DE DEGRADATION
successivement les autres , seront perspectivement de même dimension ou de même mesure , et enfin que la largeur ou hauteur totale depuis la base , sera perspective ment de six mètres.
On sent bien , par la construction de ces échelles, que les lignes comme B V, c V, étant tirées au point de vue , une seule ligne B d menée au point de distance , donne autant de sections qu’il en faut pour mener les parallèles qui forment l’échelle de dégradation, et que l’autre diagonale qui donnerait des sections de même hauteur, ne serait utile que dans le cas où l’on n’aurait pas la facilite de mener des parallèles , par le secours d’une règle immobile et d’une équerre que l’on fait glisser dessus.
Il résulte que l’on a le moyen de connaître à quelle distance de la base est situé un objet dans l’enfoncement du tableau, et sa dégradation en longueur et en largeur , relativement à sa distance originale du tableau.
Par exemple , si l’on voulait avoir la position perspective d’un point situé géométralement à 6 mètres de la base du tableau comme en Z , on élèverait par ce point Z une perpendiculaire Z G à la base , et du
36 DKS BCUBLLKS.
point de rencontre en C avec cette base ^ on tirerait la ligne C V ; ensuite on porterait sut la base ( prolongée s’il était nécessaire ) à 'partir dfu point C, 6 mètres , et du point B , terme de cette mesure , on tirerait au point de distance la ligne B d qui donnerait la section 6 pour la hauteur de Tenfoncenient perspectif cherché.
De plus y si la ligne Z L était considérée comme un objet dont on voulût avoir la dégradation sur ce même plan d’enfoncement 6 , on porterait la longueur originale de cet objet Z L , sur la base de G en et on tirerait la ligne i V, et après la parallèle 11.6 qui donnerait à cette hauteur d’enfoncement la dégradation en longueur de l’objet Z L : il en serait de même de toute autre longueur , largeur et hauteur perspective.
Quant aux échelles de dégradation des^ lignes perpendiculaires au plan horizontal, voici comment on pourra opérer : soit ( fig.
10 ) le tableau A B G D , rhorizon é rf, le point de vue V,,el le point de distance d.
,Si l’on a les distances perspectives 1,2, 5 , 4 , 5 , et que Ton veuille connaître la dégradation perspective de la perpendiculaire originale E F ( donnée d’une gran-
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DE DÉCRADATlOn.
cleur quelconque sur chacun des plans de niveau z 3^ etc ; du point de vue
on tirera les lignes E V, F V, l’une appelée ligue de base et l’autre ligne d’élévation ; ensuite on prolongera les plans x\. , jr Z ^ jusqu’à la rencontre de la ligne de base E V; et de leurs points de section e , g, i y etc. avec cette ligne, on mènera les parallèles efy ghy ik à la perpendiculaire E F jusqu’à la rencontre de la ligne d’élévation F V, ce qui donnera sur chaque section correspondante à son plan , la dégradation de la ligne originale E F ; par exemple , ef sera la hauteur perspective de la ligne E F sur le plan horizontal x i ; et g h celle du plan j 2; ainsi des autres.
On aurait pu, de tout autre point de l'horizon que de celui du point de vue , trouver la même dégradation ; car si d’un point quelconque comme p, on tire les lignes E/> , Fp, que l’on prolonge les plans x 1 y 2 , etc. jusqu’à leur rencontré de la ligne de base E ^ , et que l’on achève ensuite l’opération comme elle est décrite plus haut, ou obtiendra qt:=cf', il en serait de même de toutes les autres perpendiculaires qui correspondraient à un même plan.
On peut faire usage des méthodes que l’on vient d’expliquer , pour former les
Perspective. ' S
38 DSS ÉCiIEtl.SS >
échelles de dégradation lors même que Ton ne fait que le croquis , ou l’esquisse du sujet ou d’un tableau quelconque, en faisant une espèce de devis estimatif des di— mensions , des positions et des distances de chaque point des objets originaux , et ensuite en les cotant sur la base et sur le bord inférieur du tableau , savoir :
1®, Les longueurs originales sur la base du tableau ,
2®. Les hauteurs ou largeurs verticales , sur une des parties inférieures des bords du tableau : soit par exemple ( fîg. 13)
A B C D , le tableau disposé comme à l’ordinaire , le point i et le point g , situés sur la base du tableau B C , l’un et l’autre donnés de position originale , dont on veut trouver la position perspective dans le tableau , les élévations perpendiculaires relatives à des élévations originales aussi déterminées.
