Pour éclaîrcir ces résultats, supposons que

toutes les forces FjFaJFs F„, appliquées à la

corde soient parallèles entre elles, par exemple , verticales, fig. 1 16. Ce sera le cas d'une corde sans pesanteur , suspendue par ses extrémités aux points fixes A, B, et tirée en divers points de sa longueur par des poids que

les forces F, , F», Fj, représentent. Nous, ayons v^, § i34>. qu'alors le polygone formé par la cqrde doit être tQ^t entier d^ns un plan parallèle au%. forces^ par conséquent ici Tcrti cal et passant déplus par les deux points fixes A et B. Si l'on suppose ce polygone rçalisé ^ et que A^( , BNs, représentent les directions des cordons extréraes.| auxquels s'appliquent les tensions inconnues AF, BF,^ , ou F , Fb ^ il devra y avoir équilibre en B entre ces teor sions transportées parallëlemient à ellçs menées, et la ré* sultante BR ou R de toutes les forces F,FJF3 , laquelle sera ici égale à leur somme et verticale cpmme elles. D'après cela , si les directions des deux cordons extrêmes, sont données, on prolongera la résultante B|l entre elles*, et, prenant Br égal à BR, qp mènera du point r des parallèles à ces deux directions, ce qui déterminera les côtés du parallélogramme exprimant les tensions cberchées.

D'après les formules citées plus haut, § i35, les va^ leurs de ces tensions seront

R sin a„ R sina

F = -: — : — — -, Fil =

sin (a + an) ' " sin (a -f- a„) '

d'où l'on tire

F« sin a

sm a„

c'est-à-dire que leurs intensités respectives sont réciproques aux sipps d.es inclinaisons de leur direction sur la verticale; c'est )a preniière condition des équations générales (^) et (2). Il est facile de voir que cett^e propriété s'étend aussi aux tensions RjRa des çordpns intermédiaires; car si l'on cherphe le rapport de P, à F, dé B« a R| ,et ainsi de suite, d'après la proportion dps ^np^. donppe par l'équilibre de cloaque nœud, on tropv^ que

chaque tension R,» étant multipliée par le sinus de son inclinaison sur la verticale, forme un prodaif Rasinoai^ qui est constant pour toute Tétendue de la corde, et égal k Fsina ou Fnsinoa.

t38. Ces résultats sont vrais, quel que soit le nombre des côtés qui composent le polygone funiculaire. Ils auraient donc lieu encore si ce nombre devenait infini Alors le polygone se change en une courbe continue ASB, fig. 11^ y telle que la formerait une corde ou une chaîne pesante dont la grosseur ou plutôt le poids yarierait d'une manière quelconque dans ses diverses parties y et dont les deux extrémités seraient suspendues à deux points fixes A et B. Dans ce cas ^ les directions des cordons extrêmes sont représentées par les tangentes menées en A et B à la courbe*, et leurs tensions, calculées parles formules précédentes, expriment les forces respectives avec lesquelles ces points de suspension se trouvent tirés suivant les deux directions dont il s'agit. La résultante R exprime le poids total de la corde , lequel se répartit ainsi entre les deux tractions extrêmes réciproquement aux sinus de leurs inclinaisons a, a^, sur la verticale. Et ce même rapport subsiste dans toute Tétendue de la courbe; c'est-à-dire que, si l'on exprime généralement par ^ la tension d'un quelconque M de ses élémens; dont tê soit l'inclinaison sur la verticale, inclinaison mesurée par la direction delà tangente en ce point, le produit ^ sin a est constant et égal à F sin a Ou F. sin an y F et Fa représentant les tensions extrêmes. Sur quoi l'on peut remarquer que cette 'valeur constante de ^sin«i exprime la tension particulière du point S, pour lequel la tangente de la courbe est horizontale ; puisque, pour ce point, sin«i devenant l'unité, le produit ^ sin « se réduit à la tension même. Représentant donc par c cette tension de l'élément horizontal^

on aura poar tout autre élément

p sin « = c.

