B2, NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

daBB une partie de l'épaisseur de B, du côté de la face bCf qui doit être en contact a^ec À, et l'on donne à ce prolongement assez de profoi^deur pour que le boa- Ion W puisse se loger tout entier dans les deux pièces* Il ne reste pins qu'à fixer Técrou £E dans la pièce B^ pour cela on agrandit carrément le trou cylindrique fait dans cette pièce ^ de manière à lui donner préci- «ément la largeur nécessaiffepour recevoir l'-éoron à «ne certaine profondeur , en conservant son axe dans l'axe du cylindrcb Au-delà de cette profondeur^ on laisse aa trou cylindrique ses premières dimensions. Qoaod Pécrou est logé dans l'ouverture carrée ainsi pratiquée pour le recevoir^ on l'y retient en la bouchant au dehors, par l'introduction d'un morceau de bois ou de nétal de même dimension , q^ie l'on y fait entter par force > en pratiquant ou réservant à son œn^e le trou cylindrique nécessaire pour laisser passer le boulon* Gda fait , on replace les pièce» A et B P^ne contre l'autre, et l'on introduit le boulon W par la première, jusqu'à ce qu'il rencontre Técrou £E ; alors on l'y engage en le tournant , d^Jbord à là main , en retenant les pièces A et B. Maïs lorsqu'il est assez enfonoé pour que sa tête Y tou^e la pièce A et y fasse naître une friction qui rend oe mouvement plus difiSeîIe , on le continue en agissant sur la tête V de Véopoa par le moyen d'une c4ef qui s'y emboîte parfaitement , ce qui donne ainsi à la main l'avantage du levier. On oblige ainsi les filets du boulon en V à s'engager de fjfas en plus dans l'écrou^ et à le traverser todalement , en produisant une pression P très épergiq^e dans le sens de l^xe , ce qui serre fortement les pièces A et B l'une contre l'autre. Quand on cesse d'agir aii^si sur la tête V du boulon , c'est le frottem^it -de cette têtis eqntre la pièce A , aussi bien qîie celui des filets dt Pécrou et

DE STATIQUE. i83

delà vis entre leurs mutuelles surfaces j qui empêchent la réaction * élastique des deux pièces de détourner le boulon et de détruire le serrage. La yis employée de cette manière s'appelle bejilon à ècrqu perfiu,

10,5. Lorsque la pièce A n'a que peu d'iépaisseur , par exemple , lorsque l'on veut fixer une simple planche de bois ou une plaque métallique sur la pièce B , on creuse l'écrou dans le corps même de cette pièce; et si eUe est en bois , on fait cette opération avec la vis niéme. Alors on emploie la vis à filets triangulaires , représentée plus haut, iig. io4y et que l'on appelle Tj'is à bois. On leur donne un iilet tr.ès mince et un peu coupant, pour qu'elles puissent creuser plus avsémeoi leur place; par le même motif, on leur donne ui^ forme légèrement conique-, enfin , leurs filets sont très espacés, pour que l'assemblage des fibres du bois corn* prises entre d'eux filets consécutifa, ait ass^z ^e consistance pour résister à l'effort que la réaction^ élastique, des deux pièces fiait pour les brisQi\ Quant. à la manière d'en faire usage, il suffît de pi^atiquer dans ^la pièce B, fig. 1 1 o , un trou cylindrique d'un diamètre plus petit que le ..diamètre de la vis, y compris son filet. On le fait correspondre à un autre trou d'nn plus grand diamètre, qui traverse A de part en part. Gela fait^ on engage l'extrémité de la vis dans la pièce B; puis, au moyen d'un instrument XL i UGSçamh . lournevis ^ que l'on tient à la main, et qui s'inserre dans la tête de la vi£f , on force celle*Qi à tourner et à creuser sa: trace dans la pièce B. D'après la définition que nous avons donnée de l'écrou, on voit que, dans c^ cas, la pièce Q devient un véritable écrouj et l'effet produit par la rotation de la vis sur son axe sera encore^ comme dans le cas du boulon à écrou perdu, de rapprocher la pièce A de B. Si le bois de cette dernière est d'une

i84 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

nature compacte ^ on peut fixer très solidement h

pièce A de cette manière.