1®. On divisera le bord inférieur du côté D C du tableau en parties perspectivement égales, que Ton marquera d’un petit tiait accompagné d’un numéro, comme pn le voit dans cet exemple :1, 2, 3,4, 8,6, etc. ; on se servira pour cette division du procédé suivant :
Du point E qui est à la distance d’uh
BE DS&RAOATION. 3^
mètre, d’im pied , d’un pouce ou etc. , de l’extrémité C' delà base du tableau, ou tirera au point de distance la droite E d ^ du point C , sommet de l’angle de la base du tableau , on tirera au point de vue la droite C V; par le point où cette droite C V rencontre Ec^, on conduira une parallèle à la ligne de terre qui déterminera , sur le bord vertical du tableau CD, l’intersection \ ; par ce point 1 on tirera une nouvelle droite au point de vue^ qui rencontrera de nouveau Et/; par le point d’intersection on conduira une nouvelle j)arallèle à la ligne de terre qui donnera le point 2 ; de ce points on tirera encore une droite au point de vue qui donnera une nouvelle section de la droite E ; on conduira encore par ,ce point de section , une parallèle à la ligne de terre qui déterminera le point 5, et ainsi de suite pour les autres points 4,5, 6,7, etc.
Ce procédé est basé sur ce qu’on sait déjà , que toutes les droites perpendiculaires à la base du tableau concourent au point de vue , tandis que celles qui font avec cette base des angles demi-droits, concourent au point de distance; il faut seidementremarqucr que, dans cette opération, on a pris le point de distance pour le
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DBS ÉCHELLES
point de vue, et le point de vue pour le point de distance; ce qui ne peut que donner le même résultat , puisque la distance entre ces points n’a point varié.
Cela fait , si l’on suppose que le point i est situé à 4 mètres d’enfoncement , on tirera au point de vue la ligne i V, et du n° 4 ou mènera parallèlement à la base la ligne 4 l qui , par sa rencontre avec * V, donnera la section l pour le point d’enfoncement perspectif ; on fera la même opération pour le point g supposé à deux mètres d’enfoncement , et le point m sera le point cberché. -
On trouverait de la même manière tonales points originaux qui seraient placés sur la base du tableau , prolongée même de part et d’autre s’il était nécessaire ; quant aux lignes perpendiculaires au plan nori— zontal , on cotera leurs diverses élévations originales sur l’autre côté du tableau ^ comme on le voit aux points K , L , R , à compter depuis le point B de la base ; et après avoir tiré BV, K V, L V, etc. , on prolongera les horizontales , savoir ; 4 l jusqu’en^, et 2 i» jusqu’en n; des points ^ et re on élève ensuite les perpendiculaires- ]usqu’à la rencontre de KV, et l’on obtient les élévations n t, rto, nr, et q x , q s ^
SI SÉGBASATION.
q P perspectivement égales aux élévations originales BR, B L , B K , etc.
On doit bien sentir que si on avait un point d’élévation original situe en b, hauteur de l’horizon , sa hauteur perspective serait celle du niveau de l’horizon , parce que , de quelque manière qu’une ligne de niveau soit dirigée à l’égard de l’œil , elle reste de niveau ; qu’il n’j a que les lignes qui sont au-dessus ou au-dessous de l’horizon qui paraissent toujours inclinées.
Je me plais à reconnaître que c’est à l’excellent traité de Lespinasse que j’ai emprunté ces détails sur la construction des • échelles de dégradation , et j’engage les lecteurs .qui voudraient approfondir la science de la Perspective , à consulter les diflerens traités qu’il a publiés ; les artistes y trouveront en outre des conseils qu’ils feront toujours bien de suivre.
Nous sommes maintenant en état de résoudre des questions de perspective un peu plus difHciles que celles que nous avons eu occasion de voir jusqu’ici ; nous em— ploîrons à l’avenir celles des méthodes données qui nous paraîtront plus commodes pour les sujets que nous aurons à traiter.
