Réciproquement, » Us tangentes aux exirémi^s de deux

Hatiùtrf d 9t d', Uur sont retpêctwetnent faralUlet, cet dùt^ mhtres seront conjugués. Car si <f n^était pas le conjugué de d^ soit d*' ce conjugué ; les tangentes aux extrémités de <f ' seront donc parallèles à J, et conséquemment parallèles à la tangente k une extrémité de d'\ ce qui est absurde (77, II}. Donc d et d^ sont conjugués Pun de Fautre.

82. Remarquons encore que deux diamètres conjugués ik! et 3B^, sont toujours parallèles à dewe corAos supplémentaires y rzz px + b etyz= p'x -|- b'. Car pour ces cordes , on a A^pp^ -f" S* == (62) ; et pour les diamètres conjugués 2 A' et aB', on a pareillement A'tfa'-l-B'=o : donc aa'^zzipp'. Rien nVmpeche de mener la première corde parallèlement à 2 A.', ce qui donne jp =■ a (1 5) ^ alors il viendra y=: a', et la seconde corde sera parallèle à 2B'.

83. Etant donc donnés une ellipse et ses deux axes, rien n^est plus facile que de trouver deux diamètres conjugués, comprenant . entre eux un angle donné. Il suffit pour cela , de décrire sur Fun des deux axes, un segment capable de l^ngle donné , et de mener des cordes supplémentaires à Pun des points d^intersection de Parc avec Pellipse : les diamètres parallèles à ces cordes^ seront les diamètres conjugués demandés.

Bien entendu que cette construction doit être faite sur le grand axe, si Pangle donné est obtus, et sur le petit, si Pangle est aigu. Il faut de plus que Pangle donné soit moindre que le plus grand y[igle obtus et plus grand que le plus petit angle aigu (63) : autrement , le problème serait impossible.

84. Cbercbons maintenant si Pellipse peut avoir des diamètres conjugués égaux entre eux ; et pour cela, observons d^abord que dans les expressions (3) de A'* et B", 0*1 a m* = 1 -|- «*î W =1 -f- «'* €t B* = — ÈLacS. Substituant ces valeurs et réduisant , il viendra

Si les diaMètres conjugués 2 A' et sB'sont égaux, les valeurs précédentes de A** et B" seront égalés aussi , et réciproquement» Egalant donc ces deux valeurs et simplifiant, on aura, pour déterminer les directions des deux diamè^^ conjugués égaux ,

a'(i4-a*)=r^a(i + a")5 d'oè (a + «')(««'+ = o-

( 46 ) On ne laoraît avoir aa' + i:=:o\ il faut donc que -f- a' = o ; d'oà a' = — a, ou bien a = — a' ; ce qui fournît toujours les deux mêmes droites. Ainsi, bien qu» fellipêê aU une infinité de Ham^irêM égaux deux à deux, elle n*a cependant que deux dianùtree conjuguée qui edent égaux entre eux : ce sont let diamètree paraUklee aux cordée qui joignent lee extrémiièe des deux axée.

EftcctÎTêment, en faisant a^nz — a, dans la relation AW

+ B*=o, onen tirea = -eto' = — -; d'où i ;a j; A ;B

1 * — a' * * A * B. Ce qui montre que les diamètres conjugués égaux, sont parallèles aux cordes qui joignent les extrémités des deux axes, et sont dirigés conséquemment suivant les diagonales du rectangle que forment les tangentes aux extrémités des mêmes axes.

L'ellipse rapportée à ses diamètres conjugués égaux , a pour équation -^f « 4- x'* = A'*

qui est analogue à celle du cercle entre coordonnées rectangulaires.

