P = — = CD
( 78 ) C'est le cas où la puissance est la plus grande ; et Ton voie qu'il n'y a pas, & proprement parler, de maximum pour la puissance ; mais ce résultat nous apprend qu'aucune force , quelque grande qu'elle soit , ne peut empêcher un corps pesant de glisser le long d'un plan incliné, en le pressant perpendiculairement contre ce plan. Si nous voyons tous les jours le contraire arriver, c'est que les surfaces des corps, même les mieux polis, sont hérissées d'une infinité d'aspérités qui s'engagent entre elles dans le contact de ces surfaces, et les empêchent de glisser librement lés unes sur les autres ; et ce sont ces résistances qui produisent le frottement, dopt nous avons fait abstraction, dans l'équilibre
précédent.
98. Il résulte de ce qu'on a va (95), que si l'on a deux plans différemment inclinés et adosses par une hauteur commune AC, et que deux corps pesans, appuyés sur ces plans, soient liés entre eux par un fil qui passe sur une poulie fixée à l'extrémité A de la hauteur AC, de manière que les deux parties rectilignes du fil soient parallèles aux plans respectas; ces deux corps ne pourront se faire équilibre, à moins que leurs poids ne soient proportionnels aux longueurs des deux plans sur lesquels ils reposent*
Considérons encore un corps pesant, appuyé en un ou plusieurs points; sur les faces pknes d'un dièdre» Il est clair que pour l'équilibre, il faut et il suffit que le poids du corps se décompose en deux forces, normales aux deux faces du dièdre et passant par les points de contact du corps avec ces faces ; car alors, ces deux forces seront détruites. Ces deux normales seront donc dans un même plan avec la verticale menée par le centre de gravite', et la rencontreront en un même point* De plus, ce plan des deux normales sera à la fois vertical et perpendiculaire à 1,'arête du dièdre , laquelle sera par conséquent horizontale. Ainsi l'équilibre ne peut exister que sous les conditions précédentes : si elles sont remplies, il sera facile, connaissant le poids et le centre de gravité do corps, de calculer en grandeurs et en directions, les pressions qui ont lieu sur les faces du dièdre proposé.
C 1 est ainsi qu'on trouvera les deux positions d'équilibre d'une droite pesante homogène , chargée d'un poids connu en un point donné de sa longueur, et appuyée par ses deux extrémités, sur les feees d'un dièdre donné.
De plus, il est aisé de démontrer que si quatre sphères égales se touchent trois à trois et demeurent en équilibre sur un plan horizontal, les trois inférieures seront également chargées par l'autre 5 et p désignant le poids de la quatrième sphère, la charge de chacune des autres vaudra
Enfin , lorsqu'une voiture à deux roues est posée sur un plan horizontal, le brancard étant parallèle a ce plan, on sait que la charge R de la
C 79 ) .voiture et son poids total P, applique* an milieu de Taxe de l'essieu, sont dans une même verticale, leurs poiiit* d'application étant d'ailleurs aux distances a et b de l'Horizon. Si la voiture passe sur un plan incliné de longueur / et de hauteur &, on trouvera facilement la force x que le cheval devra exercer parallèlement au plan , pour maintenir la voiture en équilibre sur ce plan, et la pression y qu'il devra employer perpendiculairement am brancard et à la distance donnée d de l'axe de l'essieu, pour • empêcher la voiture de culbuter autour de cet axe : on aura
99* De la vis. La vis est une machine simple , qui dépend à la fois du levier et du plan incliné : c'est un cylindre droit, enveloppé d'un filet uniforme qui lui est adhérent, et qui fait partout un même angle avec la génératrice du cylindre. On appelle pas de la vis > l'intervalle entre les arêtes de deux filets consécutifs , mesuré parallèlement à Taxe de la machine.
Pour bien concevoir la génération de la vis, considérons un cylindre droit ÂB' (fig. 28) et vertical, k base circulaire, dont le rayon soit r, et la hauteur quelconque. Par les centres G et G' de ses bases, menons les diamètres parallèles AB et A'B', que nous prolongerons des longueurs BD et B'D', égales chacune à la circonférence iwr de la base .: il est clair que le rectangle BDD'B f est le développement de la surface convexe du cylindre, ayant même hauteur BB' que lui et pour base le développement BD de la circonférence 2«r. Divisons la hauteur BB' en un certain nombre de parties égales par les parallèles EF, GH, IK, LM, à la base BD; les diagonales BF, EH, GK, IM, LD', seront évidemment égales entre elles et également inclinées sur l'horizon. Donc si on enroule le rectangle BDD'B' sur le cylindre, il coïncidera avec la surface convexe de celui-ci, et DD f viendra coïncider avec la génératrice BB'; en même temps chacune des diagonales BF, EH, GK, . .., se pliera pour s'appliquer sur le cylindre, et fera ainsi un tour entier, sans que l'inclinaison 4e ses élémens sur l'horizon cesse d'être la même. Et connue il est visible que la seconde extrémité F de la première diagonale tombera sur la première extrémité E de la seconde, et ainsi des autres ; toutes ces diagonales formeront sur la surface cylindrique, une courbe continue, nommée hélice, dont tous les élémens rectilignes auront la même inclinaison sur le plan horizontal.
Par conséquent, si l'on suppose qu'un point matériel pesant N, soit placé sur cette courbe el abandonné a lui-même, il devra
descendre le long de l'hélice, par l'effet de là pesanteur, comme sur un plan incliné , dont la longueur a même direction que là tangente en ce point. Désignant donc par Q le poids du point matériel N, ou plutôt la force verticale qui le presse sur l'hélice, et par P' la puissance qui Py retient en équilibre et que nous supposerons horizontale , comme on le fait ordinairement ; remarquant de plus que le point N, pressé sur l'hélice, n'est autre chose que le point N' sollicité, par les mêmes forces, sur le plan incliné GK, dont la base GH=2jrret la hauteur HK=A, est la distance parallèle à Paxe CC f , entre deux portions consécutives de l'hélice , portions de mêmes longueurs chacune que GK et qu'on appelle spires; on aura, comme on Pa vu (97),
p r :Q::*:**rr.
Menons par le point N , l'horizontale OS = <Z, rencontrant l'axe CC au point O, regardé comme invariable. Prolongeons SO d'une quantité égale à l'unité linéaire et appliquons au point ainsi déterminé, une force x, parallèle aux forces P' et P, appliquées aux points N et S, et capable de faire équilibre à chacune de ces forces, autour du point fixe O de deux leviers, dont les seconds bras sont O =:r et OS = <£, le premier bras, sur lequel agit la force a?, étant 1 pour chaque levier. Il est clair (78) qu'on
aura successivement P'r= x et Ptf= x\ d'où P'= P X —
Substituant celte valeur dans la proportion précédente et réduisant , elle deviendra
La distance h entre deux spires consécutives , est appelée pas de V hélice. La proportion que nous venons d'établir, apprend donc que dans V équilibre sur V hélice, la puissance horizontale P est à la force verticale Q qui presse le point matériel N sur une spire, comme le pas de V hélice est à la circonférence que la puissance tend à décrire autour de Taxe du cylindre.
La distance r de chaque point de l'hélice à l'axe n'entrant pas dans cette proportion, on aura toujours le même rapport entre la puissance P et la force Q, quel que soit le cylindre sur lequel l'hélice est tracée, pourvu que le pas de cette hélice reste le même. Pour mieux fixer les idées et simplifier le discours, on a supposé le cylindre vertical ; mais tout ce qu'on a dit d'une force verticale Q et de la puissance horizontale P, doit s'entendre en général d'une force parallèle à l'axe du cylindre, et d'une
C 81 ) puissance qui agirait dans un plan perpendiculaire au même axe, à la distance à de cette ligne.
100. Nous pouvons maintenant définir nettement la vis et trouver les conditions de son équilibre. La vis est un cylindre droit revêtu d'un filet saillant, engendré par le plan d'un triangle, ou d'un parallélogramme, ou d'une figure quelconque, qui, s'appuyant par sa base sur une génératrice, tourne autour de Taxe du cylindre, en descendant le long d'une hélice tracée sur la surface de ce dernier. Tous les points qui composent le filet de la vis peuvent donc être regardés comme appartenant à des hélices décrites sur des cylindres de même axe, mais de rayons diiFérens. Or, toutes ces hélices ont évidemment le même pas, qui est alors le pas de la vis. On dit aussi que la vis est triangulaire, rectangulaire, etc., suivant que son filet est engendré par un triangle, un rectangle, etc.
On nomme êcrou un solide creusé intérieurement, de manière à pouvoir être pénétré par une portion de la vis correspondante et à toucher cette portion dans tous les points de sa surface , de même que le ferait le moule de la vis (fi^. 29).
Dans les applications, la vis est toujours accompagnée de son écrou , l'une de ces deux pièces étant fixe et l'autre mobile. Le mouvement est communiqué par une puissance appliquée à un levier droit, perpendiculaire à l'axe de la vis, et solidement fixé sur la pièce mobile. Souvent on fait mouvoir la vis, à l'aide d'un corps , appelé tournevis, qu'on insère dans une fente pratiquée sur la tête de la machine. Dans tous les cas , la pièce mobile est tellement assujétie à l'autre, qu'elle n'a que la liberté de tourner autour de l'axe du cylindre et de descendre ou monter en même temps sur la pièce fixe, comme sur une surface inclinée. Il y a donc entre les forces qui se feraient équilibre sur la pièce mobile, des relations qui dépendent de son assujétissement à la seconde; et ce sont ces relations qui constituent les conditions de l'équilibre de la vis.
101. On ne considère ordinairement que deux forces apph% quées à la pièce mobile : l'une Q parallèle à l'axe, et qui tend à la faire descendre en tournant autour de cet axe ; l'autre P située dans un plan perpendiculaire à l'axe, et qui, au moyen d'un levier, tend à la faire remonter en sens contraire. Le rapport des deux forces étant absolument le même, quelle que soit a pièce mobile , nous regarderons la vis comme fixe. Alors en
gotique «ombre 3e points que l'écrou s'appuie sur le filet, oti peut imaginer que la résistance Q est décomposée en autant de forces parallèles q, ?V? r 'i etc *i Ç 11 * pressent en ces diffcrens points, et que la puissance P est partagée en autant de forces p, y, y, etc., dont chacune en particulier fait équilibre à k force qui lui répond parmi les forces q, g 1 , q", etc. Désignant donc par À le pas de la vis , et par à la distance à Taxe de chacun des points d'application des forces P, p y p', //', etc., on aura, d'après ce qui précède (99) ,
p':q'::h:**d, P tr :q"::h:**d,
étc
Mais Pécrou étant solide , l'effort de chacune des puissances .|>, ^/, jf\ etc. , restera le même, quelque soit le point de son contour où Ton insère le levier, pourvu que la longueur à du bras demeure la même , ainsi que l'intensité et la direction relative de cette puissance. Transportant donc ainsi tous les leviers partiels sur celui de P, les forces p, p\ p n , etc., qui les sollicitent perpendiculairement se réuniront en une seule égale à leur somme P. D'ailleurs toutes les pressions partielles q, j', q n , etc., ^tanl parallèles et leurs points d'application liés entre eux invariablement , la pression totale Q est aussi égale à leur somme. Donc puisque les premiers rapports des proportions précédentes &ont égaux , il vient
Ainsi dans l'équilibre de la vis, la puissance perpendiculaire -à Taxe est à la résistance parallèle au même axe, comme le pas de la vis est à la circonférence que tend à décrire la puissance.
On voit que la puissance a d'autant plus d'avantage pour contrebalancer la résistance, ou pour comprimer dans le sens de l'axe de la vis , que cette puissance agit à une plus grande distance de l'axe, et que le pas de la vis est moindre. Il sera donc toujours avantageux de rendre le pas aussi petit que le permettra la solidité à donner aux filets, pour qu'ils ne soient pas entraînés ou cassés par les résistances à vaincre; mais alors on perdra en temps ce que l'on gagnera en dépense de force.
10a. La vis est d'un continuel usage dans les arts, et l'on peut dire que c'est l'un des organes mécaniques les plus utiles. P*?
exemple, veut-on presser avec beaucoup de force des corps mous, tels que des papiers, des linges ou des plantes Y On construit avec' des pièces de bois un châssis solide ABSS' (fig. 3o), dans lequel AB représente une table épaisse capable d'une grande résistance; TT' est une table pareille , mais mobile verticalement entre les supports SA, SB. La pièce supérieure SS' est une barre épaisse, percée en son milieu d'un écrou qui se trouve ainsi faire corps avec les supports. Dans cet écrou entre une vis O V dont la tête O, terminée par un tourillon métallique f, tourne librement dans un trou percé sur la branche mobile.
Maintenant , si Ton fait tourner la vis autour de son axe par le moyen d'une puissance horizontale P, appliquée perpendiculairement à l'extrémité d'un levier de longueur OL r= d, il est clair que selon le sens de cette rotation, la vis montera ou descendra dans son écrou , en entraînant ou poussant la table mobile TT'. Dans ce dernier cas, s'il existe des corps compressibles dans l'espace ABTT', on pourra connaître aisément la pression totale Q qu'ils éprouvent, sachant qu'on les a comprimés au moyen d'une puissance donnée P, agissant sur le bras de levier d, le pas de la vis h étant connu : on trouvera, d'après la proportion précédente, Q = P. a «£-
Un homme peut exercer un effort plus grand que celui nécessaire pour soutenir un poids de 25 kilogrammes. Supposons P = 25, à= i décimètre et d= i mètre ; nous aurons Q== 1571 kilogrammes , environ ; valeur qui serait doublée si deux hommes agissaient sur les extrémités du levier LU, et 8 fois plus grande, si on employait quatre leviers au lieu d'un seul , comme cela se pratique assez fréquemment. Mais ce qui est bien remarquable , c'est que malgré la réaction qu'une pression aussi forte doit exercer, la machine demeure ensuite en équilibre sous l'action d'une force beaucoup moindre. Cela vient du frottement entre les diverses parties, et montre l'influence de cette force passive sur l'équilibre des corps solides.
io3. On emploie fréquemment la vis pour fixer solidement des pièces de bois ou de métal les unes sur les'autres 5 comme les serrures aux portes, les différentes parties d'une arme à feu , etc. La vis sert aussi à estimer avec précision des distances extrêmement petites et dont la longueur serait inappréciable par des moyens ordinaires. Pour cet effet, on place un indicateur à son extrémité, et on fait marcher cet indicateur depuis une extrémité jusqu'à l'autre de la distance à mesurer; comptant alors le nom-
bre de tours nécessaires pour faire le trajet, ce sera le nombre de fois que le pas de la vis est contenu dans la longueur cherchée. Mais si Ton veut pousser l'exactitude plus loin, on adapte à la tête de la vis un cadran diyisé, dans lequel elle est mobile, et on fixe un index au moyen duquel on peut non-seulement compter une révolution entière, mais encore une fraction quelconque de révolution, et par suite une fraction du pas. Ainsi avec une vis dont le pas serait d'un demi-tnillimétre, le cadran ayant 100 parties égales, on pourrait estimer jusqu'au demi-centiéme d'un millimétré, valeur si petite qu'elle échappe à l'œil nu.
Dans ces instrumens la grande difficulté est de donner à la vis un pas parfaitement constant, et cette difficulté augmente avec la finesse du pas; ensorte qu'en gagnant d'un côté par le rappochement des filets, on perd de l'autre par l'irrégularité des mouvemens. Prony a donné le moyen d'éviter cet inconvénient : imaginons une vis d'un pas h et une autre d'un pas V, taraudées dans le même sens et attachées au même axe, de manière à former un assemblage solide. Supposons que la partie de la vis dont le pas est A, tourne dans un écrou fixe, tandis que la partie dont le pas est bf tourne dans un écrou assujéti à glisser entre des guides qui l'empêchent de tourner. H est clair que dans une révolution entière , la vis se sera avancée de la longueur h dans l'écrou fixe et de h r dans l'écrou mobile ; celui-ci ne se sera donc éloigné de l'autre que de la distance h — h'é Si donc on avait k' = o,oft, il viendrait h~h r z=z ~A; et la vis produirait le même effet que si les filets étaient réduits au dixième de l'épaisseur qu'on jugera à propos de leur donner.
104. Du coin. Le coin est ordinairement un prisme triangulaire que Ton introduit par choc ou pression , entre deux obstacles 1 pour exercer latéralement deux efforts qui tendent à les séparer. L'arête par laquelle le coin est introduit , se nomme le tranchant du coin , les deux faces adjacentes qui pressent les obstacles, sont les côtés, et la face opposée la tête. C'est sur cette face qu'on applique le coup , au moyen d'un marteau ou d'un corps solide quelconque.
Quelquefois le coin est une pyramide régulière ou un cône droit, que Ton introduit entre des obstacles par le sommet ou la pointe, en frappant sur la base ou la tête. Sous ce point de yue général , les couteaux , haches , ciseaux , poinçons , dents , griffes, etc., sont des coins. Mais nous considérerons seulement l'équilibre du coin prismatique, qu'on emploie pour fendre le bois, etc.
Quelle que soit la direction du choc, on peut toujours concevoir son action comme décomposée en deux autres , l'une perpendiculaire à la tête du coin, et qui obtient tout son effet; l'autre parallèle) et qui ne lui imprime aucun mouvement, parce
qu'elle ne peut tendre qu'à faire glisser le marteau sur ce coin. Nous supposerons donc que la direction du choc ou de la puis* sance P soit perpendiculaire à la tête du coin. De plus, pour l'équilibre, les efforts sur les obstacles doivent être perpendiculaires aux côtés et dans un même plan avec la direction de la puissance P (21).
Soit MON la section triangulaire que ce plan des forces fait dans le coin (fîg. 3i); la droite MN pourra représenter la tête du coin , et les droites MO, ON, les côtés. Prenant sur la direction de la puissance P, la droite AD pour la représenter; menant du point À les perpendiculaires ÀB et AG sur les qôtés MO et ON, et achevant le parallélogramme ABDG ; les côtés AB et AC de ce parallélogramme, représenteront les efforts Q et R provenant du choc, lorsque l'équilibre est établi ; et on aura P 1 Q 1 R 11 AD ; AB ; ACou BD.
Or, le triangle ABD étant semblable au triangle MNO, fl en
résulte P;Q;R;;MN;MO;ON;
c'est-à-dire que , la puissance étant représentée par ht tète du coin, les deux forces qui en résultent perpendiculairement aux côtés j seront représentées par ces eûtes eux-mêmes*
Si le triangle MNO est isocèle , les deux forces Q et R sont égales; et la puissance P est à l'une d'elles, comme la tête du coin est à l'un des côtés, qu'on peut nommer dans ce cas la longueur du coin. On voit par là qu'à puissances égales, l'effort exercé par le coin est d'autant plus grand , que la tête est plus petite par rapport à la longueur.
S'il était question d'un coin pyramidal, on. verrait de même que ht direction de la puissance est Taxe de la pyramide, lorsqu'il y a équilibre; et que la puissance étant représentée par Taire de la base, tous les efforts égaux qui en résultent, seront représentes chacun par Taire d'une face latérale. Nous ayons supposé, du moins tacitement, que le corps qui reçoit le coin, est appuyé sur un plan, perpendiculaire à la direction dut choc : s'il reposait sur un plan incliné à cette direction, ou s'il n'avait qu'un ou deux points fixes, il y aurait d'autres conditions d'équilibre, faciles à trouyer, mais auxquelles nous ne nous arrêterons pas ; parce que la théorie physique du coin paraît devoir rester incomplète, à cause d'une foule de circonstances particulières extrêmement variables, dont il est presqu'impossible d'apprécier l'influence.
Néanmoins quelque défectueuse que soit la théorie: précédente, elle représente jusqu'à un certain point, les effets de nombreux instrument employés par les hommes pour couper on divises une foule de corps, oui
pour produire des effets mécaniques intéressans à connaître. Tous les instrumens tranchans, qu'emploient les tailleurs, les jardiniers, les ouvriers en bois, en pierres, en métaux, etc., ne sont au fond que des coins prismatiques, qui ont d'autant plus d'énergie que l'angle du tranchant est plus aigu. Tels sont encore les dents des scies, des faucilles, des limes, etc. Les coins prismatiques servent aussi pour assembler solidement des pièces qu'on peut avoir à séparer ensuite. Les voûtes sont des assemblages de coins prismatiques , plus ou moins nombreux , qu'on nomme vous soir s.
Les variétés du coin conique ou pyramidal sont aussi trés-noiùbreuses. On rencontre parmi elles tous les instrumens pointus, comme les cpées, les bayonncttes , les broches , les clous , les chevilles de toute espèce , les aiguilles «et tes épingles; ces diverses machines obéissent d'une manière d'autant plus efficace à la pression , que leur longueur est plus considérable par rapport à la superficie de leur tête.
Lorsqu'on agit sur le coin par pression , on en augmente souvent l'effet à l'aide d'un mouvement de translation ou de rotation, comme dans les scies et le foret à percer le métal. Mais le plus souvent c'est par le choc qu'on chasse le coin dans les corps qu'on veut diviser ; et il arrive quelquefois qu'on le fait agir par son propre poids, comme dans les coups de sabres, de haches, de pioches, etc. Fort souvent l'action du choc ne produit son effet qu'après plusieurs actions et réactions des parties du corps à diviser. En général, l'élasticité et le frottement jouent un rôle important dans les effets du coin, dont la forme varie suivant la nature des substances sur lesquelles il doit opérer» (Voyez l'ouvrage cité de M* Dandelin. }
Des Machines composées.
io5. La réunion de plusieurs machines simples constitue une machine composée. Si Ton ne suppose que deux forces appliquées à la machine composée , il sera facile de déterminer le rapport de ces forces , dans le cas d'équilibre ; car la machine simple qui reçoit immédiatement Faction de la puissance, transmet cette action , d'après les lois de son équilibre , à la machine simple à laquelle elle est liée ; celle-ci la transmet de même à la machine simple suivante , et ainsi de suite , jusqu'à la dernière qui communique Faction à la résistance qu'il faut vaincre.
Observant donc que la réaction est toujours égale et contraire à Faction ; et que si un système de points est en équilibre, chaque point doit être lui-même en équilibre , tant en vertu des forces qui lui sont immédiatement appliquées, qu'en vertu des résistances ou réactions qu'il éprouve de la part des autres points du
système ; on trouvera aisément les conditions de l'équilibre dans les machines composées , ainsi qu'on va te voir sur plusieurs exemples.
106. Machines fukiculaibes. Nous avons vu (74) que si trois forces, appliquées, à trois cordons réunis autour d'un même nœud , sont en équilibre , chacune d'elles est représentée par le sinus de l'angle des deux autres , et les axes des trois cordons sont dans un même plan. Si donc une corde ÀOB est fixée par ses extrémités À et B, le point O étant tiré par une force R transversale ; les charges des points À et B , ou les tensions P et Q des cordons OA et OB, seront d'autant plus grandes, que l'angle AOB sera plus obtus, la force R restant constante; et elles deviendront infinies si cet angle devient égal à deux angles droits.
Une corde tendue en tigne droite à deux points fixes , sera donc nécessairement rompue par la plus petite force R* qui lui serait appliquée transversalement , si cette corde n'étant pas susceptible de s'étendre, n'a pas d'ailleurs une résistance longitudinale infinie. De là résulte aussi l'impossibilité de tendre une* corde pesante , en ligne droite horizontale.
107. Considérons maintenant plusieurs points A, B, G (fig. 3a), liés entre eux par des cordons AB, BC, et tirés par desforces S, P, Q, R, T, suivant d'autres cordons, mais de manière que chaque point ou nœud A, B., C n'en assemble pas plus de trois en même temps.
Si tout le système est en équilibre, chaque point y sera aussi, en vertu dès forces qui lui sont immédiatement appliquées , et des tensions des cordons adjacens. Le point A' est donc en équilibre en vertu des deux forces S et P, et de la tension x du cordon AB ; car le dernier point G ne peut agir sur lui que par le cordon. AB. De même, à cause que Faction du point A sur le point B est parfaitement égale et contraire à Faction x du point B sur le point A , le point B est en équilibre au moyen de la force Q et des tensions x et jr des cordons BA, BG ; et il en est de même du point C. Ainsi les trois cordons AS , AP, AB , sont dans un même plan, de même que les trois BA, BQ, BG et les trois CB, CR, GT. De plus, désignant les angles par les lettres intérieures et près du sommet, on aura, d'après ce qui précède, cette suitede proportions :
; P Usina 9 ;
; sînÀ t
; x • ; sin A ;
[sin a,
; Q;:sini';
1 sin B ,
; sin 5,
: r : : sm 1/ ;
; sin C,
: t : : sin c ;
\ sin c ;
et ainsi de suite, pour un plus grand nombre de nœuds.
Multipliant par ordre un nombre convenable de ces proportions, on trouvera le rapport de Tune quelconque des forces, à telle autre force ou tension qu'on voudra ; et si on les multiplie toutes , on aura le rapport de la puissance S à la résistance T.
108. Si les directions prolongées des forces P, Q, Ry divisent en deux parties égales les angles opposés A, B, G, du polygone funiculaire \ à cause de sin A = 2 sin £A cos £A, sin a = sin £A, ainsi des autres , on trouvera S=àxz=y=.T et
^ : Q : R :r cos^a : cos^b : cos^c.
Ainsi tous les côtés du polygone seront également tendus , et les forces appliquées aux divers angles Seront proportionnelles aux cosinus des moitiés de ces angles.
D'après cela, si au lieu des forces P, Q, R, on substitue les points fixes A, B, G, par-dessus lesquels passe la corde SABGT; comme la corde est supposée pouvoir glisser librement sur tous ces points, qui peuvent être regardés conséquemment comme des anneaux infiniment petits, il est clair (7^) d'abord que la corde sera partout également tendue et qu'on aura S = T, pour l'équilibre ; de plus, les pressions de la corde sur les points fixes diviseront en deux parties égales les angles formés en ces points, et chacune sera représentée par le cosinus de la moitié de l'angle correspondant.
Soit le côté AB = BG et r le rayon du cercle qui passe par
les trois points A, R , C. Il est facile de voir que cos -JB = — •
Donc si tous les côtés du polygone funiculaire sont égaux entre eux , les pressions aux sommets des divers angles , seront représentées chacune par la valeur inverse du rayon du cercle qui passe par trois sommets consécutifs, celui du milieu étant le point d'application de cette pression.
Or, lorsque le polygone a une infinité de côtés égaux , infiniment petits, il devient une ligne courbe; le cercle qui joint trois
sommets consécutifs quelconques, s'appelle cercle osculateurde la courbe, et son rayon, rayon de courbure; parce que la circonférence a même courbure que la courbe proposée, au second des trois sommets consécutifs ( la courbure étant mesurée par le supplément de l'angle compris entre les deux côtés ou élémens consécutifs qui se coupent au second sommet ). Donc lorsqu'une corde est tendue en équilibre sur une courbe fixe, 1° les forces qui tirent ses deux extrémités sont égales entre elles et à la tension en chaque point; i° chaque point de la corde presse la courbe suivant une direction normale (70)^ et la pression est réciproque au rayon de courbure, en ce point. D'où il suit que toutes les pressions sont égales, lorsque la courbe est une circonférence de cercle.
