NOUVELLES NOTES ET ADDITIONS

Depuis moins de deux mois que l'impression du présent ouvragé est terminée, il a déjà été l'objet de plusieurs observations, propres à confirmer Fauteur dans la pensée qu'un tel livre élémentaire peut devenir fort utile. Ces observations et une lecture plus approfondie lui ont fourni le« notes et additions qui suivent.

Note sur le n° 2o5.

Avant de démontrer le principe très-important de ce n 6 , il est bon cU rappeler les notions sur lesquelles cette démonstration est basée.

i° Soient c le centre et b le rayon de la base d'un cylindre droit (figi <6a ). Par l'axe cC de ce cylindre, faisons passer te plan AB&z; menons là droite ACB, de manière qu'on ait CA = CB=:fc!c=:a; par la droite .AB faisons passer le plan AMBL perpendiculaire au plan ABba ; le prexxiier plan coupera la surface cylindrique suivant une ellipse AMBL. En effet, imaginons par le point À la parallèle à ac, qui sera égale à 5, et pari le point c la perpendiculaire c$ à AG et conséqnemment au plan AMB ; nous aurons ainsi deux triangles rectangles équiangles et égaux, qui don-* lient cS = 5 ; et par suite, en prenant CS f = CS = c , il vient c* = a* — 5 3 . Soit M un point quelconque de la courbe AMBL ; le plan MCé rencontre la surface cylindrique suivant les génératrices Mm et L/, parallèles à cC$ de sorte que le trapèze ML/m donné CM=CL et Mm+L£ ~~=± acC = ia. Les deux triangles rectangles cSM et clAm étant égaux t on à 1QS = Mm. On trouvera de même SL = L/; donc SM -f- SL =* fAm-\-htz±=.ia. H est clair d'ailleurs que la figure SMS'L est un parajU 14ogramme, et qu* ainsi SL = S'M. Par conséquent

Or, on appelle ellipse une courbe plane telle, que la somme des distances de chacun de ses points à deux points donnés S et S', est constamment la même et égale à une droite donnée ia\ la courbe AMBL est donc une ellipse \ S et S' en sont les foyers % c ou CA Vexcentricité et &M un rayon vecteur.

a Le point G divisé toute droite LM, menée par lui et terminée à la courbe, en deux parties égales; donc C est le centre et la droite LM *ut diamètre de l'ellipse. H est clair que tous les diamètres de cette courbe ont, sur la base du cylindre $ des projections égales au diamètre rxb de cette base $ et si v désigne l'angle d'un diamètre quelconque d dé . l'ellipse 4 avec sa projection a£, il est facile de voir qu'on aura ib=:d «os v. L'intersection des deux plans AMB et amb est évidemment pcr-^ pendiculaire aux droites BA et ba ; l'angle v de ces deux droites, qui est sésxi des deux plans, est donc un maximum; son cosinus un minimum; ef

par suite le diamètre A6 = la est le plus grand possible. C'est pourquoi AB est dit le grand axe de l'ellipse. Le plan mené par cG , perpendiculairement au plan ABab , coupe celui de l'ellipse suivant le diamètre d i perpendiculaire à AB et parallèle à sa projection ai , comme parallèles à une même intersection -, on aura donc alors v =5 o ou cos v = 1 et d = a3. Ainsi cos v étant à son maximum, le diamètre d sera le moindre possisible : c'est le petit axe de l'ellipse* On voit que les deux axes aa et ab de V ellipse % sont l'un le plus grand et Vautre te plus petit de tous ses diamètres^ et font entre eux des angles droits»

3° Soit toujours M un point quelconque de l'ellipse et ml la projection du diamètre ML sur la base du cylindre. Menant les tangentes mt et Ih à cette base , ces deux tangentes seront parallèles \ les deux plans Mmt et. hlh seront donc aussi parallèles , et rencontreront le plan de l'ellipse suivant les parallèles MT et LH , qui seront les seules tangentes à cette courbe, en M et L. Tirant la droite MSH, je dis qu'on aura MH r=aa. D'abord, à cause que la figure MSLS' est un parallélogramme, on a L'angle SLH = S'MR. De plus, M étant le point de contact de la tangente TR, on a vu (page 61) que l'angle S'MR:=SMT = SHL; donc l'angle SLH=SHL-, d 1 où SH— SLr=S'M. Ajoutant SM de part et d'autre, on aura SM -f- SH ou MHzz: S r M -f- STVt =: ia. Ainsi dans V ellipse,/ les tangentes aux extrémités d'un même diamètre, sont parai* lèles entre elles} et elles interceptent , sur la droite menée d'un foyer à l'un des points de contact, une longueur égale au grand axe,

