Voici deux théorèmes, faciles k démontrer

i # Soient n forces non parallèles appliquées à l'extrémité A d'un levier droit AB, mobile autour de son appui C; supposons que ces n forces agissent d'un même côté de AB et soient chacune représentée par la partie de sa direction entre A et une parallèle à AB ; je dis que si Tune de ces n forces fait équilibre à la résistance P, appliquée en B, les n forces feront équilibre à la résistance nP.

( es )

»° Si n forcée quelconques de même sens sont appliquées tangentiéUement à diflerens points d'une circonférence mobile autour de son centre, la force tangente et de sens opposé, qui leur fait équilibre, est égale à leur somme, et peut être appliquée à tel point on voudra de la circonférence.

On peut aussi trouver aisément les conditions de l'équilibre d'une verge inflexible et sans pesanteur AB, appuyée contre un obstacle C, sur lequel elle peut glisser librement, cette verge étant tirée à ses extrémités par deux forces données P et Q , se coupant en un point inconnu D.

82. De la balance. De toutes les machines, le levier est la plus simple, la plus utile et la plus fréquemment employée, sous diverses formes. La balance ordinaire est un levier du premier genre, destiné à évaluer les poids des corps : elle se compose d'un fléau AB, mobile autour de son milieu G, retenu fixe par un axe ou couteau posé sur un appui ou sur une chape verticale GF, et de deux bassins D et G, suspendus aux extrémités du fléau, dans lesquels on place les corps dont on veut comparer les poids (fig. ao ). V aiguille GE, perpendiculaire au milieu G de la droite AB qui joint les points de suspension des deux bassins , coïncide avec la direction verticale de la chape , lorsqu'il y a équilibre, c'est-à-dire lorsque les corps placés dans les deux bassins, ont des poids égaux.

On dispose ordinairement cette machine de manière qu'il y ait peu de frottement sur l'appui, que le fléau soit horizontal lorsque les bassins sont vides, que l'appui soit exactement au milieu de lar longueur AB du fléau et que le centre de gravité du système tombé un' peu au-dessous de l'appui. Toutes ces conditions sont nécessaires pour que la balance soit exacte. D'abord on diminue, autant que possible, le frottement sur l'appui, pour que la balance ait une sensibilité, c'est-à-dire une disposition à se mouvoir telle, que l'on puisse apercevoir aisément l'inégalité des poids dans les bassins ; ce qui n'arriverait pas si le frottement n'était pas très-faible. Ensuite , pour n'avoir pas à considérer le poids de la balance, on la construit de manière que la direction verticale de ce poids*, passe par l'appui , et que le fléau soit horizontal, quand elle est en équilibre d'elle-même, et par suite quand elle est chargée de poids égaux ; ce qui permet de bien apprécier cet équilibre , par la coïncidence de l'aiguille avec la direction verticale de là chape. Il faut de plus , que le centre de gravité du système tombe verticalement un peu au-dessous de l'appui , afin que l'équilibre soit stable et que la balance y re-

vienne, lorsqu'elle en est dérangée. Enfin, est essentiel que l'appui C sok exactement au milieu du fléau , c'est-à-dire qne les deux bras CA et GB soient exactement égaux en longueur et en grosseur.

Pour voir si cette condition importante est remplie, il suffît de changer de bassins les poids qui établissaient l'équilibre ; car si les deux bras ne sont pas égaux, le plus grand des deux poids, qui répondait au plus petit bras, répondra ensuite au plus long; et par suite , l'équilibre ne pourra subsister entre les deux poids, dans leurs nouvelles positions. Donc s'il y a équilibre dans les deux cas, les deux bras seront nécessairement égaux, et la balance sera juste. On pourra alors s'en servir pour évaluer exactement le poids du corps, placé dans un bassin, en chargeant l'autre de poids connus , jusqu'à ce que l'équilibre soit établi.

