Yoici quelques problèmes à résoudie

I. Trouver le lieu de tous les points tels, que la somme des carrés des distances de chacun à deux points donnés, vaille un carre donné c'.

n. Connaissant Pangle de deux droites qui se coupent au centre dW cercle donné, mener à celui-«i une tangente telle, que ses parties comprises entre le point de contact et les deux droites proposées, aient un rapport connu n, ( Ce problème peut avoir huit solutions.)

in. Par un point donné sur le plan d^un cercle connu , mener deux sécantes perpendiculaires entre elles, de manière que les parties interceptées par la circonférence, soient dans le rapport donné n. ( La solo* tion conduit à un théorème assez remarquable. )

IV. Etant donnés tant de points qu^on voudra siur un plan, en trouver un autre tel, que la somme des carrés de ses distances aux premiers, vaille un carré donné c^, (On pourrait aussi demander que cette somme fût la moindre possible ; et alors, s^il j a seulement trois points, sonunets d'^uû triangle, le point cherché sera le centre de gravité de ce triangle. )

V. Trouver le lieu des sommets de tous les angles égaux à A, dont les côtés passent constamment par deux points donnés B et G. (La solution analytique Conduit à la construction pour décrire sur la corde BC un segment capable de Tangle donné A ; mais il £iut pour oda , que Forigine . des coordonnées rectangulaires soit au milieu de la corde BC et Taxe des X dirigé suivant cette corde : autrement, D serait fort difficile d^arriyer à la construction du problème* )

De la Transformation des coordonnées.

43. Lorsqu'on vent résoadre une qaestioa à Paide des prin-^ cipes de la géométrie analytique, la première chose à faire est de choisir les axes des coordonnées , de manière à simplifier les calculs et à fournir les résultats les plus faciles à interpréter géométriquement. Or, pour cela, les axes doivent être le plus souvent rectangulaires; quelquefois cependant il £iut les prendre obliques ; d'autres fois Tun d'eux doit être dirigé suivant une droite donnée , l'origine doit être placée à un certain point , etc. Mais l'usage seul peut apprendre comment il faut disposer les axes et l'origine , pour que l'équation à considérer ait le moindre nombre de termes qu'il se puisse.

Comme il n'arrive pas toujours qu'on ait pu faire le meilleur choix à cet égard , et que souvent les axes sont déjà déterminés, on a recours à la iraniformaUou des coordonnées^ dont le but est de faire disparaître quelques termes de l'équatîon proposée , en changeant l'origine et la direction des axes ^ préparation qui la met en état d'être résolue et discutée plus aisément.

44* Quand 6n veut ainsi passer d'un système de coordonnées à un autre , on cherche , pour un point quelconque, les valeurs des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : en substituant ces valeurs dans l'équation proposée, elle appartient toujours aux mêmes points ; mais ces points s'j trouvent rapportés aux nouveaux axes. Par conséquent les propriétés de la courbe restent toujours les mêmes , et il n'y a de changement que dans la manière dont elles sont exprimjées.

45. Voyons d'abord comment on passe d'un système de coordonnées rectangulaires , à un système de coordonnées obliques, d'une autre origine. Soient hetk les coordonnées AQ et QA' de la nouvelle origine A' (fig. 8)-, soient AJXf et AJY' les nouveaux axes des x' et des j^^ M un point quelconque de la ligne \x et

y ses coordonnées rectangulaires AP et PM ; ^r' et jr' ses nouvelles coordonnées AT' et P'H ; soient enfin y:rzaX'\^h.€l y = a'a:-{- V les équations des nouveaux axes hnH et A'Y'. Menant A'£ et PD parallèles à AX ; prenant A'I= i et tirant IK. perpendiculaire à A'E, on aura IH = a et IK=:a^ De sorte, quVn désignant A'H par m et A'R par m', il viendra m'= i -{- «• et m'* = 1 + a'*.

Gela posé , on a évidemment

:c=:* + A'C + P'D, j-=:* + CF+DM. .

Les triangles semblables A'IH et A'CP' donnent

X ox

^;^;:ï :a'c=- et m::*r'::a:cp'=— •

Pareillement, les triangles semblables A'IK et P'DM four« nissent

«':y::':P'D=é et«':y::«^:DM=^.

Substituant ces valeurs , on trouve

m ax m

Telles sont les formules générales pour passer d^un système de coordonnées rectangulaires , à un système de coordonnées obliques, d^une autre origine. Si Torigine était la même, A et A Seraient nuls.

46. Si Fangle des nouveaux axes était droit , on aurait aa^'\'

1=0^ d'où à cause de m'= i +a% il vient a'z=, — -, ^' = r et par suite

Ces formules sont donc pour passer d'un système de coordonnées rectangulaires, à un système de coordonnées rectangulaires , d'une autre origine.

