Proposons-nous d'intégrer
Le trinôme sous le radical peut s'écrire (166.2)
et en posant (165.3)
d'où, t? ^ ,
et (lx=3dv,
il viendra, en remplaçant, et simplifiant (161), dx
/dv . ^ . x—2
=ar^ sin vH-C=arcsm— - — {-const.
V5+4a; 2*. — On trouverait pour
dx ^ix — x^ , dont le binôme sous le radical donne a= ^ = 2 , (166)
dxy/i — {x — 2yi et, en faisant jc = 2 + 2t; ,
d'où, "^ = "2"
et dx = 2dv^
on aura
2dv \/4 — ir* , ou idv ^l — r' ; donc (163),
fdx)Jix — x^=i /rft?>/l— v' = 2{arcsint; + t;Vl— t)»)+C
= 2 (arc sin — -— H — v*^ — ^') + const..
3<* — Supposo7is que Ton ait encore à intégrer
(2x—i)dx
La relation (166.2) permet de remplacer le trinôme sous le radical par
On posera en outre (166.3)
x=3-\-v, d'où, dx = dv.
Donc, en substituant dans l'expression donnée, on aura après simplification,
(2t>-f-i)rft)
2 V«'-i- 1 ' et par conséquent (168-163),
/' (2a; — 5)cfa: r vdv i /* rft>
2n/x* — 6x+10 J Vë'+Ï 2^ v'w'H-l
— ^t,«4 H__log'(t>H-V«'+l)+C
IW CALCUL INTÉGRAL
= V(:r— 3)« + l+^log'[(x^3) + >/(x-3)» + l] + C
= Va:' — 6a: + 10 + - log' 1^(0:— 3)+\/^'— 6a?+lo1+coilit..
168. — On peut aussi trouver les intégrales des foQctioos da la forme que nous venons d*examiner, en convertissant les radicaux en fraction rationnelles. Il ewte pour calft plusieurs méthodes basées sur le procédé Ao substitution. Nous . examinerons seul6«ment la suivante qui est toujours appHeable^ pourvu que les raci^ nés a et ^ du radioal soieni réelles. ~
La décomposition du IrinAme du second degré en deux facteurs linéaires, doonant
x'^px + q = {x — c^){x — ^), (1)
la méthode consiste à poser
•«pa^*^n^
y/x^^px^q={x-^<t)vy qui donne en élevant (lu carré, et en tenant compte de la relation (f )>
on en déduit
2{x — 9,)vdv
Cela posé si Ton a, par exemple ^ à trouver
dx
^x^ -{-px + q il viendra en faisant les substitutions voulues et en simplifiant,
--Çpx+q
intégrale que l'on sfit calculer.
— On aura remarqué que les différentielles dans lesquelles entre
yj\ — a?*, ont des intégrale! qui dépendent d^s arcs de èerch^ et que
J y/x*'-\-px-hq Ji — t;**
Ton obtient des logarithmes pour y]i-\^x*. On conçoit du reste qu'uno intégrale puisse être exprimée sous des formes différentes suivant les transformations que Ton aura fait subir h la différentielle, et qui dépendent de la relation intermédiaire qui a été posée. Ces exprès» sions, d'ailleurs, doivent nécessairement rentrer Tune dans l'autre, et doivent donner des résultats identiques, sauf les emprunts faits & la constante arbitraire.
169. — Les différentielles commet sous le nom de binômes se présentent sous la forme
af^dxifl + baf^y, (1)
dont on ne diminue pas la généralité, en supposant lo, n positif \ 2^^ m et n entiers.
10 — Pour n négatifs c'est-à-dire pour
oif^dx
on aurait, en effet, en multipliant dans la parenthèse par ar", et en divisant en dehors par or**^, ce qui ne peut altérer le résultat,
a:*-*' dx (flx* + ô)' ;
expression de même forme que la précédente, et dans laquelle Texposant n est positif.
2^"^ Si les exposants m ein étaient— et-, l'expression proposée (1) se présenterait sous la forme
on la ramènerait à la précédente, en posant
X == w*', qui donne dx = st v**""* dv , ou, en substituant et en réduisant,
expression de même forme que la proposée (1) et dans laquelle les exposante de l'inconnue sont entiers.
Il est donc permis de considérer : 1% n comme positif \ 2®, tn et n comme entiers.
170. — Lorsquç dans la différentielle binôme l'exposant p est entiery il est toujours possible d'intégrer cette expression par les moyens connus; car on peut effectuer le développement, et l'on trouve, après avoir multiplié chaque terme par x^dx^ une suite de monômes de la forme Mx^dx (150).
n est possible encore de faire l'intégration de la même manière, dans deux autres cas que nous allons examiner.
|o — Posons
d'où,
(V — a\L - i /v — «\i-i dv
et remplaçons dans l'expression du binôme, il viendra après réduction
1 , /« — a\l!Ltî-,
expression qui sera intégrale pourvu que soit un nombre
entier et positif.
2* — La différentielle binôme peut prendre une autre forme, qui
montrera un autre cas d'intégrabilité.
Posons à cet effet,
ax-^-{- b = v ; on en déduit
et après réduction,
n\v — bj a
en substituant ces valeurs dans l'expression du binôme et en simplifiant, on trouve
na \ « /
ce qui montre que le binôme est encore intégrable^ lorsque la quantité
/m + 1 \ /m-hw/) + i\
-vir^n °" -V — » — )
est un nombre entier et positif,
