CHAPITRE X

Applications des principes précèdens à la recherche de» conditions d'équilibre des corps solides.

9^. La maniëre la plus générale dont on. puisse envisager ce problème, c'est de concevoir un corps solide sollicité en divers points de sa masse par un nombre quelconque de forces agissant dans des directions quelconques f et de cbercber les conditions nécessaik'es pour que FelTet général de ces forces se trouve anéanti , soit par leur seule réaction mutuelle , si le corps est tout-àfait libre dans Pespace , soit par la combinaison de leurs efforts avec les résistances qu'opposent les obstacles auxquels le^ corps peut être assujetti* Pour fiiLer nos idées sur ce dernier cas , il convient d'examiner quelle peut être la nature de ces résistances, et comment les conditions de l'équilibre peuvent en être mod ifiées.

D'abord le cocps peut avoir un de ses points invariablement fixé dans l'espace. Alors ce point devant demeurer immobile, il ne restera plus au corps que la liberté de tourner autour de lui en tous sens : ainsi ce genre de mouvement sera le seul qu'il soit nécessaire d'empêcher pour que l'équilibre ait lieu.

Secondement , il se pourra que le corps ait deux de ses points ainsi fixés. Alors la droite rigide qui les joint devant rester immobile, le corps pourra seulement tourner autour d'elle : il ne restera donc qu'à anéantir la possibilité de ce mouvement.

Remarquons que l'on ne pourrait supposer plus de

. . DE STATJQUE. . 129

lieux points fixés dans un corps solide, sans qu'il se trouvât complètement rendu imoiobile, cequî rcn^ drait inutile la recherche des conditions de son équi* libre. £n effet, imaginons trois points fixes: le triangle formé sur ces trois poiàts , comme sommets > deviendra fixe. Or, tout autre point du corps est complète* ment déterminé de position par ses distances à ces trois premiers points, et ne peut se déplacer qu'avec eux. Donc, s'ils sont immobiles, tout autre point du corps le deviendra aussi nécessairement. -

Mais un corps solide peut encore être gêné dans ses mouvemens , sans qu'aucun de ses points soit fixé. Il peut seulement étre.astreint, par exemple, à s'appujer contre un plan immobile et impénétrable , c'est-à-dire être assujetti à le toucher par uû ou plusieurs points.

Dans ce cas, l'impénétrabilité du plan et son immobilité font qu'il ne peut être percé ni déplacé par le corps ; et en conséquence il anéantit tout effort nor^ mal à sa surface qui tendrait à produire l'un ou l'autre de ces effets. Ainsi la résistance opposée par le plali peut être 'C<mj^idérée comme une force normale k ta surface , et qui se développe en chacun des points de contact, 9yeç des intensités qui peuvent être inégales pour ces différens points* Or, par le seul fait que ces résistances ont des directions parallèles^ elles doivent toujours aVoir ui^e résultante égale à leur sont^e, et dont le point d'application tombe nécessairementAdans l'intérieur de l'espace plan compris entre les joints de contact. Il restera donc à examiner l'influence qu'une force ainsi dirigée, et ainsi limitée dans son mode d'application, peut avoir sur l'équilibre du corps qui s'appuie contre le plan résistant.

98. Concevons maintenant un corps solide dont un certain nombre de points M(, Ma> M3,. .. fig. 79,

i3o NOTIONS ELEMENTAIRES

soient sollicités par autant de forces M|F, , MJF^ , MjFs^ ou F,, Fa, Fs, dirigées d'une manière quelconque dans l'espace. Nous ne limitons en rien la généralité du problème , en ne supposant ainsi &c}iaque point qu'une seule force; car s'if y en arait plusieurs, on pourrait toujours les composer en une seule résultante, ce qui rentrerait dans notre énoncé.

Maintenant , l'action d'un tel système de forces peat, sans rien perdre de sa généralité, être réduite à des termes infiniment plus simples. En effet, d'un point quiconque O pris dans l'intérieur du corps solicle , ou lié invariablement avec lui , menons d'abord une perpendiculaire OP| sur la direction de la force F, ; et coucerons cette force appliquée en P( ^ suivant la mérae direction , ce qui sera permis si les deux points Mi et Pi, sont supposés liés rigidement Van à l'autre, ôomme on peut toujours le faire,' $14* ^^l^ ^^i^y appliquons au point une force auxiliaire 0/1 égale et parallèle h F^, et détruisons aussitôt son, effet par l'application d'une force O^t exactement ^ale, mais dirigée en seiis opposé. Getle double opération ne changera rien à l'état statique du corps solide , puisque les nouvelles forces ainsi appliquées se détruisent d'elles-mêmes l'une par l'autre. Mais alors le système des trois forces ï^iy/^y f^i, pourra être envisagé d^me autre manière; savoir, comme se composant de la force /l ou F,, appliquée au point , et d'un couple F,P,0^i , formé par les forces F, , ^, agissant aux extrémités du bras OPi ; ou , ai l'on exprime OP( par Ti, on pourra encore considérer te couple conune formé par deux forcés d!unè intensité ^i'*! > appliquées à un bras égal k l'unité de longueur, 5 89. Enfin , ou pourra supposer ce nouveau couple transporté dans son propre plan, jusqu'à ce que le centre de son bras vienne coïncider avec le point O.