ia6. On emploie encore les via à écrou statîonnaires,

lorsque la pièce B est elle-même métallique^ mais alors

la dureté du métal ne permet plus de leur faire creuser > leur écrou elles* mêmes. Dans ce cas , on commence

encore par pratiquer dans la pièce B^ au moyen d'un forttj iin trou cylindrique d*un diamètre un peu plus

grand que le diamètre intérieur de la vis. Pais on y

introduit une yis conique de même pas en acier , dont les filets ont été échancrés à la lime y de distance en distance ^ et ensuite trempés fortement. Cette vis^ ainsi disposée, se nomme un taraud* 11 est facile de se rendre raison de la disposition des entailles pratiquées dans ses filets. Elle a pour but de mettre à nu ces SkiSj précisément dans la position que nous avont donnée, % lao , au filet générateur pour décrire la vis et 1- écrou ; de plus^ elle les rend assez coupans pour qu'ils puissent creuser leur trace dans le trou cylindrique et enlever toute la portion du métal qui s'oppose à l'entrée du taraud dans ce trou. Pour vaincre la résistance qu'offre la cohésion des molécules du métal , on întroduitla tête du taraud dans un trou percé au centre d'un levier à bras très longs, nommé tourne^^gauche; puis, en appuyant fortement sur les bras de ce levier et les faisant tourner alternativement à droite et h gaucbe, on force le taraud à tracer d'abord une bélice sur la surface intérieure du trou cylindrique. En répétant la même manœuvre et engageant de plus en plus le taraud dans le 4:jlindre creux, on approfondit successivement cette première trace, et l'on parvient enfin à repitKluire en creux, dans la pièce B , le même filet que celui du taraud. Or^ comme \ nous avons supposé que ce filet était le même que celui

de la vis que Ton veut employer, il s'ensuit que la

DE STATIQUE. i85

pièce B peut servir d'écrou à cette vis. Par conséquent , si la pièce A est percée d'un trou assez grand pour que la partie cylindrique de la vis puisse y passer librement , on peut en engageant le filet de celle-ci dans le filet creux de B,. et ensuite la tournant autant que possible^ faire adhérer les deux pièces métalliques A et B.

Cette dernière manière d'employer la vis est très usitée dans les ateliers militaires : on s'en sert^ par exemple, pour fixer sur les platines des armes à feu toutes les pièces détacbées de la batterie > tdles que le cbien , les ressorts 9 la npix, etc. Il est bon de remarquer que, dans ces opérations y l'effort exercé par le tournevis sur la tête de la vis, pour la faire tourner, produit précisément l'effet d'un couple dont l'action sur l'axe de la yis est nulle ; au lieu que , lorsque l'on tourne la vis ou son écrou, à l'aide d'une clef, comme dans les $ i23 et 124, l'effort exercé sur l'extrémité de cette clef se transmet tout entier à l'axe, comme on le voit aisément par la transformation employée dans len^ 122. Ce second mode d'action exige donc que l'on soutienne les pièces mobiles contre cet effort; et il pourrait , en outre, casser la vis, s'il n'était pas convenablement modéré.

Les Cordes.

127. Les cordes, telles qu'on les emploie dans tous les arts mécaniques, sont formées par l'assemblage de fibres végétale» réunies ensemble par la torsion. Or, la fibre la plus fine^du lin ou du chanvre n'est jamais complètement flexible, et elle acquiert encore plus de raideur lorsque plusietlrs.de ces brins sont tordus ensemble pour forn^er des fils, puis ces fils réunis en grand nombre et tordus ensemble de nouveau pour former des cordes. Alors un pareil système ne se laisse pas plier dans tou&

i86 NOTIONS ÉlImENTAIRES

les sens sans résistance, et îL résiste d'autant plus qu^îl est plus gros.