85. Ajoutons présentement «ntre elles les équations (4)« ^^ réduisons \ nous aurons

A'*+B'* = A'— A'iw', ou A'' + B^ = A' + B\

Ainsi dane fellipee, la eomme dee carrés de deux diametret conjuguée queleonquee, cet égale à la eomme dee carrée dee deux axée*

86. Multipliant Pune par l'autre les valeurs (4) de A'* et B'*, et observant toujours que B* = — oa'A*, il viendra

La figure formée par les demi-diamètres A' et B', et les tangentes à leurs extrémités , est évidemment un parallélogramme (80). Si donc e désigne le sinus de l'angle compris entre A' et B\ l'aire de ce parallélogramme sera A'B'#. Or, nous avons vu (ao) que cette aire a pour valeur le premier membre de la dernière équation précédente ; ainsi on a

A'B'«=zAB, ou 4A'B'# = 4AB;

c'est-à-dire que U parallélogramme conetruit eur deux diamhtres

eonjuffuii, est équivalent au rectangle construit sur les deux axes,

87. Il est facile de voir que Us coordonnées comprenant un angle è , toute équation de la /orme My* -}- Nx* = P, M, N , P,

étant des nombres positifs j représente une ellipse, D^abord si Poa

prend les nombres A' et B' tels qu'ion ait A'* =1:=^ et B'' =r ^rj,

cette équation deviendra

Or, on peut toujours trouver une ellipse dont 2 A' et 2B' soient les diamètres conjugués, comprenant Pangle é \ car en désignant par s le sinus de cet angle , les axes 2 A et aB seront donnés par les relations A" + B' = A'^ + B'' et AB = A'B'«, desquelles on lire ^

A+B=: J/a''+B''+2A'B'* et A—B=: J/a'*+B''— 2A'B'#;

les valeurs de A et B seront donc toujours réelles.

Connaissant les axes 2A et 2B , on pourra tracer Pellipse ; et cette ellipse, rapportée à ses diamètres conjugués 2 A' et 2B', sera représentée , comme on Pa vu (79) , par Péquation (5) , et conséquemment par Péquation proposée M^*' + Nj:' = P.

88. Il résulte aussi des valeurs que Pon vient de trouver pour A -j- B et A — B , que si Von prend sur la perpendiculaire au diamètre 2A', menée d^wne extrémité de son conjugua 2B', deux points éloignés chacun de cette extrémité Sune distance égale à A', les deux axes seront respectivement la somme et la différence des droites qui joignent ces deux points au centre.

De là , étant donnés , de longueurs et de positions, deux diamètres conjugués de Pellipse, on en déduira les grandeurs des deux axesi^; et on aura ensuite leurs positions, en prenant la valeur de a dans la première des équations (3) \ ce qui donnera

« = Â|/ Jr=T^' '''' ^-ï|/ (A'+B)(A'-B)'

B9. Reprenons maintenant Péquation de Pellipse rapportée à ses diamètres conjugués 2A' et 3B', savoir :

A'y + B'Vz=:A"B^

Cette équation étant absolument de même ibrme que celle qui est relative aux axes , toutes les propriétés indépendante de Pinclinaison des coordonnées, seront communes aux axes de Tellipse et à ses diamètres conjugués. Ainsi,

1 * Chaque dianùtre divise les cordée parallhlee à son ùonjUffuS *en deuspartiee égales, et partage consSquemment f ellipse en deux parties superposahles, D^où il suit que pour avoir un diamètre et le centre d'une ellipse tracée , il suffit de mener une droite par les milieux de deux cordes parallèles.

2** Les carrés des ordonnées, aux diamètres conjuguas, sont entre eux comme les produits des distances des pieds de ces ordonnées aux points oit Taxe des abscisses coupe la courbe.

De sorte que pour décrire une ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués et Pangle qu^ils font entre eux, il faut dV bord tracer une ellipse sur ces diamètres , pris pour axes rectangulaires, puis incliner les ordonnées de cette ellipse sous Tangle donné , sans changer leurs longueurs : les points ainsi trouvés , appartiendront à Pellip^e demandée.

3" Pour deux cordes supplémentaires ^rzox-J- b eljr'rzc^x -f- ^', on aura toujours*A''aa' + B^* = o ^ et réciproquement.

