IX. Réciproquement , toute S^mtion du premier degré entre

lâi variahUê x et J, reprSseniB une ligne droite et en détermine la ponti&n. En efiet , cette équation peut toujours se ramener à la îormej-zizax + b. Si Ton y fait d^abord a:=: o, pouc avoir le point situé sur Taxe des 'jr^ il viendra ^ rr ^ ^ et suivant ^ue h sera positif ou négatif, ce point sera au-dessus ou au--dessons de Taxe des abscisses. Supposons b positif et prenons AB — b\ menons BF parallèle à AX et soient D, D', D", ..., les points dont les coordonnées satisfont à Péquatîon^rr: oj: -{-b ou^ — ^zziax'^ nous aurons donc , en observant que les parallèles PC, FC, F'C'', ... , sont égales kb,

ÇD = a.BC, C'P'=;a.BCS C"P"=a.BC", ...;

4 V CD : Bc ; : CD' : PC' : ; c'p" : bc, . . .

Et comme les angles BCD, BC'D^ BG^'D", ... , sont égaux, a s'ensuit que les. triangles BDC, BD'C, BD"C", ..., sont équiangles ^ donc toutes les droites BD, BB', BD", ... , coïncident et tous les points B, P, D', D'^ .,.,sont à une même droite: donc enfin , toute équation de la forme ^=1: or -|- 5, représente une ligne droite , ^opX xetjr sont Içs cpordonnées c|e ç|iaçun de ses points.

12« Dans cette équation , & est la distance de Porigine au point où la droite coupe Taxe des ordonnées, et u est Tordonnée correspondante à Tabscisse positive x±z i ^ pour la parallèle à la droite proposée , menée par Torigine ; a représente aueei le rap-* part des sinus des angles que cette droite /ait avec les axes des x et des y. Car soit é Pangle YAX , de ces deux axes et « Pangle que la droite BH fait avec )Vxe des x ; son angle avec Taxe des y sera donc il— r«i. Menant AE parallèle à BH et prenant AO — 1 ; dans le triangle AOV, on aura OV=a, Pangle OAV= a et Pangle AVQ = # -^ ft ; il viendra donc i ; a ^ ; sin (0 — tt)l

SIQ flt

sin Et ; d'où a =1 -:— 7- : > Et si é = qo*^, on aura a r= tane «.

' sjn(6-r-«e) ^ ^

i3. Tant que a et 5 sont indéterminés, la situation de la droite n'est pas connue ; mais si a et b sont donnés , ou si Pon a des conditions qui les déterminent , il sera bien facile d'en conclure la position de la droite. Pour cela , le moyen le plus simple, en général, est de Chercher les points où cette droite coupe les axes, en faisant successivement xzzio et j^ = o , dans son équation. Cesi ainsi qu'on trouvera la droite représentée par l'équation

( ft )

l4* Thynwer VèguatUm â^une ligne droite panant par èeux point» donnés^ Sangle des axes étant bailleurs quelconque.

Soient (x^, y) le premier point, (a/', j^'} le second et j* = ax -j- h réquation de la droite cherchée, a et h étant inconnus. Puisque cette droite passe par les points dont les coordonnées sont x^ et y^ a:" et j^', son équation sera satisfaite lorsqu^on y remplacera x par x'etjr par j^, puis x par x^' et ^ par ^'5 ainsi on a les trois équations

jrz=zax + h^ y^oxf+b.

Prenant dans les deux dernières équations le.s valeurs de a et b , puis substituant dans la première , le résultat sera Péquation demandée. Mais IMliminatiop se fait beaucoup plus simplement, en retranchant la seconde équation de la première et I9 troisième de la seconde ^ car on a , par ce moyen ,

y —y^ = a(^çc^ ~ xf^)\ d^où Ton tire

a^^lpil et j—y^ylf:y!l.tx'--x').

Il est aisé de vériiSer que la seconde de ces équations est celle de la droite qui passe par les deux points (jx^^y) et {y\ J^')î car si jr =^'1 elle donne xz=: oc^ \ et si j* = j*", elle fournit X = x". On voit d^aiUeurs que le b de celte droite a pour va-

leur b=z ^ , V >

Remarquons de phis, que si une droite passe par le point (^1 J^)i 8^^ équation sera toujours de la forme

i5. 1/ angle des axes étant quelconque ^ si Us deux droites y = ax -f- b et y =2 a'x -j- b', sont parallèles^ on aura toujours a=:a'; et réciproquement. Car puisque les deux droites proposées sont parallèles, les parallèles jp et ^, à ces deux droites, menées par Torigine , coïncident nécessairement ; il en est donc de inême des ordonnées a et a', qui , pour ces parallèles p et /»', correspondent à la même abscisse 1 positive (12)^ c^est-^à-dire que ff=a'.