109. L'équilibre des cordes sur des lignes ou des surfaces courbes, est d'autant plus intéressant à étudier, que c'est presque toujours ainsi qu'on emploie les cordes dans les appareils mécaniques*; et ce qui vient d'être dit résout complètement la question»
On en déduit une démonstration très-simple de ce théorème de géométrie : Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, en marchant sur la surface sphêriqiie, est l'arc de grand cercle qui joint ces deux points» Concevons en effet, une corde flexible et inextensible, attachée par une extrémité au premier point A invariable, et passant dans un anneau infiniment petit fixé au second point B, dans lequel elle peut glisser librement. Si nous tirons la seconde extrémité par une force P, il est évident que dés que la portion AB de la corde sera un minimum, il y aura équilibre ; et pour trois élémens consécutifs de la corde, les forces suivant les élémens extrêmes se détruiront à l'aide de l'élément moyen. La résultante de ces deux forces passera donc par le contact de celui-ci avec la surface sphérique et suivant la normale en ce point, où elle sera détruite. Ainsi trois élémens consécutifs quelconques de la portion AB, et conséquemment cette portion même, sont dans un plan normal à la Surface sphérique, c'està-dire dans un plan de grand cercle; le plus court chemin AB , intersection de ce plan avec la surface de la sphère , est par conséquent un arc de grand cercle.
no. Revenons maintenant au polygone funiculaire S ABCT. Ce polygone étant en équilibre en vertu des forces S, P, Q, R, T, concevons que sa figure devienne parfaitement invariable, de manière que les points A, B, G, ne puissent plus changer leurs distances mutuelles ; il est clair que cette hypothèse ne change rien à l'équilibre proposé. Mais alors les forces S, P, Q, R, T étant en équilibre sur un système invariable, l'une d'elles est %ale et directement opposée à la résultante de toutes les autres ;
ainsi ces autres forces ont une résultante. Or, cette résultante est exactement la même que si toutes ses composantes se réunissaient parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque de sa direction. Ainsi chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite, comme il le serait par la résultante de toutes les autres forces qu'on y transporterait parallèlement à elles-mêmes. Ce qui fournit un moyen bien simple de déterminer cette tension.
Supposons, par exemple, que les cordons AS et GT. soient dans un. même plan , et que par suite , les deux forces S et T aient une résultante : d'après ce qu'on vient de voir, cette résultante est égale et directement opposée à la résultante Y de toutes les autres forces P, Q, R, comme si le système était invariable. Si donc on transporte parallèlement à elles-mêmes, les forces P, Q, R, au point O de rencontre des cordons SA et TG prolongés; on aura facilement la grandeur et la direction de la résultante V t nécessairement appliquée en O. Décomposant ensuite la force Y' en deux autres dirigées suivant OS et OT, on aura les tensions S et T des cordons AS et GT, ou les charges que supportent leurs extrémités fixes S et T.
1 1 1 . Jusqu'à présent les forces P, Q, R, appliquées aux différons points de la corde, ont des directions quelconques, propres à établir l'équilibre. Supposons toutes ces forces parallèles et de plus verticales , pour mieux fixer les idées. Dans ce cas , pour» qu'il y ait équilibre , il faut une condition de plus : c'est qae toutes les forces P, Q , R , et les côtés du polygone soient dans un même plan. Gar les forces autour de chacun dès nœuds A, B, C, devant déjà être dans un. même plan? (74)1 et te pten SAP ou PAB étant parallèle au plan ABQ ; ces deux plans , qui ont la droite commune AB, coïncident et n'en font qu'un seul avec BGR ou RGT. Gette condition étant remplie , on aura toujours les proportions qui précèdent (107). Mais comme alors sin a/zsi sin 6, sin $' = sin c, etc., on trouvera
^I a? l7"lT*; coséc a * coséc b • cosêc c • coséc c*.
Ainsi lorsque des forcesjparalïeles tirent dans le même* sens diffèrent points d'une corde, tous les cordons sont dans un mime, plan avec ces forces, et les tensions qui leur font équilibre, sont chacune comme la cosècante de son inclinaison sur la puissance adjacente, ou bien comme la sécante de son inclinaison sur Ëhet» rizon, quand les puissances sont verticales.
( 91 ) Dans ce dernier cas, pour avoir la tension t d'un côté quelr conque au moyen de la tension h du côté horizontal d'où Ton part, on observera que la résultante de ces deux tensions, fait équilibre à la résultante verticale v, c'est-à-dire à la somme des puissances appliquées sur les nœuds intermédiaires (i io). Désignant donc par <p l'inclinaison de t sur l'horizontale, on aura
* ! * l v 1 1 1 1 cos 9 l sm 9 î ^ ,ou ^ on ^ e
t = hsécç, tz=zv coséc ç et v = h tang ç.
Ces résultats étant vrais quelque soit le nombre de côtés du polygone funiculaire , ils s'appliqueront encore quand ce polygone deviendra une ligne courbe ; ce qui conduit aux conditions de l'équilibre d'une corde pesante , que nous allons examiner.
lia. On peut considérer une corde pesante comme un fil sollicité en tous ses points par de petites forces verticales et par conséquent parallèles. Cette corde , attachée à deux points fixes S et T, ne peut donc demeurer en équilibre, à moins qu'elle ne soit dans un plan vertical : elle forme alors une ligne courbe que Ton nomme la chaînette; et son centre de gravité est le plus bas possible (60) •
Les charges des points fixes ou les tensions des derniers démens en S et T, étant dirigées suivant ces élémens , et conséquemment suivant les tangentes à la courbe à ses extrémités S et T ; en procédant comme plus haut (111) , on déterminera facilement ces tensions, de même que celle qui a Heu en un point quelconque de la courbe , suivant la tangente en ce point. Mais en nommant t cette dernière tension , h celle qui a heu au point le plus bas , laquelle est horizontale ; v le poids de Parc s compris entre ces deux points, et p l'angle de la direction de t avec l'horizontale ; on aura, entre ces quatre quantités, les trois équations du précédent numéro.
Si la corde est de grosseur et de densité uniformes, son poids v pourra être représenté par sa longueur 5, et on aura sz= h tang 9 • équation trèssimple de la chaînette, entre les deux coordonnées s et 9. Ainsi la chainette est une courbe plane telle , que la tangente de son inclinaison sur un axe horizontal, augmente comme la longueur de l'arc à partir du point le plus bas.
Cette courbe est donc la même de part et d'autre de l'axe vertical qui passe par l'origine, et s'étend verticalement à l'infini, comme la parabole.
Observons que si les petites forces verticales qui sollicitent les divers points du fil, venaient à agir dans le sens directement opposé, la courbe résultante serait précisément la chaînette renversée : donc puisque pour l'équilibre de la chaînette, la résultante est détruite, elle le sera encore pour la chaînette renversée , même en redonnant aux petites forces leur sens primitif. Dans ce dernier cas, l'équilibre s'établira au moyen des actions et réactions des élémens matériels entre eux et sur les points fixes,
et ptr leur impénétrabilité. Mais comme alors le centre de gravité sera le plus haut possible, l'équilibre ne sera qu'instantané.
L'équilibre des polygones funiculaires reçoit d'importantes applications dans la construction des ponts suspendus ; on le retrouve aussi dam la confection des toiles d'araignées, auxquelles on ne fait guère attention que pour les détruire. Enfin, il est aisé de démontrer que si des pui*sances en équilibre font prendre à une corde la forme d'un polygon» ri» gulier et passent par le centre, toutes ces puissances sont égales, les cote) du polygone sont également tendus, et la somme de toutes les puissances est à la tension d'un cordon, comme le contour du polygone est au rayas* du cercle circonscrit.
11 3. Des poulies. Considérons un système de n poulies mtbiles p t , Pti p$t ••••, p n (%• 33 ), disposées de manière que h première p % soutienne une résistance R attachée à sa chape et soit embrassée par une corde, ayant une extrémité fixe et l'asti* extrémité attachée à la chape de la poulie suivante p % \ que Al* même cette seconde poulie soit embrassée par une corde, ayant 1 une extrémité fixe et l'autre attachée à la chape de la poulie salivante p l ; et ainsi de suite , jusqu'à la dernière p nft dont la cordt J arrêtée d'une part à un point fixe, soit tirée die Pautre par II puissance P. ....
Si tout le système est en équilibre , chaque poulie est en éqoÉ» libre elle-même , en vertu des forces et des tensions qui agissent sur elle. Nommant donc r t , r a , r 3 , ..., r n , les rayons respectât des poulies; c t , c a , c 3 , ..., c n , les soutendantes des arcs embrassa par les cordes ; /,, tf a , /^, ..., P, les tensions successives des cordons ; on a vu (90) que l'équilibre des poulies /\i />,i ft >•••! F*» fournit cette suite de proportions :
P l t n ^ x II r n l c n .
Multipliant par ordre et simplifiant, il viendra P C R II Ws - r n : cc& ... c n .
C'est-à-dire la puissance est à la résistance, comme le produti des rayons des poulies est au produit des soutendantes des ares imbrassés par les cordes, '
La disposition la plus favorable à la puissance est celle où les deux parties de chaque corde sont parallèles ; car alors chaque
souténdante étant égale au diamètre de la poulie, sera la plus grande possible; et par suite, là puissance P sera la moindre possible à regard de la résistance R. Or, dans ce cas , il vient
P * R * * 1 * a", ou P == — •
Ainsi pour 3 poulies , la puissance ne serait que le huitième
de la résistance; et le 5 i*% pour 9 poulies.
1 14* Voici un autre système, encore plus énergique que le précèdent [fig* 34) : soient/»,, /> a , p 3 , ..., p m n poulies, mobiles autour de leurs aies, et dont les chapes sont fixées sur une plaque solide, à laquelle est suspendu un poids à élever. Soient au-dessus de ces poulies, n autres poulies mobiles <? n ^ a , ^ 3 , ..., q m dont la première q x est suspendue à un point fixe, par sa chape supérieure. La corde qui embrasse p x en dessous et q x en dessus, est soutenue par la chape inférieure de q x et soutient la chape supérieure de q^» De même, la corde qui embrasse p % aa dessous et q 9 en dessus , est soutenue par la chape inférieure de q % et ■patient la chape supérieure de <? 3 ; et de même pour les cordes sur p^ et pj, sur p^ et q k> etc. Enfin une extrémité de la corde sur p n et q n est tirée par la puissance P. Si donc on suppose que toutes les parties des sordes soient parallèles; ce qui peut toujours se faire en donnant aux poulies des rayons convenables; désignant d'ailleurs par R la résistance, comprenant les poids des poulies, des cordes et du corps à élever; on trouvera que pour l'équilibre,
R=:aP<H-3+9H |-3' l ~ 1 )i d'où K=(3 n — i)Pi
Cet appareil et le précédent favorisent singulièrement la puissance; néanmoins ils sont rarement employés ; d'abord parce qu'ils exigent un emplacement d'une grande étendue, dont souvent on ne saurait disposer, et ensuite à cause de l'énorme longueur de cordes qui leur devient nécessaire pour élever un poids à une hauteur médiocre. H est facile de voir «n effet, que pour élever un poids à la hauteur A, les parties des cordes dtant parallèles, la puissance devrait parcourir un espace égal à i n h dans le premier système, et dans le second, égal à
3^( 1 + 44-i3 + 4o4-iai + 364 + ...), ou \h [3"+» — (a»+3)]. Ces inconvéniens ont fait préférer, pour favoriser la puissance, les machines composées de deux moufles*
1 i5. Des moufles. On appelle moufle un système de poulies assemblées dans une même chape, ou sur des axes particuliers, ou sur le même axe (fig..35 et 36).
Considérons deux moufles, Tune fixe et l'autre mobile, et Supposons que toutes les poulies soient embrassées par une même Corde attachée par une extrémité à la chape de Tune des moufles., et tirée à l'autre extrémité par une puissance P, qui fait
( 94 ) équilibre a on poids R suspendu à la moufle mobile. Supposons déplus, comme cela a lieu ordinairement «Fane manière sensible, qoe les diverses parties de la corde soient parallèles. Dam ce cas , puisque toutes les poulies sont embrassées par la même corde et qu'il y a équilibre, pour chacune en particulier, il est clair que tons les m cordons, qui root d'une moufle à Fanfre, sont également tendus, chaque tension étant égale à la puiss ance P. Ainsi la résistance R est égale et directement opposée à 1* résultante de m forces, parallèles et égales à P ; on a par conséquent R =r »P - cYst-â dire qoe imms TtqmHkrt àe la màtkim cmpfifc de deux wumfUt, la fmttmmce ezt un* uarm? de 2s rènsùmee, mtmrfmee pmr le wew&re de emrdmu fmrmUèles, eut wmd dTwm* wumfU à Tmmtrt.
Dans cette machine, on établit le parallélisme des cordons, en faisant croître les rajons des poulies, égales deux à deat (Tune moufle à Fautre, surrant une progression arithmétijoe, dont la raison est le rayon de la plus petite poufie. H est donc mole de calculer la longueur de la corde, connaissant les rayons et la position des poulies, des moufles et le point où la put* sauce agit. De plus, pour que le poids s'ésère «Tune hauteur**, la puissance doit décrire respace a*. De sorte que ce que Pet gagne du côté de la force, on le perd en temps, et cm dépense de corde ; et il est clair qu'il en est encore ainsi pour le systène de poulies mobiles, que nous axons considéré plus haut. Ce système est plus aTantageux pour la puissance que celui dedeax moufles \ mais il Test beaucoup moins sous le i appât de la annoeurre et de la possibilité de faire parcourir à la puissance sn espace donné.
ses compose* sont raaaluj 11 lonoya s^agkded
le etle o
qae Tarn peat donner à cette aaacaâne, et
rtaianwii t k
h aaariu», «à c* la |Ji—n des arts de eBe est mibia c e et déposée «T» grand aoaahreue le rapport de b dnêd»
1 t6. Des tectils. Considérons
posée d\m assemblage de tours qui réagissent les
( 95 \j 1res (fig. 87). La corde qui s*enroule sur le cylindre da premier, soutient un poids R et en général une résistance verticale ; et la corde appliquée à la roue, au lieu d'être tirée immédiatement par une puissance , est attachée au cylindre du second tour, sur lequel elle s'enroule tangentiellement. La roue de ce second tour est de même tirée par une corde qui passe sur le cylindre du troisième ; et ainsi de suite jusqu'au dernier dont la roue est tirée par la puissance P.
Si le système est en équilibre , il en sera de même de chaque tour en particulier, en vertu des tensions des cordes appliquées au cylindre et à la roue. Nommant R, t x , tf a , tf 3 , ..., P les tensions des cordes ; p t , p^ p 3 , ..., p n les rayons des cylindres, et R t , R a , R 3 , ..., R rt les rayons des roues \ il est clair (92) qu'on
*ura t * R * * * R ,
Multipliant par ordre , on trouvera
C'est-à-dire la puissance est à la résistance, comme le produit des rayons des cylindres est au produit des rayons dès roues.
117. Des boues dente' es. Si l'on rapproche tous les tours de manière que la roue du premier devienne tangente au cylindre du second , que la roue de celui-ci soit tangente au cylindre du troisième , et ainsi de suite ; et si l'on suppose que chaque roue s'engage au cylindre contigu, de telle sorte qu'elle ne puisse tourner sans faire tourner le cylindre , et réciproquement \ on pourra supprimer les cordes qui lient tous ces treuils , et la machine occupera Un emplacement beaucoup moindre.
Pour engager solidement chaque roue avec le cylindre du ' tour suivant (fig. 38), on pratique à leur circonférence des dents également espacées qui engrènent les unes dans les autres, de manière que chaque roue , qu'on nomme alors roue dentée, ne peut tourner sur son axe , sans que le cylindre qu'on nomme alors pignon, ne tourne en même temps sur le sien. On a donc pour l'équilibre de deux forces qui réagissent l'une sur l'autre au moyen des roues dentées : la puissance est à la résistance,
comme le produit des rayon» des pignons est au produit de» rayons des roues.
Désignant donc par r t , r a , r 3 , ..., r a , les rapports des rayons des roues à ceux de leurs pignons, on n'aura pour l'équilibre, que la seule équation
R = PXr 1 r,r 5 ... r n .
De sorte que cet équilibre peut s'établir d'une infinité de manières , et le problème est plus qu'indéterminé.
On voit qu'au moyen des roues dentées, on peut obtenir une machine très-énergique sous un petit volume. Par exemple, avec quatre roues , dans lesquelles on aurait r t = 4 1 r , = r 3 = r 4 = 5 , une force de 6o livres soutiendrait en équilibre un poids de 3oooo.
1 18. Les points de contact des dents des roues avec les aHu des pignons, étant variables, il est difficile de mesurer avec précision les rayons respectifs ; et il importe de remplacer l'équation d'équilibre qui précède par une autre, susceptible de plus d'exactitude. Or, soient d v et a v+l les nombres respectifs de dents et d'ailes de la v* roue et du \y -f-i) e pignon avec lequel elle engrène : puisque ces dents et ces ailes doivent être égales et également espacées, leurs nombres d v et a v sont évidemment comme les circonférences a*-R. v et *irp v+l qui leur correspondent, et on a par conséquent d v ; a v+i H R v lp v+x \ d'où
Soient N v et N v+i les nombres respectifs de tours que font en même temps la v e roue et son pignon d'engrenage, et conséquemment la (v + i) e roue : il est clair que pendant ce temps, il passera au même point de la ligne de circulation, un même nombre de dents et d'ailes. Or, il passera évidemment dJ8 v dents et « V+I N V+1 ailes ; on a donc
d v K v = a v+l TX v+l ...(2).
Prenant successivement v = î , 2, 3, 4i •••* n — ii dans les équations (î) et (2), puis multipliant entre elles les équations résultantes, dans chacune, et réduisant, on trouvera
d t d A •• d nr-t-PJ>*Pt — Fn = R , R , R s — R n-,- <W*4 — *#*
Divisant la première de ces deux égalités par la seconde, et ayant égard au rapport de la puissance P à la résistance B t trouvé plus haut (1 17), il viendra
Telle est la proportion d'équilibre, qui remplace avec avantage celle énoncée plus haut (1 17) : elle nous apprend que la puissance est à la résistance 9 comme le rayon du premier cylindre multiplié par le nombre de tours qu'il fait dans un certain temps, est au rayon de la dernière roue multipliée par le nombre de tours qu'elle fait dans le même temps.
1 19. Soient t v et t v+% les temps employés respectivement par les v* et (y-\- i) e roues pour faire chacune une révolution. Il est aisé de voir que d v t v+l = « v+l * v i et que par suite,
d x d A ' ' ' d n-fn — a * a \ a k ' ' • "nfx- Lorsqu'une machine composée de roues dentées, doit produire du mouvement, il faut non-seulement que l'intervalle entre deux dents consécutives, soit égal à la largeur de chacune; mais on doit en proportionner le nombre et l'épaisseur, de manière que les dents et les ailes ne se brisent pas sous les pressions et surtout que la rotation soit régulière. Pour cette dernière condition, il faut d'abord que dans chaque roue, il y ait au moins deux dents en prise avec deux ailes du pignon suivant, il faut de plus que les dents et les ailes aient la courbure épicycloïdale % au tracé de laquelle nous ne pouvons nous arrêter, mais qui est la seule propre à donner une vitesse uniforme. Cette forme est souvent donnéa aux dents et aux ailes par l'usé dû au frottement -, mais pour cela , il est nécessaire que les mêmes parties soient sans cesse ramenées au contact, c'est-à-dire que le nombre de dents de chaque roue soit un multiple du nombre d'ailes de son pignon d'engrenage. C'est ce qu'on appelle préférer des nombres rentrans , condition que les horlogers ont soin d'observer.
De quelque manière qu'on emploie les engrenages, il en résulte toujours des frottemens considérables, malgré le poli et la régularité de construction qu'on s'attache à donner aux différentes pièces; aussi les engrenages sont en général de mauvais moteurs, et malgré les forces énergiques qu'ils peuvent développer, on ne doit les employer qu'avec réserve , et que quand il est impossible de s'en passer, comine cela arrive dans les moulins de divers genres. Pour ces dernières machines, tous les axes ne sont pas parallèles ; et alors on emploie des engrenages coniques ou roues d'angles, pour communiquer le mouvement soit à des pignons, ; soit à des lanternes, qui en tiennent lieu, et dans lesquelles les ailes sont remplacées par des cylindres ou des cônes, nommés fuseaux ou alluchons. ; 120. Une des applications les plus remarquables des roues dentées,
* . est celle qui a lieu dans les horloges et les montres. On verra , d'après la a théorie du pendule, comment le mouvement , communiqué à la machine, ' y est régularisé de manière à indiquer des temps parfaitement égaux. Or, ,. ces indications dépendent essentiellement des rapports entre les nombres
de dents et d'ailes; et nous pouvons, dés à présent, déterminer ces rapports.
Proposons-nous, par exemple, de trouver les nombres d'ailes et de dents qu'il faut donner aux pignons et aux roues d'une horloge ami doit marquer les heures , les minutes et les secondes , et dont le bahut' cier doit battre les secondes. Pour cet effet, on emploie ordinairement cinq roues et quatre pignons, convenablement disposes. Par minute le balancier fait 60 vibrations, dont deux laissent passer on échapper vaut dent de la dernière roue , portant l'aiguille des secondes. Si donc en donne 3o dents à cette roue, elle fera une révolution par minute, et' conséquemment 60 révolu lions pendant que la troisième roue, qui doit porter l'aiguille des minutes, fera un tour. Ainsi en posant N,=:i et N n =6o, l'équation (3) du n° 118 deviendra
Les quatre inconnues de cette équation étant des nombres entiers, dont les deux premiers <2 3 et d u sont respectivement plus grands que les deux autres; si on se donne arbitrairement deux d'entre eux, les deux autres seront facilement déterminés. Or, en faisant, par exemple, a^ a 5 =:6, il viendra e^c^ r= 60 • 6 • 6 ; et il faut partager ce dernier produit en deux facteurs que Ton puisse prendre pour d z et d^. Posant, par exemple, d 4 r=r36, on aura d^-=6o ; et ces nombres satisfont à la question. Car la troisième roue faisant un tour, le pignon de la quatrième, avec lequçl elle engrène et qui a 6 ailes, fera évidemment 10 révolutions, ainsi que la quatrième roue. Mais celle-ci ayant 36 dents qui engrènent avec les 6 ailes du pignon de la cinquième, il est clair que pendant qu'elle fera 10 tours, ce pignon et par suite la 5 e roue, en fera 10 fois. 6 ou 60, comme cela doit être.
Maintenant, la troisième roue devant aller la fois plus vite que la première, qui porte l'aiguille des heures; pendant que celte première rose fera un tour, la troisième en fera îa : on aura donc d^ — xza^ay Prenant tf 3 =8 et a 3 ==i6, par exemple, ce qui donne d t d a = i2 *8*i6; •on pourra faire e£ a zz 3 2 ; d'où l'on aura d l = 48*
Ainsi parmi les nombres propres à résoudre le problème proposé, en peut employer le système de valeurs que voici :
££, = 48, <£ a = 3a, <£ 3 =r6o, d 4 =:36, d 5 =zSo^ a a =i6, a 3 = 8, tf 4 =z6, eta 5 =6.
lai. H arrive souvent que les vitesses données ont un rapport i tible, exprimé par de grands nombres, premiers l'un ou l'autre* «e cas, il est nécessaire de remplacer ces nombres par d'autres non miers, et dont le rapport approche le plus possible du propose. Votai h marche à suivre :
Supposons quWee trois roues et deux pignons on veuille construire «me montre indiquant les phases lunaires $ de manière que la prmtfHn roue, portant V aiguille , fasse un tour en ao jours la heures 44S rfarfr moyenne delà révolution synodiqu* de la lune, tandis que la ifiiaujjff
roue accomplit un tour en * jours et demi» Ces nombres réduits en minutes, sont 4a5?4 et 36oo; ainsi pendant que la première roue fait un tour, la troisième en lait ^5* ou, -^gff 1 ^ rapport irréductible, dont le
numérateur est premier. Soit - un rapport plus simple et qui en différé
très-peu ; soit a le numérateur de la différence r on aura donc 900^ *">io63ix=a, le nombre entier a deyant être fort petit. Résolvant cette équation indéterminée,, on trouvera
yz^2jo&a-±-io63iu et * = 229*1-}- 900a.
En prenant pour a et u des nombres entiers, on en déduira pour x ely des nombres aussi entiers, parmi lesquels i} faudra choisir ceux d'une même substitution qui pourront se décomposer en facteurs. Or, quan4 on prend a = 7 et « =; — i,il vient x = 703 = 19 • 37 et y =: 83o4
= 48 * *73* De là, on aura
d'où «3 = 19, ^3 = 37, <£ t = 4? et ^2 = 173.
Il est bien vrai que le rapport 83o4 ! 703 , n'est pas exactement lé même que io63i * 900 ou ^iéi^ l 36oo; pour calculer Terreur, rempla-* çons 4^524 par *, et égalons les deux rapports; nous en déduirons z =* 4a5a4/°4i au l* eu de 4^24 » Terreur est donc o',o4, ou a",4 par révo* lution lunaire ; ce qui fait environ 3o" par an.
Pour n'avoir pas à calculer chaque fois les dimensions et la position des pièces d'une montre, ni les nombres' de dents et d'ailes, on a cons-^ trait une machine ingénieuse, nommée plate-forme, et qui sert à tailler les dents des rouages. II y a de ces plates-formes qui ont en outre un appareil propre à arrondir les dents en épicycloïdes. De sorte que ce travail si difficile devient l'ouvrage d'une machine aveugle, d'autant plus précieuse, que n'éprouvant ni distraction, ni fatigue, elle conduit immé* diatement à une exactitude de construction , que l'ouvrier habile et intelligent, n'obtiendrait peut-être pas avec beaucoup de temps et de soins.
12a. Du cric. On considère dans le cric simple (fig. 39), un pignon que l'on fait tourner Sur son axe au moyen d'une manivelle : ce pignon engrène avec une barre inflexible dentée, de manière qu r en tournant sur son axe , il oblige la barre à se mouvoir dans le sens de sa longueur. Ordinairement la résistance E est un poids appliqué sur la tête de la crémaillère et fu-'on peut supposer agir dans le sens perpendiculaire au rayon rda pignon. Et comme la puissance P agit perpendiculairement à Pextrémité du bras de la manivelle, lequel est dans un plan perpendiculaire à Taxe du pignon, aussi bien que le rayon r; il est clair (92) qu'on aura Yb = Rr. Ainsi dans f équilibre dà cric simple, la puissance est à la résistance,, comme le rayon dû pignon est au bras de la manivelle.
