Diflérentlelles algébriques entières* — I. — Soit
d'abord la différentielle monôme , .
x!^dx.
On trouvera son intégrale par le premier procédé {l'étO); en remarquant, en effet, que cette différentielle deviendra connue si on la multiplie par m-^-l, on aura (1-46),
Qf^dx=^ ; / (m + l)a;*aa: = :+C,
en ajoutant toujours la constante C, qui reste arbitraire tant que les limites de l'intégrale ne sont pas indiquées.
— Si le monôme donné éiait multiplié par un facteur constant, ce facteur entrerait dans l'intégrale trouvée (144) ; ainsi
Aaf^dx = A I af^dœ=X hC
On voit d'après cela, que pour intégrer une différentielle monôme, il faut augmenter l'exposant de x d'une unité, puis diviser par cet exposant ainsi augmenté.
Exemple, —
%xidx=8-r — &x* + G.
Remarque. — La règle ci-dessus convient aux exposants négatifs^
— m\ mais elle est en défaut et elle donne — ,pour m=— 1 ; dans
ce cas particulier on a
ar-*dir=-^, différentielle de log'a? (19),
et par conséquent (146),
jx''dx= T— =»log^a; + C.
150. — n. — Si la différentielle est un polynôme, Tintégration comprendra une suite de monômes, et rentrera dans le cas précédent. 1^ — L'expression
r(Aa:«-+-BjJ» — Daf + )dx
donnera ( 1 43* 1 49) ,
/ Kx'^dx-^- 1 Bx^dx — / DoCPdx
jfn+i a:*"*"* a^"*"*
w+i n + 1 jo+1
en représentant par C la somme de toutes les constantes.
Exemple. — Oq trouvera de cette manière,
Aso;'— 9a:' + 2x+5)da: = 2a;* — 3j;' + a;' + 5z + C. 2* — Pour trouver
{a + bx)^ dx ,
on pourrait aussi ramener cette expression à une suite de monômes j en développant la puissance indiquée ; mais pour arriver plus simplement au résultat, on emploiera le procédé ]^9ir substitution {±'4^r).
Posant a + ftx = t? ,
V — a on a a;= — - — ,
do et dx= -ri
en substituant (1*49),
(a+bx)^dx= / ---rft>=— n + C.
et en remplaçant v par sa valeur,
la + bx)^dx= \^ \^ +C,
Exemple. —
(7 + 3x)*ûte=
161 • — IMffèrentielles algébriques firactlonnaires. — Lorsque le dénominateur de l'expression fractionnaire est un monôme, on ramène ce cas aux précédents, en faisant passer au numérateur le facteur inconnu x^ qui se trouve au dénominateur avec une puissance quelconque ; puis on effectue de manière à obtenir une suite de monômes.
Mais^ si le dénominateur n'est pas un monôme j on ramènera l'expression fractionnaire, quand elle ne satisfera pas à cette condition, à avoir l'exposant de x dans le numérateur, d'un degré moins élevé que dans le dénominateur, et cela, en effectuant la division. On
aura de cette manière pour quotient, une fonction rationnelle et entière dont on sait prendre Tintégrale, plus la fraction formée avec le reste et le diviseur.
Nous aurons toujours à considérer dans ce qui va suivre, des fractions qui répondent h cette condition, soit qu'elles proviennent de l'opération préalable que nous venons d'indiquer, soit qu'elles aient été directement proposées ainsi.
La première opération à faire pour intégrer les différentielles en général, consiste à les ramener en d*autres plus simples, dont on connaît ou dont on peut trouver plus facilement les intégrales. En ce qui concerne spécialement les expressions fractionnaires^ on les décomposera en fractions partielles, par des procédés que nous aurons à faire connaître.
158. — I — Examinons d'abord le cas où le dénominateur est un monâmcy et où l'on a
a {x — ô)**"* dx
nx^
En dégageant le facteur constant, et faisant passer af* au numérateur, on a
nj
Si maintenant on développe {x — é)"**"*, et que Ton multiplie chaque terme par x^^, on obtiendra une suite de monômes, dont l'intégration rentre dans les cas examinés.
Exemple. — En supposant m=i dans l'expression ci-dessus, on aura la suivante :
-( fx'-'dx — Sb Ix-^dx-^W ixr^dx—b^ îx-^dxY
et par conséquent,
f ajx-bydx af 3b 3*' b^\
1. — n — Supposons maintenant que le dénominateur soit un binôme du premier degré, et proposons-nous de prendre
4fl4 CALCUL INTÉGRAL
kdx
te — a*
II est aisé de voir, en employant le premier procédé (146), que
lorsqu'on multiplie dx par b on obtient b dx, différentielle du déno-
du mmateur ; la fraction est ainsi ramenée à la forme — qui a pour
intégrale log't/, et Ton a
/kdx A r bdx A, ,,. , ^
Exemple. —
16-4. — Quand le dénominateur non monôme est supérieur au premier degré, on le décompose en facteurs du premier degré, et Ton prend successivement chacun de ces facteurs pour détiominaleur, dans les fractions partielles qui doivent remplacer l'expression différentielle proposée.
Comme on le voit, le moyen de simplifier cette expression différentielle, est subordonné à la condition de trouver /e^racmes d un degré quelconque.
Nous examinerons les cas les plus simples, qui se rapportent au trinôme du denanème degré, et à quelques exemples d'un degré supérieur, dont on peut déterminer facilement les facteurs.
