AB. Q

R = P— Q=:o, AC = ^.

Ceci indique que la seconde composante de AP devrait être nulle et placée sur le prolongement de BA a une distance inûnie; conditions qui ne sauraient avoir aucune application physique réelle. On doit donc en conclure que, dans le cas particulier de l'égalité des deux forces parallèles agissant en sens contraires , leur réduction à une seule est physiquement impossible ; et par conséquent on ne peut pas leur faire équilibré avec une seule force, quelque valeur qu'on lui donne, et de quelque manière qu'on veuille l'appliquer.

Toutefois ce résultat est- trop singulierlst trop important pour ne pas en chercher une démonstration directe; car il pourrait laisser quelque doute si nous en avions, pour unique preuve , que le raisonnement qui nous a réussi en général se trouve en défaut dans ce cas parti* culier. La démonstration suivante lève à cet égard toute incertitude.

Supposons que les deux forces P et Q, parallèles, égales et de. sens contraires, fig. 2 5, puissent être tenues en équilibre par uile certaine force unique R, appliquée en un certain point C de la droite AB,et agissant suivant la direction quelconque CR, située dans le plan des deux forces ou hors de ce plan. Alors , par la raison de symétrie, il devra être également possible d'établir aussi l'équilibre au moyen d'une force CR' ou R', égale à R, appliquée au point G symétrique avec C , et dirigée parallè^ lement à R , dans le sens CH' opposé à GR.

DÉ STATIQUE. 4i

G)nceTez qu'ayant appliqué cette seconde résultante, TOUS la détruisiez aussitôt par une force égale et con* traire GK" appliquée au même point G' et dirigée dans le sens opposé. Maintenant, puisque^ par supposition , l'équilibre existait entre les trois forces P,Q, et R appliquée en C, il existera encore entre ces mêmes forces et les deux dernières appliquées en C, puisque celles-ci se détruisent individuellement. Mars, en considérant le .système des cinq forces sous un autre aspect, il est facile de voir que cet équilibre est impossible; car la force CR' faisant indiTiduellement équilibre aux forces AP,BQ, il faudrait que lés deux autres forces restantes CR, CK" se fissent aussi niutuellemeut équilibre entre elles, ce qui est impossible, puisqu'elles sont parallèles et dirigées dans le même sens. Conséquemment, l'bypothèse dont nous sommes partis est absurde ; c'est-à-dire que l'on ne peut piio faire équilibre aux forces Pet'Q, à l'aide d'une seule force parallèle ou non à l'une d'elles, dans le cas où la symétrie de leurs actions subsiste, c'està-dire lorsqu'elles sont égales et de sens opposés.

Maintenant, si l'on veut comprendre comment il se fait que, dans ce cas, la réduction des deux forces P et Q à une seule est impossible , il n'y qu'à essayer de leur appliquer, fig. 26, le mode de composition employé dans le cas général, § 23 , iig. i3. Car alors^ quand on a appliqué les forces auxiliaires opposées et égales AM , BN , la symétrie de la figure fait que les résultantes partielles AS, BT, deviennent nécessairement parallèles entre elles; d'où il suit que l'on ne peut plus les composer en une seule, puisque l'on ne peut plus, comme dans le cas général , les réunir à leur point de concours; On voit , en outre, qu'elles sont égales et de sens contraires, comme les forces primitives dont elles dérivent, ce qui reproduit la même difficulté.

dIfimition.

34. Ce système de deux forces parallèles , égales et de sens contraires, appliquées aux extrémités d'une droite rigide, se présente sans cesse dans les problèmes de Statique ; c'est pourquoi il est utile d'en fixer particulièrement les propriétés , et de les désigner par une dénomination spéciale. M. Poinsot, qui en a le premier fait remarquer l'usage, lui a donné celle de couple ^ que nous adopterons.

Mais, pour simplifier autant que possible le caractère d'un tel système de forces, nous le dégagerons de l'idée yariable d'obliquité des forces sur la droite rigide à laquelle elles sont appliquées. Car soient A6, iig. 27, cette droite, et AP, BQ, les forces égales qui constituent le couple; si, du point O^ milieu de A 6, on mène la droite A'OB' perpendiculaire aux directions des deux forces, qu'elle coupe en A' et B', on pourra transporter par la pensée le poii^t d'application de la force P, de A en A', et celui de la force Q, de B en B', et rien ne sera changé au système j c'est-à-dire que les deux forces P et Q, appliquées aux extrémités de la droite AB^avec leur obliquité actuelle, équivaudront aux deux mêmes forces appliquées perpendiculairement aux extrémités de la droite rigide A'B', considérée comme invariablement unie à la précédente. Chaque couple oblique pouvant ainsi être transformé en un couple perpendiculaire , nous ne considérerons désormais que ces derniers 5 et ainsi nous entendrons toujours par le mot couple le système de deux forces , égales et de sens contraires ^ appliquées perpendicu^ lairefnent aux extrémités d'une droite rigide de longueur donnée. Nous examinerons plus loin, d'une

manière spéciale > les pî*opriétés > statiques dont jouît un pareil système.

35. Tous les résultats auxquels nous Tenons de par- Tenir sur la composition des forces parallèles dirigées en sens contraires y peuTent être également rassemblés en une seule formule parfaitement analogue à celle que nous aTOiis t^ouTée $ 3i , pour les forces dirigées dans un même sens. Il suffit de rapporter , comme nous l'aTons fait alors y les positions des trois points d'application A ^ 6, C, fîg. 28, à une prigise commune O prise à; Tolonté sur le prolongement de la droite AB y de manière quHls se trouvent tous trois du memei eôté de cette origine ; puis , repi^ésentant , coiame cidessus ^ les deux composantes par P et Q, et leur résultante par R, nous aurons, d*après leur opposition^ en supposant P la plus grande,

R=P — Q, d'oh l'on tire, P = R-fQ3

multipliâ(nl les deux membres par OA , il Tiendra