AF. CA = AT'. C A

Or, par la définition même du couple, ou a CB' = CA' etB'F=A'F'; donc l'égalité précédente peut s'écrire ainsi,

AF. CA = B'r.CB'.

Sous cette forme, elle montre que le centre C divise la droite AB', en parties réciproquement proportionnelles aux forces AF, BfF' qui agissent dans le même sens et sont appliquées à ses extrémités. La résultante des deux forces AF, BF' que nous désignerons par ç, passe donc par le point C , leur est parallèle, et est égale à leur somme, c'est-à-dire à AF + BF'. On démontrera de môrne que la résultante des deux forces BF, A'F' passe aussi par le point C et est égale à leur somme ou

à BF+A'F'. Ces deux résultantes sont donc égales entre elles, opposées en direction et appliquées au même j9omt C; ainsi elles se font mutuellement équilibre ; et comme elles sont équivalentes au système total des deux, couples, puisqu'elles s'en déduisent par les seules lois de la composition des forces, il faut en conclure que les deux couples ainsi disposés s'équilibrent mutuellement.

91 . Les couples ont encore quelques autres propriétés qui sont relatives à leur direction ou à leur position dans l'espace, et qu'il est nécessaire de connaître, parce qu'elles simplifient considérablement les applications. Ces propriétés sont réunies dans l'énoncé suivant:

Tout couple Fa^ appliqué à un corps solide j peut être remplacé par le même couple transporté paraUèlem^ent dfui'méme clans son propre plan ^ ou dans tout autre plan parallèle ^ et en outre il peut être tourné comme on voudra dans chacun de ces plans sans changer en rien l* état du corps auquel il est appliqjié y poun^u que les nouveaux points d'application auxquels on l'attache soient censés liés invariablement aux premiers ^ auxquels il était attaché df abord,

92. Démontrons ces propositions par ordre. Soit d'abord, fig. 76, FABF, le couple proposé ayant pour forces AF, BF, égales entre elles, et pour, bras AB; et soit A'B' , la position parallèle où l'on veut Iq transporter clans son propre plan. Aux deux extrémités du nouveau bras A^B', qui est égal et parallèle à AB, appliquons deux forces A'F', B'F', respectivement égales et parallèles aux forces AF, BF du couple primitif, et détruisons aussitôt leur eiFet en appliquant aux mêmes points deux autres forces h!f*y By , respectivement égales et contraires aux précédentes. Le système des quatre forces ainsi appliquées au bras A'B' sera nul de lui-même, et par conséquent on pourra le lier rigidement au bras A B sans changer

en rien l'état du corps dont ce bras fait partie. Mais alors l'ensemble des six forces pourra être envisagé d'une autre manière. Car d'abord , si l'on ccMisidère \ês deux, forces AF, Vf qui sont égales i parallèles^ et agissent dans le même sens aux extrémités de la droite AB' supposée rigide^ il est dair qu'elles peuvent être composées en une seiiie résultante f égale à leur somme ou à 2 AFy laquelle ira s'appliquer au milieu de cette droite, c'est-à-dire au point 0,ou se coupent les deux diagonales du parallélogramme ABA'B'; et cette résultante agira dans le sens de AF, Mais, si l'on considère de même BF et Aff% qui sont appliquées aux extrémités de BA\ on les composera également en une seule résultante ^'égale à 2BF ou 2AF, laqudle viendra pareillem^it «'appliquer au point 0| en sens contraire de la précédente. Ces deux résultantes égales et contraires s'entre-détruiront ainsi mutudlement; de sorte qu'il ne restera plus d'agissant que le système des deux forces non détruites, A'^F^, VP, appliquées aux deux extrémités de la droite A'B'; c'està-dire le couple primitif FABF transporté parallèlement à lui-même dans son propre plan, comme nous l'avions annoncé.

93. Et si l'on voulait que le nouveau couple F' A'B'F' ne fût pas dans le même plan que le premier, mais seulement dans un plan parallèle, la démonstration, et jusqu'à la figure, seraient encore les mêmes. Car A^B' étant toujours égale et parallèle à AB, quoique noa comprise dans le plan FABF, la figure ABÂ'B' serait encore un parallélogramme dont les diagonales se couperaient en leur point milieu ; ainsi ,en appliquant à A'B' un système nul de lui-même, comme tout à l'heure, et composé de quatre forces respectivement égales et parallèles à celles qui constituent le couple primitif, on réduirait de même quatre de ces forces à deux résultantes ffP\

DE STATIQUE. laS

égales entre elles, de direction contraire et passant toutes deux. par le point O, de sorte qu'elles s'entre-détrui-^ raient mutuellement* Il ne resterait donc que le couple F'A'B'F', c^est-à-dire le couple primitif FABF, transporté parallèlement à lui-même, de son plan actuel dans le plan F'A'BT .

