KH.KI ., B' KH.KI
^ = iri> TTi^ A , ou —=:
KR.KN ' A' KR.KN
Il est clair que B est connu , puisque les droites KH, %1 , KR, KNv sont déterminées par les dimensions du cône et la position du plan coupant , qui sont données. Ainsi Péquation de Tinter- Section devient ^.y + B V = A'B^ 5
cette courbe est donc une ellipse , dont 2 A et 2B sont les axes « O le centre , et R et N les sommets ( 56 ).
58. Voyons maintenant comment Péquation de Pellipse conduit aux diversas propriétés de cette courbe. D^abord il est facile
e voir que la double ordonnée qui passe par un foyer, vaut
— • On la nomme paranùtre : c^est une troisième proportionnelle aux deux axes.
, Ensuite, «oient (jf,j^) ct(;t',j^) deux points quelconque» de Pellipse; on aura
d^oùrontirej-':y::(A— ar)(A + ar):(A— a:'.)(A+a^)$ €^est-à-dirc , que dans Pellipse , les carrés des ordonnées «ool
entre eux comme les produits des distances des pieds de ces ordonnées aux extrémités du grand axe.
59. Toute draile MON menée par V origine O et terminée de part et é^ autre à Vellipie , est éUvieée en deux partiee égalée par cette origine ( fîg. 9). En effet , les équations de Tellipse et de la droite MON , étant
Ay + B V =z A'B* et 7- 1= « ;
pour les points où ces deux lignes se coupent , leurs équations sont satisfaites par les mêmes valeurs de se et les mêmes valeurs de^. Si donc on élimine^ entre ces équations, on trouvera pour X deui^ valeurs égales et de signes contraires ; de sorte que Tune étant OP, Pautre sera OP'^ et les deux triangles rectangles OMP et ONP' seront égaux : donc OM = ON.
Les droites terminées à Pellipse et menées par Torigine , étant divisées chacune en deux parties égales par cette origine , sont appelées diamhtree de Pellipse (ce qui a fait donner à Forigine le nom de cetitre de la courbe ).
Il est bien aisé de prouver qu^une droite^ zr ax -|- i ne peut jamais couper Pellipse en plus de deux points.
60. Zje$ deux axée de f ellipse sont Vun le plu» grand et Vautre le plue petit de tous ses diamètres. Car en désignant par (fie demidiamètre OM, on aura <r= x* -t"»/*'* Substituant dans cette équation la valeur de^*, tirée de Péquation de Pellipse , il viendra
Comme A ^ B , il est dair , par cette égalité, que la plus grande et la plus petite valeur de d^ répondent à la plus grande et à la plus petite valeur de x^ cVst-à-dire kx=zA.etxz=zo\ la plus grande et la plus petite v'aleur de d sont donc en effet, dzzzA. et d=:B.
Il suit de là que si du centre de Pellipse et avec des rajrons égaux à ses demi-axes, on décrit deux circonférences de cercle, Pellipse comprendra la plus petite et sera comprise dans la plus grande.
61. Suivant qu^un point est situé sur f ellipse j au-dehore ou aU'dedans, le trinôme A'y* + ^^^* — ^*B' ^*^ «**^^ positif ou négatif. £n effet , on sait déjà que pour tout point sur Pellipse, ce trikiome est nul. Mais Pabscisse x riestant la même, si le point
(^1 y) ^'^ au-dehors ou ainledans de Pellipse, Pôrdonnëe y sera plus grande ou plus petite que sur Pellîpse \ le trinôme sera donc plus grand ou plus petit que zéro^ il sera par conséquent positif ou négatif. Là réciproque est vraie.
62. Lorsque deux droites y = ax -}- b «f y = a'x -f- b', Tnenées des extrémités du grand cuee, se coupent sur V ellipse, on a toujours AW.4-B* = o. D^abord ces droites passant par les points (A, o)et( — A, o), leurs équations deviennent respectivement yz=a{x — k), ^
LVquation de TelUpse est d^ailleurs ^
. Ay + BV=:A'B'.