£n outre, d'après la marche de composition successive établie dans le § 1 32 , la condition d'équilibre qui existe à l'extrémité B entre les tensions extrêmes F , F« , et la résultante R de toutes les forces appliquées à la corde , cette condition, dis- je, doit également avoir lieu en tout autre point de la courbe, au point S, par exemple, entre la tension particulière de l'élément horizontal S, la tension initiale F, et la résultante, c'est-à-dire ici la somme, de toutes les forces distribuées sur l'arc AS. Même, au lieu de la tension initiale F, on peut établir cette relation pour la tension ç, en limitant l'arc delà courbe de S en M. Soit donc p le poids d'une portion quelconque de cet arc comptée ainsi, depuis le point le plus bas S jusqu'à l'élément quelconque M, dont la tension est ^ , et «1 l'inclinaison sur la verticale. Alors , dans la composi-* tion exprimée par les équations (3) , ^ 1 35, F se trouvera remplacé par ^, R par p^ a par «, et eniin a» par 90" , puisque l'élément S , pris ici pour point extrême, est horizontal; ce qui donnera

sin (a + a«) =• sin ( 90° + « ) = cos «.

Avec ces valeurs la première des équations (3) donne

cos«

Cette équation signifie que la tension ^ , transportée en S parallèlement à elle-même, donne en ce point une composante verticale égale au poids totaljD de l'arc AM. Si l'on joint à cette relation celle que prend la constante de la composante horizontale, ou ^sin«i=rc, on aura toutes les relations qui caractérisent la forme et la tension de la

ao2 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

courbe en un point quelconque. Cette courbe a reçu en Géométrie le nom de chaînette,

iSg. Il nous reste à considérer l'équilibre des cordes tendues sur des lignes ou sur des surfaces résistantes ^ dont elles sont assujetties à sulyre le contour. Ce cas est d'autant plus intéressant à étudier , que c'est presque toujours ainsi que l'on emploie les cordes dans les appareils mécaniques.

Pour nous former une idée claire et précise de ce qui se passe alors, considérons une corde AB, fig. ii8, tendue en ligne droite et tenue en équilibre par deux forces égales et contraires AF, BF, , appliquées à ses extrémités suivant sa direction même. Posons cette droite ainsi tendue sur le contour d'un cercle résistant décrit d'un rayon quelconque CM , de manière qu'elle loi soit simplement tangente en M. L'équilibre ne sera pas troublé par cette circonstance géométrique; et, les deux forces AF, BF, se détruisant toujours mutuellement y le cercle n'aura aucun effort à supporter. Maintenant concevons que les deux forces s'inclinant l'une a l'autre dans le plan du cercle, plient la corde sur sa circonférence comme le représente la fig. 119, en demeurant dirigées suivant les tangentes aux points de contact extrêmes. La seule raison de symétrie fait voir qu'il y aura encore équilibre dans cette disposition ; puisque, les tractions exercées en M, M,, étant égales, la portion pliée de la corde ne peut avoir aucune tendance à se mouvoir d'un côté, plutôt que d'un autre, sur le contour du cercle* Mais cette considération , suffisante pour prouver l'équilibre, ne montre pas comment il est établi , c'est-à-dire qu'elle ne fait pas connaître le mode de transmission par lequel les forces tangentielles AP, BF, , se oontre-balancent le long de la courbe, non plusque ladi* rection et l'énergie de la pression que celle-ci en reçoit.