94* Maintenant, pour montrer que Ton peut faire tourner à volonté un couple dans son propre plan, autour de son centre, 8oit,i]g. 77, FABF, la première position du couple et F^A^W la nourelle position qu'on ▼eut lui donner, son bras et ses forces restant les mêmes. Appliquez comme tout à l'heure aux points A', B', les forces A'F'yB'F', qui constituent le couple transporté', puis détruisez-les aussitôt par deux forces klf^Vf^ égales et de directions contraires. Il est clair que le système des quatre nouvelles forces ainsi appliquées sera nul de lui-même; et par conséquent on pourra lier invariablement le nouveau'brasA'B^ à l'ancien AB, sans qu'il en résulte aucun effet dans le corps solide dont AB fait partie. Mais alors l'ensemble des six forces ainsi combinées pourra être envisagé d'une autre manière; car, si l'on prolonge indéfiniment les lignes AF, A^F' , jusqu'à ce qu'elles se coupent en un point O, et que l'on prolonge de même BF et B^F' jusqu'à ce qu'elles se coupent en un point <y, il est clair par la seule symétrie de la figure, que AO sera égal à A'0,BO' à B^C; et que de plus, ces quatre lignes^ seront égales entre elles des deux côtés du centre G, de sorte que les angles opposés ACA', BGB^ seront respectivement divisés par GO et GO' en d6.ux parties égales ; d'où il suit que les points O, G, O', forment une ligne droite, dont le milieu est en G. Gela posé, si l'on considère d'abord /les deux forces AF, Ay, en supposant leurs points d'application respectivement transportés en O sur leur di-

rection propre, il est clair qu'elles auront une certaine résultante; et, cotnme elles sont égales et également inclinées sur CO^ cette résultante se dirigera sur le prolongement de CO même. Maintenant si l'on répète la même opération sur les deux forces BF^ B^, en transportant leurs points d'application en O', elles fourniront aum une résultante dirigée sur le prolongement de CCfy laquelle sera égale à la précédente, mais dirigée en sens opposé , comme le sont les forces dont elle dérive. Ces deux résultantes étant ainsi appliquéQ3 suîyant une même droite, OGO' que l'on suppose rigide, s'entre-détruiront mutuellement, et leur effet ou celui des quatre forces qu'elles représentent sera nul dans le système. Il ne restera donc d'actif que le couple F' A'B'P, c'ést-à-dire le couple primitif, tourné de l'angle ACA^ dans son plan et autour de son centre.

Chacune des modifications de lieu que nous venons de considérer pouvant être appliquée successivement au même couple , les propriétés énoncées au commencement de ce paragraphe se trouvent démontrées généralement.

gS. A l'aide de ces propriétés, nous allons montrer que, 81 plusieurs couples j en nombre quelconque ^ sont appliqués simultanènunt à un corps solide ^ ils pourront toujours être composés en un seul.

D'abord , pour réduire la question à ses termes les plus simples, nous commencerons par substituer à tous les couples proposés des couples équivalons , ayant pour bras l'unité de longueur , ^ 89. Nous n'aurons plus ainsi à considérer que des couples ayant desLras égaui.

Maintenant tous ceux de ces couples qui seront dans

un même plan pourront, d'après le J 94> être tournés

. autour de leur centre, de manière à devenir parallèles ;

puis, d'après le J 92, on pourra les transporter sur la

DE STATIQUE. ia5

liième droite, de manière que leurs centres coïncident; et comme leurs bras sont d'égale longueur, les extrémités de ces bras où les forces s'appliquent coïncideront pareillement. Alors les forces, qui sont perpendiculaires aux. bras dans tous les couples , se trouveront dirigées suivant les mêmes droites. Ainsi elles s'ajouteront ensemble ou se soustrairont les unes des autres, selon qu'elles agiront dans le même sens ou dans des sens opposés; et cette opération étant la même de part et d'autre du centre commun , donnera en définitif un couple unique formé par les résultantes ainsi obtenues^ appliquées à l'unité de longueur. Tous les couples ré-* sultans ainsi obtjenus y qui se trouveront situés dans des plans parallèles entre eux, pourront ensuite, d'après le § 93 , être transportés dans un seul de ces plans. Alors , en les y tournant de manière à rendre leurs bras parallèles, et les transportant ^jusqu'à les superposer,, on les réduira tous en un couple unique , qui sera équivalent à tous les couples primitivement compris dans les plans parallèles à celui que l'on aura considéré.

