MF*= MA» + MB* + MO
on, en remplaçant les lignes par les lettres qui les représentent,
F*=x*+jr*+«*.
Les trois termes qui composent le second membre étant individuellement des carrés, sont tous essentiellement positifs; ainsi ils ne peuvent que s'ajouter ensemble, et non pas se détruire mutuellement.
Il suit de là que la riêultante ne peut étrf nuUe à moine que ses trois composantes rectangulaires ne goient aussi nulles indiifiduellementn Or, c'est ce que
montre évidemment la construction géométrique, car
DE STATIQUE. n3
la diagonale MF du parallélépii>ède ne peut devenir nulle sans que les trois arèles MA, MB, MC ne soient
nulles aussi.
Les composantes a:, ^, s, peurent aisément s'exprimer en fonctlpi de la résultante F et des angles FMX, FMY , FMZ , que nous désignerons par X , Y , Z. En effet pour la composante Z, par exemple, le triangle A FM, rectangle en A , donne
MA=MFcosFMZ,
ou « = F cos Z ;
de même si l'on joint FC, le triangle FMG donnera
j^ = F cos Y , et si Ton joint FB , le triangle FMB donnera
* = F cos X ,
qui sont les trois expressions demandées des composantes.
Si l'on substitue ces expressions dans celle du carré deF trouvée plus haut, toute Téquation devient divisible par F ; et cette opération faite , il reste
I =£= COS'X -|-C08* Y + cos*Z,
c'est-à-dire que la somme des carrés des trois cosinus des angles X, Y, Z , doit toujours être égale à l'unité. Ceci montre que les trois angles formés par une droite MF avec trois axes rectangulaires , ne sont pas absolument îndépendans les uns des autres , mais sont assujettis à la relation précédente y qui offre ainsi une .etension de ce qui a lieu dans un plan pour les angles complémentaires formés dans un angle droit.
86. Reprenons maintenant le cas général de la fig. 69, où le point M est supposé sollicité par un nombre
ii4 KOTIONS ÉLÉMENTAIRES
quelconque de forces dirfgées comme on voudra Jans l'espace. On pourra toujours par ce point , fig* 7 1 ^ concevoir trois droites indéfinies MX, MT, MZ, redanffi' laires entre elles; et puisque les forces MF,, MFs, MF3. . • sont supposées données en gran^or et en direction , on devra connaître leurs intensités respectÎTes F, , F» , F3 , . . ainsi que les angles X„ T„ Z,; X„ Y., Z^ ; X3, Y3, Z3, formés par chacune d'eQes avec les trois axes rectangulaires. Ainsi, d'âpres le théorème que nous venons de démontrer tout à Theure y on pourra substituer à chacune de ces forces ses trois composantes parallèles aux mêmes droites, c'est-à-dire
à F,. . . .jfi=F,.cosX,, ^,=F,cosY,, «,=F,cosZ„
à F» ... . Xt^ZzF^,COsKt , J'a'=FaCOsYt , iSa^^KFaCOsZ»,
et ainsi des autres , les trois angles relatifs à chaque force étant toujours assujettis à la relation trouvée plus haut entre les carrés des cosinus. Mais cette décomposition faite, toutes les composantes parallèles k un même axe , coïncidant en direction sur cet axe mème^ s'ajoutent ensemble on se retranchent le» unes des antres, selon que le sens de leur action est conspirant ou opposé ; de sorte qu'elles peuvent toujours être comhinées algébriquement par simple addition, en considérant comme positives celles qui agissent dans un certain sens, et comme n^atives, celles qui agissent 'dans le sens contraire. Alors en représentant par a:,j^,2 ces résultantes partielles, on aura évidemment pour leur valeur
a?= F, cos X, + Fft côs X. + Fs cos Xs . . . . etc.
(i) jr= F, cos Y, -+• Facos Ya + F3 cos Ys, ... etc.
« = F, cosZ, + ]FaCosZ^ + F3COS Z3. . .. etc.
Maintenant si l'on exprime par F la résultante des trois
DE STATIQUE. nâr
forces rectangulaires Xjj', z, ce sera la résultante totale des forces F„ F», F3. . . . ; or, d'âpres le théorème démontré plus haut , on aura
On pourra donc calculer F par cette formule^ puisque les trois forces x^ y yZ sont connues.
Ceci ne donne encore que l'intensité de cette résul* tante; pour trourèr sa direction dans l'espacC; nommons X, Tj Z les trois angles inconnus qu'elle forme ayec les trois axes rectangulaires; ces angles devront toujours satisfaire à la relation générale
I = cos *X + cos *Y 4. cos *Z,
et de plus chacun d'eux sera lié airee une des composantes, x^ jt «, puisqu'on derra avoir
a: = F cos X ,
(3) ^ = FcosY, z = F cos Z.
On pourra calculer les angles X, Y, Z par ces équations , puisque les quantités x^j^y 2 et F seront toutes connues en vertu des équations (i) et (2); on aura donc ainsi l'intensité de la résultante totale et sa direction dans l'espace ; ce qui complète la solution du problème.
ii6 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES
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