MÉMOIRES, PUBLICATIONS, ETC

Réduction au méridien des oiservations de passages.

Annales hydrographiques, i8y3.

Ces formules ont été calculées en tenant compte des déviations produites sur la hauteur des astres par la réfraction et la parallaxe, cette dernière cause surtout, qui peut acquérir une assez forte valeur quand l’astre observé est la Lune. J’avais eu à me préoccuper de cette question en observant des culminations lunaires en Cochinchine, où la grande hauteur méridienne de l’astre rend maxima les corrections instrumentales provenant de l’erreur d’inclinaison de la lunette, ainsi que l’effet de la parallaxe sur la variation de ces corrections.

Les formules montrent que, dans beaucoup de cas, il y a lieu de tenir compte de ces déviations. J’ai reproduit la substance de cette Note dans le Traité, du cercle méridien portatif , publié en 1880.

Note sur diverses manières de calculer la longitude au moyen des culminations lunaires.

Annales hydrographiques, 1873.

J’ai signalé, en 1867, une erreur de l’Ouvrage de M. Laugier, sur le cercle méridien portatif, au sujet de la manière de calculer l’ascension droite du bord éclairé de la Lune avec l’heure du passage de ce bord aux fils de la lunette. A cette occasion, j’ai indiqué diverses manières de conduire le calcul de la longitude; cette Note a été insérée dans les Annales hydrographiques, et la substance en a été reproduite dans mon Traité du

géographique du phare de Port-Saïd.

loire, inséré à la suite du précédent, ('

875, j’ai rendu compte du résultat des observations de itude faites à Port-Saïd au mois de juin 1872. ition de la longitude est basée, comme il a été ditpr des observations de culminations lunaires. La latitude ux séries de hauteurs d’étoiles. l’ai signalé à cette occai

lation très régulière et d’une période très courte de l’in î dans le bain de mercure nadiral;

:ement considérable du sol sous l’influence du poids de 1

Cette disposition a été réalisée pour quelques-uns des instruments du passage de 1882 non pourvus des prismes d’Arago.

Note sur l’orientation du ohâssis porte-plaques de l'appareil photographique du passage de Vénus.

Au mois d’avril 1874,00 peu avant mon départ pour l’ile Campbell, j’ai présenté à la Commission du passage de Vénus une Note indiquant la méthode à suivre pour arriver à calculer l’inclinaison du châssis photographique sur la verticale quand on connaît la direction de la lunette et l’heure du lieu. Le fait de limiter la photographie à une bande étroite parallèle à la plus courte distance de la planète au Soleil obligeait à prévoir très rigoureusement l’inclinaison du châssis porte-plaque. J’avais calculé les diverses valeurs de cette inclinaison pendant la durée du passage, pour la stationde l’ile Campbell. La Commission du passage de Vénus me chargea, à la suite de cette Communication, d'effectuer ces mêmes calculs pour les trois autres stations françaises : Yokohama, Pékin et Saint-Paul. Je communiquai les résultats obtenus dans une deuxième Note présentée à la Commission.

Ces deux Notes ont été imprimées et distribuées aux observateurs avant leur départ. Elles ont été insérées plus tard dans le Volume des Mémoires de tAcadémie intitulé : Recueil de Mémoires, Rapports, Documents relatifs à l’observation du passage de Vénus,

Influence des oonrants sur les mesures de profondeurs obtenues au moyen des lignes de sondes.

Ce travail, inséré dans les Annales hydrographiques (t. XL, 1877), était inspiré par le désir de vérifier le degré d’exactitude de sondages obtenus au milieu d’une eau courante. C’est, si l’on veut, une enquête théorique basée sur l’action connue que les liquides en mouvement exercent sur les corps plongés et maintenus immobiles. Un plomb et la corde qui le soutient, immergés tous deux, opposent au courant une certaine résistance, qui a pour effet de déformer la corde et de fausser, dans une certaine mesure, l’évaluation de la profondeur. L’action du courant sur un élément de surface normal à sa direction étant supposée connue, on arrive aisément à calculer

son action sur un élément de longueur de corde incliné d’une manière quelconque. La corde étant soumise, d’autre part, à l’action de la pesanteur, en raison surtout de la présence du plomb, les conditions de l’équilibre résulteront de la combinaison de ces deux forces, et, en appliquant les théories du polygone funiculaire, on arrive aux équations différentielles qui déterminent la tension et la forme de la corde.

On voit immédiatement que la tension varie proportionnellement à la profondeur du point de la corde que l’on considère. Le coefficient proportionnel est nul quand la corde a la même densité que le liquide, c’est-à-dire quand son poids dans l’eau est nul; dans ce cas, qui est à peu près réalisé pour les cordes, la tension reste constante et l’équation différentielle dont dépend la forme de la courbe est susceptible d’être résolue.