83. La construction d'une balance exacte est peut-être l'une des parties les plus difficiles de l'art du mécanicien ; aussi en trouve-ton peu qui remplissent toutes les conditions d'une rigoureuse exactitude; et c'est pourquoi, dans les expériences qui demandent beaucoup de précision, il faut employer la méthode des doublée pesées, due à Borda : elle consiste à placer le corps dans l'un des bassins de la balance , puis à équilibrer au moyen de poussière métallique qu'on verse dans l'autre : quand l'équilibre est bien établi , on enlève le corps et on le remplace par des poids étalonnés , jusqu'à ce qu'il y ait de nouveau équilibre. Il est visible que de cette manière , on a exactement le poids du corps, et qu'il ne peut rester que les erreurs dues à l'opération de la pesée , surtout si l'on prend soin de tenir la balance dans la première position d'équilibre, pendant qu'on remplace le corps par des poids connus ; ce qui évite en grande partie, les effets du frottement.

84- On peut aussi employer une balance fausse, pour trouver le poids inconnu P d'un corps , en le plaçant successivement dans les deux bassins et en établissant chaque fois* l'équilibre avec les poids connus m et «. En effet, soient x et jr les longueurs respectives des deux bras de la balance, et supposons que la verticale menée par son centre de gravité, rencontre le point d'appui : il est clair qu'on aura successivement Vxzzmjr et Vjr=.nx\ d'où P:z=[/wî,

La balance a des usages trés-mulupliés et très-importans : elle esç in-' dispensable au chimiste, au physicien, au métallurgiste et au constractwr

de machines. Son emploi se reproduit uns cesse dans presque toutes les transactions commerciales. Aussi reçoit-elle diverses formes, dépendantes des usages auxquels elle est spécialement destinée \ et teilles sont entre autres, les Romaines et les Pesons. Dans la balance ordinaire, il faut avoir un poids au moins égal à celui des corps que l'on peut avoir à peser, ce qui, dans certains cas, devient embarrassant. L'objet dt la romaine est d'éviter cette gêne, et de n'employer qu'un seul poids pour, évaluer ceux des différera corps.

85. De là romaine. La romaine est un levier droit, dont les bras sont inégaux, et qui sert à peser un corps attaché au plus petit bras, au mojen d'un poids constant qu'on éloigne suffisamment de l'appui (fig. 21). On la construit ordinairement de manière à être en équilibre , indépendamment des deux poids : le levier 011 fléau est alors horizontal. Il doit pouvoir se mouvoir librement autour de Taxe horizontal sur lequel il s'appuie, et décrire un plan vertical. Ces conditions remplies, si l'on désigne par a et b les longueurs respectives des deux bras , par R et P les poids qui leur sont attachés, a et P étant constans, b et H variables } il est clair que pour l'équilibre, on aura

aR = H> 5 d'où R = PX--

a Si donc 6=:9na, m étant un nombre entier ou fractionnaire, il Tiendra R = mP. De sorte que le poids P constant étant, par exemple, 1 kilogramme, le poids cherché R vaudra m kilogrammes.

Pour n'avoir pas à mesurer chaque fois la longueur variable i, on divise, à partir de l'appui , le plus long bras de la romaine en parties égales au plus petit a\ et quand pour l'équilibre, le poids constant P s'arrête au i er , 2% 3 e , 4% •••-» ftième point de division, on en conclut que le poids cherché R vaut P, 2P, 3P, 4P, •••* nV. Et pour estimer des fractions de P, on divise chacune des portions égales du plus long bras, en un certain nombre d'autres parties égales. De sorte, par exemple, que si P s'arrêtait au second tiers de la 6* portion , on aurait R == P X 5f .

86. Lorsque la direction du centre de gravité de la romaine tombe sur le plus long bras du fléau , et que les portions égales doivent être différentes du plus petit a, on peut trouver ces portions égales en procédant comme il suit : soit toujours P le poids constant , mobile sur le plus long bras , d v sa distance variable à l'appui ; B^ le poids inconnu attaché à l'extrémité de a\ Q le poids du fléau , du bassin ou crochet et de l'anneau qui supporte

( 68 ) P; enfin, soit x la distance de l'appui au poids inconnu Q. II est visible que pour l'équilibre, on aura aR v =:Vd v + Qx.