4° L'aire £ de l'ellipse a pour projection Taire <r£ a de la base du cylindre droit*, et v désignant l'angle des deux plans, il vient à la fois b~ a cos v et ira* =r: £ cos v *, donc £ zzz nab.

5° Les notions précédentes suffisent pour démontrer complètement le principe du n° ao5', et en conservant les dénominations et les constructions qui précédent, cette démonstration commencera- à la ligne 6?, en remontant, dans la page 172. Mais il faut bien remarquer que M est un point quelconque de l'eHipse, et n'est pas situé à l'extrémité du petit axe, comme semblée l'indiquer le paragraphe qui précède cette ligne 6*.

La méthode des projections^ appliquée à la figure proposée, conduirait fort simplement aux diverses propriétés de l'ellipse ; mais ce n'est pas ici le Heu de développer ces applications : on peut consulter sur cet objet, un article de Mb. Éerriot % tome II des Annale* de Mathématiques.

Note sur le principe du ra* 198.

Ce principe est une véritable intégration et permet de foire descendre dans les elémens, plusieurs, recherches importantes exclusivement réservées au calcul intégral. Mais il peut arriver quefu ait un développemeat composé d'une infinité de ternes, affectés des puissances ascendantes de la variable. « : dans ce cas, pour obtenir S (Ju), si l'on fait usage des deux termes de S^ , le second fournira une grandeur plus petite que le produit de x par une série, dont la somme sera une quantité finie; ce produit sera donc une quantité' infiniment petite; et conséquesuneat, il

suffira d'employer le premier terme de S m , comme le suppose le principe proposé. Par exemple , si on a

fu zzz x ( 1 -f- ux)"~ x = x — x*u -f- x i? — jtm -(- etc. ;

en prenant S (,/«), au moyen des deux termes de S m , et désignant par k la valeur due au premier terme, on aura, à- cause de h = nx, ;

S (» = k + ( — < hx + < h*x — < A 3 x + eç, )

Ce qui vient après k est moindre que si l'on prenait avec le signe + tous les termes entre parenthèses $ ainsi on a

SO) = * + <*(i + A + A a +A 3 +etc.-- 0; d'où S(Ju) = k + <x(^-j t ~- \\ et S(/fc) = *.

Travail de la pesanteur variable, dans le vide.

H faut d'abord chercher l'expression de l'arc x en fonction de son sinus s. Pour cela, on observe que l'arc changeant de signe avec son sinus, sans changer de grandeur absolue, on doit poser

x =z as + &* + es -{- d$ 7 -f- es 9 -{- etc. ;

et il s'agit de déterminer les valeurs des coefficiens a, 5, c, d % etc., propres à rendre identique l'équation précédente. Or, comme x est quelconque, ces coefficiens ne changeront pas et l'équation subsistera toujours» si au lieu de x on prend x -J-j", y étant un arc infiniment petit, qui donne sinjrrrrjr et cosj-= 1. Dans ce cas, s ou sin x deviendra sin (x-\-y) = ' sin x cos y + sin^ cos x = s -\~yz , en posant cos x =: s. De sorte que changer jc en x+^", dans l'équation proposée, c'est y changer s en s + yz\ développant donc les puissances de s^yz^et observant qaey étant infiniment petit, l'équation résultante ne peut être identique qu'autant que les coefficiens de la première puissance de y sont égaux de part et d'autre, on aura, en égalant ces deux coefficiens et en divisant par z %

i = a + Us % + 5*« 4 + 7<fc 6 + g** 8 + etc.