Preblème.
Mettre en perspective un escalier vu tie profil. I
On marquera d’abord {fig- ) sur la ligne de terre les largeurs des marches A B, B C, C D que nous supposons être de deux décimètres chacune. Après avoir tiré la ligne D au point de vue et avoir porté de D en F sur la ligne de terre la longueur réelle des marches que nous ferons de douze décimètres , on tirera une droite de F au point de distance qui coupera D en rf; par ce point rf, on conduira d E parallèle à la ligne de terre.
Des points A B C on tirera au point de vue des droites jusqu’à leur rencontre avec E d; on aura ainsi la perspective de la la base de l’escdlier.
Pour avoir la hauteur qu’on suppose d’un décimètre pour chaque marche , on élèvera en A une perpendiculaire à la ligne de terre sur laquelle on marquera les points 1 , â , 3, 4 J chaque partie A 1, 1 2, 2 5, 3 4 , étant égale à la moitié de A B qui , comme on sait , est de deux décimètres ; par B , C , D , on élèvera aussi des perpendiculaires à la ligne de terre , puis de if on tirera une parallèle à cette dernière
jusqu’à sa rencontre avec la verticale en D; de 2 on fera de même jusqu’à la rencontre de la verticale en C; de même pour jus* qu’à la verticale en B.
Des points où A V, B V, C V, D V rencpn-** trent E c?, on élèvera aussi des perpendiculaires à la ligne de terre ; leur hauteur sera déterminée par leur intersection avec les droites tirées de tous les angles du profil au point de vue , il ne restera plus qu’à joindre ces points par des droites ainsi que la figure l’indique assez. La parallèle ç e à, la ligne de terre menée ^u point e détprmipe la largeur, du palier.
Problème ^ .
Mettre en perspective un escalier vu de face.
Après avoir formé le plan {fig- 15) et avoir déterminé la profondeur de la pre*mière marche sur le plan du tableau 1® en portant de F en A la distance F A égale à l’éloignement de la première marche dans le géométral , de F en B la distance géo— métrale F B de la seconde , de F en G la distance géométrale F G de la. troisième et ainsi de suite ; 2® en tirant des points D , G , B , A des droites au point distance^
je formerai l’échelle des hauteurs que je diviserai eu autant de parties égales Fl,, 12,23, etc. , qu’il y aura de marches ; des points G F I 2 5 4 je tirerai des droites au point de vue V qui servira à la fois de
Ï ioint de vue et de point d’élévation, et par es intersections a, c , de la ligne de base F V avec les droites partant de A , 6, G, D, pour aller au point de distance, je mènerai 1° des parallèles à la ligne de terre af^hg^ch^ etc. , jusqu’à leur rencontre en y, g^ i, etc. avec G V ; 2® des
Ï ierpendiculaires à la ligne de terre par tous es points a , à , c , </ , y, g , h, etc.
La première ligne partant de 1, tirée au point d’élévation , coupera la perpendiculaire élevée sur le point a en / , et en tirant une parallèle de ce point d’intersection jusqu’à la bgne élevee sur le point y, j’aurai la hauteur de la première marche ; je trouverai la profondeur de cette marche par le prolongement de la ligne I qui coupera la perpendiculaire élevée sur le point b au point q.
La deuxième marche sera élevée par la distance du point q au point /», et sa profondeur fixée de m en r.
La troisième aura sa hauteur de r en n et sa profondeur de n en s.
APPLICATIOJIS. 45
La quatrième , servant de palier , sera élevée de j en o et ‘sa profondeur de o en p.
Én tirant de tous ces points des parallèles jusqu’à la rencontre des perpendiculaires élevées sur les points g , h , i y k, on aura les points correspondans de hauteur et de profondeur sur la ligne G V.
Problème.
Connaissant toutes les dimensions d’une chambre , et celles de chacune de ses parties , le point duquel elle est vue et la hauteur de l’œil du spectateur , représenter cette chambre en perspective sur le tableau L Z {fig> 16 ).
Tracez, sur le géoniétral, par le moyen d’une échelle, le plan du plancher inférieur du salon proposé ; et après avoir déterminé sur l’horizontale H O le point principal P et la distance P d de l’œil au tableau, tracez sur ce tableau la perspective A B C D du plancher.