De même , cR v+1 = Vd v+l + Q* ;

donc *(R V+I — K) = r t*u + —4u>

Si donc on veut que les poids inconnus soient la suite des nombres entiers, le premier étant un kilogramme désigné par ft, les distances du poids constant seront aussi la suite des nombres entiers, la première étant désignée par <2, et on aura

aK = <JPs d'où <* = aXp-

Portant donc cette valeur de à sur le plus long bras du fléau, à partir de l'appui, les points de division successifs seront ceux où il faudra arrêter le poids constant P, pour l'équilibre, lorsque le corps suspendu à l'extrémité de a, pèsera 1, 2, 3, 4i etc., kilogrammes.

Gela suppose néanmoins que ak surpasse Qx : s'il en était autrement, il faudrait augmenter le bras a jusqu'à ce qu'on eût ak > Qx ; ou bien il faudrait ramener le centre de gravité sur l'appui, en attachant au plus petit bras un poids convenable; ce qui rentrerait dans le cas précédemment examiné.

87. On peut varier la balance romaine de différentes manié-, res, en rendant mobile, au lieu du poids constant P, soit le poids du corps à peser, soit le point de suspension du fléau , ce qui donnerait lieu à différentes constructions \ mais le principe est toujours le même. Et si dans chaque cas, on subdivise en dixièmes ou en centièmes les portions égales, on aura un instrument qui pourra servir à évaluer les poids des corps à ces décimales près de l'unité de poids. La romaine peut donc être, utile en. beaucoup de rencontres où la balance ordinaire ne serait d'aucun usage, tant à cause du grand nombre de poids étalonnés qu'exige l'emploi de la balance, que de la charge sur l'appui, qui est toujours plus grande que dans la romaine.

Néanmoins on peut aisément vérifier l'exactitude de la balance, et rendre ainsi plus rare la fraude que des vues d'un honteux intérêt pourraient exercer ; mais comment compter sur l'exactitude des indications de la romaine? Indépendamment de toutes les causes d'erreur dans la balance simple, on trouve ici celles qui viennent de l'incertitude des divisions , de la mobilité du poids constant dont le support ne peut in— • diquer qu'avec peu de précision la longueur du bras de levier variable.

D'ailleurs, il est très-difficile de vérifier riiistrument et de s'assurer de M justesse; car lors. même que le poids constant serait rigoureusement étalonné, le moindre choc, la plus petite tendance à la fraude, peuvent déranger les points de suspension, et altérer les rapports de longueurs, si indispensables à l'exactitude des pesées. On voit que la romaine, bien que très-commode en plusieurs circonstances , ne doit être employée qu'avec circonspection et qu'après s'être assuré que la construction en a été soignée dans toutes ses parties, par un ouvrier habile»

88. Du peson. Le peson est encore un instrument pour évaluer le poids des corps : c'est un levier coudé ACB (fig. aa), mobile autour d'un point G ou axe fixe* et dont les bras GA, CB, font entre eux un angle droit ÀCB.

Pour plus de simplicité, le bras CB, au bout duquel est suspendu le corps Q à peser, se prolonge au-delà de l'appui C, de manière que le centre de gravité de la verge BCB' tombe sur cet appui. Cette branche sera donc en équilibre dans toutes ses positions autour de C; et il ne restera, pour contrebalancer la force verticale Q, que le poids P du bras AC, appliqué à son. centre de gravité G. La résultante de ces deux forces étant dirigée suivant la verticale GO, et détruite par la résistance de l'appui G, lorsqu'il y a équilibre \ on voit qu'alors les momens des forces P et Q, par rapport à GO, sont égaux. De sorte qu'en faisant les longueurs BC = a et CG = b , et désignant l'angle variable OCG par p, on aura d'abord Q X BH == P X GI, et ensuite GI = b sin f , BH = a cos (p ; d'où Ton tire

tang 9 = sir

Dans cette valeur, les nombres, a, ff, P, restent toujours les mêmes ; donc si Q vaut successivement î, a, 3, 4i •••* n unité» de poids, tangente ç vaudra successivement /, it, 3/, ty % ..., nt. Si donc on adapte au peson un quart de cercle COAM, représentant le secteur que l'aiguille GA peut parcourir depuis la verticale GO jusqu'à l'horizontale GM, il est bien facile de marquer aux divers points de Parc les nombres qui répondent aux différent poids.