47* Maintenant, si l'on veut passer d'àii^ystème d'axes obliques , à un système d'axes rectangulaires , de même origine , il

suffira de faire h=zo eikz^o^ dans les formules (i) et de résoudre ces mêmes formules par rapport kx' eiy : ou trouvera

ainsi .^m^Çrjzfi) ^t .^^Il<^L=d ... (3)

48. Enfin , si Ton veut passer d^un système quelconque^ à un autre parallèle , on prendra >

ar = *+V el^zzA+J^'i comme il est bien facile de le vérifier.

Il resterait encore à trouver les formules pour passer d^un système de coordonnées obliques , à un autre oblique pareillement ; mais comme nous ne ferons pas usage de ces formules , nous ne les rapporterons pas ici.

49* Pour donner une application des formules précédentes , supposons que les axes étant obliques , Téquation d^une ligne soit

et proposons-nous de transforiher les coordonnées, de manière à faire disparaître le produit jpjr. Pour cela, on prendra les formules pour passer d^un système d^axes obliques y à un système d^axes rectangulaires , de même origine ; on remplacera donc , dans Téquation précédente ,^ et x par les seconds membres des formules (3) ; puis après avoir développé , on égalera à zéro le coefficient du produit xy^ et on aura ainsi les deux équations

64 (a'— a)' et

, aam" 4" ^^'^^ — 1| (® + ^0 ^^' = ^ • Remettant les valeurs dé m et m'^ dans la dernière de ces équations , et supprimant le facCeur 2 ( a -|" ^' ) i ^^ ^^^^

Cette équation entre les deux indéterminées a et a' fera connaître Pune déciles , dès que Pautre sera donnée. Si Pon prend, par exemple^ a=zo, il en résultera a'zz:^ ; et alors Téquatioii de la courbe représentée par Péquation (4), deviendra

xette cott]i>e est donc une circonférence ayant 8 pour rayon. ,

On pourrait prendre toute autre valeur pour a ; par exemple^

en faisant a =| , il vient &' z= | et encore x* -J"J"' ^== 64 .

5o. IJne équation du second de^ré , à deux variables x ely^ peut représenter quatre courbes différentes , nommées eourhê9 du ëeeond degré , savoir r la circonférence , Fellipse , la parabole et llijperboie. Ces courbes sont aussi appelées êecHom eoniqueêj parce qu^on les obtient en coupant un c6ne droit par des plans diversement inclinés.

Nous allons chercher les principales propriétés des trois dernières courbes.

De V Ellipse.

5i. On appelle elUps»^ une courbe plane telle, que la somme des distances de chacun de ses points à deux points donnés F, F^ est constamment la même et égale à une droite donnée 3A. Ces points F et F' sont dits les /oyen de Pellipse , et les droites menées des foyers à un point quelconque de la courbe , sont les rayoni vecteurs de cette courbe.

5a. Pour construire Pellipse, diaprés sa définition, prenons le milieu O de la distance FF' (fîg. 9) ; portons sur cette droite prolongée, les distances OB et OB' égales chacune à 1^ moitié de 2A ; les points B et B' appartiendront d^abord à la courbe cherchée. Car ayant FB = A— OF et F'B = A + OF, il vient FB + F'B z= 2A. On verra de même que FB'+ F'B'= 2A.

Pour avoir d^autres points , prenons sur FF' un point quelconque I, puis des foyers F el'F' comme centres et avec des rayons respectivement égaux à IB et ES', décrivons deux arcs se coupant en M et M'; ces deux points appartiennent à Pellipse. Car puisque FM = IB et F'M = IB', on a FM + F'M = BB' = 2A. De même FM' + F'M' = 2 A. Ainçi M et M' sont deux points dé Pellipse ; et on en trouverait quatre , si Ton portait successivement chacune des deux ouvertures de compas aux deux foyers. On voit d^ailleurs que BB' est perpendiculaire au milieu de MM'.

Après avoir trouvé ainsi une série de points suffisamment approchés les uns des autres, on les joindra par une ligne continue BGB'^G^, qui sera Pellipse demandée. *

On peut aussi construire Pellipse d^un mouvement continu, en fixant aux foyers F et F' deux épingles . auxquelles soit, attaché un fil dont la longueur égale 2A \ puis en faisant glisser un

9tyle ou un crayon qui tienne ce fil toujours tendu ; la courbe sera tracée quand Finstrument mobile aura fait deux demi-révolution», Tune au-dessus de FF' et Pautre au-dessous.

Enfin si Pellipse doit être tracée sur le terrain , on se sert d^un cordeau ayant aA pour longueur, et de trois piquets, dont deux fixent les extrémités du cordeau aux foyers F, F', et le troisième sert à tracer la courbe , en tenant le cordeau toujours tendu.

