IV

Les équations de ce Tableau ont leurs points critiques fixes; toutes les équations à points critiques fixes de la forme (fiff obtiennent soit en effectuant sur ces huit équations la transformation la plus générale

dans laquelle leltsj sont analytiques en æ et 9 rationnel en y [ou en y et V'P pour les types (VII) et (V-III)] ; soit en effectuant sur l’équation (III) (oîla = Y = S = o,p = 6)&! transformation

Y = cp(a, x),. JpL: X = /(*),

y, ( æ ) est une intégrale particulière quelconque de (III), <( est rationnel en s et analytique, ainsi que l, en x.

41. Parmi ces équations, celles dont l’intégrale renferme algébriquement les deux constantes correspondent soit au type (I), soit au type (III) où a = (J = o (équations linéaires du second ordre) ('); les équations dont l’intégrale est une fonction essentiellement transcendante des deux constantes correspondent soit au type (III) (où a, [5 ne sont pas nuis tous deux non plus que y, s), soit.au type (VI) (où a, y ne sont pas nuis tous deux non plus que (1, S), soit au type (VIII). Pour toutes les autres équations, l’intégrale est une fonction sémite') Cette double classe d’équations est.la seule que mettrait en évidence la méthode de M. Poincaré étendue du premier ordre aux équations (/).

transcendante des constantes et dépend de quadratures combinées ou non avec une équation do Riccati. Enfin, les seules équations (/) à points critiques fixes, dont l’intégrale présente des singularités transcendantes mobiles, se ramènent au type intégrable (VII) (ouS^Js? o) ; ces singularités sont des points essentiels isolés.

La méthode permet aussi de former explicitement toutes les équations (/), à points critiques fixes, où le coefficient différentiel p est assujetti à line des conditions suivantes :

i° p est rationnel en Y x , Y et analytique en X;

2° p est rationnel en Y(,, algébrique en Y, X ;

3° p est rationnel en Y'*,, Y et indépendant deX (problème de M. Picard), ou encore p (indépendant de X et rationnel en Y' x ) est algébrique en Y.

Dans ce troisième cas, les équations considérées sont toutes intégrables.

J’ai résolu également le problème inverse des précédents, qui consiste à décider si une équation (/) donnée a ses points critiques fixes. D’une façon précise, étant donnée une équation (/) où p est rationnel en Y' x , Y et algébrique en X, on sait reconnaître, à l’aide d[un nombre fini d’opérations algébriques très simples et vraiment praticables, si elle a ses points critiques fixes. Le théorème subsiste si p est rationnel en Y(, et algébrique en Y, X, mais comporte toutefois un cas d’exception : dans ce cas, on sait ramener l’équation donnée à une équation (VII) où ~k est une constante différente de zéro (équation intégrable) ; pour que cette équation ait vraiment sés points critiques fixes, il faut que ta condition transcendante \ soit remplie.

42. Transcendantes uniformes nouvelles engendrées par une équation(f). — D’après ce qui précède, parmi toutes les équations à points critiques fixes de la forme (/) oùp est rationnel en Y( et algébrique en Y, X, les seules qui puissent engendrer des transcendantes nouvelles sont réductibles à l’équation (VIII) ou aux équations (ÏÎI), (VI) (dans lesquelles « et p ne sont pas nuis à la fois). La transformation de passage entre l’équation donnée (/) et le type réduit peut s’écrire Y=<p:( 7 ,Xk'

si le type réduit est (VIII) ou (III); et

si le type réduit est (VI); est rationneleny et algébrique, ainsique l, enX.

L’intégrale de l’équation (VIII) se laisse mettre sous une forme simple. Représentons par y = >.*,(“) la fonction elliptique définie par l’égalité

( y dy

la transformation y = XijV) ramène (VIII) à l’équation linéaire

dont l’intégrale générale est u — u,(x) + C.w, (*) -t- C 2 o> 2 (æ), si oi, et w 2 désignent les périodes de X(à) et C,, C 2 deux constantes arbitraires. Les transcendantes définies par (VIII) ne sont donc pas vraiment nouvelles, quand on regarde comme connue la fonction sn^u des deux variables u et k s . Mais la correspondance essentiellement biuniforme que l’intégrale de (VllI) définit (pour x et x a donnés) entre les deux cylindres de l’espace y, z, t

est extrêmement intéressante (voir§ 21).

Pour ce.qui est des types (III) et (VI), leur intégrale y(x) est une fonction de x méromorphe dans tout le plan. On peut ramener d’ailleurs cès équations à trois types canoniques plus réduits

/ y = — i, <3 = i; a, (3 quelconques, J

| ou y — —i, <5 = o, .(3 = i, a quelconque, >

L’intégrale de ces équations étant méromorphe, il est bien évident

qu’elle est représentable par un quotient de fonctions entières. Mais ce que j’ai montré (et qui était loin d’être évident) c'est qu’on peut choisir ces fonctions entières de manière quelles vérifient une équation différentielle algébrique (très simple ) du troisième ordre. Ces fonctions, entières en x , sont également entières en x Q , y„, y\ pour (IX) et (X) ; pour l’équation (XI), elles sont encore entières en x t , y' a , mais elles admettent y 0 = o comme point essentiel; si l’on pose y„ = e% elles sont entières en x t , z„, y'„. Quand on les développe suivant les puissances croissantes de (x — x „), les coefficients de ces développements sont des polynômes en x 0 , y„, y' 0 pour (IX) et (X), en e®-, y 0 , y, y'„ pour (XI), et ils se calculent par dérivations successives. Ces développements convergent dans-tout le champ des x, x 0 , y 0 , y\ et l’intégrale y(x) est représentée par le quotient de deux tels développements. Les équations (IX), (X) et (XI) se trouvent ainsi intégrées, au sens moderne du mot.

La correspondance essentiellement biuniforme que l’intégrale de (IX) ou de (X) établit entre les couples (y, y) et (y 0 , /„) est remarquable : les fonctions y et / de y 0 , y' 0 ne prennent nulle part la forme 2 (ainsi qu’il arrive aux points-bases d’une substitution de Cremona), mais elles sont méromorphes (et non rationnelles) en y„ et y\.