Prenez ensuite sur la ligne de terre L T les parties A e et B / égales chacune à l’épaisseur des murailles , c’est-à-dire contenant autant de parties de l’échelle dont • on s’est servi pour faire le plan de ces par-
lies que ces parties contiennent de fois la mesure avec laquelle on les a mesurées ; des points e , A B et y^de cette ligne , élevez à cette même ligne les perpendiculaires indéfinies c Ah, B 1, et f k; faites la première et la dernière de ces perpendiculaires égales chacune à la hauteur de ces mêmes murailles ; de l’extrémité supérieure g de la première , tirez à l’extrémité supérieure k de la dernière, la ligne droite ^ A- et du point principal C P les droites P A P, aux points h et i.
Enfin , menez par les points D et C les parallèles D E et C F aux perpendiculaires précédentes , et les figures c ^ E D, D E F C et C F k f seront les représentations des murailles du salon proposé.
2®. Si vous supposez qu’il y ait une porte ilans la muraille dont le rectangle D F est la projection , vous prendrez pour la représenter sur la perpendiculaire B i les parties B ^ B 2 qui soient égales l’une à la hauteur de cette porte et l’autre à la hauteur de sop chambranle ; vous prendrez de même sur la ligne L T les parties A fil, m n , ml , et no dont la première est la distance de cette même porte à la muraille . représentée par le trapèze  £ , la seconde à sa largeur, et chacune des deux deriiiè-
JU>i‘LlCATIOIfS. ♦7
res à la largeur des monlans de son chambranle ; vous tirerez ensuite du point principal P aux points J zl m net o les droites Pj^*, P Z, P / , P m, P n, et P o; enfin par les points a , 6, c et q auxquelles ces quatre dernières lignes couperont les lignes D C, vous mènerez les parallèles a 1, bi,c’SetqA à la perpendiculaire C F ; vous ferez les parties a \ et q ^ égales cha-^ cune à la partie c 5 de la ligne C F, et les parallèles é 2 et c 5 égales chacune à la partie c 6 de la même ligne CF;- vou$ tirerez une droite du point 1 au point 4 et une autre droite du point 2 .m point 3 ; et le rectangle a 4 , que ces lignes formeront avec les parallèles précédentes , sera la représentation de la porte que l’on suppose être dans la muraille qui est en face du spectateur.
3”. Enfin , s’il y a aussi une portejdans.
la muraille dont le trapèze A £ est la pror
j 'ection , prenez , pour la représenter sur a perpendiculaire A h le-s partie; A n et A V , dont l’une soit égale à la hauteur de cette porte , et l’autre à celle de sqn chàra t branle, et du point principal P tirez aux points n et v les lignes droites P n et P r; prenez de meme sur la ligne de terre L T les parties Ar, r / , j r et // , la première
APPLlCATlOnS.
fx9
égale à la distance de cette même porte au point A ; la seconde à sa largeur , et chacune des deux autres à la largeur des poteaux de son chambranle ; tirez ensuite du point de distance d aux points s, r, t, Ij, les lignes droites Is , dr, dt et dl. Enfin, par chaque point 1 , 2 , 3,4, auxquels ces lignes couperont la ligne A D , menez une parallèle à la perpendiculaire A A ; et le trapèze 1 x , que ces parallèles formeront avec les lignes P n et P y , sera la projection de cette seconde porte.
A l’égard des fenêtres, on les représente de la même manière dont on vient de voir qu’il faut représenter les portes ; et si elles sont élevées au-dessus du plancher, on trace la projection de leur appui comme on vient de voir qu’il faut tracer celles du dessus des portes.
On a représenté sur la ligne de terre L T, l’un des côtés du plancher au salon proposé, parce que l’on a supposé le tableau précisément à la placé que doit occuper la muraille antérieure de la chambre ; mais si Ton veut qu’elle paraisse être à une certaine distance du tableau , on concevra facilement comment il faudra s’y prendre, si l’on a bien compris les problèmes préeédens.