Il est clair que quand les deux foyers coïncident, Pellipse est une circonférence de cercle ; et à mesure que les deux foyers «^éloignent Pun de Pautre., Pellipse s^alonge de plus en plus, jusqu^à devenir enfin une. ligne droite , lorsque les deux foyers sont arrivés aux extrémités de la droite BB'= 2 A.

53. Maintenant que nous avons une idée de la forme de Pellipse, cherchons Péquation de cette courbe. Pour cet efiet, plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au milieu O de la droite FF', que nous prendrons égale à 2c, et dirigeons Paxe des a: suivant cette droite. Soit M un point quelconque de la courbe ; soient :r, y les coordonnées OP et PM du point M ; enfin , soient r et /^ les deux rayons vecteurs PM et F'M, dont la somme, diaprés la définition, doit toujours être égale à la droite donnée 2 A : on aura donc d^abord r^ -f- r = 2A.

Ensuite , à cause de FP = a: — c et FT -zzx ^ c^\t% deux triangles rectangles FMP, F'MP, fournissent

r*=j-* + (a: — i?y et r'*=j* + (a: + <?)'.

Prenant successivement la somme et la différence de ces équations, il. viendra, en réduisant,

r'* + r^ = 27-* + 2ar' -}- 2c* et r^^-^f^zn H^cx.

Mais r'* «— r' étant la même chose que (W-l-^)(»^ — '•)î si dans ce produit , on substitue

^ + ^=31^., on trouvera r — r = -r--

Ces deux équations donnent

« . ' , ex . CSC

f^ = A + -j^ et r = A-^.

Sqbstituant ces valeurs dans W* + r* == 2jr' + 2x" + '^^^•^ on obtiendra

d'où Ay + (A'— e*)x' = A'(A'— O-

11 est clair que FF' ou 2c < aA ; donc A' — c* est essentiellement positif; et si Ton pose A' — c* r= B*, B sera connu , et Ton aura enfin ^y ^ g ^ -- ^»b»^

Telle est Féquation la plus simple de Pellipse.

54* Discutons cette équation; et pour cela, résolvons-la par rapport à j^ ; nous aurons

Ces deux valeurs étant égales et de signes contraires, on voit que pour une même ^cisse AP, il j a deux ordonnées égales PM, PM'f et que par suite la courbe est divisée eq deux parties égales par Taxe des x. On verra de même qu'elle est divisée en deux parties par Taxe des jr. De plus , P étant le milieu de la carde MM', parallèle à OC , il s'ensuit que chaque axe des coordonnées divise eh deux parties égales toute corde parallèle à l'autre.

Faisant successivement ar=o et^=o, pour avoir les points oi!i la courbe rencontre les axes des coordonnées , on trouvera ^=:=±=B et a: = =±=A. L'ellipse coupe donc l'axe des ordonnées en deux points G et G', placés à la même distance B de l'origine O et de part et d^autre. De même, elle coupe l'axe des abscisses en deux points B et B', à la même distance A et de part et d'autre de l'origine.

L'abscisse augmentant depuis j:=o jusqu'à x= A, l'ordonnée diminue depuis ^ r= B jusqu'à j-zzzo. De plus , x = A représentant une parallèle à l'axe des ordonnées (3), et les deux valeurs dejr étant alors nulles, les deux points où cette parallèle coupe l'ellipse, se réunissent en un seul B ; donc cette parallèle est tangente à la courbe en B. Gette courbe ne saurait donc s'étendre dans le sens OB au-delà de l'abscisse x = A = OB. Effectivement, pour x ]> A , les deux valeurs de j* sont imaginaires. Ainsi l'ellipse est renfermée dans le rectangle qu'on obtient en menant des parallèles aux axes des coordonnées, par les quatre poinU B , G , B', G', où elle coupe ces axes. En outre ar = A est la plus grande abscisse et j^= B la plus grande ordonnée.

' Les droites aA= BB' et 2B = CC s^appellent les axei de l^ellipse ; la première aÂ en est le grand axe^ la seconde 2B le petit axe et Porlgioe O le centre.

Uellipse est dite rapportée à ses axes et au centre^ lorsqu'elle est représentée par ^équation A^' + ^'^*=^'^'7 ^^ coor-. données étant rectangulaires. Les extrémités B et B' du grand axe 3'A sont les sommets de Pellipse, et la demi-distance c des deux foyers se nomme excentricité. Si les axes 2 A et aB sont égaux , Peïcentricité c est nulle , puisqu'elle est donnée par A' — c' = B' ; les deux foyers coïncident donc avec Porigine , et Pellipse n'est plus qu'un cercle , ayant A pour rayon. Aussi l'équation de Pellipse se réduit-elle alors à celle de la circonférence a:'-f-^*=: A*. La circonférence n'est donc qu'une ellipse dont les deux axes sont égaux.