Voici comment s’eflectue la représentation des intégrales des équations (IX), (X) et (XI) à l’aide de fonctions entières :

Pour Véquation (IX), on pose

la fonction u(x) est une fonction .entière qui vérifie l’équation

Pour l’équation (X), on pose

les fonctions u, v sont des fonctions entières qui vérifient le système

De plus, soient 2s, = z — v, 2z, = z -t -y; les fonctions u, = e sz ' d£ , u. 1 = e I ‘i' ,lc sont deux fonctions entières qui vérifient respectivement une équation du troisième ordre très simple, et l’on a

Pour l’équation (XI), on pose

les fonctions u, v sont des fonctions entières qui vérifient les équations

On peut remplacer une des équations précédentes par l’équation

y est alors représenté par le quotient - •

Enfin, si l’on pose

2Zi=z— ye*, zz t =z+ye*,

les fonctions « 2 , o (( v 2 sont des fonctions entières qui vérifient respectivement une équation différentielle du troisième ordre, et l'on a

43. Irréductibilité des nouvelles transcendantes. — Mais les nouvelles transcendantes ainsi définies n’étaient-elles pas réductibles aux transcendantes connues? C’était là une question qu’il importait de trancher.

Appelons, pour abréger, fonctions classiques les fonctions algébriques, les fonctions àbéliennes (et dégénérescences) et les intégrales des équations différentielles linéaires algébriques. Embrassons aussi, parmi les fonctions classiques, les combinaisons explicites de telles transcendantes : j’entends par là les fonctions obtenues en remplaçant dans une fonction classique (par exemple dans une fonction abélienne) les arguments par des fonctions classiques de nouvelles variables (par exemple par des quadratures en x), et ainsi de suite. Cette terminologie admise, j’ai démontré que chaque fonction méromorphe définie par les équations (IX), (X) et (XI) est une transcendante distincte des transcendantes classiques.

Cette discussion m’a conduit à introduire [63, 96] une définition extrêmement précise de Y irréductibilité d’une équation différentielle. Je ne puis entrer ici dans les détails de cette définition. Je me borne à indiquer qu’elle s’impose et que les théorèmes que j’en ai déduits doivent jouer un rôle dans toutes les questions oà, parmi les variables, il en est une qui est imposée comme variable indépendante et les autres comme fonctions. C’est cette définition, d’ailleurs, qu’on a adoptée au fond dans l’étude de la réductibilité des équations linéaires. Mais il est clair qu’une équation, irréductible au sens dont je parle, peut cesser de l’être si l’on donne au mot réductible une signification plus large. Par exemple, les équations du troisième ordre qui définissent les fonctions fuchsiennnes sont irréductibles, à mon sens, et leurs intégrales sont des transcendantes uniformes vraiment nouvelles, quoiqu’une quelconque de ces équations soit équivalente à une équation de Riccati; mais cette équivalence exige que l’on permute le rôle de la fonction et de la variable.

De même, l’équation (VIII) (qui peut servir à définir la fonction sn regardée comme fonction de son module) est irréductible, au sens que je donne à ce mot, bien qu’elle possède deux intégrales premières définies par des quadratures et par une équation linéaire du deuxième ordre. Mais il en est tout autrement pour les équations (IX), (X) et (XI). La théorie des groupes ne fournit aucun moyen de les intégrer par une combinaison (si enchevêtrée qu’elle soit) d’équations linéaires, de quadratures ou d’équations de premier ordre.

J'ai insisté, dans l’Introduction, sur le caractère essentiellement nouveau de ce résultat. Depuis la fondation du Calcul intégral, toutes les équations qu’on a réussi à intégrer (au sens lé plus large du terme) sont réductibles à des combinaisons d’équations linéaires ou de quadratures. Les fonctions automorphes elles-mêmes, je viens de le rappeler, n’échappent pas à cette remarque. Lés équations (IX), (X)

nt intégrées à l’aide des principes de la théorie dès font, quons

et de quadratures.

Quant au degré de généralité des équation velles transcendantes, on s’en rend compte si 1’ les équations

V SK(£

qu’intègrent les noun remarque que parmi

où P est un polynôme en Y', Y, algébrique en X, celles qui sont réductibles algébriquement soit à l’équation (IX), soit à l’équation (X) où a est donné, forment respectivement une classe aussi étendue que les équations linéaires, non homogènes, du deuxième ordre.

44. Équations différentielles quelconques à points critiques fixes. — La méthode que j’ai employée s’applique aussi bien [76 à 80, 90] aux équations (F)

algébriques en y", y, y, x et de degré donné en y". J’ai abordé la formation des équations (F) à points critiques fixes, où P est du deuxième degré en y". . ... . , ,

Sans avoir achevé l’énumeration de tous les types, ce qui n est

d’ailleurs qu’une question de patience, j’ai réussi déjà à mettre en évidence certaines équations dont l’intégrale générale est une fonction méromorphe nouvelle, irréductible aux transcendantes méromorphes qu’engendrent les équations du premier degré en y".

Quand on passe dés équations du second à celles du troisième ordre, il convient de distinguer entre les deux parties de la méthode. La première (recherche des conditions nécessaires pour que les points critiques soient fixes) s’étend d’elle-même aux systèmes différentiels d’ordre quelconque; la seconde (dont l’objet est de reconnaître si ces conditions sont suffisantes) présente des complications qui croissent avec l’ordre différentiel.

Je crois devoir insister sur la simplicité et la fécondité de la première partie de la méthode. Elle fournit, presque sans calcul [91, 92, 96], des renseignements extrêmement précis sur les équations algébriques d’ordre quelconque q

(P désignant un polynôme). C’est ainsi qu’elle limite immédiatement le degré de P en y~' ) et y (?2) en fonction du degré de P en y<«>. Elle introduit, de la façon la plus naturelle, une notion fondamentale, la notion de simplifiée d’une équation P = o. Je définirai cette simplifiée pour une équation du troisième ordre résolue en y".

