Caractère général de conveirgeiiea et de divergence

Les termes d'une série étant tous /?t>5t7i/5« on reconnaît qu^elle est convergente lorsque, à partir d^un certain terme, le rapport d'un terme quelconque à celui qui le précède , est constamment inférieur à une quantité fixe k, plus petite que t unité. Elle est divergente lorsque cette condition n'est pas remplie.

Soit la série

Wo+«i + Wi+ w« + , (1)

et supposons que Ton ait :

— <A, d'où Wi<Awo<Awo)

-<k, — u^<kUi<k'u^ (2)

S»<Mo

La somme S« des termes de la troisième colonne verticale, comprend tous les termes de la série considérée (1). Celle de lademibre est

«•(1 +*+*•+*•+ ifc*);

on pourra donc écrire

0U| en remarquant que l'on a £ < 1 ,

mais à la limite j n augmentant indéfiniment^ le dernier membre de cette inégalité deviendra

ce qui démontre que la série est convergente.

4. — Srreur cominise en limitant la série pxL terme ti« . Si, dans la sommation des termes de la série précédente (1), on s'arrête au terme ti« inclus,* Terreur commise sera pltà petite que l'exprès-

sion M»- T. En effet, en établissant comme ci-dessus (3,2), mais

à partir de ti« « les inéffatité$ résultant du caraelëre général de convergence (S), on serait amené à conclure que la somme des termes qui suivent t/« est plus petite que

c'est-à-dire que

et pour un nombre m de termes tendant vers l'infini, on aurait bien

5. — Convergence des séries dont les termes sont altemativenxent positite et négatifs. — Lorsque les termes d'une série sont alternativement positifs et négatifs, cette série est encore co;tvergente si les termes vont en décroissant hidéfinimeni.

Soit donnée la série

Wo — Wi + Wj — W8+ ±*/n. (1)

Les termes allant en décroissant, si Ton fait abstraction des signes, ùQ terme quelconque diminué de celui qui le suit donnera toujours une différence positive. D'ailleurs, les différentes sommes d'indice pair :

S, = (Wo — Wi),

s* = K — Wi) + {th — Wa),

Sg = (Wo — Wi) + (Wï — Ih) + {^i — «5),

toutes positives, vont sans cesse en croissant. Les autres sommes d'indice impair :

Si=l/o)

§8=1/0 — (Wi—«lî),

Ss = Wo — (Wi — Wi) — i^h — Wv),

vont toujours en diminuant et sont respectivement supérieures aux précédentes.

Chacune de ces sommes tend donc vers une limite ; comme leur différence diminue indéfiniment, les deux limites doivent se confondre et la série est convergente.

6. — Srreur commise en prenant les n premiers termes. — L'erreur commise, tantôt en plus tantôt en moins, suivant le signe du terme auquel on arrête la série, est moindre que le terme qui suit immédiatement. Elle sera pour les n premiers termes de la série (5.1), t/» ; en plus, si n est pair, en moins, pour 7i impair.

Exemple. — Les deux séries

1 1 1 ifc-

et

appartiennent à la catégorie que nous venons d'examiner.

La sommation des douze premiers termes de la dernière donnerail 0,36787944126. . . . L'erreur commise en s'arrêlant à ce terme positif est en moins ; elle est moindre que le treizième terme de la série, lequel a pour valeur

o^ . ^^L. ..An = 0,00000000001 14

7. — liimite de l'expression ( 1 H — ^ j pour la valeur infinie

de m. — Cette limite qui est la base des logarithmes hyperboliques ou népériens^ reçoit d'importantes applications dans les calculs d'analyse. On la désigne toujours par la lettre e.