La solution obtenue sous forme explicite représente une courbe transcendante à branches infinies jouissant de propriétés assez curieuses. La rectification de la courbe peut être aisément obtenue, et l’on possède ainsi l’élément essentiel de la question.

J’examine deux cas distincts donnant jieu chacun à une détermination différente pour les constantes du problème. Je suppose, en premier lieu, la ligne ou corde fixée au fond de l’eau, en un point situé verticalement au-dessous de celui qui apparaît à la surface; j’évalue, dans cette hypothèse, la longueur et la tension de la corde. Je suppose ensuite la ligne,’ahandonnée au courant avec le plomb qu’elle supporte, et je cherche à quelle profondeur descendra ce dernier.

De la discussion à laquelle donnent lieu ces hypothèses ressort un premier fait : c’est que, pour sonder dans une eau courante, on est dans de meilleures conditions quand le bateau est en mouvement que s’il reste immobile, et, comme second fait, que, dans ce dernier cas, il vaut mieux jeter son plomb vivement, en le laissant en quelque sorte tomber verticalement, quitte à raidir la corde plus tard, que de filer la ligne à la demande.

Des Tableaux numériques, calculés avec les valeurs admises généralement pour la pression sur un élément de surface normale au courant, fournissent des résultats intéressants et permettent de se rendre compte de I erreur, très grande dans certains cas, que l’on est exposé à commettre sur l’évaluation des profondeurs quand le courant est un peu fort.

Comme application du premier cas, citons, parexemple, ce fait que, pour une profondeur de 25 “ et un courant de i'“, 5 par seconde, si l’on veut qu’il n’y ait, en opérant avec une ligne de sonde de o“ ,009 de diamètre, qu’une erreur de o'“,75 sur ia mesure obtenue, il faut que la tension de la ligne

soit au moins de 52 '‘«. Dans ces conditions, pour que le plomb reste au fond, il faudra qu’il p'ese au minimum 48'‘«.

Comme application du deuxième cas, on constate que, dans les conditions ci-dessus, le plomb de 48'*', abandonné dans l’eau à la demande de la ligne, descendra jusqu’à une profondeur de 45 ” seulement, et qu’une fois cette profondeur atteinte, il sera entraîné par le courant, si l’on file encore de la ligne.

Décomposition de la marée en ondes élémentaires.

Dans ce Mémoire, inséré en 1878 dans les Annaks hydrographiques, je me suis attaché à bien préciser la nature de la périodicité que présente le phénomène de la marée, composé d’une série d’ondes de périodes diverses, et j’ai indiqué de nouvelles formules servant à dégager les ondes de chaque période principale, quand l’observation a fourni la marche générale du phénomène-

La périodicité de l’ensemble est nécessairement imparfaite, et, dans ces conditions, il est impossible de dire que le phénomène a une période naturelle bien définie. Tout ce que l’on peut faire, c’est de rapporter le mouvement du niveau de la mer à l’une des périodes qui s’en rapprochent le plus comme durée, celle de la variation de l’angle horaire du Soleil ou de la Lune. Si l’on désigne par a: l’une de ces quantités et par j l’élévation variable du niveau de la mer, on pourra, de toute façon, établir une relation de la forme suivante

où Co, C,, ... sont des coefficients constants.

La périodicité étant imparfaite,7 ne reprendra pas la même valeur quand œaura varié d’une circonférence. Le développement aura donc un nombre illimité de termes, et il se produira une solution de continuité aux extrémités de la période. Ce serait là une conception peu rationnelle du phénomène des marées; il convient évidemment de faire des coefficients C„, C,,... des quantités variant d’une manière continue avec x. J’ai supposé que, pour trois périodes consécutives, la variation pouvait être exprimée par une formule du deuxième degré en x, et j’ai cherché à appliquer, dans cette hypothèse, laméthode de détermination des coefficients Cj, C,, ... par les intégrales définies.

onde de degré quelconque ont été exposées dans l’Ouvrage dont il sera question plus loin (Notions sur les phénomènes des marées).

Usage du cercle méridien portatif pour la détermination des positions géographiques.

Ce Traité, publié par le Dépôt des Cartes et Plans, était destiné à remplacer celui que M. Laugier avait fait paraître en i856 pour faciliter l’emploi des instruments méridiens portatifs, alors tout nouveaux. Les transformations qui se sont produites depuis dans leur mode de construction et dans la manière d’observer nécessitaient la publication d’un nouveau guide pratique destiné aux hydrographes et aux géographes, pour lesquels ces instruments tendent à devenir d’un usage courant.

J’ai divisé cet Ouvrage en quatre Parties principales :

Description du cercle méridien;

Installation du cercle;

Observations de passages;

Observations de hauteurs.