Cette propriété a une telle inûiience dans les usages pratiques des cordes, surtout de celles qui ont un fort diamètre et que Von appelle des câbles ^ que l'on doit toujours considérer une grande partie de la force dont on dispose comme employée uniquement à Taincre la résistance qui en résulte ; mais la considération de cette résistance , dans les problèmes de Statique on Ton emploie des cordes , les complique excessivement, et surtout beaucoup plus qu'il ne nous ef^t permis de le faire ici. C'est pourquoi nous nous bornerons à considérer les cordes comme de simples fils ou lignes mathématiques sans épaisseur , parfaitement flexibles dans le sens transversal, et tout-à-fait inextensibles dans le sens longitudinal. Les résultats auxquels nous parriendrons dans cette hypothèse , seront utiles oonune of- £nmt la limite abstraite de ceux que l'on peut considérer dans la pratique ; et ce sont d'ailleurs ks seuls que la Statique élémentaire puisse atteindre.

,128. Lorsqu'un nombre quelconque de forces appliquées en divers points d'une corde se font mutuellement équilibre ) il y aura deux cas a considérer : i^ celui où la corde est tout-4-fait libre dans l'espace, et seulement soumise à l'influence des forces qui agissent sur elle ; 2^. celui où ses mouvemens sont gênés par quelque obstacle fixe, dont la résistance l'arrête dans c^tain sens, et contribue ainsi à l'équilibre par la des-* truction de force qu'il peut opérer. Nous allons -traiter successivement ces deux genres de questions.

129. Le cas le plus simple de l'équilibre d'une corde libre, est celui où elle est tirée en sens contraire par deux forces d^ intensités égales, opposées en direction, telles que les représenté la fig. 1 1 1 .

Pour bien concevoir^ dans cette disposition^ comment les forces AP, BQ se combattent par Pintermé*diaîrc du cordon inextensible AJB qui unit leurâ points d'application , il faut décomposer par la pensée ce cordoq en une infinité de parties très petites^ représentant les élémens matériels ou groupes de particules qui forment le fil, et qui sont retenus ensemble par leur attraction mutuelle, la même qui constitue tous les corps. Alors , pour représenter à la fois l'inextensihilité du fil et sa parfaite flexibilité, il faudra considérer chacun de ces élémens matériels comme nne petite verge rigide- pouvant tourner avec une' liberté parfaite autour de ses points de jonction avec les élémens analogues qui Favoisinent, sans pouvoir, eu aucune ma« nière, s'en séparer. Cela posé, si l'on * examine l'élat statique de Féléinent Aa, qui est le premier vers le bout libre A de la corde auquel la force AP ou P est appliquée , on pourra , sans troubler cet état , appli* qner à ses deux extrémités A, a, deux forces contraires, agissant suivant la direction de la corde , et de plus égales entre elles et à la force P. Celle de ces forces auxi* liaires qui sera opposée k la force AP la détruira; ainsi il ne restera à considérer que l'autre force auxiliaire égale à AP, et agissant dans le même sens à l'extrémité a du premier élément matériel. Cette force auxiliaire se transmet par contact à l'élément suivant on on la transporte au troisième de la même manière , et ainsi de suite^^squ^aa dernier élément situé en B, oii elle se trouve immédiatement détruite par BQ qui lui est égale et directement contraire.

