NOTIONS
DE
ES sections coniques ont des usages si impoxtans, dans les arts et les sciences, qu^on doit s^attacher à rendre leurs propriétés accessibles et familières à tous ceux qui étudient la géométrie (*). Le véritable moyen, sans doute, est de faire entrer la recherche de ces propriétés dans renseignement élémentaire : aussi le présent ouvrage foime-t-il la quatrième partie du traité de géométrie ijue nous avoUs publié.
Les méthodes purement géométriques , du moins celles em-' {)lojées dans les élémens, bien que fort claires et fort simples, ont cependant Pinconvénient de tix>p isoler les principes et d^en rendre Tendiatnemtet difficile à saisir : il nous a paru préférable de faire usage dès méthodes analytiques, dont i^vahtage est de conduire aux théorèmes de la manière la plus naturelle, si ce hVst la plus simple. Par cette marche, non-seulement ce petit ouvrage fait connaître les propriétés les plus usuelles des courbes' du second degré ; tnais en outre , il devient une iutroduction Utile à Fétude de la Géométrie analytique.
Equations du point.
1 . La Giomilrie analytique fait partie de PÀpplication de PAIgèbre à la Géométrie en général ; son but est dé fournir les' principes pour résoudre toute question de géométrie, indéterminée ou Uon , à l^aide deè équations qui reprèêènUni les points, les lignes oïl les surfaces d'aune figure , sans qu^il soit métoe néciessaire de tracer d^abord cettb ligure.
(*) C'est à quoi M. Ber^iery t&i pafreuu, avec beaucoup de succès, %
dans sa Gréom^trie des courbes, app!iqi\ée à Findustrie. Metï, 1826. .
A Paveiiir , une iùdication telle (^e ( G. 4^0 ) , signifiera le n° 4<'<> de k Géométrie dont ce traité forme là 4'^'° yKiriic.
Gomme la plupart des problèmes de géométrie se réduisent ,
en dernière analyse, à trouver les distances d^un ou de plusieurs
j)oints inconnus à d^autres points ou à des droites fixes , il faut
d^abord savoir comment on détermine les différens points d^ua
plan.
2. Pour obtenir la position d^un point M sur un plan, on conçoit deux droites AX et AY indéfinies, se coupant en A (fig. i")5 puis on mène MP parallèle t. AY et terminée à AX u il est clair que le point M est déterminé dès que Ton connaît les longueurs AP et PM. Or, ces longueurs sont appelées coordonnées du point M ; les droites AX et AY sont les axes des coorT données , et le point commun A en est V origine. Suivant que Pangle YAX est droit ou non , les coordonnées sont dites recùmgulaires ou obliques, La distance AP est nommée Vahscisse du point M et la longueur PM en est Vordonnée. On désigne généralement les abscisses par x et les ordonnées par j^ : AX est alors Vaxe des x ou des abscisses et AY Vaxe des jr ou des ordonnées.
On regarde comme positives , toutes les abscisses mesurées sur AX, de A vers X, et toutes les ordonnées mesurées sur AY au-dessus de Taxe des x : alors les abscisses mesurées en sens contraire de A vers X', sont négatives, de même que les ordonnées mesurées au-dessous de AX, de j^ vers Y' (G. 4oo). Si donc on veut trouver le point dont Fabscisse a: = — 2 et l'ordonnée j^ = 3 , on prendra d'abord la distance AP' = 2 , puis on mènera, par le point P', une parallèle à AY, et on prendra sur cette parallèle la longueur P'M'=:z 3 \ le point M' ainsi déterminé, sera le point cherché.
3. On appelle équations d^un points les équations c[ui exprimeut les valeurs de Pabscisse et de l'ordonnée de ce point. De sorte que si a et b sont ces valeurs, les équations du point seront
or = a et yzzzih.
La première de ces équations , considérée comme si elle était seule, convient à fotis les points pour lesquels l'abscisse est égale à a ; elle convient par conséquent à tous les points de la parallèle à l'axe des ordonnées , menée à la distance AP = a , et représente cette parallèle. De même, l'équation y='b appartient à tous les points de la parallèle à l'axe des abscisses , menée à la dislance AQ= b. Le système des équations x:=a etj-r=b appartient donc au point qui se trouve à la fois sur les deux
( 5 ) parallèles , c^est-à-dîre à leur intersection M ; et voilà pourquoi X = a et j- = ô sont dites les équations du point M.
4. La parallèle à Taxe des ordonnées ^ représentée par Inéquation X = a , se trouve à la droite de cet axe si a est positif^ à la gauche si a est négatifs, et coïncide avec le même axe si a est nul ; de sorte que Péquation x = o appartient à tous les points de Taxe des ordonnées et ne convient qu^à eux seuls. De même, la parallèle à Taxe des abscisses, représentée par Féquation j-zrzh^ est au-dessus ou au-dessous de Taxe des x^ suivant que b est positif ou négatif; et si b est nul , elle coïncidé avec cet axe, pour lequel, conséquemment , on a toujours j^ = o.
.Enfin, Pensemble des équations a: = o et j-== o appartient au point commun aux deux axes et caractérbe Torigine A des coordonnées.
5. Cherchons maintenant la distance de deux points dont on connaît les coordonnées rectangulaires. Soient M et M' ces deux points (fig. a), c? leur distance MM', x et j* les coordonnées AP et PM du point M , x' et j-' les coordonnées du point M' : si Ton mène WN parallèle à AX, on aura MN =^ — y e% NM' = a? — a:'; le triangle rectangle MNM' donnera donc, pour déterminer la distance d cherchée,
Cette formule convient ht toutes les positions des deux points proposés , pourvu qu^on y donne le signe -^ aux coordonnées mesurées dans un sens contraire à celui que nous venons de considérer. C^est ce qu^on vériiSe aisément, en suj^osant suc<^ cessivement les deux points dans chacun des angles des axes , ou de part et d^autre des mêmes axes.