4° La tangente j-rr «a: -j-ô, au point (j?",^')i ^ P^"^ équation B''x" A'^y + B"xar" = A"B" et o = ^ ^^^ •

Ce qui donne le moyen de calculer les coordonnées du point de contact d^une tangente à PelUpse, menée par un point dqnné. L^équation de cette tangente devient aussi A"a' + B'* = b*»

5* Si une corde supplémentaire est parallèle au diamètre mené au point de tangence, Vaultrè eorde sera paralUle à Ùi tangente. Ainsi on peut , sans connaître les axes , mener une tangente à Pellipse, soit par un point donné sur cette courbe, 3oit parallèlement à une droite donnée.

6** Enfin , si deux diamètres sont respectivement parallèles à deux cordes supplémentaires , les tangentes aux extrémités de ces diamètres , seront respectivement parallèles à ceux-ci (5*) ; ces diamètres seront donc conjugués l'un de Fautre (8i), et comprendront entre eux un angle égal à celui des deux cordes supplémentaires proposées.

De là , si Pellipse est tracée ; en décrivant sur un diamètre

quelconque un segment capable de Pangle formé par deux dia-

^ mètres conjugués demandés , on pouira décrire ces diamètres ;

et si Pangle est droit, les deux diamètres cherchés seront les

deux axes de Pellipse.

go^ ÏAfs paralUlograntmes ayant respectwement pour éUago^ naUê deux diavùtres cfinjugidê de ïelUpte et dont Ui câiéê $ont parallèles à deux autres diamètres conjugués, sont èquhdlene. '

Soient 2A, 2B deux diamètres conjugués quelconques et 2A', sB' deux autres diamètres aussi conjugués. Soit (a/, j^) une ex^ trémité de 2A' et (ar", j^') une extrémité de 2B' ; Péquation de Tellipse rapportée aux diamètres 2 A et 2B , donnera donc

Ay» + BV» = A'B' et Ay'* + BV'» = A'Bi... (1)

L^équation du diamètre 2 A' étant j^ma'o?, fournil j^^rra^a/ y*' ou a'=*3- La tangente à Pextrémité (o;:",^') de aB', étant

parallèle à 2 A' (80) , il vient

-^=5' *•" Ayy'+Bvy'=o...(2)

Cette équation et la première (i) donnent

B'=g(ya^'-xy') et A'=-^Cr'x"-*y')-(3)

Avec ces valeurs, la seconde équation (i) se réduit à or^ = — x"j^'. Multipliant de part et d^autre par le sinus s de Pangle compris entre A et B, et supprimant le signe — , qui est inutile pour la propriété à démontrer, on aura :c'j^'^ = x"j^"#. Or, e étant le sinus de Pangle entre j:' et^ et entre a;" et^', les produits o^ys et x^^y^s expriment les aire* respectives des parallé^ logrammes construits sur les coordonnées a;', y et a;","^", et ajant pour diagonale, le premier 2 A' et le second 2B':.donc, etc«

91. Remarquons que comme a:'j^=— a:"^', les deux équations (3) deviennent

B« rz jr" + y et A' = a:'» + a:"».

Diaprés ces deux relations remarquables, si A et B sont les demi-axes de Pellipse , ce qui donne A'' = x^ -{-y^ei B^ =2 x'" +^''1 on trouvera .

comme au n** 85. De plus, si s désigne le sinus de Pangle de^ deux diamètres conjugués 2 A' et 2B', la multiplication des équan tions (3) donnera

AB myx'' — a:y = A'B'» (20),

relation trouvée au n* 86.