Dans la première Partie se trouve comprise, en outre, la théorie succincte des lunettes astronomiques et celle du niveau à bulle d’air. J’ai exposé, à l’occasion de la mise au point des lunettes, quelques considérations qui me semblent justifiées parla nécessité de tenir compte de la faculté d’accommodation de l’œil. J’ai pu constater par expérience combien on est exposé à se tromper en essayant de mettre au point et je crois avoir donné l’explication de ces anomalies en montrant de quelle manière doit se produire l’action physiologique de l’accommodation de l’œil, qui est tout instinctive et exposée par suite à certaines illusions.

J’indique une méthode pour trouver rapidement, sans le secours du dynamètre, une valeur très exacte du grossissement des lunettes.

La théorie du grand niveau est exposée plus simplement qu’on ne le fait d’habitude; il en est de même de celle du pointé nadiral.

Un paragraphe spécial est consacré à des conseils pratiques sur la manière de poser les fils dans les cas, malheureusement trop fréquents, où ils viennent à se rompre en cours de campagne.

Dans le Chapitre suivant, Installation du cercle, j’indique toutes les précautions à prendre par l’observateur pour choisir l’emplacement de sa cabane, construire son pilier, installer et rectifier son instrument.

La troisième Partie, Observation des passages, traite de la détermination de l’heure et de la longitude parla méthode des culminations lunaires. Dans la théorie des erreurs instrumentales, j’ai reproduit les formules dont il a été question plus haut, qui tiennent compte des déviations provenant de la réfractio.n et de la parallaxe. Les méthodes d’observation sont adaptées aux dispositions actuelles des instruments méridiens portatifs, dont les micromètres sont généralement pourvus de fils mobiles. Plusieurs paragraphes sont consacrés, sous un titre spécial, à l’emploi de la mire méridienne, peu usitée à l’époque où M. Laugier a rédigé son Traité. J’indique, à l’occasion de la réduction des observations incomplètes, un procédé que je crois nouveau et qui est plus rapide que le procédé ordinaire quand les fils manquants sont moins nombreux que les passages observés. Enfin je donne un exemple d’observations de passages, en transcrivant, carnet compris, la série des calculs exigés par une série complète. Le Chapitre se termine par l’exposé de la méthode des culmdnations lunaires; le calcul de la longitude est obtenu par plusieurs procédés différents.

Dans le dernier Chapitre, Observations des hauteurs, j’ai traité dé la détermination de la latitude par les observations de culminations d’étoiles. Tout en conservant les méthodes qui s’appliquent aux instruments à verniers, dont il existe de nombreux modèles, j’ai insisté plus spécialement sur l’usage des instruments à microscopes, qui sont seuls susceptibles de donner des résultats parfaits. J’ai cité précédemment quelques-uns des résultats obtenus avec l’un de ces instruments : ils ne laissent rien à désirer au point de vue de la détermiination de la latitude. Dans l’exemple cité et développé comme pour les observations de passages, la verticale a été déterminée au moyen du pointé nadiral sur le bain de mercure. Les calculs ont été examinés en détail, de manière que toutes les opérations fussent successivement passées en revue.

J’ai examiné ensuite la métho'de d’observation qu’il convient d’employer en l’absence du bain de mercure, et j’ai exposé en dernier lieu, très succinctement, le principe de la méthode de Talcott.

Dans une Note insérée à la fin du Volume, j’ai adapté aux formules de réduction de Mayer, encore employées au Dépôt des Cartes et Plans, la méthode de M. Yvon Villarceau, permettant d'arriver à la détermination exacte du fil sans collimation. M. Yvon Vil larceau avait exposé cette méthode dans 1 hypothèse où l’on ferait usage des formules de Bessel.

Mesure de la déclinaison magnétique au moyen du petit théodolite

Ce Mémoire, inséré dans le XIH' Cahier des Recherches sur les chronomètres et instruments nautiques, contient la théorie du dispositif imaginé par M. Bouquet de la Grye pour être adapté, en vue de la détermination de la déclinaison magnétique, sur les petits théodolites employés pour la topographie ou la triangulation du troisième ordre.

L’excentricité des lunettes, la difficulté qui en résulte pour corriger l’erreur d’inclinaison de l’axe horizontal et celle de collimation, le changement de collimation produit par la disposition en avant de l’objectif d’une lentille transformant la lunette en microscope servant à pointer les aiguilles aimantées, toutes ces causes réunies pouvaient introduire dans les observations une série d’erreurs qu’il importait de connaître pour les corriger au besoin ou en tenir co-mpte.

J’ai traité la question au point de vue le plus général, en employant les formules de la Géométrie analytique à trois dimensions. Je-cherche l’équation du cône décrit par l’axe optique de la lunette dans son mouvement autour de l’axe horizontal de l’instrument, et j’arrive très simplement à exprimer les valeurs des rotations accomplies dans le sens azimutal par la lunette, quand elle vise successivement les deux extrémités des aiguilles; de là résultent les valeurs des lectures moyennes correspondant aux moyennes de tous ces pointés et une évaluation de l’erreur commise sur la déclinaison magnétique.