DE STATIQUE. ao3

Pour éclaircir ces diverses particularités ^ qui composent réellement la partie rationnelle du problème, il faut I comme nous l'avons fait au commencement de ce chapitre, décomposer la corde flexible et inextensible en ses élémens physiques longitudinaux, consistant en parties rigides et inflexibles, jointes bout à bout les unes aux autres, et pouvant tourner avec une liberté entière autour de leurs points de jonctions successives. Alors, en supposant pour plus de simplicité que ces élémens rigides soient tous d'égale longueur et tangens en leur point milieu, à la circonférence résistante, leur disposition dans )a corde pliée sera celle que représente la fig. i9.0'y c'est-à-dire qu'ils formeront les côtés d'une portion de polygone régulier, circonscrit à cette circonférence entre les points de contact extrêmes, désignés ici parM,etMn> Maintenant concevons que le premier élément rigide NA et le dernier NnB, situés comme' les autres dans le plan du cercle, se trouvent tirés, suivant de certaines directions, par deux forces AF, BF|, ou simplement F, F,, agissant dans le sens de leurs prolongemens, lesquels, pour plus de généralité , pourront ne pas être supposés tangens h la circonférence. Ces deux forces solliciteront ainsi immédiatement le premier et le dernier point de jonction N,!?»; puis^ de là, en vertu de la rigidité des élémens consécutifs, elles pourront réagir sur les autres points analogues, d'une manière qu'il faudra chercher a connaître; et comme le mouvement de charnière de chacun de ces points est supposé tout-à-fait libre, il faudra, pour qu'il y ait équilibre dans le système, que cette réaction soit anéantie en vertu de la résistance du cercle aux

points M, , Ma , Ma où il est pressé par chaque

élément.

Une telle résistance doit être généralement considérée

ao4 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

comme une force dirigée suivant la normale à la courbe sur laquelle la corde est pliée , normale qui est ici le rayon du cercle. Ainsi, elle se trouvera perpendiculaire à la direction de chaque élément rigide tangentiel. Supposons que, pour un quelconque d'entre eux^ N3N4, par exemple, on la représente par la longueur M4P4, que nous appellerons P4 pour abréger le discours. Cette force P4 peut être considérée comme la résultante de deux forces parallèles, et égales \ P4 , qui agiraient de même , perpendiculairement , aux extrémités NsN^de l'élément rigide; et ainsi ou peut la remplacer par ces composantes. En effectuant une transformation pareille pour tous les côtés du polygone , la résistance totale de la circonférence sur laquelle la corde e^t ptiée se trouvera représentée par le système de toutes les

composantes analogues | F, , ^ P» i ^n > agissant

ainsi en chaque point de jonction^ perpendiculairement à l'élément rigide auquel elles appartienneut; et tout se réduira à savoir s'il est possible de donner à ces forces des valeurs telles que le polygone soit en équilibre sous leur influence combinée avec celles des forces extrêmes F, F,. Si nous pouvons ainsi opérer généralement cet équilibre, nous n'aurons qu*à multiplier indéfiniment le nombre des côtés du polygone, en diminuant successivement leur longueur^ et la limite de cette subdivision nous donnera évidemment le cas d'une corde continue pliée sur la circonférence résistante.

Mais de plus , comme nous voulons que la corde ait ses derniers élémens tangens à la circonférence , il faut prendre les forces F, F, , telles , qu'en multipliant indéfiniment les côtés du polygone elles se trouvent satisfaire à cette modification. Pour cela , nous prendrons la première force F , perpendiculaire au rayon GN mené

DE STATIQUE. 2o5

•au point de jcuiction des deux premiers élémens, ce qui la rendra physiquement tangentielle lorsque la multiplication indéfinie des côtés du polygone amènera le point N infiniment près de la circonférence. Quant à la force extrême F» qui sollicite le dernier élément, nous ne prononcerons rien sur elle; car sa direction et son intensité se trouveront complètement déterminées par la condition de l'équilibre lorsque l'on se donne la première force F. Au reste , la seule raison de symétrie fait prévoir d'ayance qu'elle sera égale et symétrique à F. Ces choses bien comprises, le reste n'est qu'une application littérale de la méthode de composition successive expliquée § i32. Ainsi, en commençant par le premier point de jonction N, ce point se trouve d'abord immédiatement sollicité par la force F, transmise suivant le prolongement de l'élément rigide NA. II peut en outre l'être, indirectement, par les forces transmises des autres points du système dont il fait partie; mais, ne communiquant à ces autres points que par l'intermédiaire de l'élément rectiligne NN, , la réaction qu'il en éprouve ne peut s'exercer que suivant cette direction même. Enfin on peut , s'il est nécessaire , supposer en outre ce point sollicité par une troisième force N/7| ou /?, , perpendiculaire à l'élément NN( , et égale à la moitié de la résistance normale que la circonférence inscrite lui oppose au point de contact M,. Gonséquemment |K>ur que ce premier point de jonction N soit en équilibre, il faut : 1°. que les trois directions N A, NNi,Npi soient dans un même plan, ce qui a lieu de soi-même, puisque ce plan est celui du cercle, 2°, que la force donnée F, la tension inconnue T , et la composante également inconnue //,, qui agissent suivant ces trois directions, se fassent mutuellement équilibre; par conséquent que l'une quelconque d'entre elles soit égale et directe*