Bien entendu que la longueur b de ce bras, est la distance du point d'application de la puissance à Taxe du pignon. Et lorsque le poids est élevé aussi haut qu'il est nécesssaire, on arrête Je mouvement du pignon de haut en bas, par un encliquetage adapté à l'a machine , et la puissance peut cesser d'agir.
Lorsqu'on veut augmenter encore la force du cric, les rayons du pignon et de la manivelle restant les mêmes , on fait agir le pignon sur une roue dentée intermédiaire, dont le pignon mène la barre ; et il en résulte alors un cric composé. Désignant donc par r 1 le rayon du second pignon et par V celui de la roue, on trouvera aisément , pour l'équilibre ,
pik::^ ; iv.
Si donc on suppose que la machine est manœuvrée par un homme auquel on peut attribuer une force de pression de a5 kilogrammes , et que les rayons r, r 1 , b , b\ valent respectivement 1, 1, 10 et 4 pouces ; on trouvera R = iooo kilogrammes.
isrâ. De la vis sans fin. La vis sans fin est une machine composée d'une vis mobile autour de son axe , et dont les filets mènent les dents successives d'une roue de rayon a , à laquelle ils se présentent toujours d'une manière uniforme. La résistance R étant un poids suspendu par une corde , au cylindre de la roue ( fig. 4° ) * appelons c le rayon de ce cylindre , h le pas de la vis, b le bras de la manivelle sur lequel est appliquée la puis* sance P, et/ la force avec laquelle le filet presse la dent de la roue. Il est aisé de voir que pour l'équilibre , d'abord sur la va (ioi), et ensuite sur la roue (92), on aura
d'où Ton tire P • R .•• ch • a . ixb.
C'est-à-dire, la puissance est au poids, comme le rayon é$ -cylindre multiplié par le pas de la vis, est au rayon de la- roue multiplié par la circonférence que la puissance tend à décrire»
• Une puissance P est appliquée au bras b de la manivelle qui ait tourner sur son axe une vis , d'un pas h , menant les dents d'une r©** «le rayon r. Cette roue porte sur son axe une vis d'un pas A', nyy f^t les dents d'une seconde roue de rayon r', dont le cylindre de raye* « jupporte un poids M, au moyen d'une corde tangentielle. Si le système •est en équilibre , on aura
VlMllchJtl^brr:
( toi )
ia4- Du genou. Cette machine , considérée dans fa statique dé M. Poinsot, est composée de deux barres ou verges inflexibles ÀO, BO (fig. 40 1 jointes en O par une charnière sur laquelle elles peuvent tourner comme les deux branches d?un compas. L'extrémité À de la première est liée , par une autre charnière, à une barre inébranlable ÀC, de sorte que cette branche AO est comme un levier dont l'appui fixe est au point A ; mais l'extrémité B de la seconde branche ne fait que posée sur la barre inébranlable , ou plutôt elle est contenue- dans la rainure fixe AC, le long de laquelle elle peut glisser librement. La puissance P est appliquée à l'extrçmité n d'une barre mn solidement .fixée perpendiculairement sur la branche AO, près de la charnière O. L'action de cette force a pour effet de faire glisser le point B dans la. rainure AC, en ouvrant l'angle AOB, et d'exercer une pression en B, dans le sens BG. De sorte qu'en appliquant en B une force R, égale et directement opposée à cette pression , il y aura équilibre dans le système. ■ Pour trouver les conditions de cet équilibre , supposons que ht force P agisse perpendiculairement à la distance An = r, ce qui est la position la plus favorable à l'action de cette puissance \ et réduisons la figure à des lignes droites OA, OB, AC, An, toutes dans un même plan, avec les directions des forces. Faisons de plus AO = a, l'angle OBA = B et l'angle AOB = 30. Puisqu'il y a équilibre dans la machine, la branche AO est en équilibre en vertu de la puissance P et de l'action x du point B sur le point O de cette branche , action qui ne peut avoir lieu que dans Je sens BO, et dont le moment par rapport au point fixe A est x X Ah. Les forces P et x tendent h faire tourner en spns contraires autour de A \ donc , comme leur résultante est détruite par la résistance de ce point, on a ar X An ssPr (33) ; ou bien, en observant que An = a sin 2<p, il vient «or sin a0 = Pr.
Le point B est en équilibre en vertu de la force R, qui le tire
le long du plan BA et de la réaction du point O, qui le pousse
suivant OB contre ce plan ; et comme cette réaction est égale
à x y on a par la théorie du plan incliné (94), x \ R \\ 1 \ cos B
Ou R 5= x cos B. Eliminant x on trouvera
Pr cofe B a sin ap
La puissance P restant la même, ainsi que la distance r, on
( 102 ) roit qae là force R sera doutant plus grande que a serti moindre et l'angle 1$ plus grand \ car comme cet angle est obtus , plus il deviendra grand , plus Son sinus sera petit , et plus au contraire cos B croîtra. Et si on avait 2p = 180 , il viendrait R =co. Ce qui veut dire que la pression elercée par le genou , dans -le sens de la rainure , peut devenir plus grande que toute pression donnée. Cette machine , d'une construction beaucoup plus simple que celle de la vis , peut donc servir , comme elle , pour exercer, au moyen d'une puissance médiocre, des pressions très-considérables , ou pour former sur certains corps s de fortes et vives empreintes.
Lorsque le genou est isocèle * c'est-à-dire lorsque ÂO = OB t on a l'angle À = B = 90 — ç. Et comme sin 29 = 2 sin 9 cos <p = 2 cos B sin B, il vient , pour l'équilibre , aaR sin B 5= Pr. Soit/ la flèche du genou , c'est-à-dire la hauteur CI da triangle isocèle AOB ; il est clair qu'on aura 2/= 2a sin B et 2R/*= Pr. Ainsi dans V équilibre du genou isocèle; là puissants *st à la résistance dans le sens de la rainure, comme le double de fa flèche est à la distance de la puissance à la charhibrefix*.
Si l'on veut avoir égard au poids de la machine, en jfappoautf Pale ou la rainure AC verticale, dont le poids est détruit par h résistance du plan horizontal sur lequel le système est appuyé^ on supposera le poids p de chacune des deux branches égale! AO et BO, appliqué à son milieu, ce qui revient à regarder ces deux branches comme homogènes et de grosseur uniforme \ùi* sant d'ailleurs abstraction du ^oids de mn, comme ai la puissance P était appliquée en m et qu'on eût Am = r, on trouverais»* lement cette équation d'équilibre :
(R — 2|>).2/— Pr.
Ainsi le poids de la machine favorise l'action de la pftnrifneê» Et on peut aisément déterminer la grandeur et le sens dé la fine avec laquelle l'axe AC du genou doit être retenu en A et B, pour n'être pas entraîné par Faction combinée de son poids et 3ef forces appliquées.
\ ' 135. Parmi les machines composées, de formes variable*, on distia~ gbe, outre les polygones funiculaires, le pont levis, dont l'équilibrée* donné dans plusieurs ouvrages de mécanique (voyez entre autres ceux 3e MM. Francœur et Dandelin). On distingue aussi la balance de Robervs^ qui jouit d'une propriété singulière indiquée par le théorème que voici:
On a un parallélogramme firme par quatre règles d'une même gro* teur uniforme y mobiles autour de leur» extrémités; oe paraUèlogi
( iOi )
est suspendu à un pied vertical par deux axes, traversait le* mûieuM dé deux côté* opposés, et peut se mouvoir librement autour de ces axes, dans un plan vertical, en changeant la grandeur de ses angles. Si sur deux bdtons de poids égaux etjixés invariablement aux milieux des deux autres côtés, on suspend deux poids égaux P et P', il y aura équilibre, quels que soient les points de suspension de ces deux poids»
Ce théorème, facile à démontrer par la décomposition des poids, présente, dans la théorie des momens , une espèce de paradoxe, qu'on lève par la seule observation qu'il y à deux points fixes dans le système. Il est facile de voir aussi qu'il n'y aurait pas équilibre, si les deux points P et Pr étaient inégaux : en sorte que cette machine peut servir à peser les corps, comme une balance.
Les élèves feront bien de s'exercer sur les problèmes et théorèmes que voici :
I. Trouver les conditions d'équilibre pour un système de leviers qui agissent mutuellement les uns sur les autres.
II. ^i une masse M est retenue en équilibre sur un plan incliné, au moyen d'un cordon parallèle à ce plan et appliqué d'une part au centre de gravité de M et de l'autre au cylindre d'un tour sur la roue duquel agit la puissance P ; en désignant par r et r' les rayons du cylindre et de la roue, par / et h la longueur et la hauteur du plan incliné, on aura
P:M::r*tr'/.
iH. Deux verges droites homogènes, égales en longueurs et en grosseurs , fixées à angles droits Tune sur l'autre , sont mobiles auteur d'un axe horizontal passant par leur milieu commun. Aux extrémités de ces verges sont fixés des tubes cylindriques fermés, égaux en poids et en longueurs, dans le même plan vertical et contenant chacun un même poids P de mercure. Le système sera en équilibre, dès que les deux verges seront également inclinées sur l'horizon.
IV. Ayant un levier mobile autour d'un point fixe et formé par deux bras rectilignes , l'un horizontal et l'autre faisant avec le premier et par dessous un angle plus grand que 90 ; le plan de ces deux bras étant vertical , on a un second plan , vertical aussi , mais perpendiculaire au premier et du côté du bras oblique du levier , contre lequel ce bras vient s'appuyer. On place dans l'angle compris entre eux , une sphère homogène donnée qui presse à la fois contre le plan et le bras oblique. Quelle force verticale sèra-t-il nécessaire d'appliquer à l'extrémité du bras hori* sontal, four maintenir l'équilibre du système r
Des Obstacles que les Machines opposent aux
Puissances.
126. Lorsque deux forces se font équilibre au moyen d'une machine, si Ton augmente Tune d'elles, elle doit prévaloir sur l'autre \ de sorte que le mouvement dans les machines deV
pend des condition* de leur équilibre. Mais diverses causes physiques modifient ces conditions, soit pour l'équilibre, soit pour le mouvement , en opposant aux puissances des obstacles dûs à l'adhérence , au frottement et à la raideur des cordes.
Malgré ces obstacles, auxquels il faut avoir égard, une machine peut toujours être construite de manière à favoriser la puissance motrice ; mais alors on perd du côté du temps ce que l'on gagne du côté de la force : cet inconvénient est inévitable. On peut bien faire , par exemple , qu'un homme seul élève le même poids que trente; mais il sera aussi trente fois plus de temps pour l'élever à la même hauteur. La vérité de ce principe est évidente dans le levier et le plan incliné ; et l'on voit que si Ârchimède avait eu le point fixe et le levier qu'il demandait pour soulever la terre , il lui aurait fallu des millions d'années pour la mouvoir d'une petite quantité. Le principe ci-dessus a heu également pour la poulie et les roues dentées (1 14 et 120) ; et il est aisé d'en reconnaître l'exactitude dans le tour et la vis.
Cette propriété des machines n'est un inconvénient que dans certaines circonstances , où le temps est donné; et alors même, elle devient un avantage, si la puissance motrice étant trèsconsidérable , on demande que ses effets soient rapides , comme pour le choc de l'eau ou de l'air contre les ailes d'un moulin.
Lorsque la durée peut être quelconque , on tire partie de la propriété précédente , pour rendre sensibles les moindres mouvemens , en les appliquant à l'axe d'une aiguille d'une certaine longueur, comme dans les hygromètres, les baromètres, etc. De sorte que l'on peut airïsi utiliser ce qui, dans certains cas, est nuisible à l'effet qu'on veut obtenir.
127. Du frottement. Le frottement est la résistance qu'on éprouve à faire glisser ou rouler un corps sur un autre. Cette résistance vient non-seulement de la force plus ou moins grande avec laquelle les surfaces en contact adhèrent l'une avec l'autre, mais surtout de ce que les parties saillantes s'engagent dans les cavités qui se trouvent sur les surfaces , même les mieux polies ; d'où résulte que les corps ne peuvent glisser l'un sur l'autre, sans briser les saillies qui sont mutuellement engagées, ou do moins sans les soulever. Ainsi le frottement tend à détruire les machines , et exige une plus grande action pour faire passer le mobile de l'équilibre au mouvement.
- Nous avons contmueltanent sous les yeux des exemples de Pu du frottement dans les usages de la vie. Sans lui nous ne pourrions travailler les substances, ni saisir les objets, ni marcher sans tomber, ni poser en repos les corps sur le sol ou sur une table : on sait combien il est difficile de se tenir sur la glace. Sans le frottement nous ne pourrions nous servir d'aucun instrument, qui échapperait de nos mains sous le moindre effort. Le frottement est utile dans une foule de procédés des arts , soit pour tenir des forces en équilibre , soit pour remplacer des engrenages, soit enfin pour user les diflërens corps les uns par les autres, et leur donner, par ce moyen, les formes qu'on désire. C'est ainsi qu'on emploie les limes, les scies, pour façonner les bois, les pierres, les métaux 5 c'est ainsi qu'on se sert des pierres de diverses espèces, des poussières de diverses natures, pour dégrossir, adoucir et polir les substances, et pour assurer la marche sur des corps unis. C'est au frottement que nous devons le pouvoir de construire des fils et des cordes de toute longueur, à l'aide de la torsion»
■ Si le frottement est avantageux dans certaines circonstances, il en est d'autres où cette résistance est un inconvénient réel*. C'est ce qui a lieu toutes les fois qu'il s'agit de mouvoir un corps, parce qu'alors le frottement détruit une partie de la force employée. Aussi dans toutes les machines destinées à entretenir ou à transmettre le mouvement, cherche-t-on à atténuer, autant que possible, les frictions. C'est aussi le frottement qui détermine l'usure des habits et de tous les objets dont nous nous servons habituellement; des corps même très-durs ne résistent pas à un long usage : c'est ainsi que les marches des escaliers fréquentés, les trottoirs, soit en bois, en pierre calcaire, ou même en granit, sont usés et creusés assez profondément : c'est ainsi que les diverses parties des machines s'usent continuellement par leur frottement mutuel. Les plus petites causes mêmes finissent à la longue par laisser des traces très-sensibles ; et c'est ainsi que les monnaies perdent leurs empreintes et leurs poids. On voit que le frottement est une force passive , qui produit toujours ses effets.
1 28. Le frottement est de la première espèce, lorsqu'un corps est oblige de glisser sur un autre , en lui présentant toujours les mêmes points. Si c'est un corps dur qui glisse sur un autre plus tendre, les aspérités du premier déchirent la surface du second ; et si les deux corps sont à peu près de même dureté, il faut ou que les aspérités se brisent par leur choc mutuel , ou que le corps mobile fasse des petits sauts successifs pour faire passer les aspérités les unes sur les autres.
Le frottement est de la seconde espèce quand un corps roule sur un plan, en lui présentant successivement les différens points de sa surface. Ce dernier frottement est beaucoup moindre que le premier, car il est clair que le mouvement de rotation contri-
bue en partie à dégage)* les aspérités. En plaçant des ronléaftx de bois sons un bloc de pierre , il est beaucoup plus facile à mouvoir que s'il reposait simplement par toute sa base sur le terrain i c'est que par ce moyen, le frottement de la première espèce devient celui de la seconde. C'est aussi pour cela que les meubles portés sur des roulettes, peuvent être mus avec plus de facilité que s'ils reposaient sur leurs pieds.
Tout le monde sait pourquoi on enraie, c'est-à-dire on empêche les roues d'une voiture , qui dort descendre une montagne, de tourner sur leurs axes : c'est pour ralentir la vitesse en augmentant le frottement, qui de la seconde espèce devient ainsi de la première. Sans cette précaution, la vitesse deviendrait très-considérable, et mettrait la voilure en danger d'être précipitée.
12g. Estimation des frottemens. Les frottemens tiennent à une multitude de circonstances que le calcul seul ne saurait embrasser, car il faut faire entrer en considération le poli des surfaces, la température et l'humidité de l'atmosphère, l'affinité des substances, la vitesse du mouvement, etc. On doit donc recourir à l'expérience, pour en apprécier les effets $ et voici d'abord ce qu'elle nous apprend-.
Le frottement est proportionnel à îà pression, toutes choses égales d'ailleurs ; c'est-à-dire que le corps restant d'une même nature , on éprouve une résistance au mouvement d'autant plus grande que ce corps pèse davantage.
Pour vérifier ce principe , on place un corps M sur un plan horizontal (ce corps est ordinairement un parallélépipède rectangle). Le poids M étant détruit par la résistance du plan, H est clair qu'abstraction de. la forée a* inertie, le corps devrait obéir au plus léger effort : or le frottement empêche qu'il en soit ainsi. Pour mesurer cette résistance , on suspend des poids à une soiepassée sur la gorge d'une poulie mobile par son axe fixe, cette soie étant attachée au corps, de manière que sa direction , depuis la poulie, passe par le centre de gravité de M; et celui de ces poids qui fait prendre ail corps un mouvement naissant, mesure la valeur du frottement. On a reconnu que si le corps M pèse a, 3, ..., fois plus, il faut mettre un poids Q précisément double, triple, ... De sorte que la puissance Q et le poids M ont on rapport constant , en supposant que les surfaces en contact né changent pas de nature; et c'est dans ce sens qu'il faut entendre
ces expressions usitées : le frottement ett le tiers, le quart de & prenions pour désigner que le poids Q doit être le tiers on le quart du poids M. Si donc on désigne par/* le rapport constant Q • M , on aura Q =/M. Gomme M = 1 , donne Q ==/', on voit que la constante/* est le poids propre à vaincre le frottement de l'unité de poids du corps que Ton considère.
On tire de là un moyen plus simple pour calculer le rapport/1 On place le corps M sur un plan mobile autour d'une droite horizontale, puis on incline le plan jusqu'à ce que le corps commence à se mouvoir. Désignant alors par « l'angle du plan avec l'horizon , il est clair que les composantes du poids M,, parallèle et perpendiculaire au plan incliné, seront M sin « et M cos «. Le frottement sera donc /M cos « ; et pour que ce frottement soit détruit par la force opposée M sin *, il faut qu'on ait /M cos « z=z M sin «. De sorte qu'en désignant par b et h la base et la hauteur du plan , il viendra
/=tang* = -.
Ainsi le rapport/* est égal à la tangente numérique de l'angle m\ et c'est pourquoi dans ce cas, « est appelé V angle eu frottement, le rapport/ étant nommé lui-même le frottement.
i3o. (Test par des expériences semblables qu'on a été conduit aux principes que voici :
i° ie frottement varie pour des surfaces différemment polies. Ainsi on peut le diminuer en polissant les surfaces, ou en bouchant les pores avec quelques substances qui n'augmentent pas l'adhérence. C'est pour ceïar que les artistes ont toujours soin dé polir les différentes pièces qui , dans les machines, doivent éprouver du frottement. Et comme les diffé* rens degrés de dureté des corps, Tétât tiVgrégation de leurs particules $ ont une grande influence sur le degré de perfection du poli $ ces causes influent aussi beaucoup sur l'intensité du frottement.
à° Deux surfaces de même nature éprouvent un frottement plus grand que deux surfaces de matières différentes^ également polies. C'est pour eela que l'on fait ordinairement Touler les essieux d'acier dans des boîtes de cuivre. Dans les montres qui sont faites avec beaucoup de soin, comme les gardes-temps , les pivots d'acier roulent sur des chapes de rubis ou plutôt de pierre dure quelconque, parce que ces corps étant susceptibles d'un poli très-vif, il en résulte moins de frottement, et aussi parce que la dureté empêche le petit trou qui reçoit le pivot de se déformer.
3° Le temps influe sur la grandeur du frottement. On peut attribuer cette influence à la flexibilité, qui permet aux surfaces des corps de s'engager davantage suivant la durée du contact. Dans les bois glissant à sec sur des bois, le frottement atteint son maximum après quelques minutes.
Pour les mrtaiiT piml sur des aaétsux, u y parvient les substances hétérogènes sans enduit, le frottement croit et ne parait atteindre sa limite qu'après quatre on cinq jours.
4* Le frottement ne dépen d pas de F étendue des surfaces en contas?, le poids restant le même; car l'équation Q =/Bf ne change pas» quelle que soit la lace du corps M qui touche le plan. Cela vient sans doute de ce que la surface de contact étant plus grande, la pression sur chaque point est plus petite, ainsi que le frottement. Hais si le corps était app uy é* par une pointe, comme ce corps tracerait par son poids un sillon sur la surface frottée, ce cas doit être excepté du principe.
5° Qmmnd les corps sont en mouvement, le frottement est sensiblement indépendant de la vitesse. Cependant pour les surfaces hétérogénés, le frottement croit sensiblement en progression arithmétique quand la vitesse croît en progression géométrique.
6* Im résistance qu'on éprouve pour mettre un corps en mouvement aprts un temps suffisant de repos , est beaucoup plus grande que le fr+ttotmemt oui se manifeste quand le mouvement est développé* Par «xtaaple, Coulomb a trouvé que la force nécessaire pour détacher et faire (lisser une surface de chêne, après quelques minutes de repos , est à cette nécessaire pour vaincre le frottement quand elle est en mouvement, coin* ne ç^5 • 3,3. Dans le frottement des métaux sur les métaux, ces quantités sont sensiblement égales.
7° On peut toujours diminuer le frottement en introduisant mitre les corps certaines substances, telles que de V huile, des graisses , au savon, de la plombagine, du talc. Cela vient sans doute de ce que l'effet de ces substances est d'augmenter le poli des surfaces, en en bouchant les pores, et de changer le frottement de la première espèce en celui de la seconde, par la grande facilité qu'ont leurs molécules de rouler les unes autour des autres. La nature de l'enduit influe aussi beaucoup sur les résultats : tel enduit qui diminue le frottement entre certains corps, ne le diminue pas entre d'autres, ou même l'augmente. C'est tantôt une action chimique qui produit cet effet, tantôt une action purement mécanique, parce qu'il se forme tôt ou tard une boue épaisse qui s'oppose efficacement au mouvement. Coulomb, à qui on doit les plus importantes recherches sur le frottement, a trouvé que le meilleur enduit est le suif nouveau et frais| mais que son efficacité diminue, à mesure que le frottement agit sur lui. Le même résultat s'observe d'ailleurs en mêlant des matières onctueuses au suif.
On a construit des tables propres à marquer les valeurs que prend le frottement /, pour les diverses substances les plus usuelles combinées deux à deux. Ainsi on peut regarder le nombre f comme donné \ cependant l'expérience prouve que ce nombre n'est constant qu'entre certaines limites \ car lorsque )a pression devient très-considérable, le coefficient /diminue;
C 109 ) et au lieu d'être le tiers ou le quart de la pression, il n'en est quelquefois que le douzième.
i3i. Equilibre avec frottement. Le frottement étant une force passive, dont la direction est tangente à la surface du contact , on voit que pour connaître les conditions d'équilibre , en y ayant égard , il faut regarder cette force comme opposée au mouvement. On cherchera donc la pression normale qui a lieu au contact; on la multipliera par f , et le produit sera une nouvelle force tangente à introduire dans les calculs, avec celles qui agissent tur la machine.
Plan incliné. Soit Q le poids du corps appliqué au centre de gravité G ( fig. 27 ) ; P la puissance \ a l'angle EGP qu'elle fait avec le plan incliné AB \ B l'angle de celui-ci avec l'horizon BG. Le poids Q se décompose en deux forces, l'une Q sin B parallèle et l'autre P cos B perpendiculaire au plan AB : la puissance P se décompose en deux , l'une P cos a parallèle et l'autre Psin a perpendiculaire au même plan. Celle-ci tendant à soulever le corps, la pression N sur le Plan AB est N = Q cos B — P sin a \ de sorte que le frottement sur AB a pour mesure y*N et pour direction OB. Si l'on veut que la puissance soit sur le point de mouvoir le corps-, en appliquant au point G suivant EF, deux forces contraires, égales entre elles et à/TST, les deux forces /N suivant OB et GE formeront un couple, nul par rapport au mouvement suivant le plan incliné OB, puisque ce couple tendra à culbuter le corps vers A. On peut donc en faire abstraction ; et si l'on veut que la puissance P soit prête à mouvoir le corps de O vers A, sa composante P cos a suivant GE devra faire équilibre aux deux forces /N et Q sin B suivant GF; ainsi on aura P cos a =/N + Q sin B , ou
Pcosa = QsinB +/QcosB — yPsina ...(1).
Cette équation donne P = — — — j-7-7 -' •
* cos a 4-/sin a
Soit « l'angle du frottement, d'où/= tang *; il viendra
*p- = Q.»in(B + «) ^ cos (a — a)
formule facile à calculer par logarithmes. Suivant que la puissance P est parallèle ou perpendiculaire au plan incliné, on a o = ooua = 90 . Si elle est verticale, il vient a = 90 — B et P = Q, comme cela doit être. Enfin, si elle est horizontale,
( no )
ce qui donne • = — B ; ! en désignant par h et 4 la hauteur él la base du plan incliné, on aura
Si Ton veut trouver la valeur de l'angle a, pour que la puissance P soit la moindre possible; on éliminera cos a entre l'équation (1) et la relation sin*a + cos 9 a= i ; puis résolvant l'équation finale 1 par rapport à sin a, on verra que le minimum de P répond à tang az=zf-=L tang « \ d'où * = «. Et comme cela est vrai quel que soit l'angle B, cela sera vrai encore lorsque B sera nul , c'est-à-dire quand le plan AB sera horizontal. On voit donc que si ton a besoin de tirer un corps sur un plan qui doit pro~* dmif du frottement, la meilleure direction à donner à la puissance, est celle qui fait avec le plan le même angle que celui-ci éesrait former avec l'horizon, pour déterminer le corps à se msusoir de lui-même.
Remarquons que si la puissance P devait seulement faire équilibre au poids du corps , décomposé suivant le plan incliné , le frottement lui serait favorable $ et on aurait la plus petite valeur de la puissance, en changeant « en — « dans la plus grande que nous venons de trouver en premier lieu. Gomme entre ces deux valeurs, il y en a une infinité d'autres, également propres à maintenir le corps en repos sur le plan , on voit que le problème de l'équilibre, quand il s'agit du frottement, est généralement indéterminé.