J’examine successivement les effets dus au réglage imparfait de la boite qui renferme Taiguille et du pivot qui la supporte, les conséquences d'une inégalité de longueur des deux portions nord et sud de l’aiguille et d’un défaut de coïncidence de l’axe magnétique avec l’axe de figure. Je cherche enfin si un déplacement symétrique de la boîte, que l’on peut transporter à l’ouest ou à l’est de l’axe vertical du théodolite, peut être de quelque utilité au point de vue de la compensation des erreurs.

Les conclusions de ce travail sont £

1“ Que les observations croisées, dans les deux positions susdites de la boîte, n’éliminent pas les erreurs dues au défaut de réglage;

2° Qu’il faut s’attacher de toute façon à corriger ces erreurs avant d’employer l’instrument.

espace cylindrique limité par la surface intérieure du porteux petites glaces circulaires très rapprochées disposées perent à l’axe de la lunette et de maniéré a comprendre entre irincipal de l’objectif. En vertu du principe des vases commuliveau du liquide dans les deux réservoirs se trouve dans un irizontal, et, si la surface du réservoir objectif est très grande 1 celle du réservoir oculaire, les diverses inclinaisons que la lunette n’altéreront pas l’horizontalité de la ligne qui va que de l’objectif à la surface du réservoir oculaire. Dans ces ut rayon lumineux provenant d’un point qui vient former une ant avec cette surface sera exactement horizontal.

t cette lunette sur un sextant, on reconnaîtra que le rayon li par le miroir est horizontal, à ce fait que l’image de l’astre ntact avec la surface libre du liquide. La lecture du limbe ur ce moment, la hauteur apparente de l’astre,

: cette disposition offre l’avantage, qui n’est pas en général )s instruments à niveau, de ne pas exiger l’horizontalité de la e une condition rigoureuse de la mesure, hydrographique a approuvé la construction de cette lunette.

Pendule Foucault.

ne démonstration donnée par M. Bertrand {Comptes ), et j’ai montré que la rotation élémentaire du penla même expression que la quantité connue en Géomvergence des méridiens.

e dans les Comptes rendus des séances de VAcadémie 8a).

graphiques pour

positions

axes passant parle point approché. On porte graphiquement cette droite, ainsi que toutes celles que l’on obtient de la même manière, sur ùn dessin construit à très grande échelle, et l’intersection commune de toutes ces lignes fournit, par une mesure directe, les valeurs de dx et dy qui représentent les corrections de la position approchée.

Ces méthodes ont été adoptées au Dépôt des Cartes et Plans; elles sont couramment appliquées aujourd’hui en remplacement des anciens calculs. L’expérience a montré qu’elles apportent une notable simplification à la détermination des positions des signaux, quand on veut appliquer le calcul par la station. Elles peuvent, du reste, rendre service dans les cas assez fréquents où l’on possède, pour un point inconnu, des données de nature mixte, relèvements depuis des points connus et angles mesurés directement, que font entre eux d’autres signaux.

Notions sur le phénomène des marées.

Cet Ouvrage est la rédaction des Leçons faites aux élèves-hydrographes, pour les initier aux lois du mouvement de la mer. Il se compose de deux Parties principales : la première donne, sous forme très élémentaire, une explication, que je crois suffisante, du mode d’action des astres pour produire le flux et le reflux; la seconde, complément nécessaire et correctif de l’élude théorique, impuissante à se plier à la réalité des faits, traite succinctement du phénomène tel que nous le montre l’observation.

Au sujet de la première Partie, j’ai à me justifier, aux yeux des savants analystes qui ont poursuivi et complété l’œuvre de Laplace, d’avoir simplifié les théories de la Mécanique céleste ; j’espère y arriver en exposant le but et les résultats principaux du travail que j’ai entrepris.

Le mouvement périodique du niveau de la mer est, pour l’hydrographe, un phénomène d’une importance capitale; la réduction des sondes à un niveau uniforme dépend de l’observation exacte de la marée; l’étude de ce mouvement et de ceux qu’il entraîne est do toute rigueur pour fournir des données indispensables aux navigateurs : elle est, en quelque sorte, centralisée au Dépôt des Cartes et Plans; c’est, enfin, à l’un des ingénieurs hydrographes, .\t. Chazallon, qu'est dû le premier annuaire, suivi depuis de beaucoup d’autres, où l’on trouve le Tableau calculé, par avance, des pleines et basses mers dans les principaux ports de France, pour tous les jours de

la première Partie de mon travail, qui, je l’esp'ere, vient combler une lacune , en présentant la théorie des marées sous une forme élémentaire qui la rend accessible sans une étude préliminaire longue et difficile.