DE STATIQUE, i3i

En opérant de même sur toutes ies autres forces Fa, F3,. . . on obtiendra des rés^ultats pareils. Chacune d'elles se trouvera remplacée par une force' égale ap* pliquée au point O, et par an .couple F^^r. , Fsr^. l . . ayant son centre en O , et pour bras; l'unité de longueur.

Or, tontes les forces appliquées au point O pourront se composer par le parallélogramme des forces, en une seule résultante R appliquée au même point. Et tous les couples qui ont leur centre en O pourront également, d'après le ^ 9^> se composer en un couple unique ayant aussi ce même centre, et pour foras l'unité de longueur. Donc, en définitif, tout le système des forces F, , F» , F3 . . . qui sollicite le corps solide de la manière la plus générale, se trouvera réductible à une force unique appliquée en O , et égale k la résultante de toutes ces forces considérées comme transportées en ce point unique; plus au couple résultant, ayant son centre au même point, et pour bras l'unité de longueur ; de sorte que , pour établir l'équilibre , il ne l'estera plus qu'à déterminer les conditions , propres à anéantir ces deux genres d'efiPorts.

Remarquons, avant tout, que la rés^ltante R ne peut pas faire par elle-même équilibre au couple; car la démonstration de cette impossibilité, donnée § 33, .isubsiste également, soit que la force R se trouve comprise dans le plan du couple, ou qu'elle loi soit extérieure. ,

Appliquons maintenant ce qui précède aux divefs états de liberté ou de gêne du corps sojide, que nous avons plus liant considérés.

99« i"*. Si le corps est tout-à-fi^t libre dans l'es* pace, l'efiFort du couple résultant ne ppuvant être anéanti par la résultante unique R, il faudra, pour

i32 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

l'équilibre ; que le couple et la force soient nak séparément et indépendamment Pua ^ de l'autre. Or , puisque le oouple a été amené à aToir pour bras l'unité de longueur , cela exigera que la force réialtante qui agit aux extrémités de sob bras aoit nulle aussi.

a'. Si le corps est fixé par un point , il n'y aura qu'à prendre ce point pour celui autour duquel les transformations précédentes sont effectaées. Alon l'e£fort de la résultante R sera anéanti par sa résistance, puisquelle s'y troure appliquée; et ainsi il sufEra, pour l'équilibre , que le couple résultant soit nul. L'anéantissement de la force R exige tootefoi» que la résistance du point fixé soit indéfinie , ou toot au moins égale à R ; et, dans tous les cas, K exprime la pression que ce point supporte.

3^ Si le corps est fixé par deux points ^Ja ligne qui joint ces points constituera dans le corps un aie fixe. £tt prenant le point O partout oh l'on Yondra sur cet axe, la résultante R qui s'y trouyera appliquée sera détruite par sa résistance, du moins si celle-ci est supposée indéfinie. Mais, en outre,. il ne sera plus nécessaire, pour l'équilibre, que le couple résultant soit nul ; il sufiBra qu'il ie trouve compris dans un plan mené par l'axe; car si cela a lieu, son bras coïncidant avec l'axe , se trou'vera fixe ; et par eonsé* quent l'efiet des forces résultantes appliquées k ses extrémités se trouvera anéanti , du moins ai la réwtance de l'axe est suffisante.

4*. Enfin , si le corps, d'ailleurs libre, est seulement assujetti à toucber un plan invariable,- par va ou plusieurs de ses points > il faudra que la i*ésultante R soit normale an plan, pour qu'elle puisse être détruite par sa résistance; et il faudra , en outre,

DE STATIQUE, i33

<|u'eile tombe dans Tintérieur de l'espace que limitent les points de contact, puisque c'est toujours dans cet espace que s'applique la résultante générale des ré* sistances que le plan oppose, et peut opposer, au corps qui le presse. Mais , quel que soit , entre ces limites , le point où la résultante normale R Ta percer le plan , on po urr a t toujours concevoir aux points de coptact un système de résistances parallèles dont la somme lui soit égale , et dont les intensités respectives soient telles que leurs résultantes s'exercent sur la même ligne droite que R , ce qui suffira. pour que l'effort de R soijt détruit. Alors il faudra encore que le couple résultant sôit nul de lui-même , puisque la résistance du plan lie peut engendrer qu'une résultante normale , incapable, par conséquent, de détruire l'actibn'd'un 4X>uple.

loo. Quoique lés considérations précédentes comprennent tontes les conditions d'équilibre des corps solides, cependant le cas d'un axe fixe est susceptible de quelques développemens qui en éclaircissent et en facilitent lés applications.