Si le poiqt M' tombe à l'origine A , pour laquelle a:'= o et j^ = o , il viendra , pour déterminer la distance d du point. ( X, j*) ou M à l'origine des caordonnées-,
<r = a?'+jr', ou d^z^x^-^y.
6. Dans tout ce qui va suivre, nous ne calculerons les formules de la géométrie analytique que pour les peints situés dans l'angle des coordonnées positives. Si donc en veut appliquer les mêmes formules aux points situés dans les autres angles des axes, il suffira d'j affecter du signe — les lignes qui prendront une direction contraire k cdle qu'elles avaient dans l'angle proposé.
(G.400) ; et les formules, ainsi modifiées, seront celles que Von trouverait directement en recommençant les raisonnemens , les (Constructions et les calculs qui ont fourni les premières.
Equations de la ligne droite,
a. Lorsque les coordonnées :r et j* de chacun de$ pointa 4^une ligne doivent satisfaire à la même équation ; en prenant pour X un nombre quelcotique a, cette éqiiation doi^nera à j' une valeur h , au moins ; et si 5 est réelle , le point dont a et ^ sont les coordonnées, sera nécessairement up de ceuic de 1^ ligne. Pe celte manière, Téquation proposée fait connaître successivepient tous les points de la ligne et peut servir à la tracer.
On voit par là qu^une équation entre deux variables x et ^, représente une ligne dont chacun des points a ces variables pour coordonnée^. Aussi appelle-t-on équation êPune ligne la relation qui existe entre les coordonnées de chacun des points de cette ligne ; et celle-ci à son tpur est appelée le lieu de Féquation. ' 8. Cherchons Téquation d^une droite AE passant par Porigine A des" coordonnées (fig. 3 ). Soient AX et AY deux axes quelconques \ prenons Tabscisse positive AO = 1 et soit a I^ valeur de Tordonnée correspondante OV ; soit M un point quelconque de la droite AE, j: et j* les coordonnées AP et PM du point M : les deux triangles semblables AOV et APM donnent
jr = ax.
Telle est l'équation de la droite AE ; car non-seulement cette équation détermine tous les points de AE, situés dans Tangle Y AX ; mais aussi tous les points dans Tangle RAY'. C'est ce qu'on vérifie , par exemple , en^ faisant a: = — 3 , dans jrzzzax'^ car la valeur Tésuîtante jr = — ^^t étant négative , .détermine un point au-dessous de Paxe AX (G. 4o 1 ) , et ce point tombe sur Je prolongement de EA. Effectivement , les coordonnées de ce point étant — 3 et — 3a, ont pour valeurs absolues 3 et 3a ; et si l'on prend du côté des abscisses négatives , la distance AI = 3, et qu'on mène l'ordonnée IG, les triangles semblables AOV et AIG donneront \ I 3 ;* a ^ IG; d'où IG=:3a; les coordonnées -^ 3 et r^ 3a déterminent donc , en effet , le point G de la droite EAG.
9- Non>settlement réqaation y=.ax appartient k tous les points de la droite AE , indéfiniment prolongée \ mais de plus , en j faisant varier a, cetle équation détermine tontes les droites qui peuvent passer par Torigine. En effet, comme a est Fordonnée correspondante à Tabscisse positive AO = i;sia = QD, ce qui arrive quand la droite est parallèle à son ordonnée , celte droite coi(nçidera avec Taxe AY; et c^est ce que montre Féqua-
tion y=icLX\ car ayant alors a: = — = o , quel que soit y^ tous
les points de la droite se trouvent sur Taxe des ordonnées (4)* Partant de cette position , il e$t clair qu'^à mesure que a dimi< nuera, la droite approchera de Taxe AX; et si a devient nul, cVst-à-dire si le point Y tombe en O, la droite aura deux points communs A et O avec Taxe AX et coïncidera avec cet axe. G^est encore ce qu^indique Péqualion y = ax^ qui donne alors ^ = o, quel que soit x. ^
Enfin , a devenant négatif et égal à — ^ Oy^ la droite tombe au-dessous de Taxe des x et prend la position AN. GVst ce qu'ion voit encore par Péquation jrzztax^ qui devient alors ^ = — OV X x; car tant que x est positif,^ est négatif i, et on ne peut avoir jr positif qu^en prenant x négalif : ce qui montre que la droite reste au-dessous de Taxe des x du côté des abscisses po** sitives et ne passe au-dessus de cet axé que du coté des abscisses négatives.
On voit donc , par cette discussion , que Téquation y^r^ax représente successivement toutes les droites qui passent par Porigine des coordonnées et peut servir à les décrire.
10, Considérons maintenant une droite BH rencontrant Taxé des j^ à une distance AB = ô de l'origine A. Sqît B un point quelconque de cette droite , x et^ les coordonnées de ce point. Menons par Forigine A la parallèle AE à BH, rencontrant PD en M; pous aurons, d'après ce qui précède, PM =:ax.. Ajoutant d'un côté MD et de l'autre son égale A6 ou è, puis obser** vaut que PM^- MD vaut^ , il viendra
Cette équation ayant lieu pour tous les points de la droite BH, indéfiniment prolongée dans les deux sens, est l'équation de cette droite. ,