Soit donc

une équation où R est rationnel en y", y, algébrique en y, x. Pour que l’équation ait ses points critiques fixes, voici les conditions les plus simples qui doivent être remplies :

i° R est nécessairement un polynôme du deuxième degré au plus eny

2 ° La fraction rationnelle A dey' est de la forme

où a, b, c sont des fonctions algébriques de y, x, et « nombres commensurables qui peuvent être nuis.

t, {1, y certains

3° Les fractions rationnelles B, C de/ n’ont que des pèles simples qui coïncident nécessairement avec.ceux de A, et les expressions —, ps restent finies pour/ = oo. Le degré de R en / et y est ainsi limité. On peut, en outre, écrire

s, s,, e, tendent vers zéro avec « = t — ~>n entier + ou — mais — i, ou n = oo.

4° Convenons d’appeler simplifiée de l’équation (i) l’équation (2) '

Cette équation doit avoir son intégrale uniforme.

Ce qui fait l’intérêt de cette simplifiée ( 2 ), c’est que les propriétés et les singularités de l’équation ( 1 ) s’y reflètent en quelque sorte en s’y affaiblissant. Toute équation ( 2 ) se ramène, moyennant une quadrature, à une équation linéaire; d’une façon précise, elle équivaut ait

(3> % =un *'’

Il m’a donc fallu résoudre ce problème préliminaire qui n’était pas sans difficulté : Déterminer tous les cas où les fonctions y(æ) définies par un système (3) sont uniformes. Pour » = — 2 et A = o, les fonctions uniformes définies par un système (3) constituent la classe des fonctions automorphes : c’est le cas le plus intéressant; dans les autres cas, les fonctionsy(*) sont des dégénérescences de fonctions automorphes ou des combinaisons de telles dégénérescences.

Quant aux relations qui existent entre une équation ( 1 ) à points, critiques fixes et sa simplifiée, sans les avoir approfondies encore dans le détail, je puis résumer ainsi l’impression que m’en donnent mes premières recherches : Les méthodes employées pour le second ordre suffiront à déterminer toutes les équations ( 1 ) dont l’intégrale n’a comme

singularités mobiles que des pôles; pour ce qui est des équations ( 1 ) à points critiques fixes, mais à singularités essentielles mobiles, il est probable (au moins dès que ces singularités sont un peu compliquées) qu’elles se ramènent au second ordre ou bien que leur intégrale se déduit aisément de celle de la simplifiée, par des quadratures, par exemple, ou par l’intermédiaire d’une équation linéaire. La plus grave difficulté qu’entraîne l’élévation de l’ordre, à savoir l’apparition de singularités essentielles mobiles (formant des ensembles parfaits, des lignes, etc.) se trouverait ainsi surmontée, grâce aux connaissances que nous possédons sur les fonctions automorphes. Quoi qu’il en soit de ces prévisions, les résultats dès maintenant acquis suffisent à mettre en évidence le rôle primordial que sont appelés à jouer, dans l’étude systématique des équations différentielles à intégrale uniforme, les travaux de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes et kleinéennes.

45. Voici donc un admirable champ de recherches ouvert désormais à l’activité des géomètres : la formation directe et l’étude complète de toutes les équations du troisième ordre à intégrale uniforme exigera vraisemblablement de longues années, mais c’est là un problème dont nous prévoyons dès maintenant la solution, alors que le même problème relatif au second ordre semblait, il y a peu de temps encore, devoir être définitivement abandonné.

11 est naturel de se demander quel rôle sont destinées à jouer-, dans la théorie des fonctions, les nouvelles transcendantes que j'ai découvertes et celles qu’on est appelé à découvrir par les mêmes voies. Si l’on réfléchit que toutes les transcendantes usuelles [la fonction T et la fonction (■(.«) de Riemann exceptées] intègrent des équations différentielles algébriques, on conçoit aussitôt combien il est invraisemblable qu’on se trouve avoir épuisé, parmi toutes les transcendantes uniformes qu’engendrent les équations différentielles, celles qui sont dignes d’intérêt. Mais il est invraisemblable aussi que la plupart de , ces transcendantes possèdent à la fois (comme les fonctions elliptiques, fuchsiennes, etc.) plusieurs propriétés exactes et simples (telles que la périodicité, la représentation par des intégrales définies ou par des séries élémentaires, etc.). C’est bien plutôt au point de vue approximatif, j’entends au point de vue de la croissance pour

x = », du genre, de la disposition des zéros, etc., qu’on aura chance d’étudier avec fruit les nouvelles transcendantes entières et d’en apercevoir certains caractères qui soient susceptibles d’une application efficace à la théorie générale des fonctions. Dans ce mode de recherches, la méthode qui m’a permis de mettre en évidence les nouvelles transcendantes méromorphes fournit dès maintenant de très précieuses indications. Je citerai comme exemple ce théorème : Si y(x) est une intégrale d'une des équations (IX) où (X), l’équation y(x) — A. aune infinité de racines quel que soit A (fini ou infini). La fréquence de ces racines pour x = x est la même quel que soit A.

Mais, quel que doive être par la suite l’intérêt intrinsèque des nouvelles transcendantes, le résultat auquel j’attache le plus d’importance et qui est acquis, c’est la découverte de types d’équations différentielles essentiellement nouveaux, intégrables par des fonctions méromorphes.

Je passe maintenant aux relations assez inattendues que j’ai découvertes entre les équations à points critiques fixes et certaines théories analytiques.

Applications de la théorie des équations à points critiques fixes.

46. Du rôle des équations à points critiques fixes dans la recherche des intégrales premières des systèmes différentiels.

Considérons un système (S) de (m + n) équations différentielles (algébriques) du premier ordre ('), portant sur les (m + n + i) variables x, x,,..., x m et y, . y„. Il nous est loisible de supposer les

coefficients différentiels de ce système exprimés rationnellement en fonction des x, y et d’une irrationnelle z =/(*, x„ ...x m , y„ ...,yf).

