ArxAM* — (a' — a)V:;^:(a' — a)'(p5 AI'XAM>— (a'-^a
A cause de c* -fp «2* == i , les deux triangles rectangles AID et AMD donnent
Ar = ( a + c )' + <P = «• + aai? + I , AM* = (a' + £r)' + <r = a'' + !2a'c+i.
Substituant donc ces valeurs et développant, après avoir remplacé d^ par 1 — c*^ on verra que la racine carrée du dénomi* nateur de /* est ( a + o') c -f- aa' + i ; ainsi on aura
De là, pour avoir t, les deux triangles semblables ANR et ANV fournissent i JAR;; #:^ ou i : i+^::#';^î d'où Ton tire
(af--a)d 9'ZZ ' ' '
Œacune de ces formules sufiSt pour construire Pangle # des deux droites proposées j^ z=z ax -^^ h el jr :=. clx + V.
Si la première droite tombe au-dessous de Taxe des Xy a sera négatif^ si la seconde se trouve à la gaudie de Taxe des j-, a' deviendra — - a' ; si i'angle « des deux droites est obtus, / prendra le signe — \ comme réciproquement, si t est négatif, Tangle ti sera obtus : enfin , si cet angle est droit , on aura / infini et j = 1 ^ ce qui donnera chaque fois
(a + a')c + ca'-{-i=o.
Réciproquement, cette relation ayant lieu, on aura ^ = op, s = 1 et Pangle m droit.
Lorsque les deax axes sont rectangulaires, on a dire i, cz=.o et par suite
t-=.—. : et « =
Telles sont donc les formules pour construire Pangle m de deux droites yz=iaX'\'h etj^ = cSx -f- V^ rapportées à des axes rectangulaires.
Et si alors Pangle m est droit, il viendra ^=go, «= i et 1 -(- aa'=: o. Réciproquement, les coordonnées étant rectangulaires, si 1 4*^=0, on aura f= od, »= i et Pangle « droit.
Trouoer la dûtance d'un point donné à vne droite donnée, f angle é des deux uses étant quelconque (fig. 33).
Soit M' ou ( j?', y) le point donné et j-rroa: + b la droite donnée EF ; soit MM' = P la distance cherchée, x eijr les coordonnées du point M. En menant MN parallèle à AX et MH perpendiculaire k MT', on aura MN = x— or' et M'N=y — j. Tirant AV parallèle à EF, prenant AO = i et menant Q V parallèle et OB perpendiculaire à Taxe AY, les triangles AOY et MNI seront semblables, de même que les triangles AOB et MNH. Si donc on pose ÂB:=zc et OB.= c?, on aura, en comparant les côtés homologues ,
ilx—x'i;a;m=a(^x—x')^
i:x—x'::c:'SK=e(x—x'),
ilx—xflldimizzzd^x—x^}.
Diaprés ces valeurs, le triangle MNI, où Tangle N est obtus, donne ^
UV = (x--x'y + a*{x—x'y + 2ao{x—x')\
ou Mr = (a: — ar')'(i +fl'+^<»0* D^ailleurs, V'lz=zj^ — a(x — x'):=:ax+b — a(^x — x^)z=: ax''\-b et M!l =iy — ax* — b. Et comme les triangles sem* Uables IMM' et HMM' fournissent
mi:mh::im':p=™:S3^,
il vient, en substituant les valeurs précédentes de IM', MH et MI,
t>— (/'— œe' — b)d 1^1 4- û* -J- ^ac
Si le point M' tombait au-dessous de la droite EF, la valeur
de P serait négative ; et si Pangle des deax axes était droit , ce qui donne i? = o et dl =: i , on aurait
Telle est donc la formule pour calculer }a distance d^un point donné (^r',^) à une droite^ ir: or -|~-&, rapportée à des axes rectangulaires.
Il est bien facile maintenant de trouver la distanee P ée deux pointe M et M' ou (x , j) et (x', y') lee coordonnées n*Stantpaê rectangulairee; car dans le triangle MNM', où Pangle N est aigu, onaP'=MN"+M'N»— aM'NxNH. Mais MNzzx— x', M'N=y — y etNH=c(x — 2^): donc
v^=(^x-:^y+{j-yy+:to{x-x'){x-y).
Si le point (^1 J^) vient à coïncider avec Porigine, ce qui suppose a/ et ^ nuls, on aura, pour la distance du point (x^y) à Porigine des coordonnées obliques,
P' = a:* +.7*' + ^cxjr\ d^où à cause de i? = AB = cos 4 , il vient
P' = a:* + j^* + ax;^ cos I, formule employée page 111.
Voici trois &utes essentielles à corriger :
Page i3, ligne xi, (— p, — g), lisez { — q, —p).
Même page , ligne 22 , au lieu de - lisez —
Page 59, ligne 18, au lieu de (fig. 17), lisez (fig. 17, bis).