Puisque les deux premières lignes se coupent sur la tf'oisième, il sVnsuit quej^ a les mêmes valeurs dans les trois équations précédentes, ainsi que x. Si donc on prend ces valeurs de j^ et de X dans les deux premières équations , et qu^on les Substitue dans la troisième , celle-ci sera satisfaite et deviendra
aa'(A*aa' + B')=:o.
Cette équation fournit d^abord oa' :^ o , qui n^apprend rien ; elle donne ensuite A'aa' -}- B^ = o. Ce qu^il £allait démontrer.
On aurait encore la même relation si les droites qui se coupent sur Pellipse , partaient des extrémités du petit axe.
Il eàt facile de voir que réciproquement, si deux droites j*=: ax-^-h et^=:a'x4- ^'1 partant des extrémités de Pun des axés, ont leurs a et a' tels, qu^on ait A*aa'4-B'=o, ces deux droites se couperont sur Pellipse.
63. On appelle cordes supplémentaires d^une ellipse, les droites qui , partant des extrémités d'un même diamètre, se coupent sur la courbe.
Soit V Pangle compris par deux cordes supplémentaires menées des extrémités du grand axe, du côté des j* positifs, et v^ Fangle des cordes supplémentaires tirées des extrémités du petit axe, du c6té des x ppsitifi; on aura donc à la fois, pour lel deux premières cordes, ^
j^ = a(a7 — A), j-=:a'(a; + A) et ^^i'^='^^^\
Substituant dans la dernière équation , les valeurs de a et a',
Xkies des âtvai aatres, puis ajant égard à Téquadon de Tellipse, on trouvera
Paisqae tang v est négative et tang v^ positive , Tangle v est obtos et Tangl^ ^ sùga. De plus, dès que jr aura sa plus grande valeur B et x sa plus grande valeur  , Tangle v sera le plus grand possible et Pangle t/ le moindre possible. D^où il suit, 1 * que t angle comprit entre lê$ eorde$ tuppUmentaire» menées dei extrémités du grand 4use, est toujours obtus, et atteint son maximum, lorsque son sommet tombe à f extrémité du petit axe ; 2* que Vangle des deux cordes supplémentaires, qui partent des extrémités du petit axe, est ùmjeursaigu, et parvient à son minimum, lorsque son sommet arrive à V extrémité du grand axe ; 3* enfin que f angle obtus maximum et Sangle aigu minimum, valent ensemble deux angles droits; car ajant alors tang t/ = — tang Vy il vient v + v' = 1 80°.
64. Pour une même mbseitse, les ordonnées de f ellipse et de la eireonfirence décrite sur le grand axe comme diamhtre^ sont entre elles comme le petit axe est au grand. Car soient j^ et y les ordonnées de Tellipse et de la circonférence, pour une même abscisse ar; les équations de ces deux courbes seront respectivement Ay + B V = A"B^ et y + x' = A'.
On tire de ces équations
De là résulte ^ ly II B : A :; 2B : aA.
65. CSette propriété donne le moyen de décrire une ellipse pur points, lorsqn^on connak ses deux axes. On trace d^abord deux circonférences ayant ces deux axes pour diamètres ç on mène ensuite, dW point de la plus grande, upe ordonnée sur le g^and axe et une droite au centre; enfin, on tire, par le point où celle 'droite coupe k petite circonférence, une parallèle à Taxe des x : ceUe parallèle rencontre TordcMinée précédente , en un point de Pellipse cherchée.
66. On peut aussi' tracer, d^un mouvement continu, Pellipse dont on connaît les axes. Pour cela, on prend une règle dont la longueur RM=r A, et sur laquelle on marque la distance MI=
B (fig. Il); faisant ensuite mouvoir cette règle, ie manière que B. soit toujours Sur GG' et I toujours sur BB', Pextrémîté M décrira Pellipse demandée.