Menant en effet, la tangente indéfinie OT, puis suspendant d'abord en B le poids que l'on veut prendre pour unité ; ce poids fera monter l'aiguille d'un certain arc OA ; et la direction de cette aiguille étant prolongée jusqu'à sa rencontre en A' avec la ligne OT, on aura O A f = t. Portant donc cette longueur OA^ sur la droite OT, à partir du point O, et joignant les points de

division et le centre G par des droites, on aura sur le quadran les points où il faudra marquer les nombres 1, a, 3, 4i etc. Et si Ton veut subdiviser chaque partie de OT en fraction , on aura par la même construction les points de Parc où il faut marquer les mêmes fractions du poids qu'on a pris pour unité.

Gomme tangente <p ne peut devenir infinie que quand P est nul à Pégard de Q, on voit que le poids P* s'il n'est pas infiniment petit, suffira toujours pour contrebalancer un poMs Q aussi grand qu'on le voudra ; car tang <p peut avoir toutes les valeurs comprises entre o et l'infini. Mais pendant que cette tangente augmente par degrés égaux avec le poids Q du corps, l'arc n'augmente que par degrés inégaux qui diminuent sans cesse; et les divisions supérieures deviennent de moins en moins distinctes pour les mêmes accroissemens de poids. Ainsi pour que ces divisions ne soient pas trop rapprochées , il convient que le poids P ne soit pas très-petit ; il faut même l'augmenter, pour peser les corps d'un grand poids, afin que l'aiguille reste dans la partie moyenne du quart de cercle, où les inégalités des poids sont marquées d'une manière plus sensible.

89. On voit que le peson est d'un usage bien plus étendu que la romaine, et peut servir à peser les corps les plus considérables. Mais pour pouvoir compter sur ses indications, il est nécessaire que les divisions de l'arc soient marquées avec une grande exactitude, que les poids constans soient rigoureusement étalonnés, que le support GO soit exactement vertical , et que le frottement sur l'axe soit le moindre possible et" puisse être regardé comme nul.

H est de plus une autre cause d'erreur qui peut avoir une grande influence ; c'est la courbure que prend nécessairement le bras CB, lorsque est chargé d'un grand poids ; ce qui rapproche le point B de la verticale CO. On éviterait cet inconvénient en donnant au peson la forme et la disposition que voici ( fîg. a 3 ) :

On prendrait un cercle ou plutôt un cylindre homogène d'une épaisseur peu considérable, mobile par son axe G sur deux, supports CN, cet axe étant exactement horizontal et ses bases verticales exactement centrées. Aux extrémités d'un diamètre BB', on fixerait solidement deux crochets égaux, pour y suspendre les corps à peser, et on fixerait égalée ment le poids donné P à l'extrémité du rayon CP perpendiculaire à BW* Comme les poids égaux des crochets se contrebalancent autour de Taxe C, il est clair que quand le peson ne sera pas chargé, le rayon CP sera vertical, et son prolongement rencontrera la circonférence au zéro de h machine. Quant aux autres nombres, ils seront marqués sur le quadra&

B'o, et se trouveront par les constructions indiquées dans le cas précédent. Le nombre à l'extrémité A de l'aiguille verticale CA, fixée sur le support CN, sera la valeur du poids Q, suspendu en B.

Concevant deux barres homogènes, parfaitement égales en grosseur et en longueur, BB' et Po, invariablement fixées à angles droits Tune sur l'autre et sur un axe horizontal C , passant par leur milieu commun et parfaitement mobile sur deux supports CN; concevant de plus les extrémités de ces deux barres unies solidement par deux verges droites et homogènes PB et oB^, égales en' poids et en longueurs : on aura ainsi un instrument propre à servir de balance et de peson.