Cest précisément de la même manière qu'il faut conoevoir dans les verges rigides la transmission des forces appliquées à un point quelconque de leur masse, et dirigées suivant leur longueur. Mais U y a cette diffé-

i88 NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

rence entre ]ès verges et les cordes ^ que, daus les verges, les élémens matériels résistent à toute force latérale quitendrait k les faire tourner autour de leurs points de contact successifs^ et à changer ainsi la courbure de la verge; au lieu que, dans les cordes supposées parfaitement flexibles, la plus petite force latérale peut y produire une pareille inflexion. Et de là résulte qu'une verge rigide droite reste en équilibre lorsqu'elle est sollicitée à ses extrémités par deux forces égales et directement contraires, qui agissent dans le sens de sa' longueur quel que soit le sens abisolu de Inaction de ces forces; c'est-à-dire soit qu'elles fassent effort pour allonger la verge, comme dans la fig. m, soit qu'elles tendent au contraire à la contracter, comme dans la fig 112. Mais le premier cas d'équilibre seul peut être réalisé , au moins physiquement , dans les cordes. Car, si les deux forces égales et contraires AP^ BQ , se trouvaient dirigées de manière à diminuer la longueur, comme dans la fig. 112, l'inextensibilité attribuée à la corde ne lui donnerait pas la faculté de résister à cet effort; et elle fléchirait sous l'influence des deux forces jusqu'à ce que les deux points A et B vinssent se joindre et se mettre en équilibre au contact* Il est vrai que, dans le cas idéal d'une opposition complète des forces , et d'une direction de la corde primitivement rectiligne, on pourrait concevoir l'équilibre comme mathématiquement possible en vertu de l'incompressibilité des élémens matériels dont la corde est composée; mais ce cas n'aurait jamais de réalité dans la nature , où cette supposition d'une corde rigoureusement droite ne saurait jamais être admise. Or , la plus petite déviation de cette rigueur idéale suffirait pour que la corde se fléchît. On. exprime cette particularité, dans le langage mathénaatique, en disant que, dans le cas de la fig. 1 1 1 , l'équi-

libre de ÏSi corde eut stable j tandis qu'il est instable^ et niéuft physiquement inadmissible, dans le cas de la fig. 112.

i3o. Ces notions préliminaires étant établies, concevons un point matériel M , fig. 1 1 3 , auquel soient attachés fixement trois cordons MA, MB, MC, et qui soit tiré suivant ces cordons par trois forces AP ,BQ,CR, ou P, Q,B., appliquées à leurs extrémités libres: on demande les conditions d'équilibre de ce point.

D'abord la force AP ou P agissant en A suivant la direction même du cordon MA, transmet en M une force de traction précisément égale et dirigée dans le même sens. On en peut dire autant des forces BQ, CR pu Q et R, suivant leurs directions respectives. Le point M se trouvant ainsi sollicité ^multanément par les trois forces, P, Q, R, que les ciH*dons lui transmettent, il sera facile de trouver les conditions de son équilibre. Car d'abord, deux quelconques desforces, P et Q, par exemple , peuvent être composées en une seule située dans leur plan. Sx nous appelons R' cette résultante , il faudra qu'elle se trouve égale et directement contraire k la troisième force R, ce qui exige que celle -ci se trouve dans le plan des deux pr&« miëres. Doncj en résumé , pour que le point M ,soit' en équilibre, il faudra' : 1°. que les trois cordons qui le tirent soient dans un même plan; 2^ que chacune des forces appliquées suivant ces cordons soit égale et directement contraire à la résultant^ des deux autres, ce qui exige que leurs intensités soient entre elles comme les sinus des angles opposés, §^i»

1 3 1 . Concevons maintenant que , sur une corde flexible et inextensible, d'une longueur finie, AB,fig. 1 14, on ait pris entre les deux extrémités A et B , un nombre quelconque de points intermédiaires N,;Nfl,N3. • . . à chacun

igo. NOTIONS ÊLÉMENTAIKES

tlesqiielsy comme à autant de noeuds fixes sur la corde, on

ait appliqué des forces AF ,N,F,, NaF» airigées

arbitrairement dans l'espace , et représentées tant en intensité qu'en direction par les droites que nous venons de désigner.On demande les relations qui doivent exister entre les intensités et les directions de ces forces, pour que le système reste en équilibre de lui* même.