fto8 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

l'équilibre , que la force extrême F, soit égale à la foroe extrême F , et exerce une traction de sens opposé , précisément comme la seule raison de symétrie l'indiquait. Et non-seulement ceci établit l'équilibre de la corde, mais on peut comprendre comment l'action opposée de ces forces, ainsi dirigées, exige que les résistances normales//, Pa, ou Fsin^ agissent aux deux extrémités de chaque élément rigide. Car, si Ton se reporte, par exemple, au premier point de jonction N, où s'applique immédiatement la force F , on peut décomposer cette force en deux autres^ l'une dirigée suivant l'élément N,N, et tirant cet élément vers T, l'autre normale à sa direction et tendant à le rapprocher de la circonférence de contact. Or, la composante longitudinale a évidemment pour valeur F cos m , et telle est aussi la valeur que nous avons trouvée pour la traction éprouvée par l'élément N(N; et la composante normale a pour valeur Fsin^ , ce qui exige en N une résistance normale égale, pour contre-balancer son effort. Au moyen de cette résistance , il ne reste d'actif en N que la tension longitudinale Fcos^, qui se transmet tout entière au second point de jonction N„ et de là successivement à tous les autres.

i4o. Dans cet équilibre, les pressions normales Pf 9 Pft-*Pii > égales entre elles et à 2F sin « , se dirigent toutes au centre du cercle résistant ; et, se transmettant à ce centre en vertu de la rigidité supposée du cercle , elles s'y composent en une résultante unique qui exprime la pression totale que ce centre éprouve. Il est facile d'évaluer cette résultante et de trouver sa direction. Car, d'après le mode de composition successive expliqué ^i32, et employé ici sans aucune modification, si Ton transporte au dernier nœud N. la force extrême F, ainsi que les forces normales

DE STATIQUE. aog

P,, Pa* • . .Pny toutes parallèlement à elles-mêmes, il devra y avoir équilibre entre ces forces et la force extrême F, ou F, spécialement appliquée au point N„ ; ou, ce qui revient au même, la résultante de toutes les forces normales P^, P». . . .P. sera égale et directement contraire h la résultante des deux forces extrêmes F| F, , prises chacune parallèlement à leur direction propre. Elle divisera donc l'angle de ces forces en deux parties égales; et, si on le représente par na ^ elle aura pour valeur 2F cos a. On peut faire cette construction an centre G même , tout aussi bien qu'au point Nn ) en menant par ce centre des lignes C^ respectivement parallèles aux deux forces F , et que l'on prendra proportionnelles à leurs intensités. Alors, achevant sur ces lignes le parallélogramme des forces -, qui sera ici un losange, la diagonale GR sera la résultante générale de toutes les pressions normales exercées sur le contour du polygone , en vertu de l'action des forces extrêmes AF , BF^. On voit, comme nous l'avons annoncé tout à l'heure, que cette résultante divisera l'angle 2a des forces en deux parties égales , et aura pour valeur 2F cos a.

i4i- Dans tout ceci , nous n'avons mentionné en aucune manière le nombre des côtés du polygone tangent. Quel que soit ce nombre, si les tractions extrêmes sont égales et perpendiculaires aux rayons extrêmes CN, GN., comme nos raisonnemens le supposent, elles se feront mutuellement équilibre, par l'intermédiaire du polygone plié sur la circonférence résistante , en donnant à tous les côtés une tension égale , et leur faisant exercer sur cette circonférence d'égales pressions, dont la résultante générale , transmise au centre du cercle, sera la résultante même des forces extrêmes appliquée à ce centre. Ges résultats