D'abord il est clair que quand les poids suspendus en P et B se feront équilibre, ils seront égaux, et l'aiguille verticale immobile CA, rencontrera la verge Wo en son milieu. D'un autre côté, l'unité de poids étant suspendue en P, il est facile de voir que le poids Q , placé en B, et qui lui fait équilibre, vaudra 1, 2, 3, 4, etc. unités, suivant que l'aiguille CA rencontrera la verge B'o à son milieu ou au point de cette verge, éloigné de B', d'une distance égale au tiers, au quart, au cinquième, etc., de la longueur Wo, £ia machine peut donc être employée, soit comme balance, soit comme peson.

go. De la poulie. La poulie est encore une machine simple qui dépend du levier : c'est une roue, dont la circonférence, creusée en gorge , reçoit une corde , cette roue étant traversée par un boulon ou axe, porté par les branches d'une chape.

La poulie est fixe quand la chape est attachée à un point fixe (fig. 24)* ^a puissance P et la résistance Q à vaincre sont alors appliquées à la circonférence de la poulie, au moyen d'une même corde qui en enveloppe une partie.

La poulie est mobile quand la chape est liée à la résistance et se meut avec elle (fig. a5). Alors la puissance P tire une extrémité de la corde dont Pautre extrémité est attachée à un point fixe.

Dans l'un et Pautre cas, si Ton mène les rayons CA et CB aux points extrêmes A et B , où les directions de la corde touchent la circonférence ; les deux forces P et Q pourront être regardées comme appliquées perpendiculairement aux extrémités des bras égaux du levier coudé ACB , dont l'appui est le point fixe C , effectivement immobile , lorsqu'il y a équilibre. On aura donc alors P X AC=Q X CB (33); c'est-à-dire P = Q. Ainsi, dans V équilibre de la poulie, les forces qui tirent les extrémités de la corde, sont égales entre elles,

La poulie fixe a donc pour but de changer la direction de la puissance, sans en altérer l'intensité; ce qui est souvent utile %

( 72 ) comme pour élever un fardeau au-dessus du lieu où Ton se trouve.

gi . Quant à la charge de l'appui C , ou de Taxe de la poulie, elle se compose, dans la podlie fixe (abstraction de la pesanteur de la corde), du poids de la roue et de la résultante des deux forces égales P et Q. Si donc la poulie est suspendue par sa chape CF, ce qui rend la droite AB horizontale , la résultante de deux forces égales P et Q, passera par le point C et divisera l'angle ACB en deux parties égales ; car elle doit diviser en deux également l'angle formé par les directions PÂ et QB (a 1 ). Cette résultante R sera donc perpendiculaire à la droite AB, à son milieu I, et conséquemment verticale. On aura donc alors l'angle ABC = ACI et P : R :: sin ABC : sinACB, ouP;R;: AC * AB. La résultante R étant calculée par cette proportion, on l'ajoutera au poids effectif de la poulie, pour avoir la charge de l'axe fixe C, laquelle sera verticale, comme ses composantes, de même sens.

' Reste à déterminer la charge de l'axe fixe , dans l'équilibre de la poulie mobile : elle est évidemment égale à la résistance R, appliquée à la chape. Comme le plus ordinairement la poulie mobile est employée à élever un poids, attaché à la chape, la résistance R est la somme de ce poids joint à ceux de la poulie et de la chape elle-même, Raisonnant donc, comme dans la poulie fixe, on verra que pour l'équilibre, P * R ** AC l AB. Ainsi dans V équilibre de la poulie mobile, la puissance est au poids à élever, comme le rayon de la poulie est à la soulehdante de tare embrassé par la corde.

Suivant que cet arc vaut moins, autant, ou plus que le tiers de la circonférence , la puissance vaut plus , autant , ou moins que la résistance. Enfin, si l'arc est une demi-circonférence, ce qui rend parallèles les deux parties de la corde, la puissance n'est que la moitié de la résistance : c'est le cas le plus favorable à la puissance, puisque le diamètre est la plus grande corde du cercle.

Nous avons tacitement supposé que la puissance, la résistance et le milieu de l'axe de la poulie sont dans un même plan : s'il n'en était pas ainsi, les conditions de l'équilibre seraient différentes.

92. Du tour. Le tour en général, est un corps solide de figure quelconque, qui n'a que la liberté de tourner autour d'un

axe fixe, sans pouvoir glisser dans le sens de cet axe; et nous connaissons déjà les conditions de l'équilibre des forces qui le sollicitent (69).