Nous avons vu (70) que des forces quelconques ne peuvent maintenir un corps en équilibre contre un plan ou une surface inébranlable , que quand elles ont une résultante unique R, pastant dans l'intérieur de la base de contact et normale à la surface. Mais la condition d'être normale n'est plus nécessaire quand il •'agit du frottement. En effet , soit x l'angle formé par la résultante unique R avec la normale : les composantes de la force R, suivant la normale et le plan tangent, sont respectivement R cos x *t R sin x \ la première est détruite et produit le frottement fR Cos 4?, directement opposé à la seconde R sin x, qui n'en produit point. Il suffira donc pour l'équilibre , qu'on ait R sin x </R çotx, ou tangar</, ou enfin x<^*. Ainsi des forces quelcon* ffcttt appliquées à un corps solide, qui frotte contre une surface éUèrmnMle, se font équilibre, des qu'elles ont une résultants tttttf**, passant par la base de contact et tombant dans tinté-
rieur du çânpj ayant four axe la normale et pour angle au centre le double de V angle du frottement. De sorte que ces mêmes forces peuvent avoir une infinité de positions d'équilibre.
i32. Vis. Ce qui précède conduit facilement à l'équilibre de la vis qui frotte sur son ccrou. La difficulté est d'abord de savoir quels sont les points du système où ce frottement se développe. Mais on peut supposer, sans erreur bien sensible , que la résultante des pressions et conséquemment des frotte mens , passe sur l'hélice moyenne de la surface du filet, cette hélice ayant h pour pas et appartenant à un cylindre de rayon r. Or, Taxe de la vis étant vertical , la résistance Q agit sur l'hélice moyenne comme un corps pesant sur un plan incliné, dont h est la hauteur et ixr la base b. Si donc une puissance horizontale P' doit contrebalancer le frottement et la composante du poids Q suivant ce plan, il viendra, d'après la formule (2) du n° i3i,
asrr — fh
Mais P désignant la puissance horizontale qui agit sur la vis
au moyen du bras de levier <Z, on a va (99) que F = Px-
On a donc, pour la valeur de la puissance prête à mettre la vis en mouvement , Q r r*« r f-\- h\
~d\*wr—fhj
Si au contraire la résistance Q devait être sur le point de l'emporter, on aurait pour la moindre valeur de la puissance P, ce que devient la plus grande que nous venons d'obtenir, en y changeant h en — h.
On peut toujours concevoir une vis dans laquelle on aurait h-=.iitrf\ et alors il vient, pour la plus grande valeur de la puissance,
Cette valeur est plus que le double de ce qu'elle est quand il n'y a pas de frottement. Ce qui explique comment il peut arriver que bien qu'il faille une force assez considérable pour faire tourner la vis d'une presse, on peut ensuite abandonner cette vis à elle-même sans qu'elle revienne dans le sens opposé à là pression qu'elle a produite (102), ou du moins demeure en équilibre sous l'action d'une force très-minime.
i33. Coin. Appelons a la valeur numérique de la tête AB du coin isocèle ABC (fig. 4 2 )i ^ œ ^ e <fc chacun des cotés AC et BC, et h la hauteur CL Soient de plus Q et R les pressions égales
que le corps exerce perpendiculairement sur les côtes AÇ et BG, et/ la mesure du frottement qui en résulte ; les forces qui s*op- , posent au mouvement suivant les cotés AC et BG, sont donc^/Q et/R. Ces forces étant égales, leur résultante P f est dirigée suivant CI ; et il est facile de voir, au moyen du triangle rectangle
ACI et d'après le parallélogramme des forces, qu'on a P f ±= ~
X/Q. Soit P la puissance qui produirait les pressions Q et R, s'il n'y avait pas de frottement : ces pressions étant égales, il est visible que P est dirigée suivant IC, et on a vu ( i o4) que
p:q::«:*î d'où p=^q.
Les deux forces P et P' suivant IC, ont une résultante x égale à leur somme ou à leur différence ; à leur somme si x est la puissance qui a produit les pressions Q et R, en ayant égard au frottement ; et à leur différence si x est la force qui , à l'aide du frottement , maintient le coin en équilibre. Ainsi on a
ar = P±P'; d'où x — ^{a^7.jîi).
La seconde de ces valeurs exprime la force x qui maintient le coin en équilibre , sous les pressions égales Q et R ; et cette force est rarement positive. Car pour mieux fixer les idées, considérons un coin de fer enfoncé dans un bois de chêne : dans ce cas, la quantité /= o,o3, environ; donc pour que x soit positive , il faut qu'on ait a > o f o6h, ou a = -^h ; valeur trop grande lorsqu'on veut que le choc sur le coin produise un grand effet, puisqu'alors il faut que la tête a soit très-petite relativement à la longueur b ou à la hauteur h.
Si x était nulle , le coin demeurerait en équilibre en vertu des pressions Q et R et du frottement qui en résulte sur lui. Enfin , si x est négative , ce qui arrive souvent ; non-seulement alors le coin reste en équilibre , mais de plus , il faut un effort plus ou moins grand pour l'arracher du logement qu'il s'est fait.
Ceci explique pourquoi, après avoir enfoncé un clou dans du bois, fl faut souvent une force considérable pour l'en retirer. De même, quand on a donné un coup de hache sur un bois dur et résistant, le frottement devient quelquefois si grand , que pour dégager la hache , il faut de nouveaux coins. C'est encore sur cela que repose l'usage et l'emploi des chevilles et des pieux, ou pilots, qu'on chasse avec force, soit dans des trous cylindriques ou coniques, pour assurer les assemblages de menuiserie et de charpente, soit dans le terrain, pour le comprimer et établir
toMàeÉnent les pieux contre tonte Ime qui tendait à les arracher ou à les renverser.
i34* Échelle. Cherchons l'état d'équilibre le plus prochain du mouvement, pour une échelle gui frotte contre le plan horizontal et le mur vertical sur lesquels elle s'appuie. D'après la form* ordinaire des échelles, la droite qui joint les milieux des échelons extrêmes, est dans nn plan vertical et contient le centre de gravité. Mais ce centre n'est pas au milieu de la droite, parce qu'on est communément dans l'usage de donner plus de masse aux échelles dans leur partie inférieure que dans leur partie supérieure. On peut donc, à l'échelle proposée, substituer une droite AB (fig. 43 ), du même poids R, égale en longueur à l'un des montans et située dans un plan vertical, lequel coupera ceux qui soutiennent l'échelle , suivant l'horizontale OX et la verticale OY.
Soit G le centre de gravité de AB ; faisons AG=a, BG= b et l'angle BAO = x. Soit décomposé le poids B. de la droite , appliqué verticalement en G, en deux forces verticales M et N, respectivement appliquées en A et B; nous aurons, par le principe des forces parallèles,
M&R «- aR.
zzl ■' ■' et • N — ■■ " »•
Soit décomposée la force M, appliquée 4a A, en deux autres P et T, dsmt la première P soit .dans la direction AB., et dont la seconde T fasse avec M nn angle MAT égal k l'angle v du fitOftiemcnt sur OX. Pareillement, soit décomposée la force N, appliquée <en B, en deux autres forces Q et U, dont la première Q soit dans la direction fiA, et dont la seconde U fasse avec l'horizontale conduite par B, un angle égal à celui u du frotte*nent anr OY. Lesibrces T et U, quelle que puisse être d'ailleurs leaur intensité., se trouvant respectivement détruites par le frottement sur les droites fixes OX et OY \ il sera nécessaire et il suffira, pour l'équilibre, que ls$ forces opposées P et Q soient égales «ntcç jettes. Or, on a 9
M : P :: sinPAT J ainMAT, N;Q::*inQBU:sinNBU.
De plus, MAT = v, PAT = x + 90 + v, QBU = 90 — <r Jl-go^i*— îBo** — (*+«) et NBUtit^d*— «. Substituant ces Valeurs dans les deux proportions précédentes, et égaits*
( 114 ) entre elles les valeurs qui en résultent pour P et Q, pois chas* sant les dénominateurs, on aura
M sin v sin (je + u) = N cos u cos (x + v).
Développant et divisant par cos u cos v cos a:, il vient M tang v ( tang x + tang u) = N (1 — tang v tang a?).
Si Ton suppose maintenant que les frottemens sur OX et OY sont respectivement les fractions — et - de la pression ; on aura tang v = — , tang u = -, et l'équation précédente fournira , après y avoir substitué les valeurs de M et de N ,
Cette formule fait voir que la longueur AB = a + b restant la même, ainsi que les nombres m et », on pourra rendre l'angle x d'autant plus petit , et conséquemment donner d'autant plus de pied à l'échelle, que b sera plus grand par rapport à a; c'està-dire , d'autant plus que le centre de gravité de l'échelle sera plus rapproché de son extrémité inférieure.
Cette considération explique un phénomène qui malheureusement a été plus d'une fois funeste aux ouvriers. On peut remarquer, en effet , que l'homme placé sur une échelle fait corps avec elle 5 de manière qu'à mesure qu'il s'élève , il en élève aussi le centre de gravité. Il peut donc se faire que l'échelle , qui loi paraissait solidement établie lorsqu'il ne montait pas encore, ou lorsqu'il en montait les échelons les plus bas , cesse ensuite de l'être et finisse par glisser sur le terrain , lorsqu'il sera parvenu aux échelons supérieurs. On évite une partie de ce danger lorsque l'échelle a beaucoup plus de masse à sa partie inférieure qu'à sa partie supérieure : on peut s'en garantir, dans tous les cas , en suspendant à l'échelon le plus bas un poids au moins «égal à celui d'un homme.
Si Ton suppose l'échelle uniformément pesante, et si en traire, on suppose les frottemens les mêmes pour ses deux extrémités, on aura b = a, n = m, et la formule (1) deviendra
tang x:=.
Si dans cette hypothèse, on suppose, comme on l'admet-conv rounément, m =3, il viendra tang or = 3 quarts; c'est-à-dire
qu'il ne faut pas que le pied qu'on donne à l'échelle excède alors les 3 cinquièmes de sa longueur. On conçoit même qu'il y aurait de l'imprudence à lui faire atteindre cette limite.
Sf l'on avait deux échelles adossées et assemblées en charnières, telles qu'on les emploie pour tailler les arbres ; il suffirait de supposer » = co, car alors le frottement en B ne doit pas être
considéré : il viendrait
am
§35. Tour. Considérons présentement l'équilibre du tour, en tenant compte du frottement sur les tourillons. Et pour prendre le cas le plus simple , soit P' la puissance verticale qui peut faire équilibre au poids Q, abstraction du frottement; soient R et r les rayons respectifs de la roue et du cylindre : on a vu (92) que P'R = Qr. Soit F la quantité dont la puissance doit être augmentée pour vaincre le frottement : comme la pression exercée sur les deux tourillons est la somme des trois forces verticales P', F et Q; en désignant par/le coefficient du frottement relatif aux substances dont sont formés les tourillons et leurs appuis, /"(P f + F + Q) exprimera la résultante des deux frottemens. Cette force étant tangente h V essieu du cylindre, et étant retenue en équilibre par la force F appliquée à la roue ; si l'on nommé fJ le rayon de l'essieu , on aura FR = /H (P' + F + Q). De plus , soit P la puissance verticale propre à mettre la machine sur le poiut de se mouvoir ; il viendra P =P f + F. Cette équation et les deux précédentes, donnent
p = Q(r+/^) ,3, R— fit W
Telle est la plus grande valeur de la puissance verticale, propre à établir l'équilibre. Quant à la plus petite, elle s'obtient en changeant r' en — r' dans la précédente. On voit que quand on voudra produire du mouvement dans le treuil , on aura d'autant plus à ajouter à la puissance, que les tourillons auront plus dé rayon et que leur surface produira plus de frottement sur les . appuis. Et voilà pourquoi on cherche toujours à diminuer le diamètre des pivots dans les machines tournantes, et pourquoi on les polit souvent avec tant de soin.
L'expression (3) s'applique évidemment à l'équilibre du levier, dont R et r sont les bras de la puissance P et de la résistance Q parallèle , ce levier étant mobile au moyen d'un essieu
ou boulon, de rayon r*, qui le traverse. La même expression, en y faisant R = r, détermine la puissance P, prête à élever le poids Q, dans la poulie, tournant sur son axe fixe, de rayon r*, les cordons étant parallèles ; d'où Ton déduit aussi l'équilibre , avec frottement, dans les moufles.
i36. Moufles. Si l'on veut trouver la puissance propre à faire équilibre à la résistance et au frottement, dans les moufles, tous les cordons étant parallèles; on prendra des poulies toutes de même matière, ainsi que leurs boulons, de manière qu'il y ait le même rapport k entre le rayon de chaque poulie et celui de son essieu, et on fera de plus m =
- — ~ Gela posé, si t est la tension du premier cordon, celui attaché au
crochet de Tune des deux moufles, tm sera la tension du second cordon, lorsqu'il sera sur le point d'entraîner le premier $ tm* sera celle du troisième cordon, dans la même circonstance; tm 3 celle du quatrième, et ainsi jusqu'au n* cordon , qui aura pour tension tm n ~ l \ de sorte que le (fi-|-i)' cordon, tiré par la puissance verticale P, aura une tension ftn n =P. Les n premières étant des forces parallèles, dont la somme est égale su poids Q à élever, il en résulte
m»— -1 Dans cet équilibre, on n'a pas égard aux frottemens des cordes sur les poulies, lesquels sont considérables, comme nous allons le voir*
i37* Cobdes. Considérons une corde qui glisse sur un cylindre ou rouleau fixe et qui attachée à une résistance Q, soit tirée à l'autre extrémité par une puissance P, propre à vaincre la résistance et le frottement de la corde sur le cylindre , ou plutôt sur Tare a qu'elle embrasse. La surface de contact de la corde, est composée d'élémens physiques longitudinaux, parfaitement égaux en longueurs, joints bout à bout, et pouvant tourner avec une liberté entière autour de leurs jonctions , sans pouvoir se séparer; parce que la corde est supposée tout à fait inextensible et flexible ; de sorte qu'elle est pliée sur Parc AMB=«, suivant le périmètre d'un polygone régulier circonscrit, d'une infinité de côtés, infiniment petits, dont les points de contact partagent Tare a en un nombre infini » d'arcs élémentaires égaux k x % tels que MN (fig. 44 )• La tension de la corde au point À est évidemment égale à Q, et celle en B égale à P. Soient t v et * v+l ks tensions aux v 9 et ( v + 1 ) e points de contact M et N 5 soit / Ifc pression exercée sur l'élément MN ou ar, et /le coefficient rtiafttf au frottement de la corde sur le rouleau fixe. La tension 4 V+A suivant le prolongement de la tangente IN, doit faire équi-
libre à la tension ^suivant MI, et conséquemment suivant IN, ainsi qu'au frottement,/^ sur l'élément MN; on a par conséquent
Pour trouver la pression jp, abstraction faite du poids de la corde , nous représenterons la tension t v par MI ou son égale IN; alors il est clair que la pression p sera représentée en grandeur et en direction , par la diagonale le du losange MIN*, dont la seconde diagonale se confond avec l'élément MuN ou x de Tare a. Les deux triangles OMN et IMe étant isocèles, et leurs angles aux sommets O et M étant égaux , comme supplémens du même angle MIN, ces deux triangles sont équiangles, et donnent , en faisant le rayon OM = r,
Substituant cette valeur de p % puis observant que nxz=za % donne jr = -, et posant, pour abréger, ~= <?, on trouvera
Cette équation subsiste quels que soient les deux points de contact consécutifs que Ton considère ; et comme le multiplicateur de t v est constant, si Ton prend successivement v = 1, 2, 3, 4i "*i "1 qu'ensuite on multiplie entre elles les n égalités résultantes, on trouvera, en réduisant et en observant que *, = Q
Mais en désignant par e lé nombre 2,7182818284, dont le logarithme ordinaire est o / 4342g448 1 9i puis n étant infini et
conséquemment - nul, développant ( 1 + - J , d'après le binôme de Newton , il viendra une série dont la valeur sera exactement celle de e ; de sorte qu'on aura
car à cause de n infini , en sera nécessairement toujours un nombre entier positif; et les développemens des deux puissances * d'après la formule de Newton, seront absolument les mêmes* Ainsi il vient, pour l'équilibre des forces P et Q , appliquées sus une corde for ttant sur un cylindre fixe,
On voit que le rapport de la puissance P à la résistance Q croît en progression géométrique, lorsque Parc a embrassé par la corde , croît en progression arithmétique. L'accroissement de ce rapport est très-rapide ; car en supposant que la corde soit enroulée 3 fois autour d'un pieu cylindrique , ayant le rayon r = i décimètre , on aura a = 6*r : et comme le frottement d'une corde sur le bois ou sur toute autre substance, est environ le tiers de la pression, ce qui donne 0=2 y, il viendra alors
P = Q . * aT = 536Q , environ.
Dans ce cas, la force capable de faire glisser la corde sur le pieu immobile , devrait être 536 fois plus grande que celle qui la retient en équilibre. Réciproquement, si une très-grande force agit sur une extrémité d'une corde enroulée 3 fois autour du pieu cylindrique proposé, il suffira, à l'autre extrémité, d'une force 536 fois plus petite, pour établir l'équilibre.
Gela explique pourquoi en général, V amarre qui retient un vaisseau, ne glisse pas, quand elle est roulée un certain nombre de fois autour d'un pieu cylindrique : il en est de même des effets du cabestan , de la chèvre, et en général de toutes les manœuvres où les cordes transmettent l'action de grandes forces.
Les tonneliers ont aussi recours à ce principe pour faire descendre les tonneaux de vin dans la cave. Chaque tonneau repose sur un traîneau qui glisse sur l'escalier, ou bien le tonneau lui-même glisse sur des support! poses sur l'escalier, et il est embrassé par une corde dont les deux bouts, aptes s'être enroulés un certain nombre de fois autour de deux cylindres debout appuyés à l'extérieur de la porte de la cave, sont retenus par deux hommes. La résistance que ces deux hommes opposent à la descente du tonneau est d'autant plus faible, que le nombre d'enroulemens autour des cylindres est plus considérable. Il est même bien facile de calculer cette résistance, connaissant le poids du tonneau et la position du plan incliné sur lequel il doit glisser : on aura ainsi la limite supérieure de la résistance que les deux hommes doivent opposer pour ralentir la descente, en hissant Jîler la corde.
1 38. Raideur des cordes. La raideur des cordes est la résistance qu'on éprouve à les courber sur des corps ronds. Soit une corde ( toujours un peu rigide ) qu'une puissance P, appliquée à une extrémité, doit courber sur une poulie fixe, pour élever un poids Q atttaché à l'autre extrémité. Bans le cas d'équilibre, si la corde était parfaitement flexible, on aurait P=Q; mais à cause de la raideur de la corde, la puissance P ne peut être sur le point de l'emporter, qu'en prenant une valeur plus grande que celle de Q. Or, on observe que la corde résiste par deux
causes aux efforts que Ton fait pour la ployer : la première, due à la tension Q de la corde, est proportionnelle à cette tension et peut être représentée par AQ : la seconde vient de l'ourdissage ; et en désignant par a la force nécessaire pour la vaincre, il est clair que a + bQ sera la force qu'on devra employer pour fléchir la corde proposée , a et â étant deux coeffîciens indéterminés. De sorte que a -f-£Q exprime la raideur pour une corde d'un diamètre constant , pris égal a l'unité. Mais si l'on prend une autre corde, d'un diamètre d différent; comme toutes choses égales d'ailleurs, une corde résiste d'autant plus à la flexion que son diamètre est plus grand , il est clair que là force à employer dépend d'une certaine puissance n du diamètre et lui est proportionnelle.: enfin, puisque cette force décroît évidemment quand
le diamètre ir de la poulie augmente, il s'ensuit que — (a +
&Q) peut représenter la force nécessaire pour vaincre la raideur de toute corde, le nombre n étant encore indéterminé.
D'après cela , pour que la puissance P soit prête à l'emporter, en ayant égard à la raideur de la corde , il faut qu'on ait
Ainsi on choisira- une corde, qu'on ploiera sur une poulie; on lui fera porter deux poids et Ton augmentera l'un d'eux jusqu'à ce qu'il soit sur le point de prévaloir : on connaîtra donc alors la différence P — Q. En réitérant plusieurs fois la même expérience, avec d'autres poids, on aura autant d'équations, analogues à la formule (1), dans lesquelles il n'y aura que les trois nombres a , b et n d'inconnus , puisque d et r resteront les mêmes, et seront donnés pour une même corde et une même poulie. Trois quelconques de ces équations déterminant les valeurs de a, b et n, ces valeurs devront satisfaire aux autres équations ; ce qui conduira à s'assurer si la formule (1) a toute Inexactitude qu'on désire.
Changeant de cordes, de poids ou de poulie, on pourra donc obtenir le poids propre à vaincre la raideur des cordes les plus usuelles \ et c'est ainsi que Coulomb a calculé les nombres a, b et n , ponr un grand nombre de cordes courbées sur un rouleau d'un demi-mètre de rayon. II a reconnu que l'exposant n est approximativement égal à a pour les grosses cordes , à § pour les cordes demi-usées et à 1 pour les ficelles. (Voyez ses Mémoires, ainsi que le cours de Mécanique industrielle de Ht.Poncelety
( 120 ) 1 3g. Pour tenir compte de la raideur deâ cordes et du frotte-» ment, dans l'équilibre, considérons une poulie fixe embrassée par une corde dont une extrémité supporte un poids Q, l'autre extrémité étant tirée par la puissance P; et supposons les cordons parallèles , la poulie étant fixée sur son axe, dont les tourillons peuvent tourner avec frottement dans une chape immobile» Cette disposition a lieu, par exemple, pour tirer Peau d'un puits. Soit m le poids tant de la poulie que de la corde, r 3 le rayon des tourillons et/ le coefficient du frottement; la pression sur les tourillons sera P + Q + m i et * a partie de la puissance qui fera équilibre au frottement, vaudra, comme on l'a vu (i35),
/(P-f-Q-{-tti)-,r désignant le rayon de la poulie ou plutôt
celui du cercle auquel Paxe de la corde est tangent. Le frottement de cette corde sur la poulie ne doit pas être considéré, puisqu'il n'a d'autre effet que de faire tourner la poulie sur son axe, afin que le poids Q monte, et il ne diminue en rien PefFet de la puissance. Ainsi pour que cette. dernière soit prête a l'emporter, en ayant égard à la raideur de la corde et au frottement sur les tourillons , il faut qu'on ait
P=Q+/(P+Q+«)^+Ç(a+iQ); d'où (r— ./H) P = Q (r+^+Zwr'+i^Ca+JQ).
Pour avoir numériquement la valeur de P, supposons Q = 1 oo kilogrammes , W = o m # 02 , r = o m # a , m = 20*, et/= \ , ce qui est le rapport du frottement pour le fer sur le cuivre, sans graissage. Supposons que la corde ait deux centimètres de diamètre , et qu'elle soit une corde blanche et sèche , on a trouvé qu'alors acP= 0,121^6 et W*= 0,0097382. Avec ces valeurs, on obtient P = io5 k ,8i4* Et si avec les mêmes données, on avait Q =s iooo k , on trouverait P= io5o* f 78. De sorte que la raideur de la corde et le frottement forment plus du ao* de la résistance Q.
Idées sur la Résistance des Solides.
La résistance des solides à la rupture dépend quelquefois du frottement, mais toujours de la cohésion, c'est-à-dire de la force plus ou moins grande qui lie entre eux les points matériels, et qui s'oppose à leur séparation, lorsqu'on tend à les écarter les uns des autres»
ifo* Résistance, n'im cobps HOEizowTAL. Considérons un corps homogène, ayant sa langueur* ou la plus grande de ses dimensions, horizontale ; et voyons l'effet que peut produire une force verticale , c'est-à-dire agissant sur le corps , perpendiculairement à cette longueur.
D'abord si cette force est assez énergique, elle finira par rompre le solide, après l'avoir courbé peu à peu, jusqu'à ce qu'il ait dépassé son maximum de courbure. Lorsque le corps est de matière compacte et grenue, la cassure est ordinairement plane, et d'autant mieux que les grains sont plus fins et l'homogénéité plus parfaite ; mais si la substance est fibreuse , la rupture formera des déchirures plus ou moins irrégulières et profondes, provenant de ce )que le corps n'étant pas exactement homogène, il y a des fibres moins fortes ou plus raides dans un endroit que dans l'autre*
Néanmoins, malgré ces irrégularités, la force pour désunir deux molécules, jieut être regardée comme constante, dans un même corps , quelle que soit Ja place que ces molécules occupent ; et conséquemment , la résistance que les différentes molécules opposent à leur séparation , peut être' considérée comme ayant lieu suivant la moindre section plane, qui passe par le point autour duquel les deux parties du corps doivent tourner pour se séparer ; car la cohésion totale est visiblement la moindre possible sur cette plus petite section, et mesure par suite la véritable rési$tance dû solide à la rupture, en cet endroit.
Pour apprécier cette résistance, on observe que le corps étant supposé parfaitement homogène, les points matériels sont distribués d'une manière uniforme sur l'aire de Ja section plane de rupture ; que par suite , les cohésions partielles ou celles entre chaque couple de points matériels , sont toutes égales entre elles et perpendiculaires à la section s, suivant la tangente à l'arc décrit par chaque couple de molécules , au point où elles se séparent; la résultante des cohésions partielles, ou la cohésion totale, est donc égale à leur somme, et agit évidemment au centre de gravité de s, perpendiculairement à cette section. Si donc on a déterminé par expérience, la mesure ç de la cohésion sur l'unité de surface ; la cohésion totale sera #<p (*).
■ III m i h» n ■■■ m . I. Il I II ■
{*) On peut voir dans la physique de Beudant, les valeurs que le calcul et l'expérience ont fourni à plusieurs physiciens célèbres, sur la résistance
i4i • Cela posé, prenons d'abord un parallélépipède rectangle homogène , encastré solidement par Tune de ses extrémité*, de manière que deux des faces soient horizontales et les deux autres verticales. Soit EFGD l'intersection du solide par un plan vertical , passant par le centre de gravité ( fig. 45 ) ; soit ABCD la partie hors du mur d'appui , et ABEF la partie invariablement encastrée. L'effet d'un poids P, appliqué en un point H ou I, pour faire tourner autour de l'appui B, est contrebalancé par une près- ' sion U, évidemment parallèle , qui agit en E et par suite en F; de sorte qu'on aura toujours U X AE = PX AH. Les efforts exercés en H et en E, tendent visiblement à rompre le solide autour du point B $ mais pour cela, ils doivent vaincre la cohésion sur la moindre section plane, suivant BA. Si donc le solide est sur le point de se rompre, cette cohésion fera équilihre autour du point B, aux deux forces P et U,
Pour trouver la cohésion totale , soient b et e la largeur et YSpaùseur, c'est-à-dire les dimensions perpendiculaires à la longueur AD = a , l'une b horizontale et l'autre c ou AB verticale; la cohésion totale sur «= fc, vaudra donc bcç>. Cette force, appliquée perpendiculairement au milieu de AB, devant faire équilibre autour de B, aux deux forces U et P, son moment par rapport à B , est égal à la somme des momens des deux antres P et U, ou à 2P X AH ; on a donc
fop X !<? = 2P X AH.
On, voit que plus la distance AH sera grande, plus la force P sera petite \ de sorte que si AH devient égale à AD ou a , c'està-dire la plus grande possible, la force P sera un minimum. Ainsi la moindre force pour faire équilibre à la cohésion suivant AB, est ^ bc % p , .
Et toute force plus grande, appliquée en D, déterminerait la rupture.