Gar soient xetj' les coordonnées OP, PM du point M, et menons RQ parallèle à OB ; nous aurons
b:a:.v:mq=^ et mq'+*'=a'î
d'où il vient Ajr* + B V = À'B* :
le point M est donc en effet sur Pellipse cherchée^
Ge moyen est le plus ordinairement employé pour décrire une ellipse sur le papier ; et dans ce cas , une petite bande de papier remplace la règle.
67. Si les extrémités ^*une droite donnée gui se meut^ sont assuj'étief à rester respectivement sur deux droites perpendiculaires entre elles^ un point quelconque-donné sur la droite mobile^ décrira une ellipse*
Ce théorème, que nous, laissons à démontrer, a pn suggérer la construction suivante d^un instrument très-simple , pour d^rire d^un piou-i vement continu, Pellipse dont les axes 3 A et aB sont donnes. On co^^ pose cet instrument de trois régies ( fig. la ) : la plus grande FF':^=: ^X -f- aB, et les deux autres OM, MG, sont égales chacune à |(Â4-B)« La régie EF a son milieu O sur le centre et son arête £'F' sur le grand axe de Pellipse. Une cheville ronde passe dans les trous percés au milieu O de £F et à Pextrémité O de OM. Les régies OIVI et^MG sont réunies, par tme articulation en M à leur extrémité commune. La régie OM est .placée.au-dessus des deux autres. Enfin, sur MG^est un trou N ^i reogit la pointe à tracer et qui est tel qu'on ait MN=:|(A — B).
Rien uVst plus facile que P usage de cet instrument, appelé triangle variable (voyee page 26 de la Géométrie des courbes, par M. Bergery) : on fait glisser la pointe G, placée d'abord en P, le long de F*0, et pendant ce mouvement, la pointe N décrit im quart de Pdllipse. Pour tracer < un second quart, on fera passer MG sous OM, de manière que le point G se meuve de O en £'. Enfin, la grande règle étant retournée bout à bout et appliquée de nouveau sur le grand axe, on tracera de même la seconde moitié de Pellipse.
Pour démontrer que le point N du triangle variable est constammeat sur Pellipse dont les axes ont fourni les dimensions de Pinstrument, dé« signons par x ety les coordonnées OP et PIH du point IN^, et menons NH parallèle à OM; à cause de OM = MG, nous aurons RN^zlNC et PH :=PG. En outre, comme GM= j(A+B) et CN=B, il est ciair qu'o» n
^*=B>— PC» et B:KA+B)::aPC:#— PC.
t)c là on déduit PG =: ^ et Ay + B V = A»B*, équation de Pcl^
lipse proposée; donc le point N e»t oonstamment 8ur cette ellipse et la décrit*
68. Cherchons actaellement Téquation dWe tangente à Pellipse représentée par Téquation A'^' + B*a:' = A*B*.
Pour cela , considérons d'abord une sécante rencontrant Tellipse aux deux points (a/, y) et (x", y) : Téquation de cette jécante sera donc (i4)
j. — yz:z:a(^x — x") et azz
Les deux points {jxf^ y) et (jx^'^ jr") «e trouvant sur Fellîpse, on doit avoir j^y« ^ g»^» !.. ^ag^^
Ay'' + BV=A'B».
Retranchant la seconde de ces équations hors de Tautre , îi viendra A'(y' — /^) + B'Cx'* — a:''') = o;
d'où A'(y+/')pE&' + »'(^+^') = o,
et A'a(/ + /') + B'(a^+a^') = o.
Si les deux points d'intersection (j?',^) et (j?"i^') se réunissent en un seul , la sécante n'aura que ce seul point de conimun avec l'ellipse; elle lui sera donc tangente. Alors, comme a/ z= a:" et r' = r", on aura
2A'ay+aBV'=i:o, ou ii = — j^-^.