Cette question ^ en apparence très compliquée, se résout aussi simplement que la précédente, en considérant que <:baquo point de la corde, et même de tout corps quelconque en équilibre, est généralement soumis à deux genres de forces, donjt les unes sont celles qui lui sont particulièrement appliquées et les autres sont celles qui lui sont transmises des autres points du système , par l'intermédiaire des cordons ou des verges qui le lient à ces points. Àinài dans le cas présent, par exemple, le nœud N^ est sollicité immédiatement par la force Fj, qui s'y applique ; et en outre il peut l'être encore indirectement par les tractions que les autres forces, appliquées en divers points de la corde, peuvent exercer sur lui à l'aide des 'cordons adjacens N^N,, N^Ns. Mais ces cordons étant, Funique intermédiaire matériel par lequel le nœud Nft communique avec les points du système auxquels les autrçs forces s'appliquent, aucune action de la part de ces forces ne peut être transmise sur lui , que suivant leur direction rectiligne N^Nj, N^Ns. Ainsi, quelles que puissent être les tefisioBS de ces cordons, l'équilibre du ticçud Nt sera uniquement déterminé par leur influeœe, combinée avec celle de la force Fa qui lui est spécialement appliquée.

Cette force et les deux tensions <}evront donc satisfaire aux relations d'équilibre d'un point isolé; cVst* à-dire que 'leurs trois directions devront être dams up même plan, et que l'une quelconque d'entre elles- devra

être égale et directement contraire à la résultante des deux, autres. L'équilibrede tous les autres nœuds sera assujetti h des conditions analogues, entre les tensions de^ deux cordons qui y «iboutissent et Ies> forces qui y sont appliquées spécialement.

Le même principe donnera aussi les conditions d'équilibre des cordons eux-mêmes. Car, si l'on considère un quelconque M des points qui les composent, et auxquels nous ne supposons aucune forcé spécialement appliquée, l'équilibre de ce point ne pourra résulter que de l'équilibre des forces qui lui sont transmises du reste du système suivant les deux portions de cordons par lesquels il communique avec eux. Il faudra donc que les tensions de ces deux portions , qui sont déjà dirigées sur la même ligne droite, soient contraires çt égales entre elles, pour que le point où elles se joignent reste en équilibre entre leurs efforts.

Enfin, le même principe de transmission des forces donne encore les conditions d* équilibre particulières aux points extrêmes A et B de la corde. Nous disons particulières , parce qu'elles ne sont qu'une modification de la condition générale que nous venons d'établir pour les nœuds intermédiaires. En effet , considérons , par exemple , l'extrémité A à laquelle s'applique la force AF. Le point A se trouve sollicité par cette force et par l'action indirecte que les autres forces F, , Fa ... . F„, exercent sur lui en tirant le cordon AN,. Or, la tension aiûsi opérée sur ce cordon est nécessairement dirigée suivant sa longueur, puisqu'il est supposé en équilibre. Donc, pour que le point A soit aussi en équilibre, il faudra que la force extrême AF soit dirigée suivant le prolongement du cordon AN,, et qu'elle soit égale et de sens contraire à la tension que le cordon éprouve par la réaction de toutes les autres forces F, , F» , .... F».

Dans tout ceci , nous arons considéré les points A , ^(, Na, . . . . B , comme sollicités chacun par une force extérieure unique. Il est évident que cette supposition ne limite en rien la généralité du problème^ car, si plusieurs forces étaient appliquées à chacun de ces points, on pourrait toujours les composer , à chaque point, en une seule résultante qui représenterait les forces F, F, , . . . F^ , que nous venons de considérer.