Ceci posé, cherchons à déterminer les intégrales premières de ce système algébriques en y,, y, . y„ et analytiques en x, x . . x,„. il

• Admettons d’abord que le système (S) ne possède pas d’intégrale première, F(æ, se, , . :., x m ) = const., indépendante des y.

Le théorème fondamental que j’ai établi [62, 64, 74] s’énonce alors

Toutes les intégrales premières de S rationnelles et de degré donné en y,, yz, soit RO s, x, x . x ,„) = const., ne dé¬

pendent que d’un nombre fini de constantes. De plus, les singularités non polaires de R dans le champ des . x m sont fixes ( indépen¬

dantes des constantes ) et données par une certaine relation algébrique H (x, x ,,..., x m ) = o.

Il suit de là que le calcul de ces intégrales dépend d’un certain système différentiel (algébrique) dont non seulement les points critiques, mais toutes les singularités non polaires sont fixes.

Par exemple, une équation différentielle du second ordre, qui admet des intégrales premières algébriques en y x , se ramène soit à une équation à points critiques fixes, soit à une équation du premier ordre dont les coefficients dépendent d’une équation de Riccati ou d’une quadrature.

Quand le système S admet des intégrales premières = const.,

les intégrales premières R= const., rationnelles et de degré donné en y,, ...,y n ,z, dépendent, quand il en existe, de fonctions arbitraires. Une fois calculées les intégrales F = const., la détermination des intégrales R = const. ne dépend plus que d’un système différentiel dont les seules singularités mobiles sont ses pôles.

47. J’insiste sur certaines conséquences assez paradoxales de ce théorème. Si le système S n’admet qu’une intégrale première (') algébrique en y,, ..., y„, cette intégrale est donnée par une équation de Riccati ou par une quadrature quand elle dépend effectivement des y; quand elle est indépendante des y, elle est donnée par une équation du premier ordre qui peut être de nature quelconque.

Plaçons-nous dans le cas où il n’existe pas d’intégrale première

F(um !®2 . x m ) = const. Le système différentiel à points critiques

fixes dont dépendent les intégrales premières R = const. peut, a priori, être de la classe générale ou de la classe singulière; autrement dit, R peut renfermer ses constantes sous forme algébrique ou transcendante. Il est deux cas où les constantes figurent à coup sûr algébriquement : d’abord quand il n’existe pas deux intégrales R distinctes de degré donné; ensuite quand le groupe de variables x, x,, ;., x,„ se réduit à l’unique variable x.

Au lieu d’intégrales rationnelles considérons des intégrales uniformes

par rapport à y . y„z, soit p (y„ . ,y„,s,x, .*,) = const.

Si le système ( S ) n’admet pas d’intégrale première indépendante des y, j’ai montré que fcs singularités critiques de p dans le champ de x sont fixes (mais non les singularités essentielles).

Quand on substitue aux intégrales premières une équation intégrale rationnelle en y„ ...,y m ,x, soitR( jk,. . ..,y„,z,œ, æ,, = 0 ,

les propositions précédentes sont en défaut; R peut présenter, dans le champ des x, des singularités quelconques. Prenons comme exemple le système

toutes les égalités y — <p (x,x,) — 0 , déduites de l’équation de Clairaut la plus générale xy— x, = F(y), sont des équations intégrales de (î) rationnelles en y.

l’ai pu néanmoins établir sur la nature des singularités de ces équations intégrales R = o quelques propositions précises qui m’ont été très utiles dans l’étude des équations du second ordre à points critiques fixes et surtout dans la recherche des intégrales premières des équations de la Dynamique. J’y reviendrai à propos de ces dernières équations ( voir le § 59).

48. Équations différentielles spéciales. —. Parmi les nombreuses applications analytiques des propositions précédentes, je citerai [44, 62] l 'étude des équations différentielles d’ordre n dont l intégrale peut se mettre sous la forme

où P est un polynôme par rapport aux constantes C,, ..., C„, analytique en x, y. Ces équations renferment, en particulier des équations {voir § 37) dont l’intégrale y(x) est une fonction algébrique des constantes.

En m’appuyant sur le théorème général du §46, j’ai montré que l’intégration, d’une telle équation se ramène toujours à celle d’un système différentiel dont toutes les singularités non polaires sont fixes.

Ce système peut être de la classe générale ou de la classe singulière. 11 sera sûrement de la classe générale et se ramènera par suite aux quadratures ou aux équations linéaires si, moyennant une transformation effectuée sur les variables x, y, l’intégrale générale y(x) de l’équation donnée peut être rendue algébrique.

C’est ce qui a lieu notamment pour les équations du second ordre dont l’intégrale peut s’écrire

l’intégration d’une telle équation équivaut à celle d’une équation linéaire (résultat connu).

Soit donnée, d’après cela, une équation différentielle algébrique dont l’intégrale se laisse mettre sous la forme (i), où P désigne un polynôme de degré donné en C,.C„, dont les coefficients sont des fonctions quel¬

conques de », y. L’équation de Kummer, par exemple, rentre dans cette classe. Proposons-nous de reconnaître si l’intégrale générale d’une telle équation donnée (c) est algébrique.

La réponse est la suivante : « On sait résoudre lé problème à l’aide d’un nombre fini d’opérations ou bien on ramène l’équation soit aux quadratures, soit aux équations linéaires. »

Quand l’équation est ramenée aux quadratures, toute la question est de savoir si deux certains systèmes d’intégrales abélie.nnes ont. les mêmes systèmes (primitifs ou non) de périodes. Quand l’équation est ramenée à une équation linéaire, il reste à décider si cette équation s’intégre algébriquement. Ce problème, nous l’allons voir, se traite algébriquement, ou bien l’on ramène l’équation à une quadrature. D’où cette conclusion : « On sait, à l’aide d'un nombre fini d’opérations, reconnaître si l’équation (c) s’intégre algébriquement, ou ramener l’équation aux quadratures. »

49. Equations linéaires. — Le problème de l’intégration algébrique des équations linéaires et homogènes du deuxième ordre à coefficients rationnels, soit (E), a fait l’objet de travaux considérables dont les conclusions se résument ainsi : Étant donnée une équation (E), on sait, à l’aide d’un nombre fini d’opérations, reconnaître si son intégrale est algébrique ou ramener l'équation à une quadrature «/*(*)*»; ji reste à décider, dans ce dernier cas, si cette quadrature est algébrique. En m’appuyant sur les théorèmes fondamentaux de M. Jordanie suis arrivé [4,5, 7,8] au même résultat pour une équation linéaire d'ordre quelconque à coefficients algébriques. La méthode que j'emploie est presque intuitive et exige le minimum de calculs. Elle permet également de déterminer toutes les intégrales particulières y(oc) algébriques ou dont la dérivée logarithmique est algébrique; d’une façon plus précise, si l’on pose s — elle détermine, à l’aide d’un nombre fini d’opérations, toutes les intégrales algébriques de l’équation en z.