Voici, en peu de mots, quelle est la marche suivie dans cotte étude. Supposant la Terre sphérique et la gravité dirigée vers le centre de la sphère terrestre, je calcule l’action des astres sur un point matériel situé à sa surface. Cette action est extrêmement faihle, car elle n’atteint, pour la Lune, qu’un douze-millionième de celle de la pesanteur; il n’en peut donc résulter de mouvement que pour un point matériel assujetti à décrire une ligne horizontale. J’étudie ce mouvement pour un point maintenu sur une ligne horizontale parallèle à l’équateur terrestre, et je trouve qu’il est périodique et pendulaire. Cette étude met immédiatement en lumière une augmentation de l’action lunaire, plus forte que ne l’indiqueraient sa masse et sa distance comparées à celles du Soleil. L’augmentation provient de la durée plus grande du jour lunaire, les formules le montrent sans difficulté, tandis quenelles de la Mécanique céleste, qui, pour simplifier, n’envisagent que la seule période de la révolution de la Terre, ou du jour sidéral, sont impuissantes à le faire voir.

Je suppose ensuite que ce mouvement ainsi défini soit celui des molécules liquides remplissant un canal qui entoure l’équateur terrestre; des considérations géométriques très simples font voir qu’il en résultera pour la surface un déplacement périodique semi-diurne et pendulaire, la basse mer se produisant au moment du passage de l’astre au méridien supérieur ou inférieur.

Ce premier aperçu ne peut donner qu’un résultat approché, car on a admis que les molécules liquides se meuvent indépendamment les unes des autres; l’élude plus complète montre qu’à l’amplitude près de la marée, le phénomène suit la même loi tant que la profondeur du canal est inférieure à 22'““. En discutant les conditions du problème, j’arrive à un résultat important qui me paraît n’avoir pas été signalé encore : c’est qu’à la limite de profondeur ci-dessus correspond une période naturelle d’oscillation du liquide égale à la période d’action des forces attractives des astres.

Quand la première période est plus longue que la seconde, le mouvement est pendulaire, c’est-à-dire que la position des molécules liquides est directement opposée à celle qu’elles prendraient dans l’hypothèse où elles obéiraient instantanément à l’action des astres; dans le cas contraire,c’est vers ce régime de l’équilibre qu’elles tendent constamment, et la pleine mer se produit alors au moment du passage de l’astre au méridien.

à justifier la méthode adoptée dan s qui ont été précédemment exposé ations, où l’on suppose l’action des propagation des ondes dérivées dt U cas idéal où cette action cesserait irréalisable, ce point est intéressan naturelle des ondes; je retrouve, [ ousprécédemment en comparant le ce à celui d’un pendule simple, t par la force des choses à adopter ’Hydrodynamique, basées sur la con lui, M. Uesal ont employé, pour h lations sur une sphère entièreme aies où la vitesse est remplacée, le molécule de sa position d’équilib .vail, j’ai appliqué au problème géi

ce qui me paraît essentiel, à établir que ce phénomène est accessoire et qu’il n’est que la manifestation extérieure du phénomène principal, lequel consiste en courants horizontaux trop faibles pour être directement perçus. Elle montre encore que l’augmentation de l’action lunaire, constatée empiriquement par Laplace, tie, nt à sa durée plus grande, et enfin elle fait voir en quoi le régime des oscillations pendulaires diffère du régime de l’équilibre par la considération des périodes naturelles d’oscillation des liquides.

La partie pratique, qui commence au Chapitre VI, ne sera pas, je l’espère, d’une moindre utilité. Elle donne un résumé des faits que l’observation a permis de constater quant aux manifestations variées du phénomène des marées et fournit, sous une forme nouvelle, des règles pour le calcul des heures et hauteurs de la marée sur la côte de France. La question des ondes sous-multiples du demi-jour est envisagée au point de vue théorique et pratique; j’espère avoir réussi à bien préciser le caractère do ces ondes, de manière it les séparer nettement des ondes astronomiques.

Le Chapitre VII, qui termine l’Ouvrage, traite de l'observation de la marée et de la décomposition des courbes obtenues par le marégraphe. J’ai donné plus de développement à ce dernier sujet, car la méthode exposée est entièrement nouvelle. Elle est basée sur l’application delà formule de Fourier, dont les coefficients sont calculés au moyen d’intégrales définies.

C’est, du reste, une généralisation de la méthode que j’avais développée précédemment pour les ondes astronomiques ordinaires. Les formules auxquelles j’arrive sont, par le fait de cette méthode, complètement indépendantes du nombre d’ordonnées que l’on choisit pour représenter les courbes, et conviennent notamment pour le cas où les quadratures seraient obtenues au moyen d’une intégration; mais je trouve que, dans le cas même où l’on emploierait les procédés de quadrature approximative, le résultat est exact, pourvu que le nombre des ordonnées adopté pour la période soit supérieur au double du degré de Fonde la plus élevée. Si, par exemple. Fonde la plus élevée avait pour durée la moitié de la période (onde semi-diurne),'il suffirait théoriquement d’employer quatre ordonnées. Les irrégularités de la courbe obligent naturellement à en prendre un plus grand nombre.

