On peut aisément démontrer les théorèmes que voici

I. Si on prend sur les prolongemens des axes de Vellipse, quatre points dont les distances au centre soient égales chacune à la corde qui joint les eilrémités des mêmes axes, on aura les sommets d^un carré firconscrit à la courbe.

II. Les tangentes aux extrémités dW même diamètre, sont parallèles entre elles ^ et réciproquement, si deux tangentes à Pellipse sont parallèles , la droite qui joint les deux points de contact, passe par le centre.

De là il suit que trois tangentes à Tellipse ne peuvent jamais être pa-^ ralléles entre elles.

m. La plus courte distance dW point du gr<aad axe à Fellipse, est la normale menée par ce point.

ly. LVrigîne étant an sommet ( — A, 0} et les coordonnées parallèles aux axes aA et aB , Fellipse est représentée par A^' -)- B'x* = aAB^jr , et sa tangente au point (*",y )) par A"jry"+B»jrj:"=:ÀB" (*+*'').

V. Le demi-petit axe 6 est moyen proportionnel, 1® entre lea distances des deux foyers à la tangente -, a** entre les deux ordonnées de la tangente qui ont leurs pieds aux extrémités du grand axe \ 3** entre les distances dW foyer aux deux sommets; 4** ^nfin, entre la normale et la perpendiculaire menée du centre sur la tangente. En outre, si ;> et r sont les distances dHin foyer à la tangente et au point de contact, r' désignant la distance de ce point à Tautre foyer, on aura /»' ! B' ; * r ; r'.

VI. Si le sommet dW angle droit est à Fun des foyers de Tcllipse et que Tun des côtés de cet angle passe par le point de tangence, Tautre côté rencontrera la tangente sur une perpendiculaire au grand axe , qui sera la même pour toutes les tangentes, et qu^on nomme la directrice de

Teltipse. Pe plus, les disunces dW point de Teilipsc au foyer et à la directrice voisine sont entre elles comme c ; A.

YII. Le sommet d^un angle droit mobile , dont les côt^ sont conti-nuellement tangens à Fellipse , décrit une circonférence de même centre que cette courbe et d^un rayon égal à la droite qui joint les extrémités des deux axes.

Vni. Lorsque la portion dWe tangente à TeUipse , comprise entre les perpendiculaires aux extrémités du grand axe, est le diamètre d^une circonférence, cette circoitférence passe par les deux foyers.

^8. On appelle âianùtre$ €onjugtU$ de Tellipse, deux diamètres tels , qu^en les prenant pour axes des coordonnées , Téquatlon de la courbe conserve la même forme que pour ses axes rectangulaires.

. Cherchons ces diamètres, et prenons, à cet effet, tes formules pour passer d^un système d^axes rectangulaires à un autre système de même origine (45) , savoir :

a:=:-+^etr = f- ^i

mm *^ m ' m'

formules dans lesqueUës m' = i -^ a* et m'" = i -^ a'*. Substituant ces valeurs de a; et de ^ dans Téquation A'j** + B'j?" = A'B*, qui est celle de Tellfpse rapportée à ses axes et au centre, on trouvera

mf"* '^ ^ m^ ' mm' ^

Pour que cette équation soit de même forme que celle qui est relative aux axes 2A et 2B , il faut qu''elle ne contienne pas le produit s^y des nouvelle» coordonnées \ il faut donc profiter de Tindétermination de a et o! pour faire disparaître ce terme , en rendant son coefficient nul ^ ce qui donne la condition

A»aa' + B" = o, ...(i)

et Féquation de la courbe devient, en y supprimant les accrus des coordonnées, dont on n^a plus besoin, pourvu qu^on se rappelle que ces coordonnées sont en général obliques ,

La condition ( 1 ) qui existe entre a et a', étant du premier degré par rapport à chacune de ces quantités,, déterminera Pune déciles quand Pautre sera connue, et en ne prenant pour a', par exemple, que des valeurs réelles, il est clair qu^on n^en aura non

plus qtte de réelles pour a et les coefficîens de j^* et xf^. Il existe donc uoe infinité de systèmes d^axés des coordonnées, pour lesquels Inéquation de Pellipse ne conticfht que les carrés y\ ^r'* des variables , avec un terme constant. Mais pas un seul de ces systèmes ne sera rectangulaire , piiisqu'^alors on devrait avoir oa' -{- 1 = ^ ce qui réduit la relation (i) à A*=B*, chose im* possible dans Pellipse.

A la vérité, en prenant 0' = oo et a = o, les relations (1 ) et aa! '\' \z=:o seraient bien satisfaites ; mais alors on retomberait sur Téquation aux axes 2 A et 2B.

^9. Actuellement, si Ton fait successivement ^=0 et x=o, dans réquation (2), on aura les distances de Porigine aux points oii Pellipse coupe les axes des x et des y obliques : en désignant ces distances par A' et B', la premièi^e étant comptée sur Taxe des abscisses et la seconde sur Taxe des ordonnées , on trouvera

Prenant dans ces équations les valeurs des dénom!natemrs, et substituant dans Péquation (2) de Pellipse , elle devient

Dans cette équation, T^Af et 2B' sont les diametret conjugitSs auxquels Pellipse est rapportée. Dn prenant à. volonté un diamètre pour 2 A', ce qui fera connaître a, la relation (1) donnera a' et la secoi^de valeur (3) déterminera 2B', conjugué de 2A'. De sorte que tout diamètre de f ellipse a son conJuguS,

80. Bemarquons présentement que si deux diamètres 2 A' et 2B' sont conjugués j les tangentes aux extrémités de fun , seront parallhles à Vautre, Soit en effet, (^oc^^y) une extrémité du diamètre 2A'; Péquation de ce diamètre semjrzzzax et la condition de passer par le point ( x", j*" ) donnera y = ax", ou

a ='^,* Mais pour la tangente j^= a"j?+ 5, au point (a:'', ^'),

on a a" z^ — tt-t. ^ ainsi aa" = — -r:' D'un autre coté, la rela-

tion (i) donne aussi 00' = — — : donc aa".= 4ia' et aJ^-z^-a!.

La tangente à Pextrémité de 2 A', est donc parallèle à 2B'(i5). On verra de même que la tangente à Pextrémité de 2B' est parallèle à 2A'.