J’ai traité également la question inverse : Former, par exemple, toutes tes équations linéaires et homogènes du troisième ordre à coefficients rationnels dont l’intégrale générale est algébrique. J’ai donné une solution explicite du problème en introduisant certains invariants du groupe projectif, où figurent les rapports de trois intégrales, invariants qui généralisent l’invariant de M. Schwarz relatif à la transformation hornographique. Cette méthode correspond exactement à l’élégante méthode par laquelle M. F. Klein a résolu la même question pour le deuxième ordre. Il restait à calculer numériquement ces invariants pour chaque groupe projectif discontinu fini à trois variables homogènes. C’est ce qu’a fait, dans un intéressant travail, M. Boulanger ('), qui s’estaussi servi de ces invariants pour traiter la première question et limiter le degré de l’intégrale supposée algébrique quand on se donne l’équation.

J’ajoute que le problème de la transformation, l’équation de Kummer et toutes les questions qui s’y rattachent, se généralisent, par cette voie, de la façon la plus naturelle.

J’ai étendu [3, 8] tous ces résultats aux systèmes d’équations aux dérivées partielles dont l’intégrale dépend linéairement d’un nombre

fini de constantes. La théorie prend une forme particulièrement élégante pour les systèmes dont l’intégrale peut s’écrire z = C l Mx,y) + C,f,(x,y)+C,f > {x,y)i les invariants correspondants avaient été déjà considérés par M. R. •Liouville à un point de vue tout différent, puis par M. Goursat.

Enfin, j’ai étudié [44,63] les systèmes d’équations différentielles qui généralisent l’équation de Riccati; j’ai montré notamment leur équivalence rigoureuse avec une équation linéaire. C’est ainsi que l’équation de Riccati, qu’on peut toujours ramener algébriquement à la forme

est équivalente à l’équation

(E) *'*Fa'(*)*'=o!

car on a non seulement y = mais encore

y„ y 2 , y„ désignant trois solutions de (e), et a,, a, deux solutions de (E). Cette remarque bien simple, qui n’a pas été faite jusqu’ici à ma connaissance, montre que, si l’équation (e) s’intégre algébriquement, il en est de même de l’équation (E). Elle subsiste pour les systèmes différentiels d'ordre quelconque qui généralisent l’équation de

50. Relations entre les équations différentielles à points critiques fixes et la théorie des groupes continus . — La théorie des fonctions m’avait déjà mis en contact avec celle des groupes. C’est ainsi que j’avais été amené à former tous les groupes continus finis algébriques (§ 19) et leurs sous-groupes infinis discontinus (§16); je viens de dire, d’autre part, le rôle que j’ai fait jouer, dans l’étude des équations linéaires, à certains invariants du groupe projectif. Mais la manière dont les équations à points critiques.fixes interviennent dans la théorie des groupes me parait beaucoup plus remarquable.

Je considère, dans l’espace à (n +• i) dimensions, une surface algé-

brique qui dépend d’un paramètre x, soit la surface

et je suppose qu’elle admet un groupe fini continu de transformations Irrationnelles

où les R, sont rationnels en y .et renferment analytiquement

x et les constantes a , b, .... /. Le théorème que j’ai établi [93,99]

Les R„ regardés comme fonctions de æ, n’ont comme singularités mobiles (variables avec les a, b, ..., /) que des pôles.

Ceci s’applique en particulier lorsque la surface S se réduit au plan y„ + , = o et que le groupe considéré est, par suite, un groupe de transformations de Cremona.

Plus généralement, considérons un groupe continufini de la forme

où les pi sont algébriques en y . y„ et dépendent analytiquement

de x et des constantes absolues a, b . I. Les fonctions p,-, regardées

comme fonctions de x, n’ont comme singularités mobiles que des pôles ou des points critiques algébriques et n 'acquièrent, autour des points critiques mobiles, qu’un nombre fini de valeurs.

51. Je suppose maintenant qu’un système différentiel quelconque

admet un groupe continu transitif de transformations telles que (G) : le. système a toutes Ses singularités (non polaires ) fixes.

Si le système admet un groupe transitif tel que (r)v il se ramène algébriquement à un système dont les points critiques et les points transcendants sont fixes.

- Si -

On serait tenté de croire, à première vue, d’après la nature des groupes G et T, que l’intégrale d’un tel système doive renfermer algébriquement ses constantes. Il n’en est rien. Il suffit, pour le voir, de considérer la fonction

y= sn,(A4-C 1 », + C,u,) j m = 2 M,(æ), 2 u,(«) périodes de sn*; )

| h consl. numérique; C, et C, const. arbitraires. )

Cette fonction vérifie une équation différentielle algébrique du second ordre qui se déduit aussitôt de l’équation (VIII, § 41) et qui admet le groupe de transformations (à deux paramètres a, b)

y .rcn a ,ndn a ,K-n/(i—y‘)(i — ay r )sn x « X = *.

(u = aw, + bu,),

Si l’on pose t = \/(i-y 2 )(i — xy*), s = y', les relations ainsi définies entre y, z, t et Y, Z, T forment (pour x donné) un groupe de transformations birationnelles en lui-même du cylindre (de l’espace y, z, t) t*=(i -y')(i-xy').