La méthode employée jusqu’à présent est celle de Chazallon, qui procède par la résolution systématique des équations de condition en nombre égal à celui des divisions de la période. C’est au fond la même, sous une forme un peu différente, mais elle manque de généralité par ce fait qu’elle exige

Emploi des boules-panoramas comme signaux de Géodésie.

Par une Note insérée dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, le 7 décembre i885, j’indique les résultats obtenus au moyen des boules sphériques réfléchissant la lumière du Soleil dans une direction quelconque. Ils sont de nature à permettre l’utilisation de ces boules comme signaux de triangulation dans certains cas déterminés.

Notions sur le phénomène des marées.

Dans la séance du 21 décembre i885, l’Académie a bien voulu me décerner une fraction du prix de la Marine pour ce travail, dont il a été question précédemment.

Construction par double alignement.

Les Annales hydrographiques (a' semestre i885) ont inséré cette Note, dans laquelle je traite, graphiquement et par le calcul, un cas particulier de détermination de positions trigonométriques. Deux points inaccessibles, connus de position, étant donnés, ainsi que deux points inconnus en chacun desquels on a pu faire station et viser les trois autres, déterminer les positions de ces deux derniers. Le problème comporte deux solutions ; l’une directe, probablement nouvelle; l'autre obtenue par la méthode des fausses positions, dont le principe m’a été indiqué par le géomètre en chef du Cadastre en Corse. Les deux méthodes sont appliquées au calcul d’un exemple choisi parmi les données de la triangulation de la côte orientale.

Définition et emploi des coordonnées azimutales.

Dans ce Mémoire, présenté à l’Académie le i"' mars 1886, il est question d’un nouveau système de coordonnées définissant la sitnation des points géodésiques. Le seul système adopté généralement est celui des coordonnées sphériques, longitude et latitude, qui définit rigoureusement, mais

présente de nombreux inconvénients. Les longueurs ne sont plus exprimées en mesures métriques, mais en mesures angulaires; l’échelle est variable dans le sens Est-Ouest et les coordonnées sont variables elles-mêmes avec l’hypothèse que l’on fait sur la forme du sphéroïde terrestre. 11 est impossible de penser à recourir aux longitudes et latitudes quand on veut trouver rapidement la situation relative de points voisins, pour établir un levé topographique par exemple.

Aussi faut-il joindre à ces coordonnées le Tableau des triangles, assemblage de mesures hétérogènes, qui sont aux positions des points ce que des équations à plusieurs inconnues sont par rapport à leurs solutions explicitement exprimées. Qu’un point résulte, par exemple, de deux triangles différents n’ayant que ce sommet commun, il sera difficile de dire si sa position est la même dans les deux cas, tandis que la vérification serait immédiate avec un système de coordonnées correspondant d’une manière simple aux données de la triangulation.

Les ingénieurs hvdrographes emploient, dans ce but, les coordonnées rectangulaires, qui ne sont autres que les coordonnées cartésiennes des sommets des triangles après rabattement successif de tous les triangles sur le même plan. On conçoit tout ce que cette définition a d’imparfait; ce système n’a évidemment de signification que dans une étendue de terrain très limitée. Apres plusieurs rabattements successifs, les positions des points sont faussées de quantités difficiles à définir théoriquement et, si ,1a chaîne fait retour sur elle-même, il n’y a pas de vérification possible.

Le système que j’ai proposé se confond avec celui des coordonnées rectangulaires dans le voisinage de l’origine et exige des calculs à peine plus compliqués que par leur emploi. Il consiste à définir la position d’un point par sa distance à l’origine mesurée sur le sphéroïde et par l’angle que fait avec la méridienne de l’origine la ligne géodésique réunissant ces deux points; f et Z désignant ces deux quantités, on convientque les coordonnées du point seront

x=lAnl, y = tcosZ.

Une pareille projection, toute conventionnelle, déforme évidemment les angles et altère les longueurs à une grande distance de l’origine, mais c’est de quantités rigoureusement définies et qui, il faut le remarquer, ne dépendent que de la valeur générale du rayon terrestre et non des valeurs particulières de l’aplatissement. On peut, sans inconvénient, l’adopter dans ces conditions jusqu’à 200'““ de l’origine, et pour des distances plus

grandes il suffit de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes, en un nouveau poiutd’origine.

Pour passer des angles mesurés efl’ectivement à ceux de la projection conventionnelle, on applique la formule démontrée et l’on obtient ainsi après avoir corrigé la base de départ, les éléments du calcul des coordonnées azimutales. On peut encore les déduire des coordonnées rectangulaires au moyen de corrections suivant une méthode développée.