iito NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

subsisteront donc encore lorsque le nombre des côtés du polygone sera indéfiniment multiplié entre les points de tangence extrêmes M et M». Alors les extrénûtés N, Nn du premier et du dernier élément , se rapprochant indéfiniment de la circonférence, les tractioDS extrêmes F deyîennent physiquement tangentielles^ puisqu'elles sont toujours perpendiculaires aux deux rayons menés de ces points. La traction constante FcosA» né diffère de ces forces F que d'une quantité infiniment petite et -somme nulle, puisqu'elle peut se mettre sous la forme F — 2F sin'^^r, et que, par la diminution infinie de la longueur des côtés du poly^ gone , le demi-angle au centre » deyient înfinimeot petit. Ainsi la corde pliée est tendue égalenaent dans toute sa longueur ; et les pressions que tous ses élémens exercent sur le contour de la circonférence , transmettent au centre une résultante égale à la résaltante des forces extrêmes, dont l'intensité est sFcosa; de sorte que, si l'on représente ces forces par le rayon même du cercle sur lequel la corde est pliée , fig. 121, la résultante des pressions 2F cos a se trouTera représentée par la sous-tendante MjM n de l'arc 2a que la corde embrasse. Car il est visible que les triangles isoscèles C^R,M|CMn sont équiangles, comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires, ce qui les rend ^ux à cause de l'égalité des côtés pris égaux au rayon.

Ces modifications des résultats, en passant du polygone à la courbé continue, sont éyidentes d'ellesmêmes. Il ne peut y avoir quelque difficulté que pour les valeurs des pressions normales P, , P». . . .P„ qui , étant égales à 2Fsintf, semblent s'évanouir individuellement, lorsque a» devient infiniment petit par la multiplication indéfinie du nombre des côtés dfu polygone. Cette atténuation est en effet réelle; mais il faut

remarquer qu'en même temps que ces pressions individuelles s'affaiblissent, le nombre des élémens qui les exercent devient plus considérable, ce qui produit une compensation qui, ainsi qu'on l'a vu plus haut, rend leur résultante totale constante, et indépendante du nombre et. de la grandeur des côtés du polygone , SSL taleur étant toujours égale à 2Fcosa. Au reste > Fexpressîon même aFsin» des pressions individuelles exercées par chaque élément rigide , confirme ce que nous Tenons de montrer. Car sin^ est égal à la demilongueyr de chaque élément tangentiel, ou à 4 ^ divisé^ par le rajon r du cercle circonscrit. Conséquemment^ la pression normale 2Fsin« peut être également

FI exprimée par^ — ^ et, si elle diminue avec /, quand

le nombre des côtés du polygone augmente, cette augmentation même multiplie pareillement le nombre de cet pressions affaiblies, qui, en se composant les unes avec les autres, donnent toujours la même résultante. 142. Les considérations précédentes pourraient facilement être étendues au cas ou la corde, au lieu d'être pliée sur une circonférence d'un rayon constant, le serait sur une courbe ou même sur une surface quelconque. Car toute courbe peut être considérée comme composée d'élémens circulaires consécutifs dont le rayon varie; et toute surface peut être considérée oomtne composée d'élémens sphériques de rayons graduellement variables; de sorte que les élémens de la corde pliée sur une courbe ou sur une surface quelconque^ doivent toujours satisfaire consécutivement aux conditions de l'équilibre sur le cercle ou sur la aphère, deux cas dont l'un vient d'être traité complètement , et l'autre serait très facile à traiter par ce ^i précjbde Mais il nous suffira ici d'avoir indiqué

cette généralisation , d'autant que les cordes sont presque toujours pliées sur des cercles ^ dans les applications mécaniques.

Les Poulies et les Moufles.

143. Les poulies sont des cercles solides de bois oa de métal, dont le contour ^ d'une certaine épaisseur, est creusé en gorge pareillement circulaire. Dans cette gorge s'enroule une corde, aux deux bouts de laquelle on applique des forces qui se combattent , en vertu de la résistance du cercle solide. Cet appareil sert en général pour cbanger la direction des forces.^ et aussi pour favoriser leur effort, à l'aide de points fixes, comme on le verra lorsque nous décrirons les diverses manières de l'employer , dont les plus simples sont représentées fig. 122, 123, 124 et 125.