L’équation a bien ses points critiques fixes, mais l’intégrale renferme les deux constantes sous forme essentiellement transcendante, de quelque manière qu’on les choisisse.

J’ai montré [93, 99] qu’il existe des systèmes différentiels analogues d’on/re quelconque, dont l’intégrale a ses points critiques fixes et renferme toutes ses constantes sous forme transcendante (de quelque façon qu’on les choisisse). Ces systèmes définissent les fondions abèliennes (et dégénérescences) regardées comme fonctions de leurs modules.

C’est donc un problème qui s’impose que de rechercher toutes les équations du troisième ordre qui admettent un groupe continu (G) à trois paramètres. Cette recherche peut s’effectuer algébriquement, et l’on est certain à l’avance que les équations ainsi trouvées auront toutes leurs singularités (non polaires) fixes. 11 est vrai que, en vertu de la théorie des groupes, ces équations sont sûrement réductibles à des combinaisons d’équations linéaires et de quadratures; mais cette réduction n’est pas explicite, elle exige des inversions, et les transcen-

dantes ainsi ( défmies pourront être (comme les fonctions fuchsiennes) des fonctions uniformes d’un caractère nouveau.

J’ajoute que si, dans les équations du groupe (6), on suppose les R,- non plus rationnels, mais uniformes en y,, ..y„ +l , tout ce qui concerne les points critiques subsiste; ces points sont donc encore fixes, mais les singularités transcendantes (non critiques) peuvent être mobiles. Il serait très intéressant de former des systèmes différentiels algébriques (i) admettant un tel groupe transitif de transformations uniformes. Mais tous ceux que j’ai obtenus jusqu’ici s’intégrent par des combinaisons de transcendantes banales.

Enfin, j’ai été amené [93] à considérer des groupes d’une nature un peu plus générale que les groupes (G) et (r), à savoir les groupes continus finis

.jg

où les r t sont algébriques en y, . y a , analytiques (ainsi que y) en

ce, a, b, ...,/.

Les systèmes différentiels (i) qui admettent un tel groupe transitif (systèmes qui comprennent les équations de définition des fonctions fuchsiennes) n’ont pas nécessairement leurs points critiques fixes, mais, une fois intégré un certain système d’ordre j (y'S3) (qui se ramène aux équations linéaires et aux quadratures), les fonctions y t dépendent d’un certain système d’ordre (n —j) dont toutes les singularités (non polaires) sont fixes.

52. J’ai appliqué notamment [16, 26, 63] ces considérations aux équations du premier ordre.

Quand une équation du premier ordre admet un groupe continu (y) Y =r(y,x,a), X=x,

où r est algébrique en y et analytique en ce, a, son intégrale générale y(x) est sûrement une fonction algébrique de la constante y 0 , c’est-à-dire que l’intégrale n’acquiert qu’un nombre fini de valeurs autour des points critiques mobiles. Inversement, quand l’intégrale r(x) d’une équation du premier ordre est une fonction algébrique de

la constante, l’équation, ou bien s’intégre algébriquement, admet un groupe continu (y)- ’>*

La transformation particulière

m’a été également très utile dans la formation explicite des équations du premier ordre dont l’intégrale est une fonction algébrique de la constante. A cette transformation, dont j'ai fait une étude complète, j’ai attaché deux espèces d’invariants. Les premiers sont les analogues des invariants de M. Appell relatifs aux transformations ( 2 ) dans lesquelles Y est non plus homographique, mais linéaire en y; ils s’obtiennent en faisant disparaître le plus de termes possible de • l’équation transformée; ils mettent en évidence des cas nombreux d’intégration, mais leur calcul exige des quadratures, ci ils introduisent dans certaines questions des constantes d’intégration parasites. Les invariants de la seconde espèce se calculent algébriquement. 11 convient d’employer l’une ou l’autre espèce suivant la nature des problèmes. Comme application, j’ai déterminé et intégré toutes les équations du premier ordre qui admettent une transformation continue^).

Étude des équations différentielles dans le domaine réel.

53. Intégration quantitative des équations différentielles dans le domaine réel. — Les résultats généraux que j’ai obtenus sur les équations différentielles analytiques ne perdent rien de leur importance quand on se restreint au domaine réel. Ils contribuent efficacement à l 'intégration quantitative des équations différentielles.

Je considère un système différentiel réel

(S) ./»,*) (i = i,a,...,nj,

où la variable indépendante x est donnée (ainsi qu’il arrive en Mécanique). L’intégration quantitative de ce système consiste : 1 ° à calculer l’intervalle *i<œ 0 <!K 2 , dans lequel l’intégrale y, (x), ....

• >”*(«)* -définie par les conditions initiales réelles 7 J,... 7 »( œ t)=yi reste continue et bien déterminée; 2 ° à représenter l’intégrale avec une approximation indéfinie dans cet intervalle x,x. 2 , qui sera dit domaine de régularité de l’intégrale.

Il est bien facile (comme l'a montré le premier M. Poincaré pour les équations analytiques) de former des développements de l’intégrale qui convergent à coup sûr dans tout l’intervalle de régularité, mais il faut se garder de croire que le problème de l’intégration quantitative soit pour cela résolu. Sauf dans des cas très particuliers, on n’a, en effet, aucun moyen de déterminer en fait, même approximativement, le domaine de convergence de ces développements; on ne sait ni décider si, pour une valeur de x un peu éloignée de x„, les séries employées convergent ou divergent, ni calculer (à supposer qu’on soit dans le domaine de convergence) une limite de l’erreur commise en arrêtant ces séries à un certain terme.

En réalité, la véritable difficulté du problème quantitatif consiste à déterminer, avec une approximation indéfinie, le domaine de régularité de l’intégrale; ce domaine une fois connu, la méthode qui a permis de le calculer fournit [60, 63] (de par la nature même des choses) une limite supérieure du reste des diverses séries convergentes qui permettent de représenter l’intégrale dans tout lé domaine.