J’ai montré dans le Mémoire en question que les coordonnées ainsi définies pouvaient se prêter à la solution des questions suivantes, qui se présentent en Géodésie :

i» Changement de coordonnées;

2“ Détermination et orientation d’une base de longueur quelconque;

3“ Reconstitution des triangles ;

4“ Calcul des points par la station:

5" Compensation méthodique d’un réseau;

6“ Calcul des positions géographiques;

7" Calcul rigoureux des distances à la méridienne et à la perpendicu-

Un exemple numérique est joint à l’exposé de ces méthodes; il présente une vérification de toutes les formules. Le calcul de la distance de deux points séparés par huit triangles intermédiaires se fait avec la plus grande fteilité, et l’on constate que l’emploi des coordonnées rectangulaires en-

Valeur théorique de l’attraction locale aux environs de Nice et sur la côte Sud de France.

Comptes reedas, .8 octobre .886.

Ce travail a été entrepris dans le but de répondre au programme tracé en i885 par l’Académie des Sciences, pour le concours de Géographie physique. Ce programme prescrivait « d’utiliser les données existantes pour déterminer la valeur théorique de la dénivellation des mers qui résulte de la déviation de la verticale ».

Le procédé employé pour arriver à cette détermination a consisté à diviser la surface horizontale du sol en carrés de 2o'‘“' de côté et à évaluer la masse formée dans chacun de ces carrés par le relief du terrain, compté à partir du niveau théorique de la mer idéalement prolongé sous les continents.

( kk )

L’attraction de l’un quelconque de ces volumes partiels s’obtient aisément et, en faisant la somme de ces actions jusqu’aux limites de l’elfet sensible, on évalue les composantes de l’attraction totale, sous l’influence desquelles • la verticale s’écarte de sa direction normale.

La déviation théorique ainsi obtenue pour Nice était de 53" dans le sens Nord-Sud. Elle est près de trois fois plus forte que celle que j’ai constatée par l’observation en 1872 (tioi/-Notice, p. 9). Le chiffre adopté pour la densité moyenne des roches était 2,7. J’ai essayé ensuite le chiffre 2, chiffre manifestement inférieur à la densité moyenne, et j’ai obtenu 38", valeur encore deux fois trop forte.

Il n’y a qu’une manière d’expliquer ces divergences considérables : c’est d’admettre, avec M. Paye, que la densité moyenne des roches formées sous les mers est supérieure à celle de l’écorce terrestre sur les continents.

En répétant pour plusieurs points situés entre Nice et la Corse les cubatures précédentes, j’ai obtenu un point où l’attraction dans le sens perpendiculaire à la côte est théoriquement nulle, et, en partant de ce point, la surélévation théorique du niveau de la mer le long de la côte atteint la hauteur de 15“ environ. Il est clair, d’après ce qui précède, que cette surélévation théorique est plus grande que celle qui peut exister en réalité.

Les mêmes déterminations ont été répétées pour un certain nombre de points de la côte Sud de France et ont conduit à des résultats analogues : augmentation très notable de la déviation théorique vis-à-vis de celle qui est constatée par l’observation. .

L’Académie a bien voulu couronner mon travail, en me décernant le prix Gay le 27 décembre 1886.

Erreurs inhérentes au système des coordonnées rectangulaires.

L’un des cas dans lesquels l’emploi des coordonnées rectangulaires doit conduire aux résultats les plus erronés est celui d’un réseau trigonométrique s’étendant le long d’une courbe fermée. C’est cependant dans ce cas qu’un système de coordonnées bien défini devient indispensable: car on ne peut, sans lui, vérifier l’exactitude des opérations par le retour au point d origine. J avais pensé à évaluer l’erreur systématique des coordonnées rectangulaires, en choisissant parmi les triangles de la Carte de France ceux dont l’ensemble forme un contour quadrangulaire complet et en calculant

les positions de leurs sommets en coordonnées rectangulaires et en coordonnées azimutales. Le défaut de concordance obtenu avec ces dernières après le retour au point d’origine donne la mesure de l’exactitude des opérations géodésiqucs; en retranchant cette valeur de l’erreur parallèle de fermeture des coordonnées rectangulaires, le reste représentera l’erreur systématique qu’entraîne l’emploi de ces coordonnées.

Mais ce calcul, qui ne comporte aucune vérification directe, eût été long et un peu incertain; je suis parvenu à simplifier la tâche en cherchant les données d’un réseau théorique où l’on retrouve alternativement les deux mêmes triangles, dont les sommets sont ceux de polygones réguliers de 24 côtés inscrits dans des cercles de i5o'‘"‘ et i8o'‘" de côté. Le calcul des coordonnées dans les deux systèmes est rendu facile par la répétition des mêmes valeurs.