^Bi*bHliHidiriMk«i^«i^liiBkBÉMiaH

( 60 ) 91* La diamhfyv de la hase Stai cylindre droit tfant égal au êêcond axe 2B t^une ellipse donnée, on geui toujourg couper ce cylindre par un plan, de manûre que la section résultante sait égale à f ellipse proposée. Pour cela, menons le plan LRIH suivant Taxe GV du cylindre (fig. i4)) prenons OK= A, a A étant le grand axe, et tirons RON ; nous aurons RN = aA. Snivant RN menons sur le plan HK, un plan perpendiculaire, dont Tintersection avec la sturface convexe du cylindre sera la courbe fermée NMRG. Soit M un point quelconque de cette courbe, et x^j^les coordonnées rectangulaires OP, PM, de ce point ; on aura PR = A — a; et PN z= A -{- ^« Par la droite MP, perpendiculaire au plan HK , soit mené le plan DiyiS perpendiculaire à Faxe GV ; ce plan coupera le cylindre suivant un cercle ayant DS = IH.=:2B pour diamètre, et il viendra PS = B — PQ et PD = B -|- PQ. Gomme M est^un point de la circonférence du cercle précédent et que MP ou jr est perpendiculaire au diamètre DS, on a jr' = PS X PD = B*— PQ*. D'ailleurs, dans le triangle

PND, DQ : NO :: PQ : OP ou B : A : : PQ : x; donc pq=

Bx

—, et il vient, pour tous les points de la courbe NMRG,

^« = B» — 5^ ou A>-=» + B'ar» = A*B» f

donc cette courbe est Fellipse proposée. Ge qu'il fallait démontrer. *

On voit que les sections faites dans un cylindre droit, par des plans , ne sauraient être que des rçctangles , des cercles ou des ellipses.

93. Remarquons d'ailleurs que les deux plaAs HTI et NMR, étant perpendiculaires au plan HK, leur intersection conunune est perpendiculaire au même plan , aiijsi qu'aux deux droites IH et NR; l'angle de ces deux droites, ou son égal NOF, m«sure donc le coin des deux plans HTI et NMR. £t comme la base «■B' du cylindre est évidemment la projection de l'aire £ terminée par l'ellipse NMRG, il s'ensuit que »B» = E X cos NOF (G. 258). Mais le triangle rccUngle NOF donne cos NOP=

•^ ; il vient donc £ = «-AB, valeur que nous trouverons plus

bas, d'une autre manière.

' 94. Il résulte de ce qui précède (92) qa'une ellipse donnée

peut toujours être disposée à V égard £un plan , de manière que

sa projection tur ce plan soit un cercle, ayant le second axe pour diamètre; ce qui periïiet de démontrer, pour Pellipse,. plusieurs propriétés analogues à celle dont jouit le cercle. En voici une : De tous lès quadrilatères qu'on peut ùiserire dans une même ellipse^ le plus grand est un paraUclogramme dont les sommets sont aux eoctré* mités de dfiux diamètres conjugués» Pour démontrer ce théorème , soit M un quadrilatère inscrit dans 1 ellipse proposée et N la projection de M sur le ^lan du cercle qui est k projection de Pellipse \ N sera un quadrilatère itiscrit daiis le cercle, et on aura, en désignant par v Tangle deS deux plans, N =±:]VI cos v (G. a58 ).

Puisque cos v est constant, tandis que M et N sont variables, il est claif que quand N sera un maximum , ce qui arrive dès que Pï est un carre, M sera aiissi \xh maximum. Les diagonales d et dJ^Aa quadrilatère milximum M ayant pour projections les diagonales D et D' du carré N , et celtbsroi se coupant au centre du cercle, il s* ensuit que d et d^ se coupent au centre de Fellipse. De plus , dans Tellipse , toute cordé c parallèle à <i, a pour projection dadS le cercl&,> la corde C parallèle à D ; et puisque D' divise évidemment C en deux parties égales, de même df divisera c en deux parties égales. Ainsi les diagonales «î e,t d^ du quadrilatère maximum M, sont telles que chacune divise en deux parties égales toute corde parallèle à Fautre \ doxic ces diagonales Sont deux diamètres conjugués ( 89 , i** ) ei le quadrilatère maximum M , un parallélogramme.