54. Détermination du domaine de régularité des intégrales. — On conçoit d’après cela quel intérêt il y a à savoir reconnaître qu’une intégrale quelconque d’un système (S) ne présente dans un champ réel étendu (par exemple, dans tout le champ) aucune singularité. Pour fixer les idées, supposons le système (S) analytique, et admettons

qu’on ait démontré que l’intégrale générale y, (x) . y n (x) .ne

présente dans tout le champ réel que des pôles; j’ai établi [63,98] que, dans ce cas, l’intégrale se laisse représenter dans tout le champ réel par le quotient de deux séries de polynômes en x, dont les coefficients se calculent à l’aide de x 0 , y° t , ■ ■■, y°„ par des dérivations successives. On Sait, d’ailleurs, calculer une limite supérieure du reste des séries.

Or les méthodes que j’ai développées dans le champ complexe ont justement pour objet de décider s’il existe ou non des singularités non polaires de l’intégrale : il suffit de les appliquer au champ réel.

Pour abréger, je me limiterai aux équations du premier et du second ordre résolues. Je considère d’abord l’équation (if<’ . ■ r’=/(.v, *),

dans laquelle f désigne une. fonction uniforme et holomorphe pour x et y réels et telle que la fonction s 2 /^ > soit holomorphe pour z = oetx réel. Le théorème I du § 23 (un peu modifié) montre que l’intégrale générale de (i) n’a, pour x réel, que des pôles. On sait donc intégrer quantitativement cette équation.

Considérons de même l’équation (a) v =.!((/,/,*•),

où R est une fraction rationnelle, en y', y, x. La méthode que j’ai employée pour former les équations à points critiques fixes suffit à exprimer que l’intégrale de ( 2 ) n'a dans le champ réel que des pôles. Restreignons-nous, par exemple, aux équations de la forme

je suppose que P et Q sont deux polynômes réels eny, respectivement de degré p et q en y, et'que Q ne s’annule pour aucune valeur réelle de x.y. Pour que les intégrales réelles de (3) n’aient comme singularités que des pôles, il faut d’abord que p soit au plus égal à q -+- 3. Si piq+ 1 , on rentre dans un cas connu où les intégrales restent continues quel que soit®. Si/? = y-t- 2 , il faut de plus et il suffit que l’équation soit réductible par une transformation

à la suivante- Y = + x = ?('*> , 1

6(X)Yiv- , )-t-4,(X)Y'"-*>-i-.

avec la condition i(X) = o. Si l’équation donnée (3) satisfait

à celle condition (ce que l’on reconnaît presque sans calcul), son intégration quantitative est achevée.

Les conditions sont aussi simples quand on a p = q h- 3.

Nous avons admis que les équations différentielles sont analytiques;

cette restriction n’est nullement nécessaire. Il suffit de substituer au calcul des limites la méthode de Cauchy-Lipchitz pour étendre tous les résultats aux équations réelles quelconques. Admettons, par exemple, que, dans l’équation (i),/soit simplement une fonction réelle d ex, y, continue ainsi que ^ pour x et y réels; admettons de plus que la fonction f,(z, x)z=z*f(j^, scj satisfasse aux mêmes conditions : toute intégrale de l'équation (i) est représentée, quel que soit x, par le quotient de deux séries uniformément convergentes, don t les termes ne se calculent plus par des dérivations, mais par des opérations d'approximations.

55. Développement des intégrales dans le domaine réel. — Le domaine de régularité d’une intégrale une fois connu, quelle est la meilleure représentation qu’on en puisse donner? Pour m’en rendre compte, j’ai comparé et discuté [82, 83] les diverses méthodes d’approximations que comportent les équations différentielles, en commençant par la plus élémentaire et la plus naturelle de toutes, la méthode de Cauchy-Lipchitz

J’ai montré que cette méthode permet de retrouver toute propriété qui résulte d’une quelconque des autres méthodes; mais sa propriété la plus remarquable, c’est qu’elle converge dans tout le domaine de régularité de l’intégrale ( s ).wiffw»

Pour préciser, prenons une équation de premier ordre

où / a une détermination Unique en tout point réel de la surface

moyennant une transformation effectuée sur ÿ,.z, il est loisible de

supposer que toutes les sections de cette surface par les plans oo = const. sont fermées. Enfin, je puis substituer à l’équation (e) le sys'tème (compatible aveé S =o)

J’appelle point régulier du système (a) tout point M de la surface S tel qu’en ce point et dans le voisinage, les fonctions <p et / soient continues étaient, par rapport à/et à 5, des dérivées premières continues; j’appelle/wmt irrégulier du système, tout point M, de S qui ne satisfait pas à ces conditions. Enfin, j'appelle disart i» singularité dÿft point quelconque (oo, y,s), la distance minima S de ce point aux points irréguliers M,. Toute intégrale y(x), z(x) du système représente une courbe tracée sur S. Quand x varie de x„ à x,, je dirai que cette intégrale reste régulière si les fonctions y(x), z(x) restent continues et si la courbe qu’elles représentent ne passe par aucun des points irréguliers M,. Quand l’intégrale cesse d etre reauliere pour x — x { , en général l’intégrale devient discontinue ou mal déterminée. Cette terminologie admise, j’ai fait voir que ta méthode de Cauchylipchitz converge dans tout l'intervalle où l’intégrale définie par le point (*., J-o. s„) est régulière.

Cette propriété et ces définitions subsistent quand le système différentiel est d’ordre n et porte sur n fonctions y(x), s(x), ...; les intégrales représentent alors des courbes de l’espace à (n -+- 2 ) dimensions situées sur une surface [à (« 4 - 1 ) dimensions] de cet espace.

Quand on substitue à la méthode de Cauchy-Lipchitz la méthode d’approximations successives de M. Picard, les résultats sont bien différents :1a méthode peut converger quelque soitæ, ou, au contraire, converger seulement dans un intervalle moindre que le diamètre de convergence de la série de Taylor qui représente l’intégrale autour de x a .

