FIN

1. — Séries : convergente, divergente. — Une suite indélinic de quantités qui se forment suivant une loi déterminée se nomme série. Les progressions arithmétiques et géométriques sont des cas particuliers des séries. On en distingue deux genres : les sénés convergentes et les séries divergentes.

Dans les premières, la somme des termes, lorsqu'on en prend un nombre de plus en plus grand, tend toujours vers une limite finie. Ainsi, toute progression géométrique décroissante

rra:aq :ac/:aq^ : ay» ; ,

est une série convergente ; car la somme de ses termes qui est égale à

ay» — a

pour n termes, devient égale à

aq* a a

pour un nombre infiîii de termes; puisque la raison y, — qui est,

dans ce cas, plus petite que Tunité, — étant affectée d'un exposant

aq^ infini, le terme — - — devient alors égal à zéro.

Une série est divergente quand la somme de ses termes ne tend

pas vers une limite déterminée, ou qu'elle croit au-delà de toute

limite. La suite des nombres naturels

forme une série divergente.

8. — Oonâltion de ooiiTer|rMiM dM •érles. — On conçoit, d'après ce qui précède, que dans une série convergente les termes doivent tendre constamment vers zéro^ mais cette condition ne suffit pas pour caractériser la convergence^ ainsi qu*on peut le vérifier sur la série suivante :

appelée série harmonique. En effet, si Ton considère :

1 1 1*, La somme du deuxième et troisième terme r+7; ^^f I&

somme des quatre termes suivants k"^?*^?"^?! P^^^ successive-

ment celle des huit 5 "H 77: -H j^î ^^^ seize, etc..,, on re-

marque que ces sommes sont toutes plus grandes que ^ . La série

pouvant ainsi être remplacée par une suite de quantités plus grandes

que le nombre déterminé -, la somme peut devenir aussi grande

que Ton voudra, en prenant un nombre suffisant de termes ; par suite, la série est divergente.