Le solide proposé pourrait être un prisme triangulaire ou un cylindre de rayon r de la base et de la longueur a hors du mur
des corps solides. On trouve aussi dans les ouvrages de MM. Borgnis y Dandelin , Girard, et surtout dans le cours de Mécanique industrielle de M. Poncelet, des tableaux numériques fréquemment utiles, relatifs au frottement, à la raideur des cordes, à la résistance des corps r au travail des hommes, des chevaux, des machines, etc.
( 123 ) d'appui. Et dans ce dernier cas, la force minimum, appliquée à l'extrémité libre, serait
\fyx. Supposons maintenant le parallélipipède rectangle homogène, appuyé à ses extrémités, par Tune de ses faces, sur deux obstacles inébranlables R et Q, de manière que sa longueur. ABm a soit horizontale (fig. 46). Soient toujours b et e sa largeur et son épaisseur, b horizontale et e verticale, et cherchons la valeur du poids P qui, posé en un point C de la surface supérieure, ferait équilibre à la cohésion beç suivant la moindre section plane menée par C. Désignant par R et Q les pressions que le poids P exerce sur les appuis ; P sera la résultante de deux forces parallèles R et Q, appliquées en A et B ; et si Ton fait AC = x et BC = y y il est visible qu'on aura aR = Pj- et âQ = Vx \ d'où Rr = Qjr. Les appuis réagissent sur le parallélipipède, avec les forces verticales R et Q, de bas en haut, et tendent à faire tourner les portions AG et GB autour du point G, tenu immobile par le poids P, et les feraient tourner en effet, si la cohésion fop, appliquée perpendiculairement au milieu de CD, ne contrebalançait les actions de ces deux forces. Ainsi les trois forces £<?<p, R et Q sont en équilibre autour du point G ; et le moment de la première, par rapport à G, est égal à la somme des momens des deux autres ; de sorte qu'on a
{U** = R* + Q^ = P • ^ 5 d'où V=~
Si le point G est donné, aussi bien que la cohésion, cette
équation fera connaître la force P de pression propre à mettre
le parallélipipède sur le point de se rompre. Mais si le point G
étant inconnu, on veut trouver la moindre valeur de cette force;
en désignant par % la distance variable du point G au milieu I
de AB , on aura
t t ■ -r» abc*t ■.
X = {a — t,jrz=:±a + z et Przi-j— ^.
Il est visible que le minimum de P répond à * == o , d'où x zizj- z= \a , et que ce minimum est
de sorte que toute force plus grande que celte valeur, appliquée au milieu I, déterminerait la rupture.
Pour un cylindre horizontal de longueur a et de rayon r de la base, on trouverait de même, pour le minimum de P,
a?=j- = {a et P= -.
i43. Lorsque le parallélépipède est solidement encastré par ses deux extrémités, il ne peut évidemment se rompre sous l'action d'une force perpendiculaire à sa plus grande dimension horizontale a, hors des murs d'appuis, sans qu'il y ait en même temps deux autres fractures vers les deux appuis. Conservant les dénominations précédentes , et appelant P', R', Q', les parties de la force P, propres à faire équilibre à la cohésion bcç, en C, en À et en B ; il est facile de voir que la force R' appliquée en C et celle en G qui lui fait équilibre autour de l'appui R , ont des momens égaux, et qu'aiusi J^fnîR'.r. De même, {bc*Q = *Q^ \ d'où 4ay ( R' + Q' ) = ahe 9 ç. D'aiUenrs , 4*?-P' =s abc % $ ; donc axjrP = abc*f. On a par conséquent , pour le minimum de P, xz=zy=z\a et
Ainsi dans ce cas, la moindre force est encore appliquée perpendiculairement au milieu de la longueur a\ mais elle est double de la force minimum , dans le précédent problème, et 8 fois plus grande que la moindre force, lorsque le solide est seulement encastré par une extrémité, le solide et ses dimensions restant les mêmes , dans les trois cas.
Il serait donc très-avantageux que les poutres qui soutiennent nos planchers , fussent solidement encastrées dans les murailles, au lieu d'être simplement posées sur des appuis. On voit aussi que si l'on veut disposer des masses très-lourdes sur un plancher, il faut les placer le plus près possible des murailles, parce que c'est là que leur action totale, pour rompre les poutres, est un minimum.
Et si l'on veut casser le plus facilement possible, en un point donné, une barre prismatique ou cylindrique, partout également résistante , il faut encastrer la plus petite portion , à partir de ce point, et agir perpendiculairement à l'extrémité libre. Mais l'effort sera beaucoup moindre encore, si l'on diminue l'épaisseur e par une entaille faite du côté opposé ; car alors le carré e* deviendra beaucoup plus petit. Si l'on vent simplement casser le corps , appuyé à ses deux extrémités $ le moyen k plus facile est d'agir
C 12$ ) au milieu de la longueur, après avoir fait une entaille du côté opposé, comme cela se pratique ordinairement.
Lorsque le parallélipipède proposé est solidement encastré vers A et simplement appuyé vers B (fig. 46), on trouve, par la résolution d'une équation du second degré, que pour le minimum de P, on a
* = «(l/ a -i) et P=^(3 + al / a ).
i44* M résulte des formules précédentes, que la manière dont un corps est fixé , a une grande influence sur la résistance qu'il peut opposer à la rupture. Par exemple, le solide étant un parallélipipède rectangle de longueur a entre les appuis, sa résistance croîtra lorsqu'on l'appuiera successivement par la plus large face latérale, par la plus petite et enfin par une arête, de manière qu'une diagonale de la base devienne verticale , le solide dans chaque cas pouvant être encastré par une ou par les deux extrémités , ou simplement appujé aux deux bouts.
Les différens degrés de résistance que présentent les corps solides, dans la position horizontale, étant d'une très-haute importance pour les constructions, ont été le tu jet des recherches d'un grand nombre de sa vans. Presque tous, depuis Euler, ont évalué la résistance d'après l'observation très-fondée,, qu'avant la rupture, il y a toujours dans le corps des fibres qui s'alongent y d'autres qui Raccourcissent et une seule invariable. Les formules qu'on obtient ainsi, d'après les propriétés des lames élastiques, s'appliquent à un grand nombre de corps; et plusieurs ne différent de celles que nous venons de calculer, que par là valeur du coefficient 9 : elles fournissent d'ailleurs le» mêmes conséquences générales, comme cela doit être \ puisque dans les deux hypothèses, les formules expriment' les conditions principales auxquelles la résistance doit satisfaire.
Quelle que soit au reste l'hypothèse qu'on admette pour la résistance des solides, il ne faut pas s'attendre à trouver exactement par expérience les résultats numériques du calcul ; car les corps ne sont jamais parfaitement homogènes , ni parfaitement durs, ni parfaitement élastiques, comme il faut le supposer pour donner prise au calcul. D'ailleurs, la température, l'humidité, le temps et l'arrangement des molécule*, dans les corps de même composition^ ont sur la résistance, dm inâuenoes^que lecakul seul
ne saurait apprécier. Mais il n'en fournit pas moins des indications générales exactes , et que l'expérience confirme.
On conçoit que la température doit avoir une grande influence, sur la résistance des métaux ; et que le corps composé de fibres droites parallèles, résiste plus lorsque ses fibres sont disposées dans le sens de la longueur, que quand elles sont transversales. La moindre fissure dans le corps en expérience, certaines pailles, un trait de lime ou de scie , diminuent l'épaisseur ou la largeur, et par. conséquent aussi la résistance dont il est capable. Les nœuds qui se trouvent dans une poutre, produisent un effet analogue, et souvent c'est près d'eux que la poutre se rompt. Le temps exerce aussi une grande influence ; car il peut arriver qu'un poids ? qui ne serait pas capable de faire rompre tout-àcoup le corps , le courbe petit à petit et finisse par lui faire dépasser son maximum de courbure.
Enfin, comme le poids du corps s'ajoute toujours à celui dont il est chargé , on voit que connaissant la cohésion et la pesanteur spécifique d'un prisme ou cylindre homogène , on pourra calculer quelle longueur on doit donner au solide, pour qu'il se rompe sous son propre poids.
i45. Solides d'égale résistance. « Le poids dont un solide est chargé perpendiculairement à sa longueur, ne fait pas seulement effort pour le rompre suivant la moindre section adjacente au point d'appui , mais encore suivant toutes les moindres sections dans le sens transversal à la longueur. U faut donc, pour que la rupture n'ait pas lieu, que chacune de ces sections ait des dimensions telles , que sa résistance ne puisse être surpassée par l'effort de la puissance qui y correspond : et comme une résistance surabondante serait une force perdue et inutile, il s'ensuit que la forme la plus avantageuse que l'on puisse donner à tm solide ainsi disposé, est celle qui le rend propre à résister également à chacun des points de sa longueur, aux efforts du poids dont il est chargé. En rendant le corps inégale résistance, on le rend .aussi de moindre volume , et l'on se conforme ainsi aux lois de la nature, dont toutes les opérations paraissent s'effectuer avec la plus grande économie possible de moyens. > ( Girard, Introduction au Traité analytique de la résistance des solides. )
Euj général , la forme du corps a une grande influence sur sa résistance ; et il est très-important d'observer qu'avec une quantité donnée de mature, on veut toujours produire une résistante
( 127 ) eonetàèrahU, H on eaii lui donner une formé qui convienne à cet effet. C'est ce qu'on peut voir par les formules qui précèdent : on trouvera qu'un prisme à base carrée résiste moins qu'un cylindre de même longueur et de même volume, la matière étant la même dans les deux. Au contraire si le prisme est seulement rectangulaire et très-aplati, il résistera plus que le cylindre, lorsqu'il sera posé de champ. De même , la matière d'un cylindre creux, supporte un effort beaucoup plus grand que quand elle est disposée en cylindre plein de même longueur. Car, par exemple, soient r et r 1 les rayons des bases concentriques du cylindre creux et R celui de la base du cylindre plein , de même longueur horizontale a, et appuyé par ses extrémités, comme l'autre. Il est facile de voir que les moindres poids P et P f , appliqués aux milieux des longueurs, et propres à faire équilibre à la cohésion, ont pour valeurs respectives
P=S(^-^) el P'zr^-'R 3 .
Or, puisque les quantités de matière ou les volumes sont les mêmes , il est visible que R a = r* — r'*. Si donc on suppose , par exemple, r=5 et ^=3, d'où R = 4i "* viendra P = |fP f .
La nature nous offre, dans les os, les plumes, les roseaux, etc., des tubes creux, doués à la fois d'une résistance convenable et d'une grande économie de matière. Les alvéoles des abeilles présentent aussi les mêmes avantages.
i46. Maintenant , pour montrer comment on peut appliquer le calcul à la recherche d'un solide d'égale résistance, considérons d'abord un corps de longueur horizontale AD = a et d'une largeur constante fl, et qui soit encastré par une extrémité (fig. 47)* Soit BAC la section verticale du solide, conduite suivant sa lopguéur AD, et passant par le centre de gravité. La rupture produite par l'action d'une force P verticale, qui agit à l'extrémité libre en A, a lieu évidemment vers les appuis B et G, suivant «ne section perpendiculaire à. la longueur AD. Si la résistance est suffisante en cet endroit, partout ailleurs elle sera trop forte, à moins que l'épaisseur du corps n'aille en diminuant vers l'extrémité libre ; et il s'agit de trouver la loi de cette diminution , pour que la résistance soit partout la même et suffisante. Or, le centre de gravité se trouvant sur AD, soit DB = DC = et OI = OH =j°, IH étant perpendiculaire à AD : les cohésions suivant BC et IH seront àoncibcç et %lj-<p. Le même poids P,
( 128 ) appliqué en À , devant faire équilibre a chacune de cet cohésions, pour que la résistance soit partout la même et suffisante ç si Ton pose AO =x, on aura à la fois zbc*fz=zzàP et a^*f = iVx : d'où Ton tire , c»
équation d'une parabole , dont A est le sommet et AD l'axe.
i47* Soit encore une barre homogène AB, ayant la face supérieure plane et horizontale , la face inférieure courbe , et les deux autres faces planes, parallèles et verticales, cette barre étant posée par ses deux extrémités sur deux appuis inébranlables R et Q ( fig. 48)* Voyons les conditions pour que le plan de rupture ne passe pas par le point d'application G du poids P, mais soit dirigé suivant la normale DE à la courbe AEB, où Taire est généralement moindre que suivant toute autre section menée par
D. Soit la longueur AB —a, la largeur zn bel la normale DE — n , pour toute la section suivant DE : la cohésion sur cette section sera bn<p. Soit d'ailleurs AC = ar, BCz^j*, BDrrr, R et Q les pressions sur les appuis : on aura, comme plus haut (i4 2 ) , aR = Vjr et aQ r= Par. La cohésion devant faire équilibre, autour du point D, aux trois forces R, P, Q, il vient, ea prenant les momens par rapport à D,
±bn*<p = R . AD — P . CD + Q*$
d'où à cause de AD = a — * et CD = a — x — *, on dédak
ahr?$ = $xz¥.
Ainsi le point C et le poids P étant donnés, la barre présentera partout une résistance suffisante, si la courbure inférieure est de telle nature que le carré de la normale soit pour chaque point
E, proportionnel à la distance correspondante BD on a* D'ca l'on voit que pour rendre la barre d'égale résistance, son épaisseur doit croître, a partir du point B, où elle est la plus petite, jusqu'au point C, où elfe sera la plus grande; puis elle ira en diminuant jusqu'au point A. On peut donc ainsi éœttOnÉef beaucoup la matière du corps proposé , «ans diminuer m résistance à la rupture.
La résistance autour du point C , s'obtient en changeant * en y\ et si le poids P est donné, aussi bien que a, b et f,.taarfi| ope x et y sont variables^ le maximum de la normale * anra lieu quand P sera appliqué au milieu I de AB; oe tnaxlmatt sera donc IH, et on aura la relation bç-lE*z=:a?. La normale
è pen prés plant ; et 3 cherche, dans «m fin Tcrtkal indéfini, rnrnule* l iaaaa j i ■ ipii pirF rnt f rqifitiri l iirrmi nt un iiitir nlin n ilii il f 1 1 lui i|iit dmamnde, pour être soutenu, h plus grande force norisoatale possible.
Sois ABC un triangle r ec tan gle de terre, soutenu sur k droite AB par «as force horizontale B, appliquée en M à la m t kal e CB, et à l'aide du fr ottement et de la cohésion snr BA (%. 49). Prenons BC=«, AB=c ctAC=x. Soit «* k densité <k terrain i^o^x sera le poids du triangle ABC : ce poids est uns force verticale appliquée an centre de gravité G, et sa décompose en deux antres, l'une GH perpendiculaire et l'autre IU pnraOole à AB. De même, la force R t représentée par MN, se décompose em de» HO et OU perpendiculaire et puraMe à AB. R est clair qut le* denm triantes GIH et MON sont semblables an triangle ABC; comparant donc les cotés homologues, et observant que MNssA et GI =&:£«&, on tfoufcin
GH===-, IH = ^, OM = - et ON = 5î.
Soit^le rapport constant du frottement à la pression et es la cohé«ion sur AB; Pensât que le triangle ABC fait pour glisser sur celle droite, a évid em m ent pour valeur .
a*dx <i/R aàfx* IU
Dans 1e cas de l'équilibre, cette valeur est nulle; ainsi en chassent Les dénoinin a a r ms , et observsnt que e a =s a* + *% il viendra
(avjf-f* as) x a — (a a rf— aR) * s=s — *afR — aa*s.
Résolvant cette équation par rapport à x, égalant à u % la quantité sous le radical) et résolvant l'équation résultante en u% par rapport a la variable R, on verra que le maximum de cette variable répond à u = o et au signe — du radical de son expression ; on aura donc, pour ce maximum et en posant d'abord adf-\- as r= m, pour abréger
R = i*(«w*H-3/5n — aml/i-J-/») et xz=z— af+al/i+f*.
•Telle est donc la force horizontale que doit opposer le mur vertical CB, pour soutenir le terrain et l'empêcher de s'ébouler. La valeur de x montre que les dimensions du triangle qui produit la plus grande près-' sien, dépendent uniquement de la hauteur a et du frottement. Lorsque celui-ci est nul, on a x=:a et "Rzzz&Pd — 2 a*.
Connaissant la densité d et la cohésion s du terrain, si l'on veut trouver jusqu'à quelle profondeur a on pourrait y creuser un fossé, à parois verticales, sans qu'il y eût éboulement; il suffira de prendre R =r» o j ce qui donnera , pour la profondeur cherchée ,
Par des principes analogues, si la hauteur a de l'excavation était donnée, on trouverait sous quel angle il faudrait couper les terres, pour qu'elles se soutinssent par le frottement et leur cohésion.
Lorsque le triangle ABC est chargé d'un poids P appliqué sur AC, il faut changer ±adx en \adx + P. On pourrait aussi avoir égard au frottement suivant le mur BC.
Faisant le nombre donné — jf-f- \r\ +/* = *, l'expression du maximum général de B. deviendra
i5i. D'après cette expression, S est facile de calculer répaisseur que Ton doit donner au mur de revêtement, pour qu'il maintienne en équilibre les terres qui pressent contre lui. Divisons en effet, la hauteur BG = a en un nombre infini n de parties égales à w, d'où a = nu. Soient F et E le (v + i) e rt I e v * points de division, à partir de G, et soient FL et EK des parallèles à la ligne de rupture AB. A cause de CF == (v + i)b et de GE = i>k, on voit, par l'expression précédente de R, que pour que les terres soient toujours retenues, les droites CFet CE ne doivent pas supporter des forces horizontales moindres que
%dk*u* ( v + iy — nfou ( v + 1) et ±dk*u*v* — a*#«t/ ;
donc la droite infiniment petite EF ne doit pas supporter une force horizontale moindre que ^a ( 2V + x ) a fc f «.
Cette force peut être supposée appliquée en E , puisque EF est infiniment petite : en la multipliant par EB ou a— «v, on aura son moment par rapport au point B. Faisant dans le produit, successivement v =: i, a, 3, 4) •••) n, et ajoutant, la somme sera évidemment le moment, par rapport à B, de la résultante des pressions sur BC ; et on trouvera, pour «e moment, JAI*? — a**#.
Pour l'équilibre, ce moment doit être égal à celui du poids du revêtement-, et en les égalant, l'équation résultante fera connaître répaisseur cherchée.
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Zh la Mesure et du Travail dès Forces.
]5a. La dynamique est la science du mouvement des corps, solides : elle dépend essentiellement du temps, et son but est de calculer l'effet des forces , en mesurant d'abord celles-ci par des effets bien connus^
i53. Considérons en premier lieu les forces constantes, c'està-dire celtes qui n'agissent que par un seul choc chacune sur lès corps : elles produisent des mouvement recUUgnes uniformes;. et la vitesse du mobile est l'espace rectiligne qu'il décrit pendant chaque unité de temps. Or, un principe généralement reçu et même senti par le vulgaire, c'est que sf une force impultive devient n fbis plus grande, elle imprimera au même corps une Vitesse qui sera aussi n fois plus grande; c'est-à-dire que les forces, constantes sont proportionnelles' aux vitesses qu'elles impriment à un même corps-»
Néanmoins , comme la nature de la force nous est totalement inconnue, nous ne pouvons affirmer avec une certitude parfaite, Jbien que la chose paraisse évidente , qu'une même force doit , dans tous l'es cas identiques, imprimer à un même corps, la même vitesse ; et conséquemment , que si la force devient double ou triple, elle imprimera une vitesse double ou triple au corps pfSjposé. Mais cette loi est la seule qui satisfasse à Fétat actuel de l'univers.
En effet, on observe que les mouvemens relatifs de deux corps ne sont pas altérés par des forces communes : deux montres marchent dans un lieu fixe comme dans un navire en mouvement, quelles que soient d'ailleurs la vitesse et la direction de celui-ci. Ôr, considérons deux corps identiques , mis en mouvement sur une même droite et dans le même sens ; te mouvement relatif de ces deux corps est produit par la différence de leurs vitesses v et t?* : si les forces f et /'augmentent chacune de la même quantité /*', le mouvement relatif ne sera pas altéré, d'après ce qu'on vient de dire \ la différence des vitesses restera donc toujours la même , et conséquemment ces vitesses croîtront de la même
quantité v lf . Si donc, pour les forces/,/' et/", il était vérifié que les vitesses sont proportionnelles aux forces, de manière qu'on eût/=av,/ f = av f et/' f = av ff ; on aurait aussi /+/" = a ( v -f- i>" ) et f +/"= a ( î/ + v" ) , et les nouvelles vitesses seraient encore proportionnelles aux nouvelles forces.
Mais si les forces ne sont pas proportionnelles aux vitesses, si elles sont, par exemple, comme les carrés des vitesses : les forces étant, je suppose, comme i à 2, les vitesses seront comme 1 à 4, et la vitesse relative sera représentée par 3. Donnant ensuite ' aux deux corps une impulsion commune représentée par 1, les forces seront alors représentées par 2 et 3 $ les vitesses seront donc comme 4 ^ 9î * l fe second corps tendra à s'éloigner du premier avec la vitesse relative 5, contrairement à l'observation qui veut que cette vitesse relative soit 3, comme avant l'adjonction d'une nouvelle force 1 . On raisonnerait de même pour tout autre rapport entre les forces.
Puis donc qu'il doit exister un certain rapport entre la force et la vitesse qu'elle engendre , et que la proportionnalité des vitesses aux forces paraît la seule loi qui satisfasse aux phénomènes observés , il s'ensuit que deux forces constantes {et F sont toujours entre elles comme les vitesses v et v' qu'elles impriment à un même corps; ce qui donne
fz=fX* r ,
Prenant donc/' pour unité de force et v* pour unité de vitesse* puis sous-enteudant ces deux unités, on aura/=v; c'est-à-dire que la force a pour mesure la vitesse qu'elle imprime à un même corps. Par exemple, si l'unité de force imprimait au mobifela vitesse 2 par seconde et la force proposée /la vitesse 12, on aqrait/=6/ f .
i54. Considérons présentement les forces accélératrice* cous* tantes, c'est-à-dire celles qui agissent continuellement sur le mobile avec la même intensité et suivant la même droite. Il est clair que chacune imprimera au même corps des vitesses différentes, suivant la durée de son action. Or, on appelle vitesse du corps, au bout du temps t, l'espace rectiligne que ce corps décrirait uniformément pendant chaque unité de temps successive, eu vertu des impulsions reçues pendant le temps t % si à l'expiration de £, la force accélératrice cessait tout à coup d'agir sur lui. La difficulté, pour déterminer cette vitesse, consiste à soustraire le
mobile* au moment où le temps / finit, à Faction de la force • et de toute autre cause étrangère ; et c'est pourtant à quoi Ton est parvenu pour la pesanteur , comme nous le verrons dans la suite. ,
Soient f et /'deux forces accélératrices constantes, v et v 9 les vitesses qu'elles sont capables de donner an même corps, par une impulsion chacune. Concevons le temps / partagé en un nombre infini n d'intervalles égaux , et conséquemment si petits , qu'on, puisse regarder les forces/ et /*, qui agissent continuellement, comme communiquant leurs impulsions contantes v et v 1 au * commencement de chaque intervalle. D'après la loi d'inertie , qui veut que le corps n'altère en aucune manière l'impulsion qu'il' reçoit (1 a), il est clair que les vitesses produites seront successivement v et v\ iv et rat/, Zv et 3^, fy> et l±v*\ ... \ et qu'au bout du temps /, les vitesses produites par l'action continue des puissances y* et y, seront nv et nvt. Donc puisque les forces f et/** sont proportionnelles aux vitesses v et 1/(1 53), elles le seront aussi aux vitesses nv et nv 9 , qu'elles impriment au même corps, pendant le temps t. On a donc
Si donc on soùs-entend l'unité de force/* et l'unité de vitesse «v 1 , il viendra /"'= nv ; c'està-dire que toute force accélératrice» constante a pour mesure la vitesse qu'elle imprime pendant le , temps t ( que ton prend ordinairement égal à une seconde*).
Par exemple, on a trouvé à Paris que la pesanteur /* communique, pendant la première seconde, la vitesse g=$T,8o8']g5 r au corps qui tombe du repos dans le vide. Si la force accélératrice proposée/, imprimait au même corps la vitesse 3g m / 235i8 r pendant la première seconde, on aurait /= 4/ f -
i55. Lorsque la force accélératrice n'est pas constante, la loi du mouvement dépend de celle suivant laquelle cette force varie d'intensité. Dans ce cas , pour mesurer cette force , on suppose qu'après le temps *, elle devienne tout à coup constante; et alors sa mesure est la vitesse qu y elle engendre pendant l'unité de temps, qui succède à t (i54). À la vérité, celte force accélératrice constante , imprimera au corps une vitesse différente de celle que la véritable force accélératrice lui eût communiquée pendant cette unité de temps ; mais c'est précisément ce qui résulte de notre hypothèse T de ne considérer dans la force que ce qu'elle est à
C 13» ) respiration de t : Fenet ne serait pins p to dsut par la force qui a lien à la fin dm temps /, si dès ce m oment nons la iiipposiom
Il est clair ôTanleurs qu'#» mmrmi Im wériim&k viUste, en mmi Tewjmc* ( u fm \ w*n t friit é «ne à h r it U emrft 9 «yrfes Is % % farU UmtpsiMJmûmtmtfriitl ewtfUiflm U ê i t rirt . Car soit y la vitesse an bout dn temps t : puisque le mobile décrit uniformémcnt Fcspace v pendant le temps 1, en t'imites de temps il
décrira Fespace é=.v£\ donc *=—• Ce principe a lien aussi
pour les forces accélératrices constantes, comme pour les forces qui n'agissent que par un seul choc.
i56. Tant que les forces agissent sur un même corps on sur des corps identiques, elles sont entre elles comme les vitesses qu'elles impriment (i53 et i54); mab il n'en est plus de même lorsqu'elles agissent sur des corps différens par leurs masses. Concevons la masse m d'un corps divisée en * points matériels égaux à #, de manière qu'on ait m=nm ; et supposons d'abord ces n points sans liaison entre eux : s'il faut une force y pour imprimer à m la vitesse v ( par un seul choc ou pendant un temps /), il faudra n de ces forces/, suivant la même droite ou parallèles , pour donner aux n points m la vitesse commune v. Et puisque la vitesse v est la même , il est clair que les points matériels n'exercent point d'action les uns sur les autres, même en rétablissant leur liaison mutuelle : de sorte que m étant solide et les n forces y parallèles, il faudra la force ç = a/* pour communiquer la vitesse v à la masse in = n*. On verra de même que pour communiquer à la masse ni = ttm, la vitesse i/, il faudra la force f = ny.
Or, il est clair (i53 et i54) que flf H v • t/ : et comme d'ailleurs, d'après les égalités précédentes, on a fmz=zmfet $'« = nif, d'où ç l Ç* Il mfl ni/ 1 , il vient, en multipliant par ordre , ç • ç r • • mv • niv 1 .
