I. — 1° — Soit à chercher
dx
On reconnaît sans peine, que cette expression est la différentielle de Tare dont le sinus est x (1^5) ; on aura dès lors,
z=.=: arc sia x + const..
2^ — On trouverait aussi saos cfUcoI,
— dx
sli—x^
30 — Si Von avait à prendre
dx
arccosor+const.»
on aurait
dx r a , X
= arc sm - + const. .
/ dx r a
les. — n. — 1° — Supposom que Toii ait à trouver
dx
En traitant cette intégrale par substitution (i'A'7)» on posera
v—x = yji+x*\ (1)
élevant au carré et simplifiant, il viendra
qui donne en différentiant et divisant par 2,
vdv — vdx — xdvi^=Q.
Par suite,
dv dx
et à cause de la relation (1),
dv dx
et connne (t4S)
/dv
il en résulte
m CALCUL INTÉGRAL
log' v + G = log' (a:+ Vl + x*)+const..
/dx
2^ — Si Pon avait eu Texpression
dx
sJa^-\- a on aurait trouvé par le même procédé,
dx
yjx^ + a 30 — En traitant Texpressioii
= log ' {x + six" + fl) + const. .
dx
yjx' — i
de la même manière^ on poserait
^PCrr=t; — 0?, d'où, x' — l=(v — xYy
ce qui donne
l = 2va: — «*;
et en différentiant,
=vdx+xdv — vdv ,
d'où l'on tire
dx dv
Donc,
Ç^^ÈL-^ r^=log't; + C = log'(ar+Vx*-l) 163. — III. — 1** — Soit proposée l'expression
— 1)+ const..
dx^i—x^.
On trouve en la décomposant, après l'avoir multipliée et divisée
par \/l — X' ,
dx{i-^x^) dx __ x^dx
^ÎZI^ y/l — X' >/l— a;'
et en décomposant encore le dernier terme, on aura
r dx r —xdx
dx\i — x* = / ■ + I X. , : .
Lapremièft intégrale partielle est arc sin x (161).
— xdx On remarque dans la seconde, que le second facteur — = est
yji — X^
la différentielle de ^1 — j;'(l8.2"), on peut donc appliquer à cette intégrale, le procédé de l'intégration par parties (148), et il viendra
/x. ,— — =3:>/l— a?'— i yji—x'dx', yH-x' J
OU en remplaçant^
I dx^^ — a:" = arc sin a:H-x\/l — x* — / ^1 — x^dx ^
ci en faisant passer le dernier terme dans le premier membre, puis en divisant par 2 ,
/ dxyji — ar*=-(arcsin x + x^l — a;')H-const..
2'. — Soit à trouver^
j dxyja^ — a:",
en opérant comme ci-dessus, on aura> multipliant et divisant par
/dx{a} — x') /• a^dx r x*dx
^a' — x' J yja^ — x« J >Ja^ — x» '
La première intégrale est connue (leLS"") ; elle est
a^dx ^ . ^ r.
—=• == a* arc sm - + C ; V^a* — x' «
/a deuxième donnera par le procédé de Pintégration par par^
ties (l'as).
Donc,
/ rfo: v/û' — ^ = -(a* arc sin - + ar y/a*— :c*) + coflsi.
ie-4. — IV — 1<> — S« f on propose
pour trouver l'intégrale de cette expression, on suivra une méthode analogue à celle employée pour les deux dernières. C'est ainsi que Ton aura d'abord
dx (l + X*) dx x^dx
V^l+«* Vl-ha:* VH-«*' puis
dx C xdx
et comme Tintégration />ar parties donne (l'iS).
/■^- ' =iT.%fr^T} — \ \[r+x*dxy
il s'ensuivra (168) / éfe\/lH-ar*===ilog'(ar-{-\/l-f-a?*)-t-arVl -+-a?--- l^{^s?éx
ou
j dx>Ji + x^= - jlog ' (x+ V"! + a7')+a: v^l +^1 + eonst.
2**. — On trouverait de la même manière,
/ dxy/x^+'a= - j alog'(j:+V'a:* + a)-f-^ v'^'-f-û 1 +const.
3«. CTommc att5«t.
INTÉGRATION DES DIPPI^HENTIELLËS ORDINAIRES 177
166. — Lorsque la quantité 0OU9 le ràdieftl est un trinânie du second degré, on peut ramener ce cas aux précédeiltS comme suit :
I -». Supposons M premier lieu ^nê le co€0cièrèt du terme en x' ^01^ négatif, et que Ton ait le trinôme
■^or'H- Aar+c . (1)
On sait que ce trinôme prend la forme
obtenue eii cfégâgéttnt le Coefficient a, ce qui donûe
puis en ajoutant et en retranchant ft là fotft dans la parenthèse, le
carré r-:de la monî^ -- dtî coêffidétit de x, pottf ttfrivef à 4a» 2a ' ^
"K+cil-l^-é)]'
c *• expression dans laquelle la somme -+7"; doit être positive, pour
éviter que le radical soit imaginaife.
Pour ramener la forme (2) du trinôme aux cas déjà traités, on posera
x = a+pv, d'où, dx = ^dv, (3)
et l'Ofi Mfs êfltl Sllbitltllâftl,
a(p» — pV)=ap«(l — t;*). * (4)
166. — IL — Supposons maintenant que le coefficient du terme en X* soit positif ; le trinôme
ax^+ôx-i-c (i)
pourra se mettre sous la fofnle
obtenue en opérant de ]a même manière que ci-dessus ; c*est-à-dire en dégageant le coefficient a, et en ajoutant et retranchant en même
temps le terme — . Cela fait, on posera
x = (x,±^v, d'où, dx=:±pdvy (3)
et en substituant dans (2), on obtiendra
Cette dernière forme et celle trouvée ci-dessus (1.4), dans les. quelles on pourra mettre en dehors des radicaux les facteurs constants, ont été examinées dans les paragraphes qui précèdent.