Soit , fig. 8q, AB cet axe, passant par les deux points iixes donnés A et B. Désignons par M,F, , ou par F, , une quelconque des forces qm sollicitent le corjps.

Par le point M| oii cette force est appliquée , menez une droite indéfinie M,A> parallèle à l'axe fixe; puis» suivant c^tte droite et la force F, conduisez nn plan dans lequel vous mènerez une autre droite jperpendiculaire à la première. Puisque la direction de la force F| est supposée donnée dans l'espace , on devra connaître l'angle a, que sa direction forme avec la parallèle à l'hxefixe. Ainsi on pourra décomposer F, suivant cette droite et la direction perpendiculaire, ce qui xk>nnera le parallélogramme rectangle M,AiF,N,, ou

i34 NOTIONS ËLÉMENTAIRES

les deux composantes M,A„ M,17|y auront respectÎTement ponr Yaleor F,co8 a,, F,8in o^, § Si \ ei Von pourra , dans toutes les conditions d'écpii libre , sobstitoer k la force unique F. le système de ses deux composantes ainsi dirigées.

Maintenant, menons par la direction de M^N, un plan perpendiculaire à M,A„ et soit O. le point oii il coupe Taxe ûfe AB. Ce plan sera aussi perpendiculaire à Taxei puisqu'il Ytst à sa parallèle M|A(. Donc y réciproqaement , l'axe sera perpendiculaire à toutes les lignes qui s'j troureront comprises et qui pa^ntpar le point Oi; il le sera donc k la ligne O^Mi , et il en sera de même de MtA( qui est parallèle à l'axe AB. Pareillement, si ,da point Oi , on mène.O,Pt perpendiculaire sur la direction de JS.JX prolongée s'il est hécessaire, cette droite , contenue dans le plan normal à l'axe, sera en même temps perpendiculaire à M^N, et à AB. *

Gda posé , appliquons au point O^ , suivant Faxe fixe y deux forces contraires, égales entre elles et à MiA^ ou Ff cos a,; cette addition n'influera. poîtit sur l'équilibre, puisque les deux nouvelles forces âe détruisent mutuellement. Mais alors on pourra considérer le système des trois forces comme se composant : i®. d'une force F, cos a^ appliquée sur l'axe danis le sens de sa longueur , et qui , par conséquent , sera détruite par la résistance des points- fixes A 6t B supposée suffisante; â®. d'un couple formé par les forces F^ cos a^ appliquées aux extrémités du bras 0(M,^ ou^ si nous nonunoof ce bras df ^ on pourra y substituer le couple équiTalent F,£/| cos a, , appliqué dans le méàie plan à l'unité de longueur. Or , ce plan A,M,OiB passe par l'axe; et le couple peut y être tourné de manière que son bras coïncide arec l'axe même , § 94* Il sera donc paiement détruit par sa résistance j et par conséquent les forces M|N^ou F|Sina(

DE STATIQUE. i35

<^uî sont normales à l'axe , sont les seules dont l'actioii influera sur l'équilibre du corps.

Avant de passer k la considération de ces dernières forces > remarquons que la force F, cos a „ appliquée suivant l'axe, pourra être considérée comme appliquée indifiéremment à l'un ou à l'autre des points fixes A et B. Pareillement le couple F,e/( cos a^ y appliqué sur l'axe, et qui a pour bras l'unité de longueur, pourra être transformé en un couple équivalent situé dans le même plan, et qui aura pour bras la distance AB qui sépare les deux points fixes. Car, si cette distance est exprimée par Dy les forces qui constituent le couple transformé

seront, par le 5 88, 'j> • ; et elles agiront parallèlement aux forces F,g^( cps a, dont elles dérivent. Ainsi réparties, elles pourront être considérées comme s'app II quant aux points fixes A et B.

Toutes les autres forces 'Fg , F^. . . . , qui sollicitent le corps , étant décomposées de la même manière , on en déduira autant de forces F^ cos a^ , F3 cos az , appliquées suivant l'axe ; plus autant de couples, ayant pour bras la

distance A? elle-même , et dont les forces ' ^ *■ — *■ >

%=r seront aussi appliquées perpendiculairement

à l'axe, aux points A et B.

