CHAPITRE IX

Composition d'un nombre quelconque de couples agusont simultanément sur un corps solide.

87 . Dans le 5 34 nous ayons appelé couple le système de deux forces égales , parallèles » de direcUon contraire, agissant perpendiculairement aux extrémités d'une même droite ^ et nous ayons annoncé que la con^idé* ration de pareils systèmes se présentant sans cesse dans les questions d'équilibre, il deyiendrait nécessaire d'en étudier spécialement les propriétés statiques ; c'est ce que nous allons faire dans le présent chapitre ^ qui sera le dernier dont nous ayons besoin pour arriver aux applications.

88. Les élémens constitutifs d'un couple sont, i**. l'intensité des deux forces qui y agissent; nous l'exprimerons généralement par F ; 2^. la longueur de la droite rigide , aux extrémités de laquelle ces forces sont appliquées perpendiculairement; nous l'exprimerons généralement par a, et nous la nommerons le bras du couple.

Ceci convenu, je dis d'abord que le couple formé par les forces Y et le bras a est équivalent à tout autre couple qui serait formé sur la même droite, et dans des directions parallèles , par les forces ¥* etle bras a', poun^u que les produits Fa et F'a' soient égaux; de sorte que tous les couples qui satisfont à cette égalité des momens statiques peuvent être indiiféremmentsubstitués les uns aux autres^ dans toutes les conditions d'équilibre des corps.

Pour le prouver, soit , fig. 72, AB la ligne a, et AF, BF les deux forces égales F qui constituent le couple primitif; puis, supposons d'abord que le bras a du nouveau couple doive être plus grand que a. Pour le construire , on prolongera d'abord la droite AB indéfiniment de part et d'autre de son niilieuC; et, à partir de ce milieu, on portera , de cbaque côté , les longueurs CA , CB' égales entre elles et à la moitié de a' ; A'B' devra être le bras du nouveau couple. Pour achever de former celuici , décomposez d'abord AF ou F en deux forces F', ç>\ parallèles entre çlles,de même sens, et dont Tune s'appliquera au poiùt A', l'autre au point milieu C. Cela sera toujours possible, puisqu'il suffira pour cela que les deux composantes F', ^', prises ensemble, égalent la force F, et soient réciproques aux distances A A', CA qui séparent cliacune d'elles de la résultante, § 3o, cf est-à-dire qu'on ait

F' + ^' = F, , F.AA'=(p\CA;

d'où Ton tire pour la -valeur individuelle de P,

r.CA' = F-CA.

Opérons la même décomposition sur BF : comme tout est semblable de part et d'autre dut point C , les résultats seront les mêmes ; c'est-à-dire que l'on trouvera la même composante F'' égale à F^, mais appliquée «n B'^ et aussi la même composante ^^ égale à ç\ et appliquée en C; mais F" et 9" seront de sens contraires à F' et 9'. Maintenant , si l'on suppose les prolongemens AA^, BB' rigides comme CA et CB, il est clair que l'on pourra, dans toutes les questions d'équilibre, remplacer chacune des deux forces égales AF,BFdu premier couple par les deux composantes dans lesquelles nous venons de la résoudre, et par conséquent le couple même , par l'action simulta*