théorie de l’élasticité.

75. Définition générale des forces de frottement. - Ce que je viens de dire pour un système de solides s’applique à un système matériel S entièrement quelconque (continu ou discontinu) dont la position dépend d’un nombre fini de paramètres. Voici la définition générale que j’ai donnée des forces de frottement : le considère les différents points du système dans des conditions initiales déterminées; si le système était sans frottement, c’est-à-dire (par définition) si le travail virtuel des réactions était constamment nul, on saurait calculer.à la fois le mouvement du système sous l’influence des forces données, et les réactions (R') qui s’exercent sur chaque point M (de masse m), réactions que j’appelle forces de liaison. En réalité, le système étant doué de frottement, les réactions diffèrent des forces de liaison; j’appelle force de frottement s’exerçant sur M la différence géométrique (p) entre la réaction vraie (R) et la force de liaison (R'),

Le système de segments (p) jouit, quelles que soient les lois du frottement, de propriétés géométriques remarquables. On a d’abord

De plus, le déplacement du système (S), où chaque point M subit le déplacement^ St, est un déplacementwrtue/. Chaque réaction (R) se trouve ainsi décomposée en deux forces (p) et (R') dont l’ensemble satisfait à ces deux conditions : i° le travail virtuel des (R ')esl nul; 2° le déplacement St imposé à chaque point M constitue un déplacement virtuel de S.

On montre que, pour un ensemble quelconqne de segments, une telle décomposition est toujours possible et d’une seule manière ; il est donc loisible encore de définir les forces de frottement et de liaison d’après cette décomposition.

76. Le caractère commun à toutes les lois de frottement, c’est de déterminer les forces de frottement p en fonction des forces de liaison R' (et des positions et vitesses de S à l’instant considéré t). La loi sera dite loi rationnelle du frottement si elle donne explicitement les p en fonction des R'. Quand un système est assujetti à plusieurs liaisons,

distinctes, sa loi rationnelle de frottement se calcule sans difficulté ni ambiguïté, à l’aide des lois analogues attachées à chaque liaison, ' pourvu du moins que les liaisons ne soient ni incompatibles ni surabondantes. Les équations du mouvement peuvent recevoir la forme donnée par Lagrange aux équations du mouvement sans frottement (').

Un autre caractère commun des lois du frottement, c’est d’être en défaut quand les positions et vitesses des points de S satisfont à certaines conditions exceptionnelles. Ces conditions expriment toujours que, dans une des liaisons, deux des éléments matériels qui frottent l’un sur l’autre ont une vitesse relative nulle. On est alors dans le cas du frottement au repos ou au départ. La loi du frottement relative à la liaison considérée doit alors être remplacée par la suivante : Ou bien, pendant un certain temps, les conditions exceptionnelles restent remplies, ou bien elles cessent immédiatement de l’être et la loi ordinaire du frottement s’applique à la liaison; dans le premier cas, les forces de frottement dues à la liaison sont assujetties à certaines inégalités par rapport aux forces de liaison correspondantes. La loi ainsi modifiée fournit, pour tous les types naturels de liaison, assez d’équations pour mener à bonne fin la discussion.

J’ai appliqué ces généralités à un grand nombre d’exemples, comme celui de la sphère pesante mobile avec frottement sur un plan incliné, que j’ai intégré et complètement discuté.

11 est clair que la théorie précédente embrasse le frottement de roulement et de pivotement. Elle constitue pour les systèmes quelconques doués de frottement une véritable Mécanique analytique.

(*) M.Appell s’est occupé, à un tout autre point de vue, grange au mouvement des systèmes doués de frottement.

i équations de La-