• Mais ce qu'on nomme tour ou treuil, dans les arts., est un cylindre, aux bases duquel on adapte deux autres cylindres de même axe, mais d'un diamètre plus petit, et qu'on nomme tourillons. Ces. tourillons reposent sur deux appuis fixes, et le cylindre, en tournant sur ses tourillons, est absolument dans le même cas que s'il tournait autour de son axe considéré comme une droite fixe. La résistance à vaincre est attachée à une corde qui s'enroule autour du cylindre , pendant qu'il tourne autour de son axe : ce mouvement lui est imprimé par la puissance agissant, au moyen d'une corde, sur une roue perpendiculaire à l'axe du cylindre et qui fait corps avec ce dernier. Quelquefois au lieu d'une corde, on garnit les jantes de. la roue, de chevilles également espacées, auxquelles on applique les forces, ou sur lesquelles des hommes agissent par leurs poids. Souvent aussi, au lieu d'une roue, on se sert de deux leviers qui traversent le cylindre, ou bien de manivelles.

Les dénominations du tour varient suivant Pobjet auquel on le destine et suivant sa position. . On le nomme ordinairement tour ou treuil lorsque l'axe du cylindre est horizontal,. comme dans la roue de carrière, dans la grue qui sert pour élever de lourds fardeaux, etc. , et cabestan lorsque l'axe est vertical et qu'on se sert de barres pour y appliquer la puissance , comme dans les machines qu'on emploie pour amener peu à peu des masses très-considérables. \ v > .

Mais quels que soient l'objet et la disposition de cette machine, et de quelque manière qu'on lui communique le mouvement, les conditions de l'équilibre y sont toujours les mêmes. Ainsi pour fixer les idées, nous supposerons l'axe fixe AB horizontal , et conséquemment le plan de la roue verticale (fig. 267; nous regarderons la puissance P comme agissant sur la roue suivant une direction FP tangente à la circonférence, et la résistance Q, comme située dans un plan parallèle à celui de la roue, et ayant une direction verticale, tangente en I à la surface du cylindre, ou plutôt à fc section circulaire, dont le centre D est sur l'axe AB.

Gela posé, pour trouver les conditions d'équilibre entre la puissance et la résistance, menons les rayons GF et DI aux points

( 74 ) de contact des tangentes FP et IQ; an point H où le plan IDC rencontre la circonférence de la section cylindrique dont le centre est G, appliquons perpendiculairement à ICH, les deux forces contraires Q 7 et Q", égales entre elles et à la résistance Q ; ces deux forces se détruisent d'elles-mêmes et l'équilibre n'est pastroublé. Mais à cause de GH égale et parallèle à DI, le point O est le milieu commun des deux droites CD et IH4 donc la résultante des deux forces parallèles et égales Q et Q' passe par le point O, où elle est détruite par la résistance de Taxe ÀB ; et il suffit, pour l'équilibre, que la résultante des deux forces restantes P et Q" passe par le point G de Taxe, où elle sera aussi détruite. Or, ces deux forces tendent à faire tourner en sens contraires , 'dans le même plan; il faut et il suffit donc que leurs momens par rapport à G soient égaux (33), et qu'on ait P X CF = Q" XCHrsQxDI-jd'où

p:q::di;cf.

Ainsi dans V équilibre du tour la puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue. La puissance a donc d'autant plus d'avantage que le rayon de la roue est plus grand par rapport à celui du cylindre.

Nous avons supposé les cordes infiniment déliées ; mais elles sont ordinairement d'un diamètre fini, auquel il faut avoir égard. Or, en observant que les forces P et Q transmettent leurs actions suivant les axes des cordes FP et IQ , on verra que pour l'équilibre du tour, on a réellement, la puissance ¥ est à la résistance Q, comme le rayon du cylindre augmenté du rayon de la corde IQ , est au rayon de la roue augmenté de celui de la corde FP.