156. — III — La différentielle fractionnaire ayant pour dénominateur un trinôme du second degré, sera de la forme
imx + n) dx , ,
ax^ + hx Nous supposerons :
1° — que les racines du trinôme soient réelles et inégales ; désignons-les par oc et ^. La loi de décomposition du trinôme donnera
ax^-\-bx + c=a{x—a'^ [x—fi). (2)
Représentons par A et par B les numérateurs inconnus des deux fractions partielles, on devra avoir
fnx~\-n A B
(a:— a) (a: — P) x — a x — P' ou, en faisant disparaître les dénominateurs,
m^+n = A(a: — P)-hB(x— «).
Cette relation doit avoir lieu pour chaque valeur des racines ; il viendra pour a: = a ,
wa + n = A(a — p), ou A =
ot — p '
etpour ar:=p.
mp+n = B(P— a), ou B= / .
Les numérateurs des fractions partielles étant connus, on aura, à cause des relations (2) et (3),
dx
/ {mx'+'7î)dx A r dx B /* ax^-^bx-i-c aj X — a «j:
= -log'(j; — a)+-)og'(a:— P)+C.
— ^n généralisant cette marche, on arriverait à la règle suivante applicable à tous les degrés : Pour trouver les numérateurs des fonctions partielles, le numérateur A par exemple, il faut prendre une fraction ayant pour numérateur celui de la fonction donnée y quand on y change x par a, et pour dénominateur ^ le produit de$ différences entre la raciîie a et toutes les autres.
Exemple. — On trouve par ce moyen pour
{lX'+-9)dx
d'abord les racines a = 3 , f! = — 5 ,
et par suite, les facteurs du premier degré
2(x»-h2j:— 15) = 2(x — 3) (:c+5); donc, d'après la règle précédente^
7x3+9 IS 7X— 5 + 9 13
Par conséquent,
/ (7g + 9) <fcc 15 r dx 13 /"di 2ar« + 4a; — 30~ % J x — 3'^ S J x
= ylog'(x-.3) + ylog'(a; + 5) + C.
156. — 2* — Supposons maintenant que les racines du trinôme soient réelles et égales, et désignons par a la racine double. On aura, à la place de l'expression (166.3) que nous venons de voir, la nouvelle forme
{mx + n) dx
a{x — (ty '
que Pon peut intégrer en employant le procédé de substitution (1<47). Faisons, en effet,
d'où, ar = t? + a,
et dx=dvj i
il viendra
/ {mx + n)dx Ç a{x-ccY -J
(mv + ma -^n) dv ^
av ou, en dédoublant la dernière expression^ et en mettant en dehors
du signe / les facteurs constants,
m rdv ma + n Cdv m , ;7tx-)-nl ^
- I 1 / — =-log V hC;
aj V a J v^ a a v
— est connue (l^e), et la deuanème revient (l'ie) h
rdv r ^ v-' 1
On aura donc, en mettant xslIbl place de r,
dx m fnfx.'\-n 1
rr = -log (x-a) ^ l-C,
r{mx-\-n) J a{x—cL
• Exemple. — On obtiendra de cette manière,
1 57. — 3* — Supposons en troisième lieu que les racines du trinôme soient imaginaires. Le trinôme pourra se mettre dans ce cas sous la forme
a[(^— oc)' + p*], et il faudra prendre
/{mx'^n)dx a[(a:a)«+p«]-
Pour cela on posera
a: — a=pt;, d'où, ^=:pe? + a, et dx = ^dv.
On aura donc en substituant, puis décomposant
/ (m^v + m(t-^n)^dv Ç m^^vdv r{mx-tn)^dv
ou, en simplifiant et dégageant les facteurs constants,
/(mX'-{-n)dx m T vdv moL-i-n f dv
/V fil) -; n'est pas connue ; mais, en lui
appliquant le premier procédé (146), on voit qu'il suffit de multiplier le numérateur par 2, — ce qui oblige à diviser par 2 en dehors
du signe / — , pour obtenir l'intégrale du dénominateur; son intégre sera, ainsi, égale au logarithme népérien de ce dénominateur. Quant à la deuxième intégrale elle est connue (l^S), et il viendra en définitive, pour Tintégrale cherchée,
iGè CALCUL INTÉGRAL
— log (t;' + !)H -— arclangt? + C;
ou, en remettant x à la place de v,
a[(a:-.y+^^r Ta^'^ [(-7") "^^J
Exemple. — On aura, d'après ce qui précède,
/ {Tx-h9)dx r {Tx + 9)dx 4x*-16.r + 52~j 4[(x-2)*+3«]
7, ,r(ar— 2)^ ,1 23 j? — 2 ^
158. — IV. — Considérons enfin quelques expressions différentielles, dans lesquelles le dénominateur est du troisième degré \ le numérateur ne pourra pas être supérieur au deuxième degré (l6l).
1"* — Soit par exemple^ la fraction différentielle
( jt' — 3a: + 5) ffe 0?' -t- ar' — 4 X — 4'
On remarque aisément dans le dénominateur^ que la différence des deux carrés x* — 4 provient du produit (ar + 2) {x — 2), et que ce dénominateur revient à (a:+ 1) (ar — 2) (07 + 2), facteurs réels et inégaux du premier degré. Pour décomposer la nouvelle expression on posera
a^-.3a:+5 ABC
(a: + l)(x — 2)(ar + 2) x + i x — 2 x + 2
et Ton pourra déterminer les numérateurs des fractions partielles, par une marche analogue à celle suivie (165) ; c'est-à-dire en faisant disparaître les dénominateurs, en donnant successivement à x les valeurs de chaque racine, — I , + 2 8t — 2, et en tirant la valeor do nomérateur correspondant. Sans passer par toutes ces transformations on trouve, en appliquant directement la règle qui en décoole.
avec — 1 ,
et par suite,
r{x* — 2x-\-li)dx
^ r dx l r dx IJi r dx
/ x^ + x^ — ix — i ! x+l 4 / x—2 4 / x+2