Toutes les forces F^ cos a,, F» cosa». . . dirigées sui-

Tant l'axe, se composeront en une seule résultante

égale à leur somme algébrique \ et tous les couples

F»c?, cos a, FftC^cosan i * i r* . i- , =r . . . , dont les forces sont appu*

quées perpendiculairement à l'axe aux points A et B, se composeront aussi en un couple unique dont le plan passera encore par Taxe, et dont les forces , résultantes

i36 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

des précédente^ I seront appliquées aux mêmes points Reyenons maintenant k considérer les forces M^Ni oa F, sia^iy qui sont normales à l'axe; et d'abord transportons leurs points d'application au point P., détermbé, sur leur directioui par la rencontre de la perpocidiculaire OiP,.Cela fait, appliquons en O^ deux forces auxiliaires opposées l'une à l'autre^ parallèles k M,N,y et ^ales eptre elles ainsi qu'à F, . sin a, ; ce qjsfi n'influera hn rien sur l'équilibre*, et enfin, supposons' le point P^ rigidement lié à M| et à Oi* Alors, le système des trois forces ainsi disposées pourra . être considéré comme composé : i^. d'une force F, sin a^ perpendiculaire à taxe.Qie, et appliquée en Oi; 2®. d'un couple situé dans le plan M|P|0( normal à l'axe, et dont les forcés F, sin a, seront appliquées aux extrémités de O (Pi* Si l'oii représente cette dernière longueur par /^i» on pourra j substituer , dans le même plan, un couple F,pi sin a„ ajant pour bras l'unité de longueur. La force F^ sin a^ appliquée en O, à l'axe , pourra être considérée , k son tour, comme la, résultante, de deux forces appliquées aux points A et B, et dont les intensités respectives seront

Ft sin a, -7^ , F, sin a, -. -~ , S 3o ; de sorte qu'elles se- Ao Ad

ront généralement inégales; car il n'y aura d'exception que pour le cas 0& le point Ot tomberait au milieu de AB. Ces forces^ agissant sur les points fixes A et B, seront détruites par leur résistance supposée suffisante ; mais rien ne détruira le couple normal à l'axe formé par les forces F,pi sin a^

En appliquant le même raisonnement aux autres forces normales Fft sin a^ ,F3 sin ^3, . . . • on les résoudra de la même manière, en autant de forces normales immédiatement appliquées à l'axe fixe, et. susceptibles d'être réparties entre ses points extrêmes-, plus^ en au-

tant de couples également situés dans des plans perpendiculaires à l'axe^ etforniésparles forces F^pa sin a^^ FayD3sin as ,... appliquées à Funité de longueur. Or, toutes les forces ainsi réparties sur lespoints A et B se composeront en deux résultantes qui seront généralement inégales comme les forces composantes dont elles dérivent. Ces résultantes , composées avec les forces normales du couple résultant appliqué aux mêmes points fixes, produiront deux résultantes définitives appliquées normalemei^t à l'axe eki ces mêmes points ^ et généralement inégales entre elles ^.comme aussi dirigées dans des plans'différens. Ce seront les pressions exercées transversalement sur l'axe aux points A et B. Nous avons trouvé plus haut les pressions longitudinales exercées par les forces F, cos a, • . . Tous les efforts que ces points Ont à supporter seront ainsi complètement connus.

Il ne restera donc d'actif dans le système que les couples formés, dans des plans perpendiculaires à l'axe, par les forces Ff.pcsina,, appliquées à l'unité de longueur. Mais tous ces plans étant perpendiculaires k une même droite, sont par&llèles , et ainsi tous les couples qui y sont situés pourront être trans^rtés dans un seul d'entre eux, S 98, où l'on pourra encore les transporter et les tourner de manière que leurs centres et leurs bras se superposent. Alors , comme ces bras sont égaux, ils se composeront tous en un seul et même couple, dont le bras sera encore le même , c'est-à-dire égal à l'unité de longueur , et dont les forces seront les sommes algébriques des forces individuelles, c'est-àdire

F^/>^ sin «i -|- F^p» sin a^ -|- Fsps sin as -}-, etc. Comme rien, dans la disposition du système, n'empêche

i38 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

l'effet de ce couple résultant , il faudra, pour Féquilibre, qu'il soit nul de lui-même^ oe qui exige que l'on ait entre les forces , leurs directions, et leurs distances à l'axe, la relation .

o = F^, sina, + F^p» sina» + Fsps sin as. • • .+,etc.

Ainsi I ce sera lit l'unique condition^ nécessaire et suffisante, pour établir l'équîUlire d'un corps solide fixé par deux points; du moins, eu supposant que la droite par laquelle ces points sont unis, offre une rigidité suffisante pour r^ister aux efforts qui s'y transmettent, et dont nous avons évalué plus haut 1* intensité et la direction.

DE STATIQUE. iSg

»\^VVVVV»iVVVV»VVVVVW^)W»>WV»>VVt^»»»)W»^^WWV^»\^%»^»WVW^>lM>WV»^»»VVV»^^>W»»