Généralement, le centre de la poulie est traversé par un axe rigide autour duquel elle peut tourner librement. Mais quelquefois cet axe est fixé invariable ment, de manière à résistera la pression que le centre éprouve, tandis que, dans d'autres cas, au contraire, Taxe et la poulie sont libres dans l'espace. Les fig. 122 et 123 appartiennent à cette première disposition, et les fig. 124 et 125 à la seconde. Pour ne pas compli* quer les effets statiques par des considérations étrangères à ces dispositions mêmes , nous ferons généralement abstraction du poids et de la raideur de la corde enroulée, et nous la supposerons consister en nn simple fil inflexible et inextensible , susceptible de glisser dans la gorge de la poulie sans aucun frottement.

i44* Dans la figure 122, les deux extrémités de h corde , tangentes en M et M, au cercle, sont tirées en sens contraires par les deux forces AF, 6^,. Pour

que la corde ainsi sollicitée soit en équilibre , il faut, d'après ce qui a été démontré dans le précédent paragraphe , que les deux forces F, F, soient égales entre elles, et que le centre, ou l'axe rigide qui le supporte, puisse résister à Tefiort de leur résultante CB. Cet effort est exprimé par aFcosa, en représentant par 2a Finclinaison mutuelle des deux forces l'une sur l'autre.

La figure I23 représente le cas particulier de cette disposition oh les deux forces AF, BF, sont parallèles l'une à l'autre, ainsi que les cordons tangentiels MA, M|B, qu'elles sollicitent suivant leurs longueurs. Alors la pression GR que le centre éprouve , et que l'axe fixe supporte, devient égale à la somme de ces forces ou au double d'une d'entre elles.

L'appareil ainsi employé, l'axe étant fixe, ne peut avoir qu'un usage très borné , celui de transformer la direction des forces. Ainsi , dans le cas de la figure 128, une force verticale F', agissant de haut en bas, peut, à Paide de la corde et du point fixe G , intervertir son effort et élever le poids P de bas en haut, en sens con^ traire de sa direction propre. Mais la puissance dont on dispose n'a rien à gagner de plus que le changement de direction, puisqu'il faut toujours qu*elle soit égale à la résistance qu'on lui fait combattre.

145. Dans les figures 124 et i25, où la poulie est mobile , l'axe rigide qui traverse son centre porte ordinairement un appareil que l'on appelle chape ^ et qui est formé par deux lames ou tiges de métal CL , parallèles entre elles , dont là longueur excède un peu le rayon de la poulie , de sorte qu'elles peuvent se re« joindre, et se rejoignent en effet à leurs extrémités L, sans gêner le mouvement circidaire de la poulie autour de son axe. La chape est ordinairement terminée par

ai4 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

un crochet auquel on attache les poids , ou généralement les résistances par lesquelles on veut équilibrer l'action des forces F, Fa , qui sollicitent la corde enroulée.

Lorsque l'on emploie cette disposition ,■ il faut toujours ^ pour l'équilibre , que les deuxforcte F, Fi soient égales entre elles , comme précédemment, afin que U corde ne glisse pas sur la poulie. Il faut ensuite que leur résultante soit égale et contraire à . la force R , qui tire la poulie par sa chape; ainsi, lorsque les deux forces sont parallèles à la résistance R, comme dans la figure 125, il faut que chacune d'elles soit égale a la moitié de cette résistance ou à ^ R*