Lorsque les corps m et ni sont hétérogènes, les raisonnemeos précédens s'y appliquent encore, pourvu qu'on y désigne par « des masses égales, c'est-à-dire des masses qui, animées de vitesses egaks et opposées, se feraient équilibre. Ainsi on aura, dans loua les cas, , mu
nffvr
Prenant donc q>\ ni et v f pour unités de forces, de masse et
de vitesse, et sous-entendant toutes ces unîtes, il viendra f = mv ; c'est-à-dire que la force d?un corps en mouvement a pour mesure le produit de sa masse par sa vitesse. Ce produit est ce qu'on nomme la quantité de mouvement du corps ; il en représente la force motrice, pourvu que Punité de masse et la masse entière soient placées dans les mêmes circonstances.
Ainsi une même force imprimerait une vitesse h fois plus grande à une masse h fois plus petite , et réciproquement. Dé sorte que la vitesse serait infiniment petite ou nulle, si la force n'étant pas très-grande, la masse était infinie, comme celle de la terre. Et Ton voit pourquoi un rocher n'est pas ébranlé par la pression qu'un homme lui donne pour le déplacer.
La force y qui agit sur Punité de masse, étant représentée par la vitesse v qu'elle lui imprime (i54), on a ç = mf Dans ce cas, bien que les deux forces ç et y soient deux forces qui accélèrent le mouvement du corps ; pour mieux fixer les idées , on dit que/* est la force accélératrice et ç la force motrice. Ainsi la force motrice a pour mesure la masse multipliée par la force accélératrice.
J57. Travail mécanique. La mécanique ne peut connaître les forces que par les effets généraux d'équilibre et de mouvement qu'elles produisent; son but n'est pas seulement de trouver les lois de ces effets , mais aussi d'apprécier numériquement les actions des agens moteurs dans l'industrie, c'est-à-dire les travaux mécaniques qu'ils ont à exécuter, pour produire certains ouvrages ou effets utiles.
On appelle travail mécanique ou quantité (faction, l'emploi des forces pour vaincre des résistances, sans cesse renouvellées le long d'un chemin décrit par le point d'action de ces résistances. « Travailler, c'est donc vaincre ou détruire, pour le besoin des arts, des résistances telles que la force d'adhésion des molécules des corps, la force des ressorts, celle de la pesanteur, l'inertie de la matière , etc. Ainsi user ou polir un corps par le frottement, le diviser en parties, .élever des fardeaux, traîner une voiture le long d'un chemin, tendre un ressort, lancer des pierres, des boulets, etc.; c'est travailler, c'est vaincre pendant un certain temps, des résistances sans cesse renouvellées pendant ce temps. » (*)
(*) Voyez la Mécanique industrielle de M. PonceUt, 1" partie, Metz 1839. Cet ouvrage remarquable, auquel nous, devons les idées de tout
€ Le travail mécanique des forces ne suppose pas seulement une résistance, vaincue une fois pour toutes, ou mise en équilibre par une force , mais une résistance reproduite le long (Tutu chemin parcouru par le point où s*exereo cette résistance et dan* la direction propre de ce chemin* Pour enlever une parcelle de la matière d'un corps, par exemple, non-seulement il faut un* effort directement opposé à la résistance que présente cetteparcelle, mais encore il faut faire avancer le point d'action de l'outil dans la direction de la résistance : plus cet avancement sera grand, plus la parcelle enlevée aura de longueur; d'an autre côté, plus sera grande la largeur ou l'épaisseur de cette parcelle, plus la résistance à l'effort sera considérable; Y ouvrage fait à chaque instant, croit donc avec l'intensité de l'effort et la longueur du chemin décrit dans sa direction propre. »
i58. Maintenant, supposons que pour produire un certain ouvrage, il faille vaincre une résistance constante de R kilogrammes, le long d'un chemin de G mètres, R et G étant des nombres entiers ou fractionnaires ; et cherchons la mesure du travail nécessaire à cet effet. Si nous prenons pour unité de travail, celai employé à vaincre 1 kilogramme de résistance suivant chaque mètre de longueur, nous verrons que s'il faut le travail 1, pour vaincre la résistance 1 , le long du chemin 1 ; pour vaincre la résistance 1 suivant le chemin G, il faudra le travail C; donc, pour vaincre la résistance R le long du chemin G, il faudra le travail GR. D'où il suit que le travail nécessité directement par F ouvrage proposé, a. pour mesure le produit des valeur», numériques de la résistance à vaincre et du chemin que parcourt son point (Faction, dans sa direction propre.
On voit d'ailleurs que si dans cette mesure , on prend pour unité de force , celle employée à vaincre l'unité de résistance ; la force dépensée au travail, sera proportionnelle à la résistancevaincue, et pourra être représentée par cette dernière.
Si la résistance n'était pas constante , mais variable à chaque instant dans toute l'étendue du chemin parcouru ; on partagerait le chemin à décrire par le point d'action , en parties égales asse» petites pour que la résistance pût être considérée comme constante le long de chacune de ces parties ; et alors le travail total
ce que nous dirons sur le travail mécanique, renferme un grand nombre d'applications importantes; et nous ne saurions trop en recommander h lecture*
serait la sof&me des résistances partielles, exprimées en poids, multipliées respectivement par le petit chemin correspondant ; ce qui revient & dire que le travail total à pour mesure la résistance moyenne multipliée par la valeur du chemin que décrit le point d'action de cette résistance.
169. U suit de la mesure précédente , que le travail est nul suivant qu'il n'y a, pas de résistance vaincue ou de chemin parcouru. Mais il faut distinguer soigneusement le travail que dépense effectivement le moteur, de celui qui résulte immédiatement de l'ouvrage fait} car on conçoit qu'une partie du premier . travail peut être détruite par des. résistances autres que celles qui proviennent directement de l'ouvrage ou de l'enet utile de la force : ce n'est qu'à ces dernières résistances que s'applique réellement la mesure du travail et les considérations précédentes.
160. Remarquons d'ailleurs qn't'Z n'y a pas toujours proportion entre le$ quantité* de travail et celles de fatiguée ou à" ouvrages qui en résultent; et on ne doit pas confondre ces trois choses. Car la fatigue dépend de la manière d'exécuter le travail et de la force dont l'ouvrier est capable ; tandis que la quantité d'ouvrage fait, est plus ou moins grande, suivant la résistance à vaincre : par exemple , pour scier deux; morceaux de bois de même grosseur, il peut arriver qu'il faille un travail plus grand pour l'un que pour l'autre, quoique la quantité d'ouvrage soit la même dans tous les deux. Et voilà pourquoi on paye ordinairement pins cher l'ouvrage le plus difficile, c'est-à-dire celui qui exige un plus grand travail. De sorte que ce n'est réellement pas la quantité d'ouvrage qu'on évalue en argent, dans l'exercice de la force , mais bien la grandeur du travail , dont le prix lui est proportionnel , comme cela doit être.
On voit d'après cela , combien il importe d'évaluer numériquement les travaux industriels , plutôt que les ouvrages qu'ils produisent; car il serait impossible de trouver, pour ces derniers, une unité qui fût toujours la même \ tandis que l'unité de travail peut remplir la double condition d'être bien connue et constante, du moins dans un même pays*
161. Il résulte de cette unité constante, que tout travail mécanique des forces, peut être regardé comme équivalent à celui ou il s y agirait <£ élever un certain poids à une hauteur convenable* Ainsi, par exemple, fermer un ressort d'une quantité donnée } comprimer une masse d'air connue , au point de lui faire
occuper un espace plus petit désigné ; réduite en farine une certaine quantité dé blé; traîner un chariot d'un poids connu sur un chemin dont la longueur et les obstacles au mouvement sont mesurés ; faire une excavation d'une étendue donnée, en jetant les terres dans un lieu désigné; scier une quantité de bois connue ; limer ou polir un métal; arrondir un corps sur le tour; faire mouvoir une manivelle, etc.; tout cela revient à élever un 1 certain poids à une hauteur donnée r du moins quant à la valeur numérique du travail.
Désignant donc par P le poids qàffi s'agit d'élever à là hauteur verticale H, et prenant pour unité de travail celui qui élèVe l'unité de poids à l'unité de hauteur ; on dira : puisque pour élever le poids 1 à la hauteur i , iî faut le travail' î ; il' est clair qne pour élever le poids Pà la hauteur î , il faudra le travail P; donc pour élever le poids P à la hauteur H , il faudra le travail PIL De sorte que tout travail mécanique a pour mesura le nombre* alunites de poids multiplié par te nombre éf unités dé hauteur..
162. En assimilant ainsi tous les effets des forces actives ou des moteurs , à un poids P élevé à une hauteur H , les mécaniciens forment une unité dynamique ou de travail, composée d'un kilogramme élevé à un mètre , unité qu'il faudrait appeler Mogrammetre; et ils expriment une machine par le nombre d'unités dont elle est capable. Par exemple , le moteur qui élèverait 5o kilogrammes à 4© mètres de hauteur, dans un temps qu'on prend le même et égal à l'unité pour tous les cas % aurait pour mesuré 5o X 4° ou 2000 kilogrammètres.
Lorsqu'il s'agit de grandes machines, on se sert de grandes unité 8 dynamiques, composées de 100 ou 1000 kilogrammes élevés à un mètre, qu'on pourrait nommer quintalmhtre ou tonneaumètre, pour plus de simplicité, comme le propose M. Poncelet, dans l'ouvrage cité. Mais il est bon d'observer que les unité précédentes ne sont pas généralement adoptées dans l'industrie manufacturière , où l'unité de travail reçoit différentes dénominations et diverses valeurs.
i63. « Bien que le travail mécanique, considéré en lui-même, soit tout-à-fait indépendant de sa durée, il arrive quelquefois que l'on doit avoir égard au temps : c'est ainsi , par exemple, qu'on dit d'un cheval attelé à une voiture, à un manège, qu'il exerce un effort moyen de tant de kilogrammes en parcourant un chemin de tant de mètres par minute ou par seconde ; et d'un ouvrier,
•d'une machine, qu'ils dévéloypentmoyennemeni une tellequantité àe travail , dans tel .temps. Mais alors il convient de ne pas oublier la durée'effective du travail total , en ajoutant par exemple qu'il est de tant d'heures pour chaque jour, chaque relais, etc. > En général , s'il faut le travail 1 , pour élever le poids i , à la hauteur 1 , pendant le temps 1 \ il est facile de voir que pour élever le poids P, à la hauteur H, pendant le temps T, il faudra
le travail -=• • C'est donc à cette expression que se réduit la mesure de tout travail mécanique, qbels que soient le moteur, le chemin à décrire et la résistance à vaincre, directement opposée à l'action de la force de travail.
D'après cela , deux treuils seront èquioalens, dès que sous l'action d'une même puissance, ils élèveront respectivement 120 kilogrammes à 20 mètres en 4 minutes , et 3oo kilogrammes à 1 a mètres en 6 minutes \ car il est clair qu'ils fourniront chacun par minute un travail de 600 kilogrammètres*
164* On voit que si l'on vent construire une machine dont
l'effet soit de N unités dynamiques, il faudra choisir les nombres
PH P, H, T, de manière qu'on ait N = — • Ce principe général
conduit à celui du n° 126 ; car on ne peut faire varier les nombres P, H, T, que sous la condition de laisser toujours la même ▼akftr à N. Ce nombre mesure la force de travail (i58) ; mais les irottemens et les résistances étrangères au travail effectif, exigent souvent une force motrice double ou triple de N, et même plus grande. Il faut donc distinguer avec soin V effet utile d'une machine de la force qui la meut et dont une grande partie est anéantie à pure perte.
Cest en cela que les machines pour l'équilibre diffèrent de celles pour le mouvement. Une puissance médiocre ne contrebalance une résistance très-considérable , qu'à l'aide des points fixes et des obstacles que la machiné présente, lesquels sont autant de forces passives, qui se joignent à la puissance pour établir l'équilibre*, mais s'il. faut produire du mouvement, ces forces passives lui deviennent contraires, parce qu'alors elles font partie de la résistance à vaincre. De sorte qu'une machine est d'autant plus nuisible au mouvement qu'elle est plus avantageuse à l'équilibre.
Cependant, malgré la consommation inutile de forces actives dans les machines motrices, celles-ci n'en sont pas moins d'un
usage extrêmement important; puisque par elles on donne aux forces mourantes les positions les plus commodes, les moins fatigante* et les plus propres à employer leur énergie de la manière la plus avantageuse. La perfection des machines consiste alors en ce que , pour une même puissante, i? y ait la plue grands quantité possible de travail utile ou à* ouvrage fait; on bien que pour un même ouvrage, la quantité de travail , et par suite la dépense de forées activée, soit un minimum» Et tels sont lès deux problèmes généraux, dont s'occupe essentiellement la mécanique industrielle.
tances moyennes du mouvement de là voiture , soient respectivtoneat <ie n et n 1 kilogrammes; et cherchons quelle route fl faut' tenir, pour èjaëte travail total des chevaux, et par suite leur langue, soit un màttidMÉi.
Il est clair d'abord que les deux partie* de la route à suivre datant être des droites AI=x et IB—j^ de sorte que la. travail fatal des chevaux, pour conduire Ja voiture suivant AI6, a pour mesure (iÇ3)
= nx + fây, ' ■ r »
Menant les perpendiculaire» AH =34 et BFztsâ, sur CD j eeveVin perpendiculaires seront données, aussi bien que la distance ¥11:23* Si donc on pose IH = * r d'où IF=c— z, les deux triangles rjotauffes AIH et BÊF donneront les expressions de leurs hypoténuses or *Xf\ tt co substituant ces expressions dans celle du travail , on aura
Les quantités a, b % o, n et n* éta* constantes dans cette éqùatie», tandis que z et sont variables ; pour avoir le minimum de £ t changées* d'abord z en z + h,. et développons les extractions de. racines ça^es, comme celles de deux binômes; il est clair que nous aurons on résolut
de la forme V~i + A u + Bu*+CH* + T)u*+tlto '.'''. "'..,/
Si Ton avait changé z en z — • u, on aurait en
0"=0 — Att + B*».— Gi3+Dii*~ «ta. ■ ■■■ '
Dans oas développement, il suffit de cmkukr les eoef&ciens qui donnera
a «*• nz nt(Q — z)
~i/«* + z* l/** +(* — *)*' La quantité a peut toujours être prise assez petite pour qn
An, ©ta le terme Bu*, surpasse la valeur de tons ceux qui le suivent, comme on s'en assure par la sommation d'une progression géométrique décroissante à l'infini; et d'après cela, il est visible, par les expressions de ¥ et G 1 ', que la quantité' ô ne peut être un minimum, que quand A = o et 8 est positif. La seconde de ces conditions est évidemment remplie; et quant à la première A=o, soient v et 1/ les deux angles IAH et IBF; d'après les deux triangles rectangles AIH et BIP, ou a, pour les termes de l'expression de A, n sin v et n f sin v', d'où
sin v l sin v 9 l 1 n f l ».
L'équation A =3 o sera do quatrième degré en *, et en la resolvant Y on aura la valeur de z et oonséquemnaent la position du point I, qui répond au minimum du travail 0*
Si la voiture devait aller du* point A an point £ de la première plaine, après avoir conduit une personne sur la route CD; on pourrait regarder les résistances n et n' comme égales entre elles ; et alors le minimum du travail 6 , répondrait au minimum de la route AIE : l'équation A = o «tonnant dans ce cas, l'angle IAH=IEN, on aurait l'angle AIH=.Enf , comme en géométrie.
166. Moudre actio*. La chute des corps suivant des droites et les phénomènes que nous pouvons étudier complètement, nous conduisent à penser que les productions de la nature résultent généralement de la plus grande économie possible de moyens : en sorte, par exemple» que le mouvement de la lumière, proviendra d?un travail minimum. En remontant à la cause de ces productions admirables, on la reconnaît essentiellement intelligente, et par suite on conçoit qu'elle a dû produire les phénomènes que nous observons , par les voies les plus simples et les plus économiques ; de sorte que tous $es ouvrages doivent résulter de la moindre quantité d'action ou de travail possible* Cest ainsi que plusieurs philosophes ont été conduits à admettre, comme loi de la nature, que j'il arrive quelque changement ou phénomène dan* Vunwer$^ la quantité d'action qui le produit est un minimum*
Tel est le principe de la moindre action, qu'on est parvenu a démontrer rigoureusement : en partant de ce principe, il est facile, par des calculs analogues à ceux du précédent numéro 4 dé trouver les lois de la réflexion et de la réfraction de : la lumière* Remarquons d'abord que quand une molécule lumineuse se meut dans un milieu séparé d'un autre par une surface plane, il arrive toujours, ou qu'elle ne quitte pas le milieu dans lequel die se trouve et se réfléchit conséquenunent à la surface séparatrice, ou bien qu'elle pénètre dans le second milieu, en changeant de direction, c'est-à-dire en se réfractant : ce sont deux faits d'expérience.
Dans le premier cas, en admettant que le premier milieu oppose partout la même résistance n au mouvement de la molécule, ce qu'on peut supposer pour le petit espace dans lequel Y incidence et la réflexion s'opèrent, l'unité de travail sera constante. Or, soient A et E les points extré* mes de la trajectoire décrite (fig. 60), c'est-e-dire, supposons cjuc le but
de la réflexion sur la surface séparatrice, soit de faire aller la molécule lumineuse du point A au point E, en touchant cette surface; si Ton désigne par / la longueur de la ligne décrite, la quantité de travail, pour faire le trajet, sera In. Mais d'après le principe de la moindre action, cette quantité de travail doit être un minimum; donc puisque la résistance n est constante, il faut que la longueur / soit la moindre possible. Par les points A et E menons un plan perpendiculaire à la surface de séparation et la coupant suivant la droite CD : il est clair cpie la longueur / ne peut être un minimum qu'autant qu 1 elle coïncide avec sa projection sur le plan et que les deux parties de cette projection sont des lignes droites ; la trajectoire / est donc alors la moindre de toutes les sommes des distances des deux points A et E à un point de la droite CD. De sorte que si AI -f- IB désigne cette moindre somme, le point I sera celai où la molécule lumineuse rencontrera la surface séparatrice ; et on aura l'angle AID d'incidence égal à l'angle EIN de réflexion» Ainsi lorsque la lumière est réfléchie à la surface qui sépare deux milieux , l° le rayon incident et le rayon réfléchi sont dans un même plan normal à cette surface; a* l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion* Et c'est d'ailleurs ce que l'expérience confirme.
Supposons présentement que la molécule lumineuse doive aller du point A du premier milieu au point B du second, la surface séparatrice étant toujours plane. Chaque milieu étant uniformément dense, les résistances n et n f au mouvement de la molécule dans ces milieux, seront constantes. De plus, la quantité de travail, pour effectuer le trajet, devant être un minimum , il faut que les chemins x et y parcourus dans les deux milieux, soient des lignes droites, comme l'indique l'expérience. Le travail total est donc 6 = nx «+» n f y. Par les points A et 8 menons à la surface séparatrice un plan normal qui la coupe suivant la droite CD; soit AIB la projection de ht trajectoire sur ce plan, et d la distance de I au point où la molécule lumineuse rencontre la surface de séparation* Menons en -outre sur CD les perpendiculaires AH =2 a et BF=Â. Posant FH=c et IH=s, d'où IF=c— *; on aura AP =:«*+** et BP = ** + ( c — " *)*• De là et de ce que x e%y sont les hypoténuses de deux triangles rectangles, dont d est le côté commun, et AI, IB les deux autres côtes, la valeur du travail total deviendra
= n Vd* + a a + * a + »'|/«f* + * a -r- (c — *) a «
Les quantités a, h % c, n et n 9 étant constantes, tandis que d % zetB sont variables ; on voit d'abord que ne peut être un minimum, que quand la distance d est nulle, c'est-à-dire lorsque la molécule lumineuse traverse la surface séparatrice au point I. Prenant donc <£=:o, et opérant comme plus haut ( i65), on verra que le minimum du travail 6 répond à sin v l sin v r II ni l n. D'où il suit que quand la lumière passe d'un milieu dans un autre , 1° le rayon incident et le rayon réfracté sont dans un même plan normal à la surface séparatrice; a les sinus des angles d'incidence et de réfraction sont dans un rapport constant, quel que soit d'ailleurs
ï' angle d'incidence. Ces deux lois sont aussi vérifiées par l'expérience ', et on les démontre d'ailleurs par d'autres considérations»
167. Le principe de la moindre action est un de ceux qui plaisent à l'imagination • mais les philosophes qui l'ont d'abord appliqué à la mécanique, n'avaient pas une idée bien nette de ce qu'il faut appeler action: Fermât avait donné à ce mot une signification que Maupertuis reconnut être inexacte. Ce dernier pensait que par quantité d'action, il faut entendre le produit de la masse du corps par sa vitesse et l'espace décrit ; ce qui revient au produit du chemin par la force motrice (i56), c'està-dire à une quantité de travail (i58). Euler étendit cette définition aux mouvemens variables à chaque instant, et doit être regardé, dit Laplace, comme le véritable inventeur du principe de la moindre action , que Lagrange ensuite a dérivé des lois primordiales du mouvement. Ce principe n'est au fond qu'un curieux résultat de ces lois : il ne doit pas être érigé en cause finale ; et si Galilée , guidé par le génie observateur dont il était doué, fut conduit, comme il le dit lui-même, à la loi de là chute des graves et à celle de la résistance des solides, à l'aide des idées de la moindre action ou des voies économiques de la nature \ les lois du mouvement ne sont pas une conséquence nécessaire de ces idées ; puisque sans la découverte de ces lois, on disputerait encore sur ce qu'il faut entendre par la moindre action de la nature.
Remarquons cependant que les considérations métaphysiques, quelque vagues et peu satisfaisantes qu'elles puissent paraître en mécanique , ont été utiles pour y découvrir des théorèmes importans. Ces considérations ne doivent donc pas être abandonnées d'une manière absolue \ parce que, comme l'analogie et l'induction, elles peuvent quelquefois conduire à la vérité ou la faire deviner. Mais pour que les conséquences qu'on en déduit soient certaines, il faut les appuyer sur des raisons plus positives que celles beaucoup trop générales, pour n'être pas très-vagues, qui dérivent des idées de convenance, à* harmonie ou de simplicité des moyens de là nature. Car à la rigueur, nous ne pouvons acquérir une entière certitude, Sous ce rapport , qu'après avoir analysé assez complètement les phénomènes naturels, pour connaître tous les moyens qui les produisent et savoir que ces moyens sont les plus simples possibles. Ce qui revient évidemment à démontrer les principes fournis par des considérations métaphysiques, de même que les analystes démontrent les théorèmes qu'ils découvrent par induction, en les ramenant à des principes reconnus vrais par tout le monde. Et c'est ainsi qu'en ont agi les géomètres à l'égard du principe de la moindre action, qui de cette manière, est devenu, sous un énoncé plus général encore que celui que nous venons de considérer, l'un des théorèmes les plus remarquables de la mécanique.
Du Mouvement rectiligne uniforme.
168. Le plus simple des moùvemens est le mouvement rectiligne uniforme, c'est-à-dire celui où le mobile décrit des droites égales dans des temps égaux. Or, ce mouvement est produit par Faction d'une force instantanée sur le mobile ; et la vitesse qui a lieu mesure l'intensité de la force (i53). On voit d'ailleurs, d'après la loi d'inertie (12) et la nature du mouvement uniforme, qu'on peut regarder le corps, en un point quelconque de la droite qu'il décrit, comme recevant l'impulsion en vertu de laquelle il se meut. Si donc une nouvelle force vient à agir sur le mobile, en ce point et suivant la même droite, la vitesse croîtra ou diminuera -de celle que la seconde force eût communiquée au corps, s'il eût été en repos ; car on peut supposer que les deux forces agissent ensemble au point dont il est question. D'où il Tésulîo que si plusieurs forces constantes agissent simultanément sur un mobile et suivant la même droite, elles lui feront parcourir, pendant V unité -de temps, un espace rectiligne égal à h somme algébrique des espaces que chacune telles lui eût fait parcourir séparément,
169. Soit v la vitesse du mobile, c'esf-à<dire l'espace rectiligne qu'il décrit pendant chaque unité de temps ; soient d et e ses distances à l'origine du mouvement, 'avant et après le temps /, distances mesurées sur une même droite : on aura évidemment, pour l'équation générale des moùvemens rectilignes uniformes,
e — d-{-vti ... (a)
équation dans laquelle detv peuvent être des nombres négatifs.
Au moyen de cette équation , le mouvement du mobile sera complètement déterminé , dès que l'on connaîtra les deux constantes d et v, ou lorsqu'on aura des conditions propres à les faire calculer. Par exemple, si l'on sait que le mobile se trouvait, après 4 minutes d'un mouvement uniforme, à 20 mètres de son point de départ, ce qui donne <Z=2o et v=5, il viendra •= 20 + 5* pour l'équation du mouvement. Si donc le mobile se meut encore pendant 12 autres minutes dans le même sens, on pendant ô autres minutes en sens contraire, on aura ezzzSo mètres ou e = — io mètres*
Pareillement, si deux mobiles, avant d'entrer en mouvement
Uniforme, sont éloignés l'un de Pautre de 80 mètres, partent au même instant et vont en sens contraires suivant la même droite, en faisant l'un 6 et Pautre 4 mètres par seconde ; on trouvera facilement après quel temps f, ils se seront dépassés de 3o mètres. Car les équations de leurs mouvemens étant e =r 6t et d = 80 + 4*, on aura » — ^ ou 3o = 10* — 80 \ d'où *= 1 i ff . S'ils - devaient encore être éloignés de 20 mètres après le temps /, on aurait e* — e ou 20 = 80 — 10*, ce qui donnerait tf=6 fr . Enfin, s'ils devaient se rencontrer au bout d'un temps *, il viendrait 6*=8o — 4*, ou *=8". ,
Lorsque les deux mobiles proposés vont dans le même sens , il est aisé de voir qu'il leur faudra 4o" ou 64" pour se rencontrer ou bien se dépasser de 48 mètres. On voit à quoi peut servir l'équation des mouvemens uniformes.
Cette équation s'applique aussi au cas où deux mobiles décriraient uniformément une même courbe, pourvu que les longueurs e t d et v soient mesurées sur cette courbe , de même que e', d f et v 9 . Si la courbe est fermée, comme la circonférence, il est clair que les mobiles , en continuant à se mouvoir, pourront se rencontrer plusieurs fois. Par exemple , s'il est 9 heures à une montre, et que l'on veuille trouver après quel temps t l'aiguille des minutes aura rencontré i4 fois celle des heures : en prenant l'heure pour unité de temps , et chacune des 60 divisions de la circonférence pour unité de longueur, les équations du mouvement uniforme des aiguilles seront évidemment e = 5t et e r = i5 +60/, d'où à cause de e r — e = 14 • 60 , il vient /= i5 heures.