{Tailleurs, à cause de z = \fi — $% on a

Ces deux valeurs de — étant nécessairement identiques , les oocfîicicus

d'une même puissance de la variable s sont égaux, et l'on a

Substituant ces valeurs dans l'expression de x, on aura enfin

Cela posç , cherchons le travail A de la pesanteur, dans la vide, pour y faire descendre un corps de masse M, suivant la hauteur h, en ayant égard aux variations de la gravité. Soit a la distance initiale du corps au Centre de la terre, g la mesure de la gravite', à cette distance, et sa mesure à la distance 1 ; on aura donc 1 l a 9 • l g l p=zga*. Imaginons la hauteur h divisée en un nombre infini n de parties égales à x, d'où h = #ix t et soit v r la vitesse que la gravité imprime à la masse M, à la distance a — ux du centre du globe; ce qui donnera 1 ; (a — ux)* • j v' j e. A cette distance, la force motrice est Mv' : elle est égale à la résistance vaincue, supposée constante le long du très-petit chemin x\ par conséquent la quantité de travail développée par la pesanteur, pour vaincre l'inertie du corps suivant le u 9 chemin or, a pour mesure Mt/'x, ou yiLtx (a~*ux )-*, ou enfin

M * (7. + ¥ w + ï ** + Ç* 3 + etc - )•

Ainsi (198) on a, pour la quantité de travail demandée,

La vitesse v acquise par le corps, à la fin de sa chute suivant la hau-* ^eur h,' peut évidemment être considérée comme produite par l'action d'une force accélératrice constante le long de cette hauteur. Appelant g* la mesure de cette force accélératrice constante, on aura v* = 2gfh» D'ailleurs, la force motrice, nécessairement égale à la résistance, est M^ }â quantité de travail 6 est donc M#*A, ou £Mv'« Par conséquent

«(a — A) Il existe une relation entre le temps t et la hauteur h. Pour la decou-r vTir, soit tt le temps infiniment petit que le corps M emploie à descendre Ja u e partie x de la hauteur A, avec la vitesse u f , que l'on peut regarder çoçome constante le long de x; on aura à la fois

is^tl »»zS. '** . , ; d'où *- x |/f.|/îrï.

Développant le second radical, d'après les séries binomiales, puis observant que t = S ( t 1 ) est le temps que le corps M emploie à parcourir }a hauteur A, on. trouvera

Soit 4f ==. |/i = 1/ -i il est facile de voir que la quantité entre çro-

•hets, çst ht somme' des deux séries qte voici :

* -*"** "*■ T7 " "~ TT** — ? >» ^ <y &* r- etc.

Là seconde dé ces deux séries exprime le développement de l/*i — b\

et d'après ce qu'on a vu plus haut, le multiplicateur de - représente Tare

dont le sinus est *, et conséquemment le demi-arc dont le cosinus =c • Ainsi, en réduisant, il viendra enfin

Telle est l'expression qu'on obtient par le calcul intégral. Si h est l'une les hauteurs que Ton considère ordinairement, elle sera infiniment petite cm nulle à l'égard de a; et alors, à cause de «*#=; • , on aura, comme cela doit être, v* =3 igh ; et quant au temps f 1 il est clair que

arc

f cos = J =r arc I sin = • I .

Le sinus étant très-petit, on peut le regarder comme égal à l'arc; et alors il vient ■ /ih

Ce qui est précisément la même hauteur que si la gravité était constante.

Si l'on fait hiatuà on aura v=co et t ==- \/ — • D'où il suit que

les temps employés par deux corps partant du repos , pour arriver au centre d'attraction, sont entre eux comme les racines carrées des cubes de leurs distances initiales à ce centre.

Noie sur quelques définitions.

Au lieu de la dénomination de forces constantes , que nous avons mployée, d'après M. Péclet, afin d'éviter l'inexactitude qui résulte des ïots forces instantanées , l'auteur d'un article très-bienveillant, inséré ans le Courrier de la Meuse, le ad août dernier, pense qu'il serait précâblé de faire usage des mots forces initiales. Il est clair d'ailleurs que *s forces initiales produisent nécessairement des mouvemens uniformes, t qu'il en est de même de toute force accélératrice, pourvu que le monument soit considéré après que cette force a cessé d'agir; car pendant ari action , le mouvement est évidemment varié.