Substituant cette valeur de a dans l'équation y — ^" = c ^x — a:'')i qui représente maintenant la tangente à l'ellipse au point (x'\y) \ chassant le dénominateur et réduisant, d'après Ây/a^B'a:"' = A'B', on trouvera, pour l'équation cherdiée de la tangente à l'ellipse en {x'\y')\
Ayy + B*xx" = A'B'.
Il est facile de vérifier qu'en effet, la droite ( D) représentée par cette équation , est tout entière hors de l'ellipse. Car si on retranche le double de la même équation hors de Ay '+8*0/" = A'B*, il viendra
A' (y — 2ryO + B' ( a:"' — 2:rx" ) = — A'B» 5
d'où en complétant les carrés , on déduit
A» {y—y^y + B* (x — x")» =: Ay + BV— A'B».
Cette équation représente toiiqours la même droite (D). Or^
on voit que le trinôme A*j** + ^*'^* — ^^^ ^st positif pour tous les points de cette droite, excepté pour le point (x", j^') ; donc "tous les points de (D), excepté (a?", j""), sont hors de PeUipse (6i)', donc la droite (D) n'a que le seul point (a?", j-") de commun avec Tellipse \ donc elle lui est tangente en ce point.
69. Comme le coefficient a, qui détermine la direction de la tangente (12), n'^a -qu'une seule valeur, il s'ensuit que par un point (a:", ^') donné sur Pellipse, on ne peut mener qu'une seule tangente à cette cpurbe.
C'est ce qu'on vérifie d'ailleurs en cherchant le point de contact (^r",^") d'une tangente à l'ellipse, menée par un point donné («s^i jt')- Dans ce cas, les équations de l'ellipse et de la tangente , sont : j^^yt^ ^ g.^f. -. ^.g»^
Eliminant^' de ces iéquations , on trouvera, pour x"^
^ Ay»+BV"
Si le point {x'^y) est hors de l'ellipse, le trinôme sous Je radical sera positif (61)5 ar" et j^' auront donc deux valeurs réelles, et il j aura deux tangentes. Mais si le point (a?', y^) est sur l'ellipse, le trinôme sous le radical sera nul 5 x" et j^' n'auront alors qu'une seule valeur réelle chacune, et il n'y aura^' qu'une tangente. Enfin , si le point (a;', j^) est dans l'intérieur, de la courbe, le trinôme sous le radical sera négatif; donc :r'^ et j^' seront imaginaires, et il n'j aura pas de tangentes. Ce qui est d'ailleurs évident.
70. Remarquons en passant, que si des équations Ay* -f- BV" = A'B' et A'ay = — BV, on tire les valeurs dey et j;", qu'ensuite on substitue ces valeurs dans l'équation jr"=: ax^' -f- ô, qui est celle de la tangente au point (a/^, j^'), cette équation deviendra ^^^^ + B» = h\
D'où il est aisé de voir que la tangente ne peut être parallèle à l'uil des deux axes, que quand le point de tangence est à une exirémité de Tautre axe.
7 1 . Si dans l'équation de la tangente MT à l'ellipse (fig. 1 3),
on fait j:±= o, on aura l'abscisse x ou OT du point T où cette
A* tangente coupe l'axe des or, et il .viendra OT = -y-.« Mais OF
( 40 ) = OF=c, FM = A — ^'(53)et FM = A + Ç;
donc
Prenant ME = FM, on aura TF' ; TF J : FHVI : FM ou ME ; d'où il suit que FE est parallèle à TM, et qu'ainsi Pangle GMF' = MEF = EFM = FMT. De sorte que dans Vellipse, les rayons vecteurs FM, F'M, menés au point de tangence ^^font Qioec la tangente MT et &un même côté de cette ligne, deux angles égaux.