170. Composition des vitesses. Maintenant, puisque la vitesse est proportionnelle à la force , pour un même corps , ces deux quantités peuvent être représentées l'une par l'autre ; et tout ce qu'on a dit de la composition des forces se dira de la composition des vitesses. Ainsi lorsque deux forces P et Q agissent simultanément par impulsion sur un mobile À , dans les directions AB et AC (fig. 5i)$ en prenant les longueurs AB et AC respectivement égales aux vitesses imprimées par ces forces P et Q au mobile A, on aura P =: a • AB et Q = a • AC ; et la vitesse v de la résultante R sera égale à .la diagonale AD du ♦ parallélogramme ABDC. Car d'abord R = av, a désignant le rapport constant entre la force et sa vitesse. De plus, d'après le parallélogramme des forces (27), on a P ; R H AB ; AD J J
a • AB * a • ÀD ; donc puisque P = a • ÀB , on a aussi R =±r a • AD = av ; d'où AD = t>. On voit donc que si les vitesses dues aux deux forces angulaires P et Q , *<ml représentées en grandeurs et en directions far les côtés d'un parallélogramme, la vitesse résultante sera représentée en direction et en grandeur par la diagonale de ce parallélogramme (*). Par exemple, si l'angle BAC est droit et qu'on ait la vitesse AB = 8 et AC=6, la vitesse résultante AD vaudra 10.
Ce théorème conduit immédiatement au parallélipipede des vitesses, ainsi qu'à tous les principes de la composition et de la décomposition des vitesses dont un même corps peut être animé* Ces principes sont en d'autres termes les mêmes que ceux de la composition et de la décomposition des forces, et il est inutile de s'y arrêter.
Remarquons néanmoins que si Y effet de la force P est d'éloigner le mobile A de la direction AC , d'une certaine distance rf, pendant l'unité de temps ; comme après ce temps , le mobile est
(*) Ce théorème important peut se démontrer directement, et conduire au parallélogramme des forces. Prenons sur les directions des forces (fig. 5a), les longueurs AB, AC, respectivement égales aux vitesses qu'elles impriment simultanément au point A, suivant ces directions; et achevons le parallélogramme ABGD. Concevons l'unité de temps divisée en un ' nombre infini n d'instans égaux et infiniment petits. Si Ton fait mouvoir le parallélogramme ABDC sur son plan, avec la vitesse AB, de manière que le côté AB glisse sur la droite AP, avec cette vitesse ; il est clair que la droite AC se mouvera parallèlement à elle-même, avec la vitesse AB, et prendra les positions £c, £'c', £"c", ..., BD, à la fin des i ,r , a*, 3% ... , n e instans : donc le point A, dont la vitesse dans le sens AP, est AB ou la même que celle de la droite AC , ne cessera pas de se trouver sur cette droite et de s'y mouvoir de A vers C avec la vitesse AC ; ce point A se trouvera donc en a, a', a", ..., D, à la fin des instans i er , a , 3% ..., n e . Or, le mouvement étant uniforme dans chacun des sens AP et AQ, les droites A*, A*', Ai", ..., AB, puis ba, 3'a', b'W\ ..., BD, vaudront respectivement î fois, a fois, 3 fois, ..., n fois Ab pour les unes et ba pour les autres. De sorte que tous les triangles A6a, A6'a', A6"o", - ..., ABD seront équiangles; et par suite, les droites A*, Aa', AaW, ..., AD, auront même direction et vaudront respectivement î fois, a fois, 5 fois, ...,/* fois Aa. Mais ces droites sont les chemins réellement par'!* courus par le point A, à la fin des instans i* r , a e , 3 e , •.., n e \ ce point A aura donc parcouru, pendant l'unité de temps et d'une manière uniforme, la diagonale AD, qui en est par conséquent la vitesse. Ce qu'il fallait démontrer.
€ii D, et que les points B et D sont à la même dislance à de AC, on voit que la force P aura produit tout son effet. De même la force Q aura produit tout le sien , comme si elle eût agit seule. Et c'est en cela que consiste ^indépendance des effets des forces angulaires , qui a Heu également dans le parallélipipède des vitesses.
171. Travail de la résultante. Cherchons d'après la méthode de M. Poncelet, le travail de la résultante de plusieurs forces. Soient d'abord les forces parallèles P, Q, R, ..., agissant dans le même sens sur un corps solide , et faisant décrire à ses points matériels des chemins égaux et parallèles. Soit T la résultante du système •, on aura T = P + Q-f-R+ # ". Multipliant de part et d'autre par le chemin parcouru c par chaque point d'application , il viendra oT = oP + C Q. + cK -f- etc. Or, la résistance étant supposée constante suivant chaque chemin décrit, il est clair (1 58) que les forces T, P, Q, R, ..., représentent les résistances vaincues ; donc cT est le travail de la force T, et ainsi des autres. Si donc on observe qu'une ou plusieurs des forces P, Q, R, ..., pourraient agir en sens contraire, on verrai, par la dernière égalité précédente , que le travail de la résultante T de tant de forces parallèles qu y on voudra,, est égal à la somme algébrique des travaux de ces forces.
1 72. Considérons maintenant une seule force R appliquée à un point À d'un; corps solide ( fig. 53 ) , et supposons que ce point ne puisse se mouvoir dans la direction de cette force, mais qu'il soit assujéti à rester sur la droite MN, et que la résistance à vaincre ait lieu suivant cette droite et soit constante. Si l'on décompose la force R en deux autres , l'une AB perpendiculaire à MN et l'autre ÀC = R' dirigée suivant cette droite ; la première ne tendra qu'à presser le corps sur MN, et il n'y aura pas de chemin parcouru dans le sens de cette composante, puisque le point A doit toujours rester sur MN ; le travail sera donc nul. De sorte que le travail de la force proposée R se réduit à celui de sa composante R', suivant MN. Or la résistance étant constante suivant cette droite , sera représentée par R f ; et en désignant par AI le chemin parcouru , le travail de R f et conséquemment de la force proposée R, sera R' X Aï. Et comme R' est la projection de R sur MN, on voit que le travail effectif oV une force donnée R est égal à celui de sa projection sur la droite suivant laquelle la résistance constante a lieu.
173. D'après cela, soient P et Q deux forces appliquées à un même point À d'un corps solide , et soit R leur résultante. Supposons que le point À soit assujéti à rester sur une droite quelconque MN et que la résistance constante ait lieu suivant cette droite. Pour trouver le travail effectif, on observe que la projection R' de la résultante R sur MN , est égale à la somme algébrique des projections P f et Q' des deux composantes P et Q sur la même droite, et qu'ainsi R' = P' ± Q'. Multipliant par le chemin c que décrit le point À suivant MN , cR r sera le travail effectif de la résultante R et cP', cQ f , les travaux effectifs de ses composantes P et Q (i58). De sorte que le travail effectif de la résultante est égal à la somme algébrique des travaux effectifs de ses composantes.
Il est clair que ce théorème est vrai , quel que soit le nombre de forces, appliquées comme on voudra, à un même point d'un corps solide.
174* Mouvement du centre de gravité. Lorsque tous les points matériels d'un corps solide de masse M, décrivent des droites parallèles, avec une vitesse commune v, la résultante de toutes les forces parallèles qui animent ces points, est appliquée au centre de gravité du corps. D'abord ces forces agissant sur des molécules de masses m, m!, m", ... , ont pour mesures respectives mv, m f 0, m ff v, ... (i56); leur résultante R appliquée au solide, étant égale à leur somme, on a R=Mt>. Pour trouver le point d'application de cette résultante, on observe que les poids sont proportionnels aux masses m, m\ m", ..., et par suite aux forces m», m f v, m n v, ..., appliquées aux mêmes points que ces poids. Et comme le point d'application de la résultante reste le même, lorsque les forces, sans cesser d'être parallèles et appliquées aux mêmes points respectifs , changent de direction et augmentent ou diminuent proportionnellement (39); on voit que le point d'application de la résultante R est le même que celui du poids total ; il est par conséquent le centre de gravité du corps proposé.
175. Réciproquement, pour imprimer à un corps solide de masse M, un mouvement de translation, de manière que ses points matériels décrivent des droites parallèles, il suffira à*ap~ pliquer au centre de gravité, une force Mv capable de lui donner la vitesse v. Car tous les points matériels étaitf liés entre eux invariablement, il est clair que le centre de gravité ne peut se
mouvoir avec la vitesse », sans entraîner en même temps et avec la même vitesse, les points auxquels il est immédiatement liés, suivant la même droite ou suivant des parallèles voisines ; ces derniers points entraîneront de la même manière leurs voisins , et ainsi de suite. Donc tous les points matériels décriront des droites parallèles avec la vitesse commune v ; et de plus, la force proposée, appliquée au centre de gravité, vaudra M» ( 1 74)-
1 76. Lorsqu'un corps solide reçoit Faction à? une force impulsive, qui ne passe pas par son centre de gravité, il acquiert à ta. fois deux mouvement, Vun de translation, comme si la force était appliquée au centre de gravité, parallèlement à elle-même, et Vautre de rotation autour du centre de gravité, comme si ce point était fixe. De sorte que ces deux mouvement sont indépendant Vun de Vautre, et que le centre de gravité se meut comme H la force lui était immédiatement- appliquée, parallèlement à elle-même (fig. 54).
Four démontrer ce théorème remarquable, menons du centre de gravité G la perpendiculaire GA sur la direction de la force impulsive iY\ prolongeons ÀG de GB = GAf^et appliquons au point B du corps les deux forces F et — F, contraires, parallèles à la force 2F et égales chacune à la moitié de celle-ci : ces deux forces F et — F se détruisent, et par conséquent l'effet de la force proposée 2F sur le corps n'est aucunement altéré. Or, les deux forces parallèles de même sens et égales à F, appliquées l'une en A et l'autre en B, ont une résultante égale à leur somme 2F, appliquée parallèlement au milieu G de la droite AB ; lecentre de gravité G se mouvera donc comme si la force proposée 2F lui était appliquée parallèlement à sa direction. Quant aux deux forces restantes du système, Tune F en A et l'autre — F en B , elles forment un couple , qui donnera évidemment au corps solide un mouvement de rotation autour du centre de gravité G, comme si ce point était fixe ; car il n'y a pas de raison pour que ce centre , milieu de AB , se meuve d'un côté plutôt que de l'autre, par l'effet du couple, qui n'exercera conséquentment aucune action sur ce point.
On voit que le mouvement de translation du corps solide proposé est absolument le même que celui de son centre de gravité, le seul que l'on considère ordinairement, pour plus de simplicité*
173. Il résulte du théorème précédent, que si plusieurs forces, agissent, comme on voudra par choc sur un corps* solide, elles*
( 152 ) lui impriment le même mouvement de translation que si chacun* était immédiatement appliquée au centre de gravité, parallèlement à elle-même; en sorte que la réaction des parties du système n'altère pas le mouvement du centre de gravité. Quant au mouvement de rotation autour de ce centre, il dépend évidemment de la grandeur et du point d'application de chaque force impulsive -, ainsi il n'y a rien à conclure pour ce mouvement.
178. Considérons encore un système de corps tout-à-fait libres, c'està-dire n'ayant aucune liaison entre eux. Soient m, m*, m*\ ..., les masses de ces corps, animées des vitesses parallèles u, v f , v' r , ..., et cherchons quel sera le mouvement du centre de gravité du système. Menons par ce cenère un plan P parallèle aux directions des vitesses : comme à l'origine du mouvement, la somme des momens des masses m, m', m", ••., par rapport à P, est nulle; il est clair qu'elle sera encore nulle dans la suite, puisque ces masses seront toujours aux mêmes distances respectives de P; donc le centre de gravité ne sortira pas du plan P. Ce centre se trouvera, donc constamment sur deux plans parallèles aux directions des forces iuv pulsives ; il décrira par conséquent rintersection parallèle à ces forces.
Soient d, d\ d tf , ..., les distances des centres de gravité des masses m, m', m", ..., à un plan perpendiculaire à leurs directions parallèles, distances mesurées à l'origine du mouvement ; les distances au bout du, temps i seront d-f-vf, c#4-v'*, d fr -^v n t^ ... (169). Désignant par a et x les distances du centre de gravité du système au même plan , avant et après le temps t, et prenant les équations des momens, par rapport à ce plan; il viendra, en soustrayant la première équation de la seconde,
(w-r^-rl-vOf 1 — a ) = (wiv- r -mW-f-«..) u On voit que les espaces x — a décrits par le centre de gravité, sont proportionnels aux temps \ donc le mouvement de ce centre est uniforme.
Ainsi quand plusieurs corps libres ont des mouvemens parallèles entre éux % reçtilignes et uniformes , leur centre commun de gravité se meut uniformément suivant une droite parallèle aux forces impulsives , avec une vitesse égale à la somme de ces forces divisée par la masse totale; ce mouvement est par conséquent le même que si toutes les forces étaient appliquées au centre commun de gravité, parallèlement à elles-mêmes.
Le même théorème subsiste, quant au mouvement rectiligne uniforme, lorsque lea vitesses imprimées ne sont pas parallèles. Car décomposons chacune d'elles en trois autres parallèles à des axes rectangulaires : en vertu de chacun de ces groupes , le centre commun de gravité sera mu parallèlement à chaque axe, comme si les forces impulsives lui étaient immédiatement appliquées, puisqu'on peut répéter sur chaque groupe les raisonnemens précédens ; et à cause de l'indépendance des effets des, forces de directions rectangulaires (170), la vitesse du centre de gravité <Ju système sera rectiKgne et constante.
Du Mouvement rectiligne varié.
1 79. Le mouvement varié est produit par une force accélératrice, c'est-à-dire une force agissant continuellement sur le mobile. Si cette force est constante, le mouvement est dit uniformément varié.
Cherchons l'espace rectiligne décrit pendant le temps /, par un point matériel soumis à Faction d'une force continue et constante , en faisant abstraction de tout obstacle , comme le frottement et la résistance de Pair.
Divisons le temps t en un nombre infini n iïinstans égaux à x et infiniment petits ; nous aurons t = nx. Puisque la force proposée est continue et invariable , elle imprime au corps , à chaque instant, un nouveau choc égal à celui qu'elle lui a donné l'instant précédent ; donc à chaque instant elle lui fait décrire un nouvel espace égal à celui qu'il parcourt déjà en vertu de l'impulsion de l'instant précédent. Car les vitesses étant proportionnelles aux forces , des impulsions égales doivent faire parcourir au même corps des espaces égaux , pendant des temps égaux. Or, un corps ne peut se donner aucun mouvement , ni altérer celui qu'il a reçu (12) : donc si la première impulsion fait parcourir au corps l'espace w, elle lui fera parcourir le même espace pendant chacun des instans successifs : il en sera de même de la seconde impulsion , pendant le second instant et les suivans ; de même de la troisième, et ainsi de suite. Par conséquent, l'espace que décrit le corps pendant le premier instant, étant u, l'espace qu'il décrira pendant le second instant sera m-|-«ou2m; pendant le troisième, %u -f- % ou 3« ; pendant le quatrième, 3u + u ou 4 W ; If 1 ^ 11 > Pendant le n 9 instant l'espace décrit sera nu. D'où il suit que l'espace total e décrit pendant le temps /, sera
Soit v la vitesse du corps à la fin du n 9 instant ; v sera donc l'espace rectiligne que ce corps décrirait uniformément, pendant le temps 1, en vertu des n impulsions reçues pendant le temps /, si alors la force accélératrice cessait d'agir sur lui (i54). Or, puisque le corps parcourt uniformément l'espace », pendant l'unité de temps , il est clair que pendant le ( n + 1 ) e instant , dont la durée est 4?, il parcourra, l'espace px. Mais pendant le
(n + i) a instant, le mobile., en vertu des n impulsions reçues pendant le temps /, parcourt F espace nu\ il faut donc que vx
= nu. D'ailleurs t = nx. donne n = -• Avec cette valeur, celles de • et v deviennent
tu tu(t + x)
Prenant /= 1 dans la première de ces équations et désignant par g la valeur correspondante de v ; g sera l'espace décrit uniformément par le mobile , durant l'unité de temps , en vertu de toutes les impulsions reçues pendant le temps i ; c'est-à-dire que g sera la vitesse au bout de l'unité de temps (1 54) : il viendra
Divisant les valeurs de v et * par celle de £, on trouve
l = t et t-tf +ïtx .
Ces valeurs n'ont été obtenues qu'en supposant x infiniment
petit : pour arriver au dernier degré d'exactitude, il faut j faire
x = o $ car la force accélératrice agissant continuellement sur
le mobile , l'intervalle x entre deux impulsions successives est
imperceptible à nos sena et doit être considéré comme nul :
faisant donc x = o, on obtient
v=zgt et e — ±gf.
Ces deux équations donnent e = \vi. Si le corps se mouvait pendant le temps / avec la vitesse finale v qu'il a acquise pendant ce temps , l'espace décrit serait vt, c'est-à-dire double du précédent tyt. D'où il suit que V espace ~vt décrit pendant le tempe t, Sun mouvement uniformément accéléré j est ta moitié de V espace vt qui serait décrit uniformément, pendant h mime temps, avec la vitesse finale v.
180. Si à l'instant où la force accélératrice constante vient à agir sur le mobile, celui-ci avait déjà dans le même sens, une vitesse uniforme tf , la vitesse v au bout du temps t et l'espace e décrit pendant ce temps, seraient évidemment
v = d+gt et e — dt+\ge ... (b).
Ces équations renferment toute la théorie du mouvement uniformément varié, dans le vide. Lorsque la quantité g est positive, ce mouvement est accéléré; il est retardé si g est négative $ et quand g = o , le mouvement devient uniforme.
181. Chute verticale dans le vide. La pesanteur est une force accélératrice : mais bien qu'elle agisse en raison inverse du carré des distances au centre du globe; cependant, comme la plus grande hauteur qu'un mobile puisse.parcourir, est prèsqu'infiniment petite à l'égard du rayon moyen terrestre, qui a plus de 6000000 de mètres, on peut, sans erreur sensible, regarder la pesanteur comme une force accélératrice constante dans toute l'étendue de cette hauteur. Effectivement , soient ç et <p f les actions de la pesanteur aux distances verticales r et r + h du centre de la terre : on aura ^ I 0' * * ( r + A) a • r* ; d'où en prenant h = 6o m et r > 6000000"% il viendra ç = ç r ( 1 -f- <C 0,0001 )\ Le second terme entre parenthèses est évidemment nul à l'égard du premier; et en le négligeant, il vient
Nous regarderons donc la pesanteur comme une force accélératrice constante pour toutes les hauteurs que nous aurons à considérer; et alors les équations (6) seront celles du mouvement d'un corps pesant qui tombe verticalement dans le vide , avec une vitesse initiale d, dans le sens de la gravité. Si la vitesse imprimée d était dirigée verticalement de bas en haut, g prendrait le signe — ; et si le corps tombait du repos , dans le vide , on aurait d := o ; les équations du mouvement seraient donc alors v—gt et ez=.~gf.
Dans ces équations , g est la mesure de la gravité ; car c'est la vitesse imprimée au corps pendant la première unité de temps, par la pesanteur (1 54)*
182. En laissant tomber d'une grande hauteur 0, un corps très-dense , comme une petite sphère de platine , et comptant le
nombre t de secondes de la chute, on aurait gz=z — • Mais cette
valeur de la gravité g serait toujours peu approchée ; d'abord à cause de la résistance de l'air, et ensuite par la difficulté d'apprécier exactement le temps t\ car même avec la meilleure montre , on ne saurait trouver f , à moins d'une demi-seconde près. Nous verrons plus bas d'autres procédés plus rigoureux , par lesquels on a reconnu , à Paris , que pendant la première seconde , un corps qui tombe du repos , dans le vide , parcourt l'espace • = 4/9°4^97^ mètres ; ce qui donne g = 9,808795 mètres. La force de la pesanteur a donc pour mesure à peu près : 9 m ( 81 : nous la désignerons toujours par g ; mais par des causes
qui tiennent à la figure de la terre et à sa rotation diurne, cette' quantité g varie avec les lieux.
i83. L'équation e=.±gf fait voir que les espaces décrits dans le vide, par un corps qui tombe du repos, sont entre eux comme les carrés des temps \ et que ces espaces sont successivement représentés par les nombres impairs i, 3, 5^ 7, 9, 1 1, i3, i5, etc. Eliminant t des deux équations
vzz.gt et e zz £#/% on a v = yïge.
Ainsi \/^ge est la vitesse du mobile, quand il est tombé de h hauteur e. Comme on a souvent occasion de faire usage de cette vitesse, on l'appelle, pour abréger, la vitesse due à la hauteur e* Réciproquement , e est la hauteur due à la vitesse fatale y.
184* Lorsqu'on imprime au corps une vitesse initiale ci, verticale, de bas en haut, d et e sont parcourus dans, le sens contraire à celui de la gravité y; et alors g prend le signe — dans les équations (&). Dans ce cas , il est clair que le corps s'élèvera jusqu'à ce que sa vitesse soit nulle; et qu'en outre, la plu» grande hauteur e à laquelle il parviendra et le temps, t employé pour y parvenir, seront donnés par les équations
ozzd — gt et ezndt — \gf.
Ces équations fournissent d'ailleurs d=zy2ge^ c'est-à-dke précisément la vitesse due à la hauteur e. D'où il suit que pew élever un corps à une hauteur donnée, il faut lui imprimer um vitesse égale à celle qu'il acquerrait en tombant de cette hauteur» Par exemple, si le corps n'est de retour qu'après 18", il se sera élevé avec une vitesse initiale de 88 m ,28, environ, et à la hauteur de 397 m f 22.
Gela suppose toutefois que le corps se meuve dans le vide, oa que l'air n'oppose aucune résistance au mouvement ; car dans là réalité, les corps montent à une hauteur moindre que celle qui répond à leur vitesse initiale, et de plus, ils retombent avec une vitesse moindre que celle due- à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.
i85. Connaissant la force 9? avec laquelle une .masse m 9 d'un kilogramme choque un obstacle, après une seconde, en tombant du repos, & est facile de trouver la force <t> par laquelle une masse m de P kilogrtflfr* mes frappe le terrain, en tombant du repos de la hauteur donnée h. Cet U vitesse de m/ sera g v et celle v de m- vaudra v= U'agA. De piaf»
d'après ce qui précède (4a et i56), on aura P = mg, i rs m 1 g et 9 = p* >< — —s il viendra donc
* = *'XPj/^,
Pair exemple , si un homme pesant 60 kilogrammes, tombe de 20 mètres de hauteur, il frappera le terrain ayec une force 0=120»', environ* La force du coup sera donc îao fois celle d'un kilogramme tombant de la hauteur ig, ou 4 m /9°*
Tout le monde sait que la chute d'une pierre est d'autant plus à crain-» tire , que ce corps a plus de poids et tombe de plus haut. C'est qu'alors la vitesse finale v étant très-grande, ainsi que la quantité de mouvement mu, le choc qui a lieu contre un obstacle devient très-considérable.
C'est par la même raison qu'il n'est pas possible de sauter d'un endroit tin peu élevé, sans risquer de se fracasser contre les corps solides sur lesquels on tombe. Si par quelque circonstance, on est forcé de sauter d'un endroit un peu élevé, il faut, en arrivant près de la terre, conserver assez de présence d'esprit pour se laisser fléchir sur soi-même , et partager le choc en plusieurs temps, en tombant d'abord sur les pieds, puis sur les genoux et enfin sur les mains. Une sorte d'instinct nous fait souvent employer ce procédé, sans trop avoir examiné pourquoi.
Il est maintenant facile, au moyen des équations (5), de résoudre les problèmes que voici , sur le mouvement d'un corps qui tombe du repos dans le vide : i° Combien un corps mettra-t-il de temps à tomber de 400 mètres? Réponse : Q/o3i39 ou 9'', environ. a° Quelle sera la vitesse du corps ^ à la fit de la chute? Réponse : 88 m ,588 par seconde. 3° De quelle hauteur un corps doit-il tomber pour acquérir une vitesse de 400™ par seconde? Réponse : de 81 56 mètres. 4° Enfin, un corps pesant ne peut parvenir au fond d'un précipice qu*au bout de 7"/ quelle est sa profondeur ? Réponse : a4° m /3» S'il y avait un cinquième de seconde de trop sur le temps 7" de la chute, la profondeur trouvée serait trop grande de plus de i3 m .
186. Travail de la pesanteur. « Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d'action que dépense la pesanteur pour engendrer une certaine vitesse dans un corps , ou pour vaincre Y inertie de ce corps. Nommons en effet, P le nombre de kilogrammes que pèse le corps proposé, c'est-à-dire l'effort total que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu'il faudrait employer pour le soutenir dans une certaine position ; ce sera donc aussi la mesure de l'effort constant exercé sur le corps pendant sa descente de la hauteur H. La quantité de travail développée par la pesanteur et consommée par l'inertie, pendant cette chute, pour acquérir la vitesse 0, est représentée, comme on l'a vu (161), par PH. Mais cette quantité de travail ayant engendré
( 158 ) dans le corps la vitesse finale o, celte vitesse est due à la hauteur H, et il vient t> a = igR (i83). D'ailleurs M désignant la masse du corps, on a P = Mg. Cette équation et la précédente donnent, pour la quantité de travail, PH = £M&*. »
Gomme dans l'appréciation des effets des forces motrices, on rencontre fréquemment le produit d'une masse par le carré de la vitesse qui l'anime, on a donné à ce produit le nom de foret vive; parce que bien que ce produit n'exprime pas la force motrice proposée (i56), il mesure cependant une certaine force, due au mouvement et souvent déployée par des êtres vivans, tels que des hommes ou des chevaux. L'expression PHzz-ftb 1 , nous apprend donc que la quantité (Faction ou de travail, itf entée par la pesanteur pour produire la chute verticale tm corps, est la moitié de la force vive imprimée au bat de tetis chute.
<l Lorsque le corps est lancé verticalement de bas en haut, avec une certaine vitesse, le travail de la pesanteur, toujoois mesuré par le produit du poids et de la hauteur à laquelle k corps a été élevé verticalement, est employé, au contraire, à détruire cette vitesse. Par conséquent , dans les deux cas de la descente et de la montée , la moitié de la force vive acquise ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre l'inertie du corps ; c'est-à-dire que cette mesure reste la même, soit que la pesanteur imprime une certaine vitesse à un corps, soit qu'elle détruise une vitesse égale et qu'il possédait déjà, i
Ce principe a lieu quelle que soit la force accélératrice constante employée à vaincre l'inertie du corps de masse M. Car celte force imprimant à l'unité de masse , la vitesse g pendant l'unité de temps et la vitesse v pendant le temps /, le chemin décrit, pendant ce temps, est e= \gf\ et à cause de vz=gt, il
vient c=z\pt. La force motrice a pour mesure My ou M-(i56);
la quantité de travail est donc M- X * et se réduit à £M»\ Le
chemin parcouru pourrait même être une ligne courbe, pourra que la vitesse g se mesurât sur cette courbe ; ainsi le principe précédent est général.
