I/4AC — B

Tellipse cherchée (212^) , il viendra

E*=i«-*sin"t;(4xy— D').

Posant Err^ff'z sin v et remettant la valeur de D, on trouvera ^«--^J^j^y — (2x7* — inx — imy'\'mnf ... (4)

Bans cette équation ^ x^y ^\. z sont variables ; et il s^agit de trouver le maximum de z^ puisque z étant à son maximum ^ il en sera de méihe de Paire E de Pellipse demandée. Or, résolvant Péquation (4) par rapport à or et supposant que Pinconnue y ait la valeur qui convient au maximum de z, on verra que pour ce maximum , la quantité sous le radical est nulle et qu^il en résulte „, x / ^ s

De même y résolvant Péquatîon (4) par rapport à j^, on verra que le maximum de z donne

Le maximum de z et conséquemment celui de E, fournit donc les équations (5) et (6). Ainsi ^ diaprés ces équations, les coordonnées du centre de la plus grande ellipse inscrite dans le triangle proposé , sont

ce centre coïncide donc avec le centre de gravité du triangle.

Au moyen de ces valeurs , on trouve A = ,Bi3

etC=— — , puis xz=L\m^y^ — \n^ x^—\mfXx^^=z^.

De sorte que les points de contact sont les milieux des côtés du triangle proposé. Soit T Paire de ce triangle \ celle de Pellipse maximum inscrite sera E == g^rX |/^3.

Il résulte des calculs précédens, qae' la plus grande ellipse inscrite dans wà triangle donné, tquche les côtés en leurs milieux et son centre coïncide awc le centre de gravité du triangle.

Ce théorème remarquable , auquel M. Bérard est parvenu , par le calcul différentiel , tome IV des Annales de Mathématiques , fournit le moyen de tracer la plus grande ellipse inscrip-

tible, et montre comment il faut 9*y prendre pour couper^ dans une puce de bois triangulaire, la plue grande table ovale qu*il se puisée» '

En effet , Tan des diamètres aA' de celte ellipse est dirigé suivant la droite d^ menée du milieu du côté m du triangle^ au sommet opposé : et puisque le centre est au tiers dé cette droite, à partir du côté m, il s^ensuit que iJ zzi^d. Le conjugué sB^ du diamètre 2A' est parallèle au côté m , tangent à Pellipse à Textrémité de 2 A' (80). De plus , la droite qui joint les points de contact avec les deux autres côtés du triangle, passe par leurs milieux ; elle est donc parallèle au troisième côté m, et en vaut la moitié. En outre , la moitié de cette droite, étant Tordoonée de Pun des points de contact , vaut évidemment ^m.^ et quant à Pabscisse du même point, il est facile^ de voir que sa valeur est d — ^ — ]ji oxi^d. Ainsi , pour ce point de contact, Péquation de Fellipse maximum , rapportée à ses diamètces conjugués %ht et 2B', devient

d^où à cause de A' =^, on tire E'^ 1:= -^n',. valeur bien facile à construite.

Connaissant donc ks^ deux diamètres conjugués aA' et 2B^^ ainsi que Pangie qu^ils font entre eux , on en déduira la grandeur et la position des deux axes 2A et 2B .(88)^ d^où il sera aisé de tracer la plus grande ellipse inscriptible demandée.

Yoid encore denx théorèmes r

!• Le lieu de tous les sommets des triangles ajant mie- même base et la même différence des angles adjaceiKS, est ime hyperbole équilatére, dont le centre est au milieu de la base commune.

H. Si sur les 3 côtés d*un triangle, pris tour à tour comme diagonales, on construit des parallélogrammes, dont lœ côtà soient parallèles à deux droites données , les trois autres diagonales se couperont en un même ' point, centre d^une hyperbole équilàtére circonscrite au triangle proposé. (Voyez la démonstration, page 184 du tome III de la Correspondance Mathématique et Physique , de M. Quetelet. )

( lie )