Ces deux résultats , c'est-a-dire l'équilibre partiel de chaque nœud , et l'équilibre partiel de chaque cordon j déterminent toutes les particularités de direction , et de forme et de tension du polygone funiculaire en équilibre, représenté fig. ii4>

i32. Fn effet y ils suffisent d'abord pour le construire et pour déterminer la direction de tontes ses parties, lorsque l'on donne les directions ainsi que les intensités des forces, avec les longueurs des cordons inextensibles par lesquels les nœuds sont liés les uns aux autres. Car, placez, par exemple , l'extrémité A , à laquelle s'applique la force AF, en un point quelconque de l'espace. Puisque la direction de cette force est donnée, celle du premier cordon AN, le sera aussi , et même sa tension, qui doit être égale et contraire à la force AF. Prenez donc, sur le prolongement de FA, une longueur égale k celle que ce premier cordon doit avoir; et le point où elle se terminera sera le lieu du nœud N,, auquel il faudra appliquer la force Fi, connue en intensité ainsi qu'en direction. Ce nœud se trouvera alors sollicité simultanément par cette force et par la force AF , transmise tout entière le long du cordon ANi comme dans la fig. 1 1 1 , ou,' ce qui revient au même, il se trouvera sollicité par la résultante N|Ri de ces deux forces. Donc, pour qu'il soit en équilibre, il faudra que la tension du cordon NjN», par lequel il reçoit la réaction des autres forces, soit égale et

DE STATIQUE. jgS

GODt-raire à cette résultante; ce qui donne la direction de ce cordonnet par conséquent le lieu du second nœud Na qui le termine , puisque la longueur de ce cordon est supposée connue. En poursuivant ce raisonnement^ on trouvera successivement le lieu du troisième nœud , du quatrième^ et ainsi des autres, lesquels pourront n'être pas dans un même plan ; et l'on obtiendra également les tensions de tous les cordons qui y al)outissenty jusqu'à Fextrémité B de la corde, où la dernière force F„, devra se trouver égale et contraire à la dernière tension. De so^te que ce sera là, réellement, l'unique condition à laquelle le système des forces devra satisfaire , pour que l'équilibre de la corde puisse avoir lieu ainsi dans l'espace sous son influence.

Cette condition définitive, d'après la marcbe qui nous a conduits à l'obtenir, semble renfermer les tensions des cordons qui entrent dans la formation des composantes successives; mais en réalité elle n'en dépend pas. En effet, reprenant la série des raisonnemens qui précèdent, nous avons vu que la tension R, du second cordon NiN» est la résultante des deux forces F, F, , transportée au nœud Nj. Delà, cette tension et cette résultante se transmettant au nœud Na, résolvez-l'j de nouveau en ses deux composantes primitives. Alors les trois forces F,F,,Fa,*agissant en N^, donneront la tension Rft du cordon N^Ns *, et cette tension à son tour, résolue en N3 dans ses composantes , se combinera avec la force F3, de manière à donner pour résultante la tension Rj du cordon suivant. Le même raisonnement continué jusqu'à l'extrémité B de la corde, y produira enfin la dernière tension Rn^i égale à la résultamte des forces précédentes, F, Fi, F„. . .Fb«,-, et cette dernière tension devant être équilibrée par la dernière force F„, on voit qu'en définitive il faudra que toutes les forces exté—

rieures FF,F». ... F^, qui sont appliquées aux divers points de la corde libre, soient telles qu^ elles se fassent mutuellement équilibre étant transportées au même point d'application ; ou, ce qui revient au méme^^i^ l^une quelconque d'entre elles soit alors égale à la résultante de toutes les autres* Cette condition est la seule qni doive exister entre les torces appliquées en divers points d'une corde parfaitement flexible et inextensible pour qu'elle puisse se tenir en équilibre dans l'espace par l'unique effet de leur mutuelle réaction.