On voit en outre, que comme il y a ime infinité de quadrilatères maximîums égaux, inscrits dans le cercle, il y a aussi une infinité dé quadrilatères maximums équivalens, inscrits dans TeSipse : tous sont des parallélogrammes, dont un seul rectangle , ayant pour diagonales les' deux diamètres conjugua égaux , et un seul losange, ayant pour diagonales les deujt aixes.

95. Par des raisoUnemens analogues aux préoédens, ooi démontrera aisément les théorèmes que voici : .

I. De tous les quadrilatères circonscrits à la même ellipse,- le pins petit est Bn parallélogramme , dont les points de tangence sont aux extrémités de deux diamètres conjugués*, et il y a une infinité de quadrilatères circonscrits, de même surface minimum, dont un seul rectangle,- touchant Fellipse aux extrémités des deux axes , et un seul losange , ayant les points de contact aux extrémités des diamètres conjugués égaux.

II. De tous les triangles iuscrits dans Fellipse, le plus grand renfenne les trois qttarts du diamètre mené par son sommet , sa base étant parallèle au Conjugué de ce diamètre.

in. De tou» les triangles circonscrits h ïtt même ellipse ^ lé p^ pedl: a, la base parallèle à un diamètre et le sommet sur le prolongement dii^ conjugué de ce diamètre, à une distaUce àd centre égale à ce conjuguée

IV. La droite qui joint le centre d^une ellipse au sommet de Fàùgle' circoBsertt y divise jft oor de de contact en deux parties égales.

g6. On appelle aire on iuffaee de Pèllipse la portion plane terminée. par cette courbe. Pour mesurer cette surface, décrivons une circonférence sur le grand axe comme diamètre : le cercle n^étant qu^un polygone régulier d^uue infinité de c6tés , infiniment petits ; si de deux sommets voisins D et D^ de ce polygone (fig. i5), on mène les ordonnées DP et DT', elles couperont PelIipse aux points M et M'; et conune les cordes des arcs infiniment petits DD' et MM', coïncident nécessairement avec ces arcs, les deux figures PP'D'D et PP'M'M, sont deux trapèzes de même hauteur PP'; donc PD' ; PM' ; ; PD + P'D' * PM -|- P'M'. Mais aA et iB désignant les deux axes de Tellipse proposée, on a vu (64) que PD : PM : : PT)' : P'M' ; : A : B ; d'où l'on tire PD + P'D' : PM + P'M' : : A : B. Ainsi, k cause du rapport commua , il vient

pd':pm'::a;b.

On voit, par cette proportion, que chacun des trapèzes qui composent l'aire du cercle est au trapèze correspondant de Paire de l'ellipse , comme A * B ; donc la sonune des trapèzes qui composent l'aire du cercle est à la somme des trapèzes qui forment l'aire de l'ellipse ; • A J B 5 c'est-à-dire que l'aire «-A* du cercle est à l'aire E de l'ellipse * * A * B. Cette proportion donne £ = irAB. Donc, fmre de ï^ ellipse est égale au nombre v multiplié par le produit des deux demi-axes.

Soit é l'angle de deux diamètres conjugués 2 A' et 21B'; on aura aussi E = ^rA'B' sin é.

Q'j, On voit d'ailleurs que le secteur elliptique ABM est au sectettr circulaire ABD , comme le second axe est au premier. Car en raisonnant comme on vient de le faire, on trouvera que le segment elliptique PB M est au segment circulaire PBD, comme B * A. Mais il est de plus visible que APM l APD **

B : A :: pbm : pbd 5 donc enfin ABM : ABD :: B : A.

98. Soit é l'angle des deux diamètres conjugués 2A' et aB^ s un segment d'ellipse entre une portion de 2 A' et deux ordon-nées parallèles à aF, «' un segment du cercle décrit sur le diamètre 2A', compris entre la portion précédente de 2A' et les perpendiculaires élevées sur aA^ aux extrémités de cette por-

tion ; on trouvera « = j, «^ sm «.