Il arrive quelquefois que la vitesse n'est pas constante, bien que les spaces décrits au bout de certains temps égaux, soient égaux. De seinlabiés, mouvemens sont dits périodiques; et pour la simplicité, on les emplace par des mouvemens entièrement uniformes, qui s'accompliraient iàns le même temps. La vitesse constante, qui résulte de cette substituions est une vitesse moyenne, bien différente de la vitesse effective $ qui st variable à chaque instant. C'est ainsi que les astronomes ont substitué u mouvement réel ou vrai de la terre, qui n'est que périodique ^ un nouvement moyen, uniforme, beaucoup moins compliqué, et qui s'ac-* f>mpjit comme l'autre, dans le cours d'une année-, de là aussi la, distinct

tion an jour ou temps vrai, donné par les cadrans solaires, et du jour on temps moyen, indiqué par les bonnes horloges. De même, on regarde comme uniforme le mouvement du piéton, qui parcourt une lieue de chemin par heure, bien que ce mouvement ne soit que périodique, puisqu'il est tantôt accéléré, tantôt retardé, et variable à chaque instant.

Les conditions de l'équilibre de plusieurs forces qui agissent sur un corps en repos > comme nous le supposons au n° i3, ne dépendent évidemment ni du temps ni de la vitesse ; mais il n'en serait pas toujours de même, si le corps était en mouvement* Par exemple, pour un mouvement rectiligne uniforme, dans un milieu résistant , les forces qui agissent sur le corps se font bien équilibre, et pourtant la résistance du milieu, qui est une des forces agissantes, est fonction de la vitesse du mobile. Cette observation se trouve dans l'article cité plus haut \ et les inexactitudes, page 194, signalées dans le même article, viennent de) deux fautes d'impression, dont voici les corrections : an lieu des mots principaux^ principal^ page iq4, lignes 6 e et i3% en remontant, il faut mettre /wrmanens, permanent, -

Pareillement, dans la page 988, les lignes g m6 et i re , en remontant, doivent être remplacées par celles-ci :

r m 4 r mm x(l4-ot) m xid'oii d' = ^

On peut placer à la suite du n° as5, les deux problème* que voici : Une tringle cylindrique verticale, dont l'axe et le rayon valent respectivement i5 et 1 centimètres, est suspendue à un point fixe, par un fil, long de 5 centimètres, attaché au centre de la base supérieure ; en quel point tautril frapper la tringle, pour que pendant ses oscillations autooi du point de suspension, le fil sans pesanteur soit toujours dans la direction de l'axe du cylindre? (R. à 6 centimètres environ de l'extrémité inférieure. )

Si la tringle avait 36 centimètres de longueur, à quelle hauteur ta drait-il la suspendre, par un axe fixe, pour que frappée à l'extr&ité inférieure, l'axe de suspension n'éprouvât aucun choc? (R, à i> centimètres environ 4c l'extrémité supérieure.)

Centre spontané de rotation*

Considérons un corps quelconque de masse M, parfaitement Vtore, e * supposons-le frappé par une force R, rencontrant perpendiculaire© 6111 en un point A l'axe contenant le centre de gravité G. H est ckir (176) que le corps aura le double mouvement de translation et de relation • utour de ce centre : mais an premier moment du choc, l'un des 1 peints * l'axe demeurera en repos. Quel est ce point?

Pour en déterminer h position, soit v la vitesse de translation iflipflmée au poiîtt A et coqséquemment au cenftrtfcte gratté G; 041 aurai 1 *

ord R^=Mv. Appelons O le point cherche sur Taxe, d et d les distances X) et AG, et soit u la vitesse angulaire de rotation autour de G : si Ton •rend les momens des forces parallèles de rotation , par rapport à Taxe xe passant par G* on aura (aaa) Rd = Iw, et I = MA*, Le point O levant rester en repos, au moment du choc, ne peut se trouver que sur s prolongement de AG, afin que sa vitesse de rotation (a — d) u et sa itesse de translation v soient égales et contraires ; on a donc {a — d)u — v. Cette équation et les trois précédentes, donnent

CL **" d "ï— — •

Telle est la formule qui détermine le point O cherché : elle ne dépend ['ailleurs ni de R, ni de v.