Réciproquement, si a = a\ les parallèles p et p' anx deux droites proposées , menées par Torigine , auront deux points de communs et coïncideront ; les deux droites proposées seront donc alors parallèles à une même troisième, et conséquemmeot parallèles entre elles.

16. Il est bon d^observer que quand deux droites se conpcnC, les coordonnées :r et^ du point dMntersection , sont respective^

■ ment les mêmes dans les équations de ces droite^; et réciproquement. Si donc on résout les deux équations

jr=zax -^ b et jr=z Jx + ^ 1

les valeurs résultantes seront communes à ces équations et seront les coordonnées du point de rencontre de« droites que ces mêmes équations représentent : on aura

xz=. 7 et r:zz- r-»

tf— a' "^ a—a'

Si a = a', sans qu^on ait h =. V^ ces valeurs seront infinies ; le point d^intersection sera donc infiniment éloigné : aussi alors les deux droites sont parallèles.

Si on avait à la fois a=a' et h = b\ les deux droites se con*» fondraient et auraient une infinité de points communs : c^est aussi ce quMndiquent les valeurs a;=5 et^=| , que l'on trouve dans ce cas.

17. Calculer t angle de deux droites j rapportées a des axes rectangulaires.

Menons par Porigine A les parallèles AE et AF aux deux . droites proposées j'i=.ax •{- b etj* = a'x -f- b^ ; Tangle EAF pera donc le même que celui de ces deux droites (fig. 4)* Soient « et a! les angles que les droites proposées font avec Taxe des a: ; on aura donc Tangle EAX = « et Pangle FAX =:=*'; dVù Fangle EAF = «' — « , et en outre a = lang * et a' = tang «' (12). Soit t la tangente de Pangle u! — « des deux droites proposées, de sorte que / = tapg(«ft' — tt). Développant le çeçond membre , il viendra

i:zi ^ • — ^ , ,• ou #== '•

l + lang tt, tang nf 1 -|- aaf

Soit «le sinus de Tangle J-^it des deux droite^ j son cosinus sera [/ 1 — «* et ph aura

/ r= y — ; d'où «rr — - . ■.

Substituant la valeur précédente de f et rçdqîsanl , on trouverez

Cette formule, ou celle qui donne /, suffira poxir construire " r^tngle des deux droites j^= ^j? rj- 5 et j-= a'x -)- i', rapportées à des axes rectangulaires.

16. Si cet angle J — et est droit, sa tangente /sera infinie et son sinus à égal au rayon 1 \ donc les formules précédentes donneront chacune «jki'-f' 1 = 6. Réciproquement, si aa'4" * =^1 on aura i=zço et «=i; Pangle des deux droites proposées sera donc droit. Ainsi on a ce théorème, que nous emploierons souvent :

Lorsque deux droites y=:ax-}-b p/y'^fa'x + b', rapportées à des axe^ rectangulaires , sont perpendiculaires Vune à Vautre, fm a toufours aa'^^ i = 0/ «/ rèciproquem^tf C'est d'ailleurs ce que Ton peut démoptrer directement , par la construction d'une figure , et sans le secours de la Trigonométrie.

19. Pour avoir Fangle n' — n des deux droites proposées rc=ûa:-j- A

etj'^ia^x-^-b'^ lorsque les axes sont obliques e% font entre eux un angle

sin tL 6 , on observe qu^alors a =2 . — r (it^). Développant sin (ô — «) ,

puis chassant le dénominateur et divisant les deux n^embres par C054, on aura

a sin B

a siti — a cos B tang et =r lang « •, d'où tang a =r

^ 1 -]- « cos B

-,, . , sin 4' -14^ , a'sinfl

L^equation a'= —. — r- , donne de même tang *'r=: — «

^ sm(9 — *')' * i+a'cosô

Posant toujours « = tang (»' — *), développant et substituant les vs^- Icurs que l'on vjent de trouver pour tang e^ et tang «', il viendra

- (a' — a) sin 9