Ainsi, quels que soient le nombre , la direction et la nature des couples que l'on supposera agir .sur un corps «olide, on pourra, par les opérations précédentes, les réduire à un certain nombre de couples situés dans des plans non parallèles y et ayant toujours pour bras l'unité de longueur , comme précédemment; de sorte qu'il reste simplement à. montrer comment on peut composer ces couples non parallèles.

Pour cela , considérant d'abord deux de ces couples, prolongeons leurs plans jusqu'à ce qu'ils se coupent ; puis , tournant chacun des couples dans son propre plan, et l'y transportant, s'il est nécessaire, amenons les deux couples à avoir leurs bras placés suria commune section des deux plans , et leurs centres au même point de

126 MOTIONS ELEMENTAIRES

cette droite. Gomme leurs braa sont supposés ëgaox à l'unité de longueur | les extrémités de ces bras où lo forces s'appliquent coïncideront pareillemeot } m»s h cause de l'obliquité supposée des deux plans entre eu, les forces ne seront pas dirigées sur la même droite; et ainsi elles ne se réuniront pas entre cdles par simple addition ^ comme dans le cas du parallélisme , mais on les composera par l'application du parallélogramme des forces I coinme on va le Toir •

En dfet» soient, iig. 78, FABF./ABfces denxooapies non parall^es, ainsi réduits. Lies forces AF , A/appliquées en A, étant toutes deux perpendiculaires à la commune section AB des deux plans , il s^ensuit que cette commune section se trouye perpendicnlaire su plan FA/* qui contient ces forces ; donc, si Ton compose celles'ci en une seule , en formant le parallélogramme FA/R, la diagonale AR qui exprime leur résultante, sera aussi perpendiculaire à AB.

La même opération , répétée à l'autre^extrémité B du bras commun des deux couples, donnera, à cause de la complète symétrie de la figure , des résultats absolument pareils. Ls plan FBf des dbux forces étant perpendiculaire à la commune section B A des deux plans , celle-ci à son tour se trouTcra également perpendiculaire k la résultante BR condne du parallélogramme des forces ; de plus, cette résultante BR sera ^ale à AR, et enfin elle lui sera parall^e. Car, si l'on mène un plan par AR et AB, puis un antre par BR et BA, ces deux plans feront avec le plan FABF des angles dièdres ÂAF, RBF absolumjsnt égaux entre eux; ils le coupent d'ailleurs suivant la même droite AB : donc ils coïncideront complètement. Ainsi les deux résultantes AR, BR, comprises toutes deux dans ce plan , y seront perpendiculaires à la même droite AB, ce qui les rend parallèles;

de plus elles sont égales ; donc elles constituent un couple;

et puisqu'elles équivalent à Faction simultanée des

. quatre forces qui composent les deux couples FABF,

fÈL^fi on voit que teux-ci se trouvent remplacés par le

couple unique RABR.

Maintenant j s'il existe d'autres couples appliqués au corps solide , on pourra de niéme composer un d*eux avec RABR , ce qui donnera un nouveau couple équivalent aux trois que l'on aura considérés ; ce nouveau couple résultant pourra se composer de même avec un quatrième ^ et ainsi dé suite , jusqu'à ce que tous les couples situés dans des plans non parallèles aient été ainsi progressivement combinés; et l'on voit que le résultat définitif de l'opération sera toujours un couple unique, équivalent à l'action simultanée de tous les'oôapies qui sollicitent le système.

96. Toutes les combinaisons que nous venons d'ex* poser peuvent être écrites en calcul diaprés les seules formules de la composition des forces que nous avons exposées plus haut. Mais, quoique ce calcul -soit du plvs grand intérêt, parce qu'il sert de base «;ux l'echerehes les plus élevées de la Mécanique et du système dit inonde» nous n'entreprendrons point da> nous y engager; et le» considérations ^écédentes nous suffiront pour les ap« pltcatîons que lious aurons s^cîftlement à faire dEans le reste de ce cours.

128 NOTIONS ÉLÉMENTAIHES