Diaprés cette proprie'té importante, on démontre en Physique, qne tous les rayons calorifiques émanés du point F, se réfléchissent sur Tellipse et vont se réunir au point F' ; et réciproquement. C^est de là que les points F et F' ont reçu leur nom à& foyer
^3. Nous avons rés»olu plus haut (69), par Panai jse, le problème de mener une tangente à Pellipse, par un point donné. Yoici la solution graphique de ce problème ( fîg. 1 3 ) :
1* Supposons que le point donné soit sur Pellipse, par exemple en M. Menant alors les rayons vecteurs FM et F'M, prolongeant Fun d'eux F'M de la longueur MK=:MF et tirant la droite MIT perpendiculaire à FK, cette perpendiculaire sera la tangente demandée. Car les deux triangles rectangles MIF et MÏR étant égaux, on a Pangle FMT= IMR= F'MG \ les deux iiayons vecteurs FM et F'M font donc avec la droite MT et d'un même côté, deux angles égaux ; cette droite MT coïncida donc 9vec la tangente en M (7 1 ). Il serait d'ailleurs facile de démontrer que tous les points de la droite GMT sont hors de Pellipse, à Pexception du point M.
a** Supposons actuellement le ppint donné hors de Pellipse, et soit G ce point. Du fojer F' comme centre et avec le grand ^xe 2 A pour rayon , en décrira un arc de cercle \ du point G comme centre et avec le rayon GP, on décrira un second arc, coupant le premier en K et K' ; on mènera les droites F'K et F'K' : ces deux droites couperont Pelisse aux deux points M et M' de tangence, et GM, GM', seront lea tangeûtes demandées. En effet, par construction^ F'MR=:aA. Mais le point M étant sur Pellipse ^ on a aussi F'MF = 2 A \ dpnc MK :;= MF. D'ail-
ii*fl^
leurs , par constructiqn , GF = GK ; donc la droite GMT cjét perpendiculaire au milieu de FK ^ cette droite est donc tangente au point M (i**). On démontrera de même que GM' est tangente en M'.
73. Il résulte de la construction (1°) de la tangente MX, que l étant le milieu de FK et O le milieu de FF\ la droite OI est la moitié de F'K. Mais F'K n^ F'M + MF= 2A ; donc ÔI =A. Donc les pieds des perpendiculaires menées d'un foyer sur les tangentes à Vellipse, appartieîinent à la circonférence ayant le grand axe pour diamètre,
y4* On appelle normale d^une courbe , la perpendiculaire à sa tangente au point de contact. Ainsi dans V ellipse ^ la normale MN divise en deux parties égales V angle FMF', formé par les rayotis vecteurs menés au point de'tangence»
7 5. Si Ton veut trouver Téquation d'une normale à Pellipse, il suffira d'observer d'abord que cette droite passe par le point de tangence ( or", j^' ) , et que par suite soq équation est de la forme j- — ^" = a' ( x — a;" ).
De plus, cette droite étant perpendiculaire à la tangente, pour
laquelle a = — ttI/i ^^ ^^^^ qu'on ait la relation aa* -\- 1=^0^
j AV" qui donne a' = «f^* Ainsi l'équation de la normale devient
Pour le point N où cette normale i^encontre l'axe des abscisses, on a j* = o ^ ce qui donne
On voit que la distance ON sera toujours plus petite que OF ou c. Retranchant cette valeur hors de OP ou x'^ on aura la distance du pied de l'ordonnée au pied de la normale. Cette distance se nomme sounormale \ sa valeur est donc
Elle est par coniséquent de même signe que l'abscisse du point de tangence et moindre que celte abscisse.
76. Quant à la tangente, pour avoir le point où elle rencontre
. jr*^'». .\*
Pâte de$ x^ on fera ^ rz o dans son éqoalion , qpi donner» alors, comme on Ta va (75)
X ou OT rz: -7 •
Si de cette valeur on retranche OP ou x"^ il restera la distance PT du pied de Pordonnée au point oii la tangente rencontre Taxe des x. Cette distance se nomme êotUangente \ son
expression est