APPLK.ATJOKS.. 49
Les notions de perspective que nous avons présentées pourront , avec quelque attention de la part du lecteur, lui suggérer les méthodes à suivre pour parvenir à représenter les figures ou les ensembles de figures quelconques ; mais il est une application importante de la Perspective négligée jusqu’ici dans tous les Traités que j’ai pu consulter, je veux parler des projections stéréographiques de ia sphère ; ces projections ne sont autre chose que des représentations du globe terrestre ou des parties de sa surface soumises aux lois ordinaires de la perspective, et dont l’utilité nous fait un devoir de parler ici.
La projection stéréographique est surtout employée pour représenter un hémisphère tout entier ; nous allons donner quelques-unes des méthodes qui conduisent à ce but. Pour représenter un hémisphère avec ses méridiens et ses parallèles , on peut supposer l’œil , 1° à l’un des pôles de la terre, alors la projection est dite polaire ; 2® sur l’équateur, la projection prend dans ce cas le nom de projection méridienne 3° l’œil peut être placé entre le ]iôle et l'équateur, et la projection est dite horizontale ; on démontre , mn'.s nous oinellons
à dessein la démonstration , qui ne serait point comprise par la plupart de nos leo leurs , on démontre , disons-nous { que les projections stéréographiques des cercles do la sphère , rœil étant à sa surface , sont elles-mêmes des cercles ou des droites . On démontre encore que les angles sous lesquels se coupent les méridiens et les parallèles à la surface du globe , et leurs ^ projections dans le tableau sont égaux.
Cela posé , nous allons donner immédiatement les moyens abrégés de tracer ces projections perspectives qu'on pourrait , à la rigueur, déduire , comme nous avons avons fait jusqu’ici , d’un géométral et d’une élévation.
De la Projection polaire.
En supposant l'œil à l'un des pôles , Ip tableau sera le plan de l’équateur, et il est évident: {fg. 17 )
1®. Que les projections des méridiens seront des droites et 2® celles des cercles parallèles à l’équateur et situés dans l’hémisphère opposé au point de vue des qerçl,es concentriques.
SE LA SPuÈrK. Sr
Projections des Méridiens.
Soit M È* le rayon de la sphère , et M O L 9 un des grands cercles , le centre V P étant pris pour le point de vue placé au pôle , la circonférence M L O 9 sera la projection de l’équateur. Or , comme les
F lans des méridiens se coupent tous suivant axe de la terre qui est perpendiculaire à M L O 9 , la projection du premier méridien pourra être représentée par le diamètre ML.
Maintenant , si l’on divise la demi-circonférence M 9 L en 18 parties égales , et que , par tous les points de division , on mène les diamètres (1) (10) , (2) (20) , (5) (30) , ils seront les projections des méridiens correspondons aux longitudes M 1 , M 2 , M 3 , etc. La différence de longitude de deux méridiens consécutifs sera donc de 10 degrés , puisque l’arc M 9 , qui est le quadrant , est divisé en 9 parties égales.
Projection des Parallèles.
Pour avoir les projectiéns des parallèles à l’équateur, espacés de 10 en 10 degrés, on élèvera le diamètre O 9 perpendiculaire
à M L , et l’on tirera les droites O 1 , 0 2, 03, 04, etc. , qui couperont respectivement M L aux points i,i' i" ; puis , du point P comme, centre , et avec les rayons P « , P , P i", on décrira des cercles qui seront les projections cherchées. On voit bien que O est pris ici pour la position de l’çeil et que les points sont les lieux perspectifs des points cor— respoudans appartenant aux parallèles des dixième ,' vingtième et trentième degrés.
Car, si l’on conçoit que le cercle M ô L 9 tourne autour du diamètre M L , jusqu’à ce qu’il fasse un angle droit avec le plan de la figure , le rayon P 0 sera perpendiculaire à ce plan , le point 9 sera le pôle opposé à Toeil O , et les arcs M 1 , M 2 , M 3 , seront les latitudes respectives des parallèles à l’équateur ; par conséquent les traces M , i , i ' , i ' , des rayons visuels O M , O 1 ,02, seront sur le plan perspectif la représentation des points M , (1),(2). ■ ^ '
Voilà comment on construit la projection polaire d’un hémisphère entier ; il ne s’agit plus , pour donner une idée de cet hémisphère , que d’y marquer la position des lieux , d’après leur longitude et leur latitude connues , d’exprimer le contour des