Si les rayons des cordes IQ et FP sont proportionnels à ceux du cylindre et de la roue, la proportion revient à celle où les cordes sont des fils infiniment minces.-

93. Quelquefois les appuis A et B ne sont pas susceptibles de résister indéfiniment ; et alors il importe de connaître la grandeur et la direction de la résultante des pressions que chacun éprouve, afin de pouvoir la détruire par un obstacle placé convenablement. Or, il faut avoir égard ici au poids V de la machine, qui est une force verticale, appliquée au centre de gravité G, sur l'axe AB : cette force étant détruite par la résistance du même axe, ne change aucunement les conditions de l'équilibre, et on a pa se dispenser d'y avoir égard ; mais elle charge les appuis par deux composantes parallèles, appliquées en A et B

t 75 ) et réciproquement proportionnelles ans distances AG. et GB. On pourra donc calculer afeéinent ces deux composantes. On troorera pareillement les composantes en À et B, de la force verticale en O, qui résulte des deux Q et Q*. Quant aux forces P et Q", dont la résultante passe par le point G, dans le plan de la roue, on la déterminera facilement (33), et on la décomposera ensuite en deux forces parallèles, appliquées en A et B. Connaissant ainsi les différentes pressions particulières sur les appuis, on en déduira les pressions totales, en grandeurs et en directions.

94* Du plan incliné. Le plan incliné est une machine simple, dans laquelle on considère l'équilibre ou le mouvement d'un corps pesant, appuyé contre un plan incliné à l'horizon.

Nous connaissons déjà les conditions de l'équilibre d'un corps solide , sollicité par des forces quelconques , à s'appuyer contré une -surface immobile et impénétrable (70). Il s'agit maintenant d'appliquer cette théorie à un corps solide , en contact par un ou plusieurs points avec un plan incliné , et maintenu en équilibre sur ce plan , à l'aide d'une puissance propre à contrebalancer le poids de ce corps.

D'abord le poids Q du corps étant une force verticale appliquée au centre de gravité, ce point, et conséquemment le corps, ne peut être tenu en équilibre sur le plan , qu'autant que la puissance P lui est immédiatement appliquée. De plus, la résultante de ces deux forces devant être dans un même plan avec elles (2 1 ) et être détruite par la résistance du plan incliné , doit être perpendiculaire à ce plan et le rencontrer dans l'intérieur de la surface de contact (70). Ainsi pour V équilibre Sun corps pesant, contre un plan incliné, il faut et il suffît i° que la direction de la puissance passe par le centre de gravité, et soit dans un plan à la fois vertical et perpendiculaire au plan incliné ; 2° que la normale à ce dernier plan, menée du centre de gravité, le rencontre sur T intersection de la base du corps avec Vautre plan.

Il y a donc quatre conditions d'équilibre : supposons les remplies. Soit G le centre de gravité du corps proposé; soient AB et BG les intersections du plan de la puissance P et du poids Q, avec le plan incliné et l'horizon (fig. 27). Menons AC perpendiculaire à BG : l'hypoténuse AB s'appelle la longueur du plan incliné ; AG en est la hauteur et BG la base. Il est clair d'ailleurs que l'angle B mesure l'inclinaison de ce plan sur le plan horizontal.

( 76 ) : Cela pose, le système étant en équilibre, cherchons les relations qui existent entre la puissance P, le poids Q et la pression normale N sur le plan. Pour cet effet, représentant cette pression par la partie GN de sa direction et achevant le parallélogramme GJuNH, le côté GH représentera le poids Q et le coté GI la puissance P; on aura donc

p I Q i: «nB : sinIGN et N : Q :: sinB ; sinIGH.

Le sinus de l'angle NGI étant le même que celui de son supplément NGK, on voit que la même puissance P peut avoir deux directions différentes GI et GK, pour l'équilibre.

95. Cherchons la direction que doit prendre la puissance P, pour être un minimum. D'abord , puisque Q et sin B restent les mêmes, il est clair, par la première proportion précédente, que la puissance P sera la moindre possible , dès que sin IGN aura sa plus grande valeur 1 , c'est-à-dire , dès que l'angle IGN sera droit ; donc alors la puissance P sera parallèle au plan incliné. Et comme dans ce cas , l'angle IGN = 180° — A, il vient

p : Q :: ^c : ab et n ; q :: ac ; bc.