i33. La méthode de composition successive que nous Tenons d'employer pour analyser la transmission des forces suivant la longueur des cordons consécutifs , détermine les intensités particulières des tensions que ces cordons éprouvent. Ainsi, par exemple, le troisième cordon NftNs de la fig. 1149 se trouve tiré dans le sens NsNft, parla résultante des forces F,F„Fa,, trans|)ortées au point N»; et il l'est dans le sens icontra ire par la résultante de toutes les autres forces F3F4. ... Fa transportées au point N3. Ces deux résultantes se trouvent égales et contraires l'une à l'autre, par la relation d'équilibre établie précédemment entre toutes les forces» En général , tout autre cordon offrira un résultat analogue, c'est-à-dire que le m*, par exemple , représenté par Nm-iNm, se trouvera tiré dans le sens NbiN^^,' par la résultante de toutes les forces F,F,,. • . . Fm«i transposées au point Not«, , et dans le sens contraire Nto,Ni„, parla résultante aussi égale , mais contraire, de toutes lés auti'es forces F», F„^,....F„, transportées au point Nm-

iJ4* Bans le cas particulier où les forces F, F,,

Fg F„, appliquées à la corde , seraient toutes pa-

rallëlôs à un même plan, les règles précédentes mou- Ircnl que le polygone formé par la corde en équi-

DE STATIQUE. igS

libre, doit être tout entier contenu dans un plan parallèle à celui-là. En effet, reprenons la figure ii4 avec cette condition particulière sur la direction des forces ; et considérons d'abord le premier cordon AN,. Nous savons qu'il doit être situé sur le prolongement de la force AF. Conséquemment nous pouvons, par sa direction ou celle de AF, mener un plan parallèle au plan commun des forces. Ce plan, ainsi conduit, contiendra le point N,, auquel la force Fj est appliquée; il contiendra donc la force F, elle-même, qui lui est parallèle. Contenant ainsi F et F,, il contiendra leur résultante , et par suite le second cordon NjN» qui doit en être le prolongement. D'après cela , il passera par le point N« auquel la force T» est appliquée. Mais , contenant ce point , il renfermera la force F» ellemême, puisqu'il lui est parallèle; donc il contiendra le cordon suivant NaNs, puisque ce cordon est opposé à la résultante des trois forces F , F,, Fa. Le-même raisonnement continué ainsi jusqu'à la dernière extrémité de la corde, amène de même, successivement, chaque cordon dans le plan mené par la direction de la première force parallèlement à toutes les autres.

Si les forces F, F, . . .F„ sont, non- seulement parallèles à un même plan, mais parallèles entre> elles, leur résultante générale sera égale à leur somme algébrique lorsqu'elles seront transportées au même point. Il faudra donc que cette somme soit nulle pour <!fue la corde puisse être en équilibre sous leur influence combinée.

i35. Jusqu'ici nous avons supposé la corde entièrement libre; maison pourrait aussi la supposer attachée par ses deux bouts à des points fixes , et demander les conditions de son équilibre avec cette particularité. Or , rien n'est plus facile, d'après ce qui précède. Car les deux points fixes étant considérés comme suscep*

igô NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

tibles de produire une résistance indéfinie dans quelque sens qu'ils soient tirés, on peut toujours attribuer à ces résistances les valeursyainsi que les directions, nécessaires pour représenter les forces F, F„ que nous avons supposées appliquées aux extrémités de la corde libre , suivant ses premier et dernier prolongemens. Il ne restera donc plus qu'à voir si, avec cette liberté, Véqullîbre de la corde est possible entre les positions assignées à ses extrémités. Pour cela, soient, fig. 1 1 5, A et B les deux points fixes , et AF , BF» , ou F et F» les deux tensions extrêmes supposées jusqu'ici indéterminées, tant en intensité qu'en direction. Diaprés la méthode de composition successive , expliquée § i32, concevons la tension F transportée au point B, suivant B/* parallèle à AF; et transportons également à ce même point toutes les

autres forces F, F„«j parallèlement à elles-mêmes.