Pour déterminer sa valeur, nous supposerons d'abord que m soit entier et positif. En faisant, d'après cette hypothèse, le développement de l'expression donnée j 1 H — j , suivant la loi du binôme, on obtient pour la somme S des termes,

m{m — l)(m — 2) 1 m{m — 1) 1 ml i^

* * '""' 1.2.3 m"»~3"^ 1.2 m"»-* Tm«-^ m«'

expression que Ton peut écrire

1 m \ m/\ ml

\ m/\ mj i '^^o-^-u*

Ce développement est vrai pour toute valeur de m, quelque grande qu'on la suppose ; et à la limite, m tendant vers rinfini, les expressions

mm m

tendront vers l'unité ; de sorte que la première moitié des termes du développement aura une valeur /!me, tandis que dans chaque terme

de Tautre moitié, le coefficient — ne pouvant être éliminé et deve-

nant égal à zéro pour m infini, ce second membre sera nul. On aura par conséquent, en faisant les réductions possibles,

II faut, d'ailleurs, observer que le nombre des termes de cette expression tend lui-même vers finfini, et comme ils se succèdent suivant une loi bien déterminée, on reconnaît que le développement s'est transformé en série.

— Si le no77ibre m était fractionnaire et s'il était compris, par exemple, entre les deux nombres entiers consécutifs q et y+1, comme les expressions

('+„-)'"('+jiï)

g-hi

tendraient chacune vers la même limite finie e, en faisant tendre

rindice de la puissance vers rinfini, il en résulterait que la limite de Texpression considérée, qui doit être comprise entre les deux limites ci-dessus, serait elle-même égale à cette limite commune e. — Enfin, si m était négatif l'expression donnée deviendrait

\ mj \m — 1/ \ m — 1/

et en décomposant cette dernière en deux facteurs^ on obtiendrait

En remarquant que m — 1 est positif, le premier facteur tendra vers la limite e pour m égal à rinfini, tandis que le second tendra vers tunité. Il en résulte qu'en donnant à m des valeurs négatives^ Texpression proposée tendra encore ver9 la limite e.

8. — Valeur numérigae de e. — Reprenons la série trouvée ci-dessus (7),

On voit que ses termes tendent constamment vers zéro ; de plus,

le rapport d'un terme quelconque à celui qui le précède immédiate-

ment est égal à -, quantité toujours plus petite que l'unité : donc

(s) la série est convergente ; du reste, ces rapports vont sans cesse en diminuant à partir du premier.

La somme des termes de la série à partir du troisième terme inclus^ est plus petite que celle des termes de la série géométrique

décroissante :

Mais ]a somme des termes de cette progressioo, ea s'arrètant au

terme — , est 2*'

si n tend vers rinfini, — lendra vers zéro, et Ton aura

La série e sera donc comprise entre 2 et 3.

En faisant la somme des quatorze premiers termes on trouve

L'erreur commise en s'arrêtant à ce terme est plus petite (4) que

l'expression w» 7 , c'est-à-dire que

Pour yi = 13 on obtient donc

par conséquent, les dix premières décimales de la valeur trouvée sont exactes.

9. — Remarque. — La valeur numérique de e est une quantité incommensurable. En effet, si elle était égale à une fraction com-

mensurable —, on aurait

et en multipliant les deux membres de cette égalité par 1.2.3. . . n, le premier membre, qui serait encore un nombre entier, deviendrait égal à une suite de nombres entiers, plus la série

D'ailleurs, la somme des termes de cette série est évidemment plus petite que celle de la série géométrique décroissante,

et comme cette dernière somme, quand le nombre des termes tend vers rinfini, est égale à

quantité plus petite que Tunilé, il s'ensuivrait qu*uh nombre entier serait égal à un nombre entier, plus une fraction, ce qui est absurde. Donc, e est un nombre incommensurable.

lO. — Si Fou a la série

*+î+ô+rir3+ • • • • 1.2.3. ...« +• • • •' (*^

on peut facilement reconnaître qu'elle est convergente , qneWe que soit la valeur attribuée à x.

Pour cela, on remarquera que les termes successifs se forment en les multipliant par les facteurs

or^ à partir du terme dans lequel on a n > x, ces facteurs seront tous plus petits que Tunité et, par suite, la série est convergente (3). — Lorsque dans la série (1) les numérateurs sont affectés de coefficients connus, et qu'on a la nouvelle série

Bx O' Dx' Na:«

celle-ci est encore convergente ; car, si M est le plus grand coefficient, la série

sera évidemment plus grande que la série proposée (2) ; mais cette série (3) est composée de la série (1) avec le facteur M, deux valeurs finies, donc le produit est également fini, et la série est convergente.