Ainsi lorsque la puissance est la moindre possible ou parallèle au plan incliné, 1* cette puissance est au poids du corps comme la hauteur du plan est à sa longueur; 2° la pression sur le plan est au poids comme la hauteur du même plan est à sa base.

Dans ce cas, la puissance P est la véritable force qu'il faut employer pour soutenir le corps en équilibre sur le plan : c'est le poids relatif à la pesanteur suivant le même plan, qu'on appelle pesanteur relative, par rapport à la gravité le long de la verticale AG, qu'on nomme pesanteur absolue. On voit que, la pesanteur absolue étant représentée par la longueur du plan incliné, la pesanteur relative est représentée par sa hauteur; ou bien, la pesanteur absolue étant représentée par l'unité , sinus de l'angle droit, la pesanteur relative sera représentée par le sinus de l'inclinaison du plan. Suivant donc que cette inclinaison est nulle, ou un tiers d'angle droit, la pesanteur relative est nulle, ou vauÊ la moitié de la pesanteur absolue, et l'on a P = o ou P = £Q. Enfin, si l'angle B est droit, on a P = Q et N==o, comme cela doit être.

96* Tout le monde sait que pour élever des fardeaux, 011 se sert souvent de plans inclines ; c'est parce que le plan soutient une partie du poids Q du corps, et d'autant plus, que sa longueur est plus grande par rapport à sa hauteur : dès-lors la force P qu'il faut employer pour mouvoir ce

corps, est d'autant plus petite; mais en perd en temps ce que Ton gagne en dépense de force ; et d'ailleurs la pression sur le plan devient d'autant plus grande ; ce qui oblige d'en augmenter la résistance, et par suite les dimensions et conséquemment quelquefois la dépense , en matériaux* Souvent le temps est assez indifférent; alors il faut, autant que possible, choisir le plan incliné, de manière à obtenir à la fois la moindre dépense et la moindre force motrice.

Le poids immense des vaisseaux en construction ne permettrait pas de les lancer à la mer, lorsqu'ils sont termines, si on ne les établissait d'abord sur un plan incliné, où ils sont maintenus en repos par des pièces de charpente et des cordages. Dés qu'on supprime cet appareil, le navire se meut en vertu de la pesanteur relative ; et ici la hauteur du plan doit être assez grande pour que le vaisseau ne puisse s'arrêter, une fois lancé; ce qui pourrait compromettre l'existence du bâtiment.

Lia théorie du plan incliné se présente aussi dans l'équilibre des terres et des voûtes ; mais une des applications les plus fréquentes des proportions précédentes, ce sont les rampes ou routes en pente, au moyen desquelles on fait franchir de hantes montagnes à des chariots pesamment chargés : la moindre force nécessaire pour obtenir cet effet est parallèle au plan et proportionnelle au poids du chariot multiplié par le rapport de la hauteur à la longueur du plan incliné. H y a donc un grand avantage à diminuer la hauteur; mais alors pour atteindre au même lieu audessus de l'horizon , il devient nécessaire d'augmenter la longueur de la route, en la faisant tourner en rampes douces autour de l'élévation qu'elle doit franchir; ce qui a toujours lieu lorsque l'espace en longueur manque. De cette manière les frais de construction et d'entretien sont augmentés ; et on ne pourrait les diminuer <£u'en donnant au plan incliné une hauteur plus grande, laquelle exigerait alors un plus grand nombre de chevaux, et augmenterait la dépense des voituriers. Ces considérations ont fait admettre un maximum de hauteur, qu'on ne dépasse que le moins possible.

97. Nous ayons encore à examiner deux directions remarquables de la puissance, dans l'équilibre sur le plan incliné, suivant que cette puissance est horizontale ou perpendiculaire au plan. Dans le premier cas , l'angle 1GH est droit ; et Ton trouve aisément

p : Q :: ac : ab et n : q :: ac : bc.

Ainsi i° la puissance horizontale est au poids du corps comme la hauteur du plan est à sa longueur; 2° la pression est au poids comme la hauteur est à la hase du plan.

Lorsque la puissance P est perpendiculaire au plan incliné , l'angle IGN est nul, aussi bien que son sinus, et il vient