146. Une des forces ainsi agissantes peut être remplacée par la résistance d'un point fixe auquel la corde est attachée. £n effet , l'équilibre ayant lieu entre les forces égales F, F, et la résistance R , fig. 1.24 ou iiS, supposez en A un point fixe auquel on attache la corde, en supprimant la force F ; l'équilibre aura encore lieu comme auparavant. Car la transmission de la force Fi le long de la corde pliée, produira en A une tension égale à elle-même, et de sens contraire.i la force F. Mais cette tension Sollicitant le point fixe A| sera détruite par sa résistance, précisément comme elle l'eût été par la force F, si l'eltrémité A eût été libre au lien d'être fixée. Ainsi la transmission circulairede la fbrceF) ne laissera pas de produire sur chaque élément de la gorge de la poulie la même pression que dans le premier cas ; d ob résultera sur le centre la pression totale 2Fcosa, qui devra être équilibrée par la résis-

tance R. On aura donc encore ici F = , comme

2eosa ,

dans le cas où l'on employait les deux forces extrêmes

F, F, ; mais on n'aura à fournir qu'une senle de ces

DE STATIQUE. 2i5

deux forces, l'autre étant suppléée par la résistance du point fixe A.

Dans l'expression précédente de F, le facteur cbsa, qui se trouve en dénominateur , est toujours tine fraction moindre que l'unité , excepté dans le cas particulier où l'angle a est nul, ce qui donne cosa = i et F = -îï^; c'est-à-dire qu'alors, h l'aide de la poulie et du point fixe, on peut équilibrer la résistance R avec une force d'une intensité moitié moindre. Ce cas est celui àes cordons parallèles, représenté figure i25. Pour toute autre valeur de l'angle a , l'appareil de- Tient moins favorable à la puissance, et d'autant moins, que l'angle a devient plus considérable ; car alors cos a étant une fraction dont la valeur s'affaiblit à mesure

que a augmente , la valeur de F ou devient

pluft grande, c'est-à-dire qu'il faut employer une plus gratide force de traction pour équilibrer la même réâistatioe R. Lorsque 2cosa=i, ce qui suppose... afi=6o% F devient égal à R, et l'appareil n'ofiFre ni avantagé ni désavantage à la puissance. Mais il lui devient défavorable lorsque l'angle a augmente au* delà de cette limite; car le dénominateur 2Cosa de- Tenant une fraction moindre que l'unité, la puissance F, nécessaire pour l'équilibre, est plus grande que la résistance R. Le cas extrême de cette défaveur est celui où l'on supposerait a= go** , ce qui rendrait F infini , quel que fût R. Alors l'angle ia se trouvant égal à 180°, les deux forces égales AF , BF seraient opposées l'une à l'autre en ligne droite , fig. 1 26. Par conséquent, leur résultante étant nulle ne pourrait faire équilibre à aucune résistance R qui ne serait pas nulle .aussi* C'est ce que l'e](pression algébrique exprimé , en exigeant alors pour l'équilibre que la force F soit infinie,

ai6 NOTIONS ELEMENTAIRES

quelque petite que soit la résistance R , si elle n'est pas tout-à-fait égale à zéro.

i47* La figure 127 représente un assemblage de plusieurs poulies mobiles, ainsi liées à des points fixes, et qui se tirent successivement les unes les autres ^ par des cordons parallèles. La première, GIVI, est enroulée par une corde dont l'extrémité A est tirée de bas en haut par une force verticale F, l'autre extrémité B étant attachée à un point fixe. De là résulte, sur le centre C, une pression R ou 2F, agissant dans le sens de la force F. Cette résultante est employée à tirer l'une des extrémités d'une autre corde verticale qui s'enroule autour d'une seconde poulie, et par son autre bout ta s'accrocher en 6| à un autre point fixe. De là nait, au centre C, de cette poulie, une nouvelle résultante double de R, par conséquent égale à 4^; celle-ci se double encore en agissant sur une seconde poulie, et ainsi de suite indéfiniment. D'où l'on voit que si n représente le nombre de poulies assemblées de cette manière, la force primitive F , transmise par leur système , produit sur le centre de la dernière une pression égale à 2*. F; de sorte que son énergie semble pouvoir être ainsi accrue indéfiniment. Mais cette possibilité mathématique se trouve fort diminuée dans la pratique, par la résistance que la raideur des cordes oppose à leur ploiement autour des poulies combinées ; surtout pour les dernières, qui, ayant à soutenir une résistance plus copsidérable , exigent de plus grosses cordes pour la supporter.