Enfin, si les équations (cr) sont analytiques, on peut représenter l'intégrale dans tout le domaine où elle est holomorphe, soit à l’aide d’un paramètre auxiliaire comme le fait M. Poincaré, soit en développant y(x), z(x), ... en séries de polynômes composés linéairement avec y(x 0 ), ÿ(x „), ..., et a(æ 0 ), s(æ»), .... J’ai dit plus haut (§ 10)

la relation qui existe entre les premières Séries que j’ai employées à cet effet et les beaux développements de M. Mittag-Leffler.

Mais ces développements analytiques sont d’une formation extrêmement compliquée, en sorte que la méthode de Cauchy-Lipchitz apparaît comme la plus simple et aussi comme la plus plastique. Il convient de remarquer, en effet, qu’elle peut se combiner heureusement avec les autres méthodes d’approximations: son principe consiste, comme on sait, à décomposer l’intervalle fini x 0 x considéré en intervalles de plus en plus petits; dans chacun de cos intervalles partiels, il est loisible de remplacer les approximations de Cauchy par des approximations plus rapides, du moment que l’intervalle est assez petit pour que la convergence des nouvelles approximations soit assurée. Par exemple, si l’on applique la méthode de Cauchy-Lipchitz au problème des trois corps, il est loisible, dans les intervalles partiels rendus suffisamment petits, d’employer les développements trigonométriques de la Mécanique céleste.

56. Singularités des intégrales dans le domaine réel. — Mais quel que soit le mode de développement qu’on emploie, ce ne sera jamais que dans des cas tout à fait exceptionnels que la formation de ce développement permettra de déterminer son intervalle de convergence. Il importe donc de se rendre compte avec précision, par une étude directe des équations différentielles, des diverses circonstances qui peuvent interrompre la régularité de l’intégrale.

Si l’intégraley(i»), z(x) .. . cesse d’être régulière quand æ atteint la valeur œ,, deux hypothèses seulement sont possibles : ou bien le point {x, y, s, ...) tend vers un point irrégulier (situé sur la.courbe fermée x = x, de S); ou bienj(aî), s(x), ... deviennent discontinues, c’est-à-dire que le point ( x,y , z, ...) ne tend vers aucun point limite sur S quand x tend vers x r Dans ce dernier cas, la valeur.», est dans le domaine réel une singularité essentielle de y(x), «(»).

L’existence possible de singularités essentielles dans le domaine réel semble avoir échappé à l’attention des géomètres. J’en ai approfondi la nature [57, 63]. J’ai montré que quand x tend vers une telle valeur x, , l 'écart de singularité (§ 55) du point ( x , y, z,. ..) tend vers o ; il suit de là que, dans le cas du premier ordre, les singularités essen-

délies coïncident nécessairement avec les valeurs fixes x, telles que le plan x = tv, coupe S suivant ‘une ligne de points irréguliers du système. Dès que l’ordre différentiel dépasse l’unité, une valeur æ = x, quelconque peut être singularité essentielle de certaines intégrales. C’est ce qui arrive, par exemple, pour le système

d £=uz, «'=«■

qui admet les intégrales

Dans le champ réel comme dans le champ complexe, l’existence possible de telles singularités, que rien ne met en évidence sur les équations différentielles, constitue un des plus graves obstacles qui s’opposent à l’intégration quantitative dans les problèmes où la variable indépendante æ est donnée ('). C’est ce qui fait l’intérêt de ce théo-

Quand les points irréguliers du système sont isolés sur la surface S ou forment sur S des courbes (à une dimension), l’intégrale y(x), z(x), ... ne saurait présenter de singularités essentielles mobiles. ,

Or, en changeant les fonctions sans changer la variable indépendante, on peut toujours satisfaire à la condition du théorème. Le changement de fonctions se détermine d’ailleurs très simplement sur le système différentiel lui-même. Si, par exemple, le système est algébrique, moyennant un changement algébrique convenable des fondions, on est certain que le nouveau système n’a plus, dans le champ réel, de singularité essentielles mobiles.

C’est en m’appuyant sur ce théorème que j’ai ramené (§ 34) l’étude analytique des singularités essentielles mobiles à l’étude des singularités transcendantes ordinaires dans le champ réel.

Quand il n’existe aucun point irrégulier sur -S, l’intégration quandta-

rentiel dans l’espace O xyz..., il suffit de choisir convenaMement° pour taire disparaître les singularités essentielles de /(*■),«(*),.

s par le système difféles plans coordonnés

tive s’effectue aisément dans tout le domaine réel. Quand de tels points existent, mais ne donnent naissance pour l’intégrale qu’à des singularités algébriques, — ce que les méthodes que j’ai développées ont pour objet de reconnaître, — on petit calculer avec une approximation indéfinie le champ de régularité de l’intégrale qui répond aux conditions initiales données.

57. Résolution imparfaite du problème quantitatif. — Quand l’intégrale générale présente dans le champ réel des singularités mobiles (essentielles ou transcendantes), ou quand on est incapable de démontrer qu’elle n’en présente pas, j’ai pu du moins [82] donner du problème quantitatif unesorte de solution imparfaite, mais susceptible de rendre de réels services. Sous sa forme la plus précise, le théorème qui réalise cette quasi-solution s’énonce ainsi :

Soient æ 0 , s 0 , ... des conditions initiales données, x, une valeur

donnée quelconque de x, t et S deux quantités choisies aussi petites qu’on veut. Après un nombre fini d'opérations (nombre dont il est facile de fixer le maximum à l’avance), on peut calculer l'intégrale y (x)v z(x), .’.. avec une approximation s (') dans l’intervalle x^x,, ou bien affirmer, que l’écart de singularité du point ( x, y, s, .. .) est devenu, dans cet intervalle, moindre que S.

Il n’est même pas nécessaire que les conditions initiales soient connues exactement, mais seulement avec une approximation Y] (y) < i et < S). Cette remarque est importante pour les applications.

Ce théorème est une conséquence bien simple de la méthode de Cauchy-LipchitZ. J’y reviendrai à propos du problème des trois corps.

(>) J’entends par là que la distance de la position calculée du point (x,y, z, ...) à sa position exacte est moindre que e, et cela pour touto valeur de x comprise entre x 0 , x,.