L’erreur que doit présenter la position en coordonnées rectangulaires, après la fermeture du réseau, s’élève à 32o'", chiffre beaucoup plus considérable que Je ne l’aurais supposé. Bt cependant on eût pu, comme je le montre ensuite, le retrouver sans ce lonu calcul numérique par la considération du développement d’une surface conique tangente le long d’un petit cercle de la sphère terrestre, dont l’origine des coordonnées est le pôle. La formule ainsi obtenue fait dépendre cette erreur du cube du rayon du petit cercle; elle serait donc vingt-sept fois plus petite, c’est-à-dire supérieure à 12“ pour un rayon trois fois moindre. D’après toutes les idées reçues, une pareille distance de 5oooo'“ à l’origine est très inférieure à la limite d’application des coordonnées rectangulaires.

Les positions des points du réseau ont été exprimées au moyen des coordonnées rectangulaires, des coordonnées azimutales, des distances à la méridienne et à la perpendiculaire, et au moyen du système mixte ou les abscisses sont les distances à la méridienne et les ordonnées, les distances des pieds de ces arcs perpendiculaires à l’origine. On peut, dans chacun de ces systèmes, calculer la formule [(æ — oc:')’ + (jy — yy]^, qui représentera exactement la distance avec les coordonnées rectangulaires, si les deux points X et x' appartiennent au même triangle. Dans cette hypothèse, on vérifie par deux exemples que les coordonnées azimutales font commettre une erreur inférieure à celle des deux autres systèmes, et la formule corrigeant cette erreur est extrêmement simple. Il faut ajouter qu’elle est assez faible pour pouvoir être négligée graphiquement.

Dans les deux cas, ce sont les distances à la méridienne et à la perpendiculaire qui ont conduit aux résultats les plus erronés.

alait quelques résultats obtenus dant înt, des calculs de triangulation par li des constructions graphiques pour point unique (voir ci-dessus) cond

( doit être déterminé par l’in

Bes coordonnées rectangnlaires.

La publication de ce travail, dont la Note précédente est extraite, a été approuvée par le Comité hydrographique qui avait reconnu son utilité au point de vue de la diffusion des nouvelles méthodes de calcul graphique. La rédaction en était presque achevée quand je dus retourner en mission pour faire la triangulation du cap Corse. 11 n’a pu être terminé qu’après la rédaction provisoire de cette mission et il est soumis actuellement, avant sa publication définitive, au jugement de l’Académie qui a nommé une Commission de trois membres pour l’examiner.

Je me suis proposé, dans ce travail, d’étudier théoriquement et pratiquement la détermination des positions absolues de points géodésiques par la méthode générale de corrections de positions approchées supposées connues par avance. 11 est divisé en trois Parties ;

Détermination des points secondaires;

Exposé de la méthode des moindres carrés;

Détermination des points de premier ordre.

On considère comme point secondaire celui qui est déterminé isolément; les corrections de ses coordonnées provisoires s obtiendront par la resolution d’un certain nombre d’équations du premier degré de la forme adx h(fy = O, quel que soit le genre de données employées. J’examine séparément les diverses méthodes correspondantau cas oil ces données sont constituées par des relèvements issus de points connus et au cas oii les données sont des angles mesurés au point inconnu entre deux points connus. Les méthodes, en assez grand nombre, correspondant à ces deux cas sont basées sur l’emploi de constructions graphiques à grande échelle. Des exemples numériques complètement traités offrent des types de calculs accompagnés de Tableaux graphiques à l’échelle de du terrain.

Dans la deuxième Partie, j’expose les principes de la méthode des moindres carrés de Legendre et de la théorie des erreurs moyennes, qui pourront être invoqués pour le] choix des solutions graphiques et pour la détermination des points de premier ordre. La forme ci-dessus des équations de condition se prête immédiatement à l’application de la méthode. Dans l’article précédent de cette Notice sont mentionnées quelques autres propositions sur lesquelles il est inutile de revenir ici.

Application d’un système de coordonnées conventionnel à la triangulation des côtes de Corse.

Ce Mémoire expose les principaux résultats, cités plus haut, de la mission des côtes de Corse. L’extrait pour les Comptes rendus mentionne les formules, dont il a été question déjà, qui transforment les coordonnées orthogonales en coordonnées géographiques.

Considérations sur le tour d’horizon.

Aimalos hydrographiques, 1892.

La question traitée dans ce travail est encore celle de l’utilisation des données obtenues par les instruments réitérateurs au point de vue de la compensation géodésique. Mais j’indique un deuxième mode d élimination de l'inconnue auxiliaire (direction absolue de l’origine des lectures).

Le premier consistait, comme il a été dit dans l’analyse du Mémoire sur les coordonnées rectangulaires, à faire les différences deux à deux de toutes les équations de condition correspondant aux visées d’une même station ; par le deuxième on forme une équation moyenne que l’on retranche de toutes les autres; au lieu de équations aux angles, on obtient

n équations aux directions dont le poids n’a besoin d’aucun correctif.

Diverses applications ont été développées dans ce travail : entre autres la détermination d’un point unique, avec un exemple numérique emprunté au calcul des positions de la Corse.

C’est, en effet, la méthode qui a été généralement suivie pour la rédaction définitive de cette triangulation.