55. Pour construire les deux foyers , et conséqnemment l'ex* centricité c lorsque les axes sont donnés^ il suffit de décrire un arc de l'extrémité G du petit axe, comme centre, et avec un rayon A égal au demi-grand axe ; cet arc coupera ce grand axe BB' aux deux foyers F et F'.

56. Il importe de remarquer actuellement, que réciproquement , toute SquaMon de la forme My* -|- Nx^=:=P , M , N e^ P étant posttifs et les coordonnées rectangulaires , représente une ellipse. D'abord si M n'était pas plus grand que N \ eA prenant alors l'axe des x pour celui des y ^t réciproquement , le coeffir cient de^*, dans l'équation résultante, serait plus gtand que

celui de x\ Nous pouvons donc supposer M>^N. Dans ce cas,

multiplions les deux membres de l'équation proposée par :=r^ ,

et posons =| :;= A* et ir| r:; B' ; cette équation deviendra

Ay + BV = A'B' ... (1) Dans cette équation A et B sont connus , et A est plus grand que B. Or, prenant sur l'axe des x , deux points F et F\ de part et d'autre de Porigine et à une distance e teUe qu'on ait e^z=:A* — B', puis désignant par d et d' les distances de F el F' à un point quelconque {x^jr) ^^ l^i courbe (1 ) , on aura d^=:jr»+{x—tiy et d'^=zy + ix^ey.

. Développant ces valeurs , observant que e* :^ A' -«^B' et que

l'équation ( i)donne^*rz:B^- — -^ , il viendra d^z=zV'—^ + x'^2cx + lJ—V=y—2cx+~t

d^où <P= f A — ^-j • Comme la plus grande valeur Aex est A et que e<C,ky on voit que la valenr absolue de (2, la seule qu^il nous faille considérer ici , est <f = A-^

Par des calculs tout-à-fait semblables, on trouvera <? =r A -{ — r ;

donc d'\-' d' = lA. Ainsi Pëquation (i) , et conséquemment Véquation proposée M^*-|-Nx*z=P, représente une courbe telle, que la somme des distances de chacun de ses points à deux points donnés F et F', est constamment égale à la droite donnée 2A; donc cette courbe est une ellipse , dont 2A et siB sont les axes, F et F' les foyers et c Pexcentricité (54)*

Il est facile , diaprés cela , de tracer les ellipses exprimées par les équations

Dans la dernière de ces équations, on fera d^abord disparaître les premières puissances de x et de 7*, en employant les formules xz=:h'\-x' etjrzizk'^^y.

Les valeurs trouvées plus haut pour d et d' font voir que la distance d^un foyer à un point quelconque de Pellipse , est une fonction rationnelle de Pabscisse de ce point. H serait bien aisé de démontrer que les foyers sont les seuls points dû plan de Tellipse qui jouissent de cette propriété.

57. Si ton coupe la surface convexe tun cane droit par un plan incliné à Taxe CV et rencontrant toutes les génératrices, tintersection MNGR sera une ellipse (fig. 10 ).

' Par Taxe CV, menons le plan HCI perpendiculaire au plan coupant MNGR et le rencontrant suivant la droite RN que nous désignerons par lA. Plaçons Porigine des coordonnées rectangulaires au milieu O de RN et Taxe des x suivant cette droite. Soient x tly les coordonnées OP et PM d^un point quelconque M de la courbe MNGR; nous aurons PN=A — x et PR=A -(-•s:. Or, PM étant perpendiculaire à Tintersection RN, le sera aussi au plan HGI \ donc, si par la droite PM , on mène un plan perpendiculaire à Taxe GY, ce plan coupera la surface conique suivant une circonférence , dont DS sera le diamètre. Mais M est un point de tette circonférence, et MP, perpendiculaire au

( 53 ) plan HGI, l'est aussi au diamètre DS; donc MP*=PSxPD, our' = PSxPD.

Heste à déterminer PS^et PD. Pour cela , on observe que les deux droites SD et IH sont parallèles, tandis que les deux droites non-parallèles IH et NR, situées dans le même plan GIH., finiront toujours par se rencontrer en un point R *, les triangles KRH et RDP sont donc semblables , aussi bien que KNl et P.NS , et il vient ,

KR:A + .r:;Kja:DP, KN:A— a:;;KI;PS.

Prenant les valeurs de DP et PS dans ces proportions , puis substituant ces valeurs dans celle dej^*, on aura, pour tous les points de Pinterseclion MNGR ,

KH,KI ^ ^a 4N

•^— KRJtN^^~^ >

Faisant xr=;o dans cette équation , on aura les distances de Torigine O aux points où la courbe coupe Taxe des^ : désignant ces distances par B , on obtiendra