Ces forces sont censées données tant en intensité qu'en direction; on pourra donc, en les composant ensemble au point B, obtenir leur résultante BR ou R,dont l'intensité et la direction seront aussi connues. Cela posé , il faudra , par la condition générale d'équilibre, que les deux tensions B/*, BF» soient en équilibre au point B avec la résultante R, ce qui exige d'abord qu'elles soient dans un même plan. Conséquemment , si par les points fixes AetB, on mène un plan qui contienne cette ré* gultante, il contiendra aussi les directions des deux cordons exitémes NA , N„»„,B, dans l'état d'équilibre.

Maintenant, soient a eta« les angles inconnus que les deux tensions, aussi inconnues F*F„, forment avec la résultante donnée R. On aura , d'après la loi de la composition des forces, les deux équations suivantes, démontrées dans le 5 44 >

(i) - F sin a = F« sin a„ ,

{2) R = F cos a + F„ cos a.

Ces équations ne déterminent pas les quatre inconnues <af, On, F, F»; elles établissent seulement deux relations entre elles. Mais , si le polygone funiculaire était déjà donné en équilibre avec les directions des cordons extrêmes, les angles a^ Un , se trouvant connus, ift deviendrait facile d'en déduire les tensions correspondantes, puisqu'on aurait, par les équations précédentes,

.ov T^ R.sina» ^ R sin a

sin (a -h a^) * " sin (a -f- a») '

ce qui revient à dire en Géométrie que ^ connaissant les deux directions des côtés du parallélogramme des forces en B, ainsi que la direction de la diagonale Bret sa longueur, on trouverait pour les côtés les valeurs ci^ dessus. Il est paiement évident qu'avec ces valeurs de F et Fn, on achèverait la construction du polygone formé par la corde, précisément comme si elle était libre, pourvu que les distances successives d^ nœuds, et les forces qui s'y appliquent fussent données.

i36. Dans le cas général où les directions des deux cordons extrêmes sont inconnues aussi bien que leurs tensions, l'indétermination laissée par les équations (i) et (2) sert pour que les cordons successifs pris à partir des extrémités, après avoir satisfait aux conditions de leur longueur propre et de l'équilibre de chaque nœud, se rejoignent en formant la longueur totale assignée à la corde entre les deux points donnés comme fixes. £n effet, supposons que, les forces Fi....F„( ét^mt données, on prenne arbitrairement les angles a et a„. On en déduira aussitôt deux valeurs correspondantes pour les tensions extrêmes F , F„ , comme nous venons de le voir. Avec ces valeurs et les longueurs des cordons qui aboutissent à chaque point fixe, on pourra

igS NOTIONS ÉLÉMENTAIRES

construire le premier elle dernier nœud; et de là, en appliquant à ces nœuds les forces F] , Fb, , qui sont censées données, on en déduira, dans chacun de ces sens, la prolongation de la corde par le raisonnement du % i3a« En continuant ainsi dans un sens ou dans l'autre, on obtiendra successivemexit tous les côtés du polygone funiculaire en équilibre; et si l'on est parti du point A, par exemple, lorsqu'on arrivera au dernier côté situé vers B, on trouvera que sa tension doit être justement la tension Fr correspondante à F, et formant l'angle a» avee la résultante R; ce qui est évident, puisque c'est par cette condition même que la valeur adoptée pour F a été calculée dans les équations (i) et (2) du paragrapbe précédent. Maïs le poljgone ainsi construit, quoique satisfaisant aux deux conditions de partir du premier point fixe A , et d'être en équilibre sous l'influence des forces données, pourra encore ne pas satisfaire à la troisième qui est de venir se terminer au second point donné 6. Car il est clair que ce raccordement , s'il est possible, ne le sera pas avec toutes sortes de valeurs de a ou de a„, c'est-à-dire avec toute direction quelconque des cordons extrêmes. II devra au contraire exiger certaines directions particulières de ces cordons dans l'espace. Or, l'expression de cette jonction géométrique est précisément ce qu'il faut joindre aux données statiques du problème pour limiter l'indétermination des valeurs des angles a eta^ dans les équations (i) et (2) du paragrapbe précédent.