148. Les figures 128, 129, i3o, représentent d'au* très assemblages de poulies , qui ont égalemei^t la propriété de multiplier la force primitive F qu'on y applique, en l'aidant par la résistance de points fixes. jVIais, dans ceux-ci, que l'on appelle des moufles, une

même corde continue embrasse toutes les poulies combinées.

Chacun de ces appareils se compose en général de deux systèmes de poulies, dont les axes sont fixés inyariablement les uns aux autres , en ligne droite, dans chaque système , à l'aide d'une même chape métallique qui les embrasse. Le système supérieur est attaché par le haut à un point fixe ; le système inférieur , au con-itraîre , est mobile; mais il est suspendu au premier par une corde qui passe successivement d'un système à l'autre en s'enroulant autour de toutes les pouliçs; après quoi elle sort libre et se trouve seulement tirée à cette extrémité par une force F. Il est clair que, si cette force agissait seule dans l'appareil, elle tirerait l'extrémité de la corde à laquelle elle est appliquée, et rapprocherait ainsi le système fixe des poulies, du système mobile, puisqu'elle diminuerait la longueur de la corde qui les joint. On conçoit donc que son effort pour produire cet effet puisse être équilibré par une force opposée E. , agissant au bas du système mobile. Pour trouver alors la relation de R et de F, il n'y a qu'à considérer que la force F agissant sur l'extrémité libre de la corde, se transmet tout entière à tous les élémens qui la composent , soit directement dans les parties rectilignes des cordons, soit cîrculairement dans les portions enroulées autour des poulies *, de sorte que le premier et le dernier point de la corde se trouvent également sollicités par cette force F. Majs^, dans les portions rectilignes des cordons , la transmission de la force F s'opère directement sans produire aucune pression latérale; au lieu que, dans les portions enrou- . lées, la transmission circulaire produit contre les circonférences des poulies, soît fixes, soit mobiles, une pression normale q\\\ se transmet h leur centre et y formie une

2i8 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

résultante double de la traction F, du moins si les cordons sont tous supposés parallèles , comme le représentent nos figures. Ainsi il y a autant de ces doubles forces qu'il y a de poulies enroulées. Or , celles d'entre elles qui s'exercent sur le système des poulies fixes sont détruites par la résistance du point fixe auquel ce système est suspendu , et ainsi leur effort de haut en bas est anéanti; mais celles qui agissent de bas en haut sur les centres des poulies inférieures, subsistent et tendent à les soulever ; de sorte que leur effort total est celui qui combat la résultante R attachée au bas du système mobile. Ainsi, dans la figure ia8 , où le système mobile comprend trois poulies enroulées, la force 2F se trouve triplée, ce qui donne R=6F. La fig. 1 29 n'offre que deux poulies enroulées dans le système mobile I ce qui produit d'abord une somme de pressions verticales égales à 4^ 9 msAs la poulie supérieure de ce système, la plus voisine du sytème fixe, se trouve encore tirée de bas en haut avçc la force F , par l'extrémité de la corde, qui s'y attache immédiatement, ce qui produit une résultante totale égale à 5F. £n général , l'analyse des pressions et des tractions que la corde exerce sur les divers systèmes des poulies , tant mobiles que fixes , dont se composent tous les appareib de ce genre y donnera la mesure exacte et complète de leurs effists.

On voit qu'ils ont tous plus ou moins la propriété d'augmenter l'effort primitif de la puissance, ce qu'ils font en compensant sa faiblesse par la plus grande longueur d'espace qu'ils lui donnent à décrire pour élever la résistance h une hauteur donnée. Nous avons remarqué dans le levier, le plan incliné et la vis , une compensation analogue. Elle a lieu généralement dans toutes les machines , quelque simples ou composées

qu'elles puissent être. Mais, outre cet inconvénient d'un grand déplacement de la puissance > l'emploi des moufles comme multiplicateur des forces est encore bien pluspromptement limité par la raideur des cordes , qui , résistant à s'enrouler autour des diverses poulies dont ces appareils se composent , exigent qu'une partie de la force se dépense pour les y contraindre ; et cette portion perdue pour l'effet utile est d'autant plus considérable que les poulies combinées sont en plus grand nombre.