187. Chutes par des plans inclines. Observons d'abord que quel que soit le corps qui glisse sur le plan incliné proposé, son mouvement est le même que celui de son centre de gravité sur un plan parallèle au premier. Tout se réduit donc à trouver le
mouvement d'an point matériel M sur un plan incliné ÀB (fig. 55 ). Or, soit h la hauteur AC de ce plan et l la longueur AB ; décomposons la pesanteur g qui sollicite verticalement le point matériel M, en deux forces, l'une perpendiculaire au plan et détruite , et l'autre <f dirigée suivant le plan : celle-ci est la peeanteur relative, en vertu de laquelle le point matériel descend le long du plan. Et comme on a évidemment Ksll^l^i H
en résulte ^=yXr
Les directions de la gravité pouvant être considérées comme parallèles, dans toute l'étendue du plan incliné, et la pesanteur g étant invariable , dans toute cette étendue , il s'ensuit que la force g 9 , qui tend à faire glisser le point matériel sur le plan incliné , sera toujours la même : donc le mouvement sera uniformément accéléré, maie moindre que far la verticale; puisque ,A< l, donne g 9 <y.
Actuellement, si l'on change g en g\ dans les formules (6), on aura les équations du mouvement d'un corps qui glisse le long d'an plan incliné, en vertu de la pesanteur relative g r et de la vitesse initiale <?, imprimée suivant la longueur du plan. De sorte que si le corps part du repos, ce qui donne <Z= o, on
aura 9 =y*, e = i^*»; d'où v = V^fe.
Cette valeur de la vitesse finale v est moindre que ^ige\ ainsi le corps ne descend pas aussi vite par le plan incliné que par la verticale ; ce que nous avons déjà remarqué.
188. Mais si l'on veut connaître le temps t que le mobile emploie pour parcourir la longueur l du plan , c'est-à-dire pour parvenir du sommet A à la base BG, il suffira de supposer e= /, dans les équations précédentes , lesquelles donneront
<=|/jj Z = j/g, et * = j/^Â.
La valeur de v fait voir que la viietee acquise, quand le eorpe a parcouru toute la longueur du plan incliné, est la même que s'il était tombé verticalement de la hauteur h du plan (i83).
Donc si l'on a une suite de droites partant d'un même point A et aboutissant à un même plan horizontal ; les points matériels pesants qui glissent sur ces droites et qui partent ensemble du point A, auront tous acquis des vitesses égales, lorsqu'ils seront parvenus à l'horizon, quelles que soient d'ailleurs les longueurs
des droites proposées. De plus, il est aisé de voir que les temps employés seront entre eux comme ces longueurs*
189. Toutes les cordes AB, AC, AD, partant de la même extrémité A du diamètre vertical AI , sont décrites dans le même temps par des corps pesants qui partent ensemble du point A , sans vitesses initiales (fig. 56). Car soit l la longueur de la corde ou plan incliné AD, h la hauteur AH de ce plan et AI = #; nous aurons d'abord P=hd l . Substituant cette valeur dans celle du temps t de la chute A en D (188), on en déduira ét=jgf. Soit ( le temps pour tomber de A en I \ on aura #= \gt* (181): donc t = ^ .
On démontrerait de même que les cordes Bl, Cl, 1)1, qui aboutissent à l'autre extrémité I du diamètre At , sont parcourues dans le même temps que ce diamètre, par des corps pesants, qui partent ensemble et du repos * des points B, C, 13. On voit d'ailleurs que le mobile A, partant du repos, arrivera à la tangente au point D , dans le plus petit temps possible, s'il suit le chemin AD.
190. On peut remarquer aussi que de toutes les droites meniet à°un point donné D sur ^horizontale BD et terminées à la même verticale BA , celle parcourue dans le moindre temps possible, par un point matériel pesant, fait avec V horizontale, un angle demi-droit ( fig. 5^ ). Car soit t le temps employé à parcourir
AD \ soit BD = a et BA = x : on aura AD a = a* + j?\ De
2 AD* plus , on a vu (188) que t zzz — 5 donc
gx 2a a + ix % —gf*x.
Résolvant cette équation par rapport à x , on verra que le minimum de t répond à a=\gf\ d'où j?=:a, et par suite l'angle ADB = 45°* Si x était donné et a variable , le minimum de t répondrait à a=.o;ce qui est d'ailleurs évident*
191. Le plan incliné est très-utile pour élever des fardeaux, ainsi que nous l'avons déjà vu (96). Par exemple, dans la construction d'une tour en pierres de taille, il faudrait beaucoup d'hommes pour élever les matériaux suivant une direction verticale ; au lieu qu'on les amène très-facilement en établissant des rampes assefc douces pour que les hommes, les chevaux et les voitures puissent les parcourir. Dans ce cas, les ouvriers évitent le frottement , en faisant tourner ou rouler la pierre autour de ses arêtes perpendiculaires à la pente AB (fig. 55), soit par h
force de leurs bras , soit en s'aidant de leviers : PefFort F, qui est ici parallèle à la longueur AB, n'a donc plus à vaincre que le poids relatif, qui sera le 100 e du poids absolu, si la hauteur h est ,1e. 100 e de la longueur l (95).
192. Mais la quantité de travail FI, pour conduire la pierre du point B au point A, sera absolument la même que la quantité de travail Ph, pour F élever verticalement de C en A; car à cause «te F l P J ; h 1 1 (95), on a ¥1= Vh. Le travail est donc le même dans les deux cas ; mais beaucoup plus facile par le plan incliné.
193. Considérons maintenant un corps de poids P, dont le centre de gravité , soumis à la seule action de la pesanteur, se meuve sans frottement, sur une courbe verticale quelconque ACE (fig. 58); menons Phorizontale EK et la verticale AK= H. La courbe est la somme d'une infinité d'élémens ou plans inclinés infiniment petits, tels que BC, CD, etc. ; et le travail de la pesanteur relative, pour vaincre Pinertie du corps le long du plan incliné CD, est égal au travail de la pesanteur absolue, pour faire parcourir au même corps la hauteur CG ou IF de ce plan (192); ce travail est donc P X IF. Par conséquent, le travail total suivant la longueur ACE de la courbe, est égal au travail PH suivant la hauteur verticale AR de cette courbe.
194. Comme les plans inclinés successifs, BC, CD, etc., forment une courbe continue ACE, sans aucun point de rebroussement ou de déviation brusque, il est clair que le corps n'éprouve ni choc ni aucune perte de vitesse, en passant &un plan incliné sur le voisin. Effectivement, puisque tous les plans inclinés se raccordent de manière à ne pouvoir distinguer leurs points de jonction , il est visible que le prolongement de BC fait avec CD un angle infiniment petit. Or, si Pon décompose la vitesse v du corps , au point C , en deux autres , Pune perpendiculaire à CD et détruite, et Pautre suivant CD ; celle-ci aura pour valeur v cos *. La vitesse perdue à la rencontre du plan CD sera donc v — - v cos » , ou v (î — cos a ), ou enfin iv sin"«. L'angle m étant infiniment petit, il en est de même de sin 4*, moindre que \m \ donc la vitesse perdue en passant d'un plan incliné sur le voisin, est un infiniment petit du second ordre, que Pon peut
représenter par — ; \ la vitesse totale perdue en parcourant tous
les plans inclinés qui composent la courbe ACE, est donc -v
X oo on — ; elle est par conséquent infiniment petite ou nulle.
D'après cela, puisque la vitesse acquise en parcourant an plan Incliné, est la 1 mente que délie acquiàe en tombant verticalement suivant la hauteur de ce plan (192)1 ^ s'ensuit que tout corps qui descend une courbe verticale, en vertu de la gravité, a toujours en uii poïitf Quelconque j la même vitesse que s'il était tombé tune hauteur égale à celle dé taré parcouru; et son mouvement né dépend point de la nature de là courbe, pourvu qu'elle n'oit pas de déviation brusque, ai clone on avait le moyen de mesurer la vitesse m point Ë , on en déduirait la hauteur verticale AR ou H, d'après là relation t? t^z igll.
ig5. C'est par suite de l'accélération de mouvement le long d'un plan incliné , ou d*une courbe verticale , qu'il est dangereux de courir en descendant une montagne un peu rapide. La vitesse acquise est quelquefois si considérable , qu'il n'est plus possible de se retenir \ et Ton est ainsi exposé à se briser contre Un obstacle , sans pouvoir l'éviter, ou à tomber dans un précipice, ou enfin à se meurtrir en roulant sur le terrain : c'est pour prévenir de pareils dangers qu'on enraie les voitures (128). Et on peut observer que là force du choc, contre un obstacle en E, pour un corps qui roule sans frottement, sur une courbe verticale AGE, est la même que s*û était tombé verticalement de la hauteur AR de cette courbe. Car les forces F et F' des chocs suivant ACE et Art, sont nécessairement comme les forces qui animent la masse du corps, et par suite comme les vitesses v et v* à l'instant du choc : or, ces vitesses sont égales ; donc aussi F=F r .
196. Maintenant, si l'on veut avoir égard au frottement, on observera que d'après les expériences de Coulomb, ce frottement ne dépend pas de la vitesse ; et que si elle n'est pas très-grande ou très-petite <, le coefficient y* du frottement vaudra à peu près ^. Désignant par b la base du plan incliné 4 dont h et l sont la hauteur et la longueur, la pression due à la pesanteur ^ du point
matériel., sera g Xyî et il viendra 1 pour là force du frottement
qui en résulte, f"=zfg Xy Cette force est toujours directement
opposée au mouvement ; si donc on suppose qu'on ait imprimé à la molécule, une vitesse initiale <?, pour la faire monter le plan incliné , les forcés J* et / teudr ont à diminuer cette vitesse \ et on aura, pour lé* équations du mouvement,
v~à*-{tf+f)€ et eszdt~i(g'+f)f.
Le corps montera jusqu'à ce que sa vitesse soit nulle ; d'où il redescendra, en partant du repos : les équations de son mouvement seront alors
V =:(g'-f)t et . = *(/-/')#*.
Lorsque le plan est horizontal, h=o et fl = Z; il vient donc, pour résoudre le problème des traîneaux, les deux équations suivantes , qui n'ont lieu que jusqu'à ce que la vitesse d'impulsion soit épuisée : •
vzz d — Jjft et ezzdt—ïfgt*.
Le maximum de *, dans ces équations, répond à tr rr o ; ce qui est visible d'ailleurs.
197. Chute dans l'aïr. Il faut d'abord établir deux lemmes, qui nous seront utiles dans la suite et que nous avons déjà employés en géométrie.
Soit S m la somme des puissances m me ' des n premiers nombres entiers; je dis qu'on aura toujours
s TO = ^T» ro+, + <»' n -(0.
D'abord en effectuant la multiplication par u — a, on a
(tt w +au m - , + aV n ~ a H[ [~ a m Xu— a) = u m+l — a m+ \
Soit x la valeur multipliée par u — a : comme u > a , il est clair que l'expression de x deviendra plus grande ou plus petite, suivant qu'on y remplacera a par u ou u par a. Mais alors cette expression sera la somme de m + 1 produits égaux à u m , dans le premier cas , et à a m , dans le second ; on aura donc x < (m + iji^etiXw + i) a m . Ce qui donne évidemment
Soit u — a = 1 , ou a = u — 1 ; d'après là valeur qu'on vient de trouver pour x, il est visible que la multiplication proposée deviendra
( w+1 )^^<(m+i)[ tt w -(u-i) m ]=u ro+, -(«— i) w+l ; d'où l'on tire :>
ll ro =^~[t 4 m+, — (w — x) w+, ] + <[ tt lw ~(tt^i)^].
Prenant successivement uz=. 1, 2, 3, 4* •••1 n y puis ajoutant entre elles les n valeurs résultantes et réduisant ; la somme sera la valeur (1) de S m , qu'il s'agissait d'obtenir.
Cette valeur est vraie encore lorsque m est un nombre frac* tionnaire , positif ou négatif, comme on s'en assure par la méthode des coefficiens indéterminés et la formule du binôme. Si n est infini, n m sera infiniment petit ou nul à l'égard de n OT+, $ de sorte que la valeur de S m se réduit alors à son premier terme,
198. Soit h un nombre donné et x une variable infiniment petite; et Von a h = nx et qu'on désigne par S (fu) la somme in n valeurs qu'on trouve en faisant suceeesivement u = 1, 2, 3, 4» ..., n, dans une Jonction numérique de la variable u, fonction désignée par fu; 1° tous les termes où F exposant de x surpassera de plusieurs unités celui de u , fourniront dans le résultat des quantités infiniment petites ou nulles, et ces termes devront talord. être négligés dans fu; a° tous les termes de la forme ax m+, u m
donneront h m *'. De sorte, par exemple, qu'on aura
S (ax m+t u m — bx m u m ^) = S (ax m+t u m ) = -i-A»+\
En effet , puisque dans la fonction proposée de u, on fait successivement u z=. 1, a, 3, 4i •••1 n et qu'on ajoute entre eux les n résultats, pour avoir un nombre invariable N, il s'ensuit que
Substituant les valeurs de S m et S m a , trouvées plus but (197), et réduisant d'après h = nx, il viendra
N = -4-- F 1 * + < axh m — h m - 1 — < &r>**->.
Les nombres a, b, h etm étant donnés, et la variable x étant infiniment petite, les trois derniers termes de la valeur de N sont infiniment petits eux-mêmes , et doivent être regardés comme nuls à l'égard du premier ; la somme demandée se réduit doue à son premier terme , qui est précisément la valeur obtenue en appliquant le principe énoncé : donc ce principe est exact; et nous pourrons en faire usage, sans qu'il en résulte aucune erreur.
199. Maintenant, considérons un corps pesant qui tombe du repot t et cherchons les équations de son mouvement , en ayant égard è,la résistance de l'air. Supposons que le corps proposé soit une sphère hoao* gêne} il est clair qu'à chaque instant, tous ses points auront des vite** égales et parallèles à celle du centre ; et qu'ainsi la résistance du mûm* qui s'exerce à la surface du mobile, passera constamment par ce (174). De sorte qu'il suffit de déterminer les équations du du centre de la sphère proposée.
Dans ce cas, la force accélératrice est la différence de deux «4(*t
agissant continuellement sur le mobile r e» sens directement opposés, savoir la pesanteur g et la résistance du milieu dans lequel le corps est en mouvement. Celle-ci est une force, variable qui dépend- de la vitesse du mobile, et qu'on regarde généralement comme proportionnelle au. carré de cette vitesse. Nous la représenterons par Av*, k étant un coefficient constant pour un même corps et un même milieu , mais variable pour la forme du corps, sa densité et celle du+milieu. Si le corps tombait d'une grande hauteur, k varierait en raison du changement de densité des couches de l'atmosphère; mais dans une petite hauteur, on peut regarder l'air comme un fluide homogène, et considérer k comme une quantité constante, aussi bien que la mesure g de la pesanteur. Ainsi la force accélératrice a», qui sollicite le corps à tomber, sera, après le temps t f • =# — kv % .
On peut toujours concevoir que le temps t soit partagé en un nombre infini a d'intervalles infiniment petits, égaux ou* inégaux, mais tels que pendant la durée de chacun, la vitesse soit augmentée de là même quantité constante et infiniment petite x ; la vitesse au bout des u* et /»" intervalles, sera donc ux et nx, et on aura v = /ix. Si donc on désigne par tu la durée du «• intervalle; la force accélératrice à la fin de t m aura pour 4 mesure g — ktfx* (i56). D'un autre côté, x étant la vitesse produite pendant le temps infiniment petit t u \ si après le temps qui précède, la force e devient tout à coup constante, elle continuera à imprimer à là fin de chaque élément de temps t u là même vitesse x; donc la vitesse impr** mée pendant l'unité de temps, sera x prise autant de fois que la force aura donné d'impulsions, c'est-à-dire autant de fois que l'unité de temps contiendra t u \ cette vitesse sera par conséquent x lt u . Et comme la force accélératrice e a aussi pour mesure cette vitesse (i56), il vient x l ^=s g — AuV - r d'où. en. posant , pour abréger, k =3 rg y on aura
gtfc = x (1 — nfx*)~*.
Soit e u l'espace décrit pendant le temps t u infiniment petit : puisqu'alors la vitesse, c'est-à-dire l'espace que décrirait le corps pendant l'unité de temps, si la force cessait d'agir avant, est ax; il- est clair que l'espace e u décrit pendant le temps infiniment petit t u sera e u p=zuxt u . On aura pan conséquent ^ ^ (l ^^ y^
Développant la puissance — 1, soit par la division, soit par la formule du binôme , on trouvera
gt u — x-\-ru*x +r*^x 5 +r 3 tt 6 :c 7 -]retc M
#*„,= «x* -|- ru*x* + r*u s x 6 + r*iûx 9 + etc.
Prenant successivement u=;i, *, 3, h, ..., n, dans chacune de ces deux égalités, et ajoutant entre elles les n identités fournies par chacune, le multiplicateur de g dans la première somme, sera évidemment la valeur du temps t du mouvement, et celui de g dans la seconde, exprimera l'espace total e décrit. Observant donc que v = nx efc que
on trouvera m-j-i
gt = v + Jrv s + ^rV + frV + ^A 9 + etc. ,
En supposant k nul ou r=o, ces formules sont les équations du mouvement d'un corps pesant qui tombe du repos dans le vide, comme cela doit être.
Multipliant la première formule par a j/r et la seconde par — ar, on verra aisément que la première sera le développement du logarithme népérien de (l -f- v \/r} l (1 — v l/V), tandis que la seconde sera celui de 1 — rv*\ on aura donc, pour les équations du mouvement cherché, et en substituant la valeur de r,
On voit , par la première de ces équations ., que plus le temps 1 est
grand , plus le dénominateur g — v vgk est petit, et que si t «st infini, ce dénominateur devra être nul ; ce qui donnera la vitesse v constante. Ainsi le mouvement d'un corps pesant qui tombe dans un fluide homogène, tend continuellement à devenir uniforme ; mais à la rigueur il s'y parviendra jamais, parce qu'il faudrait pour cela «m temps t infini.
La résistance de Pair étant la même pour tontes fes sphères de même volume ,, tandis <jue le poids augmente avec là deasii£; tm. voit potnqu oi la vitesse finale est plus grande poux la sphère la phxs dense.
!K>o, Présentement, considérons rave sphère homogène lancée verftcalement de bas en haut, dans Voir. Ici la pesasteur et la Tésistntcetle l'air agissent dans le même sens, directement oppose à celui de la vitesse initiale a. Conservant les dénominations du précédent problème, la force accélératrice g -f- Au a x a , qui a lieu pendant le temps t u infiniment petit, donnerait t u ~u(g-\-ku 2 x*) mmi ; mais comme cette force agit en sens Contraire de l'impulsion initiale, et qu'ainsi la vitesse ux doit être nega~ tive, aussi bien que ar, il est clair qu'il faut écrire, k=zgr et
3 t u = A u — *(ï + nftt»)-\
A M étant une quantité infiniment petite, qui dépend de la vitesse imprimée a» On aura de même
ge u =zB u — t«»(t + #iiV)- , 5 parce que l'espace e u décrit pendant le temps infiniment petit 1^, est la différence entre l'espace infiniment petit -B u que le corps parcourrait en
vertu de l'impulsion , et celui qu'il décrirait en sens contraire par V de la force accélératrice.
Opérant comme plus haut, on trouvera
C 167 ) gt'zz.c — [y — \rv -\- z r *v — ^r 3 v 7 + etc.] , ge =5 c> - (>»— frv* + JrV.— frV + etc.] ,
formules dans lesquelles c et c* sont deux constantes , fonctions de la vi- .tesse initiale a , et qui se déterminent par les conditions particulière* du •problème. Si la sphère, par exemple, «était lancée dans le vide, k et r seraient nuls ; et comme r- = o, donne e = o, d'où vz=za^ on aurait c = a et c'= £a*. Ainsi, lorsque le corps est lance' verticalement de bas en haut, dans le vide, les deux formules proposées donnent, comme au
»° >8i, vz=za—gl et e — at—\gf.
Pour simplifier les expressions de gt et #<?, multiplions la première par J/r et la seconde par ir; alors les séries entre crochets exprimeront, la première Tare « dont la tangente vaut ul/V, et la seconde le logarithme népérien de i -f- ro % \ on aura donc à la fois
tang#=zv|/V, gt]/rz=cl/r — « et *gerz=:*&r — l(i+ri/ 1 ).
Dans 'ces formules, pour déterminer les constantes c et^, on observe que * = o, donne e = oouii==i, puis tang* f :aui>J/r,.cl / /r= a' et acVacs/fi-f-ra*). De sorte que les équations du mouvement proposé r se réduisent finalement *
k=igr, tang*±zvl/r^ Vdsa^JT^.a\/r A
U est ckir que Ja sphère montera jusqu'à <ce que «a vitesse ,v soit «nulle ; et alors on aura, pour le temps t f de l'ascension et JU fauteur .A à la^uelje le mobile se sera élevé,
/*=-£- et * = — l(i+ra?}.
Parvenu à cette hauteur, le corps retombera du repos, d'après les équations du précédent problème; et arrivé au point d'où il a été lancé, ce qui suppose e=ft, sa vitesse a! ne sera plus celle a imprimée, comme on doit bien s'y attendre : cette vitesse a' et le temps t" de la .chute auront alors pour valeurs, réductions fiâtes,
Si le mobile est un boulet lancé dans l'air par un canon vertical, on pourra , malgré k rapidité de.oe ^mouvement , mesuter avec quelque précision , le .temps ti de la montée et rfle la descende ; d'où t r «jf- t lf = B. Et si l'on connaît en pu,tte h vtfesse * de projection, J!e!qua$iop précédente, après y avoir substitué les expressions de r et i", servir» à déterminer la valeur de. A:, relativement au boulet proposé et à Fétat de l'air, au moment de l'expérience.'
La méthode que nous venons d'employer, servirait aussi à trouver les équations. du mouvement, lorsque k sphère reçoit .une .vitesse initiale a y communiquée par une impulsion verticale de -haut en. bas*
Du Mouvement d'un Point en Ligne courbe.
201 . Le parallélogramme des vitesses conduit à la notion du mouvement curviligne. Soit AB la direction d'une force agissant par une impulsion sur le mobile A (fig. 5g) : ce point décrira uniformément la droite AB , si aucune cause n'altère son mouvement. Mais supposons que parvenu en B, ce point matériel A soit soumis à Faction d'une autre force, qui lui communique, dans le sens BD, une impulsion : en formant le parallélogramme BCED, sur les droites BC et BD, proportionnelles aux vitesses imprimées , il est clair que le corps décrira la diagonale BE. Si de même la seconde force donne une nouvelle impulsion suivant EG, le corps parcourra la diagonale EF ; et ainsi de suite On voit donc qu'il décrira le polygone ABEFLN. Mais si l'on suppose que les intervalles qui séparent les diverses impulsions de la seconde force, soient plus courts, le polygone aura de plus petits côtés. De sorte que le mobile décrira en effet une courbe, si la seconde force agit sans interruption. La courbe sera plane ou à double courbure , suivant que les actions successives de la seconde force seront toutes ou non dans un même plan avec l'impulsion de la première.
Il suit de là que le mobile qui décrit le polygone ABEFLN, doit continuer à décrire uniformément le dernier côté LN, si aucune force n'agit désormais sur ce mobile. Donc lorsqu'un mobile décrit une courbe , si à un instant quelconque , l'action des puissances cesse tout à coup , le mobile doit parcourir uniformément la tangente à cette courbe, au point où les forces ont cessé d'agir sur lui ; car on peut regarder chaque élément de la courbe comme le côté infiniment petit d'un polygone. Ainsi le corps change à chaque instant la direction de son mouvement, qui est celle de la tangente.
Dans le mouvement curviligne, la mtene du mobile à un instant quelconque, est celle du mouvement uniforme qui aurait lieu suivant la tangente, si à cet instant, les causes qui infléchissent et font varier le mouvement, venaient à cesser leur action. On peut avoir cette vitesse en un point quelconque de la courbe, considérée comme ligne polygonale, en divisant la longueur infiniment petite du côté que le mobile décrit alors, par le temps infiniment petit qu'il emploie a le décrire ( 1 55).
( lJ B0 )
102, On appelle projectile tout corps lancé suivant une direction quelconque , et qui obéit en même temps à la pesanteur. L'espace que le corps parcourt est une courbe plane verticale , que Ton nomme trajectoire.
Cherchons le mouvement d'un projectile dans le vide. Soit ADC la trajectoire décrite par un corne pesant, tel qu'une bombe, lancé du point A suivant la droite AK ( fig. 60). Pour trouver la nature de cette courbe, menons l'horizontale AC ; soit » l'angle KAC, v la vitesse imprimée et h la hauteur due à cette vitesse ; on aura d'abord v*=2gh. Soit M le lieu du mobile au bout du temps quelconque *, x et y les coordonnées rectangles AP et PM. Concevons qu'au moment où le projectile est lance, Sa vitesse v soit décomposée en deux autres, l'une horizontale, qui aura pour valeur v cos », et l'autre verticale exprimée par v sin ». En vertu de la première, l'espace AP ou x aura été parcouru uniformément, et on
luw XZIZVt COS 01.
Comme MP ou y est la hauteur à laquelle le corps s'est élevé pendant le temps t, en vertu de la vitesse verticale v sin », on aura, d'après ce qui précède (180) , j. — vt sm „ __ |^«/
Eliminant t entre cette équation et la précédente, puis observant que v*=3 2gh) on trouvera, pour l'équation cherchée de la trajectoire,
4^* cos*» = 4^ rsm * cos* — x* ...(1).
Résolvant cette équation par rapport à x, il viendra
, x = ik sin » cos » =t= y^h cos* » ( h sin* » — jr).
Cette valeur de x fait voir, i° que la courbe est symétrique par rapport à un axe vertical DE, éloigné de l'origine A de la quantité AE=3À sin » cos »; car une même valeur dey répond aux deux valeurs de x, dont les extrémités sont également éloignées de cet axe ; a que la plus grande valeur de x, c'est-à-dire la portée AC, répondant à jr = o, on a
AG = £h sln " cos " = *h sin a» ; S* que la plus grande élévation du projectile, ou la plus grande valeur que j* puisse avoir pour que x soit réel, est h sin 9 ». Comme cette valeur répond à x = nh sin » cos » =s JAC = AE , elle est représentée par DE r= h sin 3 ».
La première valeur de Y amplitude AC reste la même en y changeant » en 90 — » ; ainsi on obtient la même portée avec deux angles coinplémens l'un de l'autre, ou également éloignés d'un demi-angle droit.
La seconde valeur de AC fait voir que, la vitesse imprimée ou la charge de la poudre restant la même, la portée est la plus grande possible, lorsque l'angle de projection m est la moitié d'un droit. Et si nous représentons par P la portée sous cet angle, nous aurons P = 3&. Substituant cette valeur dans celle de AC, toutes lés amplitudes avec une même charge seront imprimées au moyen de la plus grande P, et données par l'équation AC = P sin a».
Si nous voulons connaître l'angle de projection que Ton doit employer pour atteindre un but dont la position est connue ; nous diviserons l'équation (i) par cos a «, puis à cause de a s= 1 -f- tang 3 *, nous trou-
