IS
= — 3 log' (a: + 1) + -log' (x — 2) -f- -p log' (x + 2) + coart..
159. — 2° — Lorsque le dénominateur de la fraction proposée renferme deux racines égales, et que l'on a par exemple [x — ô)* en dehors de Tautre facteur, on ne saurait employer le même mode de détermination des deux fractions partielles, qui correspondent au facteur double ; mais on remplacera ces deux fractions par
Bx+C
— . D'une manière plus générale, si Ton avait au dénomina-
teur le facteur {x — A)«*, il faudrait prendre une fraction partielle de la forme
(Bx^-* + B, a:«-« + -^-B^^)dx
dans laquelle on chercherait les indéterminées, et que Ton pourrait intégrer ensuite en posant x — Ô = t;^ ce qui la ramènerait à une suite de termes facilement intégrables (158).
— Nous bornant à la considération du troisième degré au déno*minateur, cherchons, par exemple,
V— 3arH-5)dLc
(x — l)(ar+2)*
On posera
ar« — 3ar + 5 A Bx-hC
i70 CALCUL INTÉGRAL
et, en faisant disparaître les dénominateurs,
a:*— 3j: + 5=A(x+2)« + (Bx+C)(j:— 1).
On trouverait, comme ci-dessus (165), les indéterminées Â, B, C, en donnant à x les trois valeurs distinctes -f- 1 , — 2 et ; mais on peut opérer comme il suit :
Développant le second membre, et ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de x, on aura
En comparant ces deux membres on en déduit
A+B=l, 4A— B+C=— 3, et 4A— C = 5;
équations qui donnent par leur résolution
A=-, 8=:-, et C= — V.
n viendra par conséquent,
dx
/ {x^—3x-\-^)dx 1 r dx 2 r xdx U /• (x-l) (x + 2)~sj x-l'^îj (x + 2)* 3 J {X
La première intégrale partielle est connue (l'46) ; la deuxième donnera en posant a: + 2 = v, d'où dx=dv :
xdx
/(v—2)dv Cdv ^ r ,^ , , 2 p — = I 2 / t;-yu==log t?H hconst.,
ou
xdx 2
-— — = log' (or + 2) + — — + const. ; [x-\-2y a:+2
la troisième j traitée de la même manière, donnera à son tour
dx 1
--= L. const..
On aura donc, en définitive.
7^—^ — ==-loff'te— l)+-Iog'(x-H2)H -+const.
leo. — 3® — Supposons en dernier lieu y que le dénominateur du troisième degré ait deux raciales imaginaires, et soit à prendre
(x^ —Sx-h^) dx
On fera
a;«3^H-5 A Bx + C
(x + l)[(x— •l)' + 4] x+l (x— 1)* + 4 qui donne, en chassant les dénominateurs,
Les indéterminées, obtenues par l'un des moyens précédents (155-159)^ auront pour valeurs
de sorte que Ton aura
/ (x» — 33:H-5)rfx 9 Ç dx i Ç zdx (a: + l)[(x-l)«+4P8j x+i~%J [x-if+i
%J {x-if
dx
La première intégrale partielle est log' (x+ 1). Pour trouver la deuxième, posons
X — i = Uy d'où, dx=du, il viendra
/xdx r{u + i)du r udu r du
(x-i)' + 4""J «» + 4 ^ J îT+I'^J tf*+4'
/a première partie de cette deuxième intégrale partielle deviendra connue, en multipliant pai* 2 le numérateur (l'^B), et Ton aura
/€2 deuxième partie s'obtiendra en posant
u=2v, d'où, t; = - et du=2dv;
/du r 2dv i C dv i
1 u i X — 4 = - arc lang " = 5 arc tang — h const. .
La troisième intégrale partielle esl la même que la dernière obtenue. On aura donc en résumé, pour l'intégrale totale cherchée,
(x' — ^x+'^)dx 9 1
— 5 W'c tang — Hconst. .