Le point O est appelé centre spontané de rotation $ parce que si Ton ilaçait en ce point un axe fixe, parallèle à celui du mouvement de rotation tutour de G, cet axe fixe n'éprouverait aucune secousse , au moment du hoc. La valeur de a montre que le centre spontané de rotation serait e même que le centre de percussion , si ton supposait que le corps M ourndt autour d'un axejixe^ placé en A.

De là on tire la solution du problème que voici i

Une tringle cylindrique , dont Taxe et le rayon de la base valent res- )ectivement 36 et i centimètres, est appuyée horizontalement par ses deux extrémités sur deux supports A et 8. Le support 6 venant à manquer, la ringle tombe en tournant autour du support A. A quoi se réduit d'abord e demi-poids que A supportait ? ( R. au quart environ du poids total. )

Détente de$ gaz.

Supposons que dans un cylindre fermé à une extrémité, se trouve une nasse de gaz, comprimée par un piston, d'ailleurs mobile sans frottement, cette masse occupant la longueur donnée a dans le cylindre; et herchons quel doit être le travail ô de la détente sur le piston, pour que x. même masse occupe la longueur connue 6, plus grande que e, la 'température demeurant constante ?

. Soit d'abord & ïfr £ ■*— a , et concevons la longueur h divisée en un lombre infini n de parties égales à j, infiniment petites, de manière [u'on ait h=znx* D'après la loi de Mariotte, pour une même masse de jaz, à une température constante, les forces de détente » et p' sont entre 'lies dans la raison inverse des volumes ou des longueurs a et a -}- ux \ m a donc p : p f t • a -j- ux • a. La résistance le long du u e chemin infiniment petit x, doit être regardée comme constante suivant ce chemin, et -omme égale à la force <p r de la détente ; lé travail de cette force suivant le chemin x , a donc pour mesure ?'x. Substituant la valeur de ?', tirée 3e la proportion précédente et développant la division de x par a-\-ux\ prenant ensuite la somme des n travaux partiels qui en résultent en faisant u = i, a, 3, 4i •••, w, et ayant égard au principe du n° 198, on Couvera, pour le travail total de la détente 1

. fh-h*-h* a« , \

r \a aa a ' 3a 3 4<t* ' y

Or, d'après les séries logarithmiques, la quantité entre parenthèses représente — M i -] — h donc puisque a + h == o, il Tient

Maintenant, supposons le cylindre vertical et soit p le poids du piston t

et conséquemment - sa masse. La détente du gaz aura d'abord à vaincre

le travail ph de la pesanteur; puis l'inertie de la masse du piston, pour

lui donner la vitesse v. ce qui exigera le travail ■£- v a . Ainsi le travail de

la détente, suivant la hauteur A, sera, abstraction faite du frottement suf les parois,

è = £-v* + ph.

Cette équation et la formule (1) donnent

La vitesse v sera évidemment à son maximum, lorsque la force de la détente sera égale au poids p ; ce qui aura lieu quand la longueur h aura la valeur donnée par la proportion *\p\\b\a. Passé ce terme, v diminue et le mouvement est retardé jusqu'à ce qu'on ait v = o ; puis le piston descend, pour remonter ensuite. De sorte qu'il oscillerait indéfiniment, s'il n'y avait ni frottement, ni aucune perte de gaz.

On sait que l'inflammation de la poudre développe une grande quantité de fluide élastique, et que cette masse de fluide, contrainte dans un espacer étroit, de longueur a du canon, chasse avec la force 9 le projectile. L$ longueur b qu'il convient de donner au canon , pour que la vitesse v, à la sortie du boulet, soit un maximum , est fournie par la proportion plptl b\a. Si Taxe du tube est horizontal, on peut faire abstraction du poids du boulet et de la résistance de l'air, qui altèrent peu la vitesse jusqu'à l'orifice du canon. Supposant donc ^^±^=0, la vitesse de sortie sera

"-Tfx'C